Nguyễn Phú Khánh 528 Dạng 2. Đường thẳng  Viết phương trình của đường thẳng. • Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm ( ) 0 0 A x ; y ∈ ∆ - Một vectơ pháp tuyến ( ) n a;b  của ∆ Khi đó phương trình tổng quát của ∆ là ( ) ( ) 0 0 a x x b y y 0− + − = • Để viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm ( ) 0 0 A x ;y ∈∆ - Một vectơ chỉ phương ( ) u a; b  của ∆ Khi đó phương trình tham số của ∆ là 0 0 x x at , t y y bt  = +  ∈  = +   » . • Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ ta cần xác định - Điểm ( ) 0 0 A x ; y ∈ ∆ - Một vectơ chỉ phương ( ) u a; b ,ab 0≠  của ∆ Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ là 0 0 x x y y a b − − = Chú ý: o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại o Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm ( ) 0 0 M x ; y có dạng ( ) ( ) 0 0 : a x x b y y 0∆ − + − = với 2 2 a b 0+ > o Phương trình đường thẳng đi qua ( ) ( ) A a;0 ,B 0;b với ab 0≠ có dạng y x 1 a b + =  Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng. Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 d : a x b y c 0; d :a x b y c 0+ + = + + = . Ta xét hệ 1 1 1 2 2 2 a x b y c 0 a x b y c 0  + + =   + + =   ( ) I + Hệ ( ) I vô nghiệm suy ra 1 2 d d . http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh 529 + Hệ ( ) I vô số nghiệm suy ra 1 2 d d≡ + Hệ ( ) I có nghiệm duy nhất suy ra 1 d và 2 d cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa độ giao điểm. Chú ý : Với trường hợp 2 2 2 a .b .c 0≠ khi đó: + Nếu 1 2 1 2 a a b b ≠ thì hai đường thẳng cắt nhau. + Nếu 1 2 1 1 2 2 a a c b b c = ≠ thì hai đường thẳng song song nhau. + Nếu 1 2 1 1 2 2 a a c b b c = = thì hai đường thẳng trùng nhau. Ví dụ 1 . 1. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho các đường thẳng 1 d : x y 3 0,+ + = 2 3 d : x y 4 0, d : x 2y 0− − = − = . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3 d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1 d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 d 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1 d : + + =3x y 5 0 , 2 d : + + =3x y 1 0 và điểm ( ) −I 1; 2 . Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt 1 2 d , d lần lượt tại A và B sao cho =AB 2 2 . 3. Trong mặt phẳng Oxy, tìm toạ độ các đỉnh của một tam giác vuông cân, biết đỉnh ( ) −C 3; 1 và phương trình của cạnh huyền là − + =3x y 2 0 . Lời giải 1. Ta có ( ) 3 M d M 2m;m ∈ ⇒ . Suy ra ( ) 1 3m 3 d M,d , 2 + = ( ) 2 m 4 d M,d 2 − = Theo giả thiết ta có: ( ) ( ) 1 2 3m 3 m 4 d M,d 2d M,d 2. 2 2 + − = ⇔ = + = −  ⇔ ⇔ = −  + = − +  3m 3 2m 8 m 11 3m 3 2m 8 hoặc =m 1 . • Với ( ) = − ⇒ − − m 11 M 22; 11 . • Với ( ) = ⇒ m 1 M 2;1 . http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh 530 2. ( ) ∈ ⇒ − − 1 A d A a; 3a 5 , ( ) ∈ ⇒ − − 2 B d B b; 3b 1 ( ) = − − − ≠ IA a 1; 3a 3 0,   ( ) = − − +IB b 1; 3b 1  I, A, B thẳng hàng ( ) ( )  − = −  ⇒ = ⇔  − + = − −   b 1 k a 1 IB kIA 3b 1 k 3a 3   Nếu = ⇒ = ⇒ =a 1 b 1 AB 4 (không thỏa mãn) Nếu ( ) − − + = − − ⇔ = − − b 1 3b 1 3a 3 a 3b 2 a 1 ( ) ( ) ( )   = − + − + = ⇔ + + =   2 2 2 2 AB b a 3 a b 4 2 2 t 3t 4 8, với = − t b a ⇔ + + = ⇔ = − 2 5t 12t 4 0 t 2 hoặc = − 2 t 5 Với = − ⇒ − = − ⇒ = = ⇒t 2 b a 2 b 2,a 4 ∆ + − =: 5x y 3 0 Với = − ⇒ − = − ⇒ = = ⇒ 2 2 6 8 t b a b ,a 5 5 5 5 ∆ + − = :13x y 11 0 3. Gọi hai đỉnh còn lại là A,B . Toạ độ điểm C không thoả mãn phương trình cạnh huyền nên tam giác ABC vuông cân tại C . Gọi I là hình chiếu vuông góc của C lên cạnh huyền ( I là trung điểm của AB ). Phương trình đường thẳng CI là + − = ⇔ + = − y 1 x 3 x 3y 0 3 1 . Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ:  + =   ⇒ −    − + =    x 3y 0 3 1 I ; 3x y 2 0 5 5 A,B nằm trên đường tròn tâm I , bán kính = 72 CI 5 có phương trình:     + + − =         2 2 3 1 72 x y 5 5 5 Toạ độ hai điểm A,B là nghiệm của hệ:  − + =       + + − =           2 2 3x y 2 0 3 1 72 x y 5 5 5 . Giải hệ ta được ( )     = − −         3 19 9 17 x; y ; , ; 5 5 5 5 . Vậy, toạ độ hai đỉnh cần tìm là : ( )     = − −         3 19 9 17 x; y ; , ; 5 5 5 5 Ví dụ 2 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC . http://trithuctoan.blogspot.com/ + Nguyễn Phú Khánh 531 1. Xác định tọa độ đỉnh C , biết ( ) H 1; 1 − − hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB , đường phân giác trong của góc A có phương trình x y 2 0− + = và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x 3y 1 0+ − = . 2. Xác định tọa độ đỉnh B,C . Phương trình đường trung trực d của cạnh BC , đường trung tuyến CC' lần lượt là x y 6 0 + − = và 2x y 3 0 − + = 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh AB là − =x 2y 0 , điểm ( ) I 4;2 là trung điểm của AB , điểm       9 M 4; 2 thuộc cạnh BC , diện tích tam giác ABC bằng 10. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn hơn hoặc bằng 3 . Lời giải 1. Kí hiệu 1 d : x y 2 0, − + = 2 d : 4x 3y 1 0 + − = . Gọi H' là điểm đối xứng với H qua 1 d . Khi đó H' AC ∈ . ∆ là đường thẳng đi qua H và vuông góc với 1 d , nên có: : x y 2 0 ∆ + + = Gọi I là giao điểm của 1 d và ∆ nên tọa độ I thỏa: ( ) x y 2 0 I 2;0 x y 2 0 + + =  ⇒ −  − + =  Vì I là trung điểm của HH' nên ( ) H' 3;1 − . Đường thẳng AC đi qua H' và vuông góc với 2 d nên có phương trình : 3x 4y 13 0 − + = . AC cắt 1 d tại A. Tọa độ A là nghiệm hệ: ( ) x y 2 0 A 5;7 3x 4y 13 0 − + =  ⇒  − + =  Do CH đi qua H và vuông với AH , suy ra phương trình của CH:3x 4y 7 0+ + = Tọa độ điểm C là nghiệm hệ : 3x 4y 7 0 10 3 C ; 3x 4y 13 0 3 4 + + =    ⇒ −    − + =    2. Gọi ( ) C c;2c 3 CC'+ ∈ . Khi đó: phương trình BC:x y c 3 0− + + = http://trithuctoan.blogspot.com/ + Nguyễn Phú Khánh 532 Gọi M là trung điểm của BC, suy ra 3 c x x y 6 0 2 M: x y c 3 0 c 9 y 2 −  =  + − =   ⇔   − + + = +   =   ( ) c B 3 2c;6 c C' 4 c;4 2   ⇒ − − ⇒ − −     Vì C' CC' ∈ nên ( ) c 2 4 c 4 3 0 2   − − − + =     3 14 c 7 0 c 2 3 ⇔ − + = ⇒ = M C' B A C Vậy, 19 4 14 37 B ; , C ; 3 3 3 3     −         là tọa độ cần tìm. 3. Gọi tọa độ điểm ( ) ≥ B B B B 2y ; y ,y 3 ( ) ⇒ − − ⇒ = − B B B A 8 2y ; 4 y AB 20 y 2  Gọi tọa độ điểm ( ) − ⇒ = − C C C C x ;10 2x CI 5 4 x  Diện tích tam giác ABC là : = = ⇔ + − − = ABC B C C B 1 S CI.AB 10 4y 2x x y 8 2 2 ( ) ⇔ − − = − C B B C x y 4y 2x 6 1 hoặc ( ) − − = − C B B C x y 4y 2x 10 2 Vì ( )  − = −  ∈ ⇒ = ⇔    − + = −      C B C B 4 x k 2y 4 M BC CM kMB 11 9 2x k y 2 2   ⇒ − − + = C B B C 2x y 6y 5x 16 0 ( ) 3 Từ ( ) 1 và ( ) 3 :   − − = − = − −   ⇒   − − + =  = − +    C B B C B C B B C B x y 4y 2x 6 y 1 2 2x y 6y 5x 16 0 y 1 2 không thỏa ≥ B y 3 Từ ( ) 2 và ( ) 3 :  − − = −  =   ⇔   =− − + =   C B B C B CC B B C x y 4y 2x 10 y 3 x 22x y 6y 5x 16 0 Vậy, tọa độ các đỉnh của tam giác ABC là: ( ) ( ) ( ) A 2;1 , B 6; 3 , C 2;6 Ví dụ 3 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC ∆ , biết: 1. ( ) A 2;1 ,− ( ) B 2;3 , ( ) C 1; 5− . Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D,G với D là chân đường phân giác trong góc A và G là trọng tâm của ABC ∆ http://trithuctoan.blogspot.com/ + Nguyễn Phú Khánh 533 2. ( ) A 4; 1− , đường cao kẻ từ B có phương trình : 2x 3y 0 ∆ − = , trung tuyến đi qua đỉnh C có phương trình ' : 2x 3y 0.∆ + = Lập phương trình các cạnh của ABC∆ Lời giải 1. Gọi ( ) D D D x ;y là chân đường phân giác hạ từ A của ABC∆ Ta có ( ) ( ) 2 2 AB 2 2 3 1 2 5,= − − + − = ( ) ( ) 2 2 AC 1 2 5 1 3 5= + + − − = Do đó ( ) ( ) D D D D 2 8 x 2 1 x x AB 2 8 1 3 5 BD DC DC D ; 2 1 AC 3 5 5 y 3 5 y y 3 5   − = − =       = = ⇔ ⇔ ⇒ −     −     − = − − =        1 1 G ; 3 3   −     là trọng tâm của ABC ∆ Ta có 19 2 DG ; 15 15   − −      suy ra đường thẳng DG nhận ( ) u 19; 2  làm VTCP nên có phương trình là 1 x 19t 3 1 y 2t 3  = +     = − +   2 . Ta có AC đi qua ( ) A 4; 1 − và vuông góc với ∆ nên nhận ( ) u 3; 2  làm VTPT nên có phương trình là ( ) ( ) 3 x 4 2 y 1 0 − + + = hay 3x 2y 10 0 + − = Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ : ( ) 3x 2y 10 0 x 6 C 6; 4 2x 3y 0 y 4  + − =  = ⇔ ⇒ −   + = = −   Giả sử ( ) B B B x ;y suy ra trung điểm B B x 4 y 1 I ; 2 2  + −      của AB thuộc đường thẳng '∆ do đó : B B x 4 y 1 2. 3. 0 2 2 + − + = hay B B 2x 3y 5 0+ + = ( ) 1 Mặt khác B∈ ∆ suy ra B B 2x 3y 0− = ( ) 2 Từ ( ) 1 và ( ) 2 suy ra 5 5 B ; 4 6   − −     Ta có 21 1 31 19 AB ; , BC ; 4 6 4 6     − −           . http://trithuctoan.blogspot.com/ + Nguyễn Phú Khánh 534 Phương trình đường thẳng AB : 21 x 4 t 4 1 y 1 t 6  = −     = − +   , BC : 31 x 6 t' 4 19 y 4 t' 6  = −     = − +   Ví dụ 4 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm       1 I ;0 2 . Phương trình đường thẳng AB ;à : − + =x 2y 2 0 và = AB 2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D ; biết rằng A có hoành độ âm. Lời giải Cách 1: • Dựng ( ) ⊥ ⇒ = ⇒ = = = IH AB AD 2IH AH 2HI 2d I;AB 5 • Xét tam giác vuông AIH : = + = 2 2 2 25 AI AH HI 4 • Gọi ( ) A a;b , < a 0 thì + = a 2 b 2 . Do ∈ A AB Nên ( ) +     = − + = ⇒ = − ⇒ −         2 2 2 1 a 2 25 IA a a 2 A 2;0 2 2 4 Tương tự ( ) B 2;2 . Dựa vào tính chất trung điểm tìm được ( ) ( ) − −C 3;0 ,D 1; 2 Cách 2: ( ) + − + = ⇒ = = + x 2 x AB :x 2y 2 0 y 1 2 2 Gọi   +     a A a; 1 , 2   +     b B b; 1 , 2 <a 0, ≠ a b . I là trung điểm AC và BD nên   − − −     a C 1 a; 1 , 2   − − −     b D 1 b; 1 2 Từ tính chất hình chữ nhật : = −  = = −    ⇒ ⇒    = = =     2 a b AC BD a 2 AB 2AD b 2 a 4 ( ) ⇒ −A 2;0 , ( ) B 2;2 , ( ) C 3;0 , ( ) − −D 1; 2 Cách 3: Khoảng cách từ I đến AB là ( ) = = ⇒ = = 5 IH d I;AB AD 2IH 5 2 http://trithuctoan.blogspot.com/ + Nguyễn Phú Khánh 535 Và = = ⇒ 5 IA IB A,B 2 là các giao điểm của đường thẳng AB với đường tròn tâm I và bán kính = 5 R 2 . Tọa độ A,B là nghiệm hệ − + =        − + =           2 2 2 x 2y 2 0 1 5 x y 2 2 = −  ⇔  =  x 2 y 0 ( ) ⇒ −A 2;0 , ( ) B 2;2 , ( ) C 3;0 , ( ) − −D 1; 2 là tọa độ cần tìm. Ví dụ 5 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD , có tâm       5 5 I ; 2 2 , phương trình cạnh AB là : + − =4x 3y 5 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng C có hoành độ dương. Lời giải ( )   + − = ⇒ = − + ⇒ − +     4 5 4 5 AB :4x 3y 5 0 y x A a; a , 3 3 3 3   − +     4 5 B b; b 3 3 Do I là giao điểm 2 đường chéo   ⇒ − +     4 10 C 5 a; a , 3 3   − +     4 10 D 5 b; b 3 3 Theo tính chất hình vuông :  ⊥  =   ⇔   = =      2 2 BI AC BI.AC 0 1 1 BI AC BI AC 2 4 ( ) I Mà     = − + = − +           5 4 5 8 5 BI b; b ;AC 5 2a; a 2 3 6 3 3 Từ ( ) ( ) ( )  − = = = −    ⇔ ⇒ ⇒    = =   − + = − +   2 2 2 a b 25 a 2 b 1 I 1 a 10 b 7 50b 50b 125 2a 2a 5 4 Vậy, ( ) ( ) ( ) ( )  − −           − − − −                   A 2; 1 ,B 1;3 ,C 3;6 ,D 6;2 35 23 50 38 A 10; ,B 7; ,C 5; ,D 2; 3 3 3 3 Mà > C x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ − −A 2; 1 ,B 1;3 ,C 3;6 ,D 6;2 là tọa độ cần tìm. Ví dụ 6 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ABC vuông tại A , phương trình đường thẳng BC là : − − =3x y 3 0 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC . http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh 536 Lời giải Cách 1 : Vì ( ) = ∩B BC Ox nên ( ) B 1;0 ( ) = − ⇒BC : y 3x 3 hệ số góc của ( ) BC là  = =k tanB 3 hay   = ⇒ = 0 0 B 60 C 30 Giả sử ( ) ( ) ( ) − ∈A a;0 ,C a; 3a 3 BC Khi đó :   = +     A B AB r cot cot 2 2 hay ( ) − = +a 1 2 1 3 . TH1: ( ) ( ) ( )  +  − = + ⇒ = + ⇒  + +   A 2 3 3;0 a 1 2 1 3 a 2 3 3 C 2 3 3;6 2 3 Khi đó   + +       7 4 3 6 2 3 G ; 3 3 TH2: ( ) ( ) ( )  − −  − = − + ⇒ = − − ⇒  − − − −   A 2 3 1;0 a 1 2 1 3 a 2 3 1 C 2 3 1; 6 2 3 Khi đó   − − − − =       1 4 3 6 2 3 G' ; 3 3 Cách 2 : Phương trình đường ( ) 1 d phân giác trong của góc A là : = − +y x a Phương trình đường ( ) 2 d phân giác trong của góc B là : = − 3 3 y x 3 3 Tọa độ tâm 1 I là giao điểm ( ) ( ) 1 2 d , d nên   + −     + +   1 3a a 1 I ; 1 3 1 3 Theo giả thiết : ( ) ( ) = = ⇒ d I;AB d I;Ox 2 tìm ⇒a ycbt ( Cách 1 ) Cách 3: ta có = − = − = − AB a 1 ,AC 3 a 1 ,BC 2 a 1 ( ) ( )  = = −  −  ⇒ = = = ⇒ − = +  + − + −  =   2 1 3 S .AB.AC a 1 a 1 S 2 2 r 2 a 1 2 3 1 P 3 1 3 a 1 3 a 1 P 2 *   + + = + ⇒       7 4 3 6 3 a 2 3 3 G ; 3 3 *   − − − − = − − ⇒       4 3 1 6 2 3 a 2 3 1 G ; 3 3 Cách 4 : Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ ABC vì = ⇒ = ± r 2 y 2 http://trithuctoan.blogspot.com/ + Nguyễn Phú Khánh 537 Phương trình ( ) − − = − = ⇔ ± = ⇒ = ± 0 x 1 x 1 BI: y tan30 x 1 2 x 1 2 3 3 3 * Nếu A và O khác phía đối với ⇒ = +B x 1 2 3 và ( ) = ⇒ = +d I;AC 2 a x 2   + + ⇒       7 4 3 6 3 G ; 3 3 * Nếu A và O cùng phía đối với ⇒ = − ⇒ = −B x 1 2 3 a x 2 Ví dụ 7 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy 1 . Cho ABC ∆ với AB 5, = đỉnh ( ) C 1; 1 − − , đường thẳng ( ) AB : x 2y 3 0 + − = và trọng tâm G của ABC ∆ thuộc đường thẳng x y 2 0 + − = . Xác định tọa độ A,B của tam giác. 2. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB : x 2y 1 0 − − = , đường chéo BD : x 7y 14 0 − + = và đường chéo AC đi qua điểm ( ) E 2;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Lời giải 1. Gọi I là trung điểm AB , ( ) G G G x ;y là tọa độ trọng tâm ∆ ABC 2 CG CI 3 ⇒ =   G G 2x 1 x 3 2y 1 y 3  − =   ⇔  −  =   G x y 2 0∈ + − = nên có: 2y 1 2x 1 2 0 3 3 − − + − = Tọa độ điểm I thỏa mãn hệ: ( ) x 2y 3 0 I 5; 1 2y 1 2x 1 2 0 3 3  + − =  ⇒ −  − − + − =   Gọi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 A A A A AB 5 A x ;y IA x 5 y 1 2 4   ⇒ = − + + = =     Hơn nữa A x 2y 3 0 ∈ + − = suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: ( ) ( ) A A A 2 2 A A A x 2y 3 0 x 4 5 1 x 5 y 1 y 4 2  + − =  =   ⇔   − + + = = −     hoặc A A x 6 3 y 2  =   = −   http://trithuctoan.blogspot.com/ [...]... đỉnh của hình chữ nhật cần tìm Ví dụ 8 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y − 1 = 0, d2 :3x − y + 5 = 0 Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD , biết I (3;3) là giao điểm của hai đường chéo, hai cạnh của hình bình hành nằm trên hai đường thẳng d1 ,d2 và giao điểm của hai đường thẳng đó là một đỉnh của hình bình hành Lời giải x + y − 1 = 0 x = −1 Tọa độ giao...     đường thẳng ∆ đi qua A và có vectơ pháp tuyến AI = ( 4; 5 ) Đường thẳng cần tìm: 4 ( x − 1) + 5 ( y − 1) = 0 hay 4x + 5y − 9 = 0 Ví dụ 12 Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − 2y − 3 = 0 và hai điểm A (3;2) , B ( −1;4 ) 1 Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho MA + MB nhỏ nhất 2 Viết phương trình đường thẳng d' sao cho đường thẳng d :3x + 4y + 1 = 0 là đường phân... chữ nhật ABCD có cạnh AB : x − 3y + 5 = 0, đường chéo BD : x − y − 1 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M ( −9; 2 ) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD 2 Cho 3 đường thẳng d1 :x − 3y = 0, d 2 :2x + y − 5 = 0, d 3 : x − y = 0 Tìm tọa độ các điểm A ∈ d1 , B ∈ d 2 , C, D ∈ d 3 để tứ giác ABCD là một hình vuông + Lời giải x − 3y + 5 = 0 x = 4 1 Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình:  ⇔ ⇒... 2 cắt nhau tại I Viết phương trình đường thẳng đi qua đường thẳng ( d ) và ( d' ) lần lượt tại A và B sao cho AI = 2AB 2 Cho các điểm A ( 1; 0 ) , B ( −2; 4 ) ,C ( −1; 4 ) , D ( 3; 5 ) và đường thẳng d : 3x − y − 5 = 0 Tìm điểm M trên ( d ) sao cho hai tam giác MAB, MCD có diện tích bằng nhau 540 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Lời giải 1 Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:... hoặc A ( 9; −1) , B ( −5;1) ,C ( 11; −15 ) là tọa độ cần tìm 2 ∗ Nếu đường thẳng ∆ cắt đoạn BC tại 1 điểm M Khi đó: d  B, ∆ + d C, ∆ ≤ BM + CM = BC Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng ∆ vuông     góc với BC ∗ Nếu đường thẳng ∆ không cắt đoạn BC Gọi I ( 5; 6 ) là trung điểm BC Ta có: d  B, ∆ + d C, ∆ ≤ 2d I, ∆ ≤ 2AI Đẳng thức xảy ra khi đường thẳng ∆       vuông góc với AI 542 http://trithuctoan.blogspot.com/... x + y + b − 5 = 0 x − y = 0 5−b 5−b Tọa độ của C là nghiệm hệ  ⇒ C ;  2   2 x + y + b − 5 = 0 Đường thẳng AB d 3 nên có phương trình x − y + 5 − 3b = 0 x − y + 5 − 3b = 0  9b − 15 3b − 5  Tọa độ A là nghiệm hệ  ⇒ A ;  2   2 x − 3y = 0 Đường thẳng ∆ 2 qua A và vuông góc d 3 cắt d 3 tại D Phương trình ∆1 : x + y − 6b + 10 = 0 x − y + 0 = Tọa độ của D là nghiệm của hệ  ⇒ D ( 3b −... Đường thẳng AB 541 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh tạo với ( d ) một góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = 3 Xác định của các đỉnh của tam giác 5 ABC 2 Cho 3 điểm A ( 1;1) , B ( 3; 2 ) , C ( 7;10 ) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ B và C tới đường thẳng ∆ lớn nhất Lời giải 1 M' đối xứng với M ( 2; 0 ) qua ( d ) : x − y − 10 = 0 ⇒ M' ( 10; −8 ) Đường thẳng. .. Do đó tọa độ của C là nghiệm của hệ:  ⇔ ⇒ X+Y−4=0  Y = 1 y = 3 • Xét phép quay Q (A; −900 ) , ta có phương trình d'1 : X − Y + 2 = 0 547 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh X − Y + 2 = 0 X = 1 x = 4 Do đó tọa độ của C là nghiệm của hệ:  ⇔ ⇒ X + Y − 4 = 0 Y = 3 y = 5 Từ đó ta tìm được B, C Ví dụ 15 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng... ⇒ A ( −2;1) Đường thẳng AD đi qua A và vuông góc với AB nên có phương trình : 3x + y + 5 = 0 x − y − 1 = 0 x = −1 Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ :  ⇒ D ( −1; −2 ) ⇔ 3x + y + 5 = 0   y = −2 3 1 Gọi I  ;  là trung điểm BD do đó I cũng là trung điểm AC ⇒ C ( 5; 0 ) 2 2 Vậy, A ( −2;1) , B ( 4; 3 ) , C ( 5; 0 ) , D ( −1; −2 ) là tọa độ cần tìm 2 Gọi B ( b; 5 − 2b ) ∈ d 2 Đường thẳng ∆1 qua... mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC 1 M ( −1; −1) , N ( 0; 2 ) lần lượt là trung điểm của AB, AC và D ( 1; 0 ) là chân đường phân giác trong góc A Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác  1 5 2 M ( 1; 4 ) , N ( −1; 3 ) là trung điểm của BC,CA và H  ; −  là trực tâm tam giác  3 3 + ABC 3 D ( 2; −1) ,E ( 2; 2 ) ,F ( −2; 2 ) là chân đường cao hạ từ A, B,C Xác định tọa độ các đỉnh của . điểm của hai đường chéo, hai cạnh của hình bình hành nằm trên hai đường thẳng 1 2 d ,d và giao điểm của hai đường thẳng đó là một đỉnh của hình bình hành. Lời giải Tọa độ giao điểm. M nằm trên đường thẳng 3 d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1 d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 d 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1 d : +. đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT. o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại o Phương trình đường