Nguyễn Phú Khánh 549 Bài tập tự luyện Bài tập 1. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy. a. Tìm điểm C thuộc đường thẳng x y 2 0 − + = sao cho ABC∆ vuông tại C , biết ( ) ( ) A 1; 2 ,B 1; 3− − . b. C ho tam giác ABC có ( ) A 3;2 và phương trình hai đường trung tuyến + − = − − =BM : 3x 4y 3 0,CN : 3x 10y 17 0 . Tính tọa độ các điểm B, C. c. Cho tam giác ABC có ( ) A 3;0− và phương trình hai đường phân giác trong − − = + + =BD : x y 1 0,CE : x 2y 17 0 . Tính tọa độ các điểm B, C. d. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A . Xác định tọa độ 3 đỉnh của tam giác để đường thẳng AC đi qua điểm ( ) N 7;7 , ( ) −M 2; 3 thuộc AB và nằm ngoài AB , phương trình BC : + − = x 7y 31 0 . e. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( ) B 1;5 , đường cao + − = AH : x 2y 2 0, phân giác  ACB có phương trình − − =x y 1 0 . Tìm tọa độ điểm A . Bài tập 2. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm ( ) A 1;3− và đường thẳng ( ) : x 2y 2 0∆ − + = .Người ta dựng hình vuông ABCD sao cho 2 điểm B và C nằm trên đường thẳng ( ) ∆ và các tọa độ của đỉnh C đều dương. a. Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D ; b. Tìm chu vi và diện tích hình vuông ABCD . Bài tập 3. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác MNP có ( ) N 2; 1 , − đường cao hạ từ M xuống NP có phương trình: 3x 4y 27 0− + = và đường phân giác trong đỉnh P có phương trình: x 2y 5 0 + − = . Viết phương trình các cạnh chứa các cạnh tam giác. b. Cho tam giác ABC có ( ) C 5; 3− và phương trình đường cao − + =AA' : x y 2 0 , đường trung tuyến + − =BM : 2x 5y 13 0 .Tính tọa độ các điểm A, B. c. Cho tam giác ABC có ( ) B 1; 3 − và phương trình đường cao − + = AD : 2x y 1 0 , đường phân giác + − =CE : x y 2 0 .Tính tọa độ các điểm A, C. http://trithuctoan.blogspot.com/ ? Nguyễn Phú Khánh 550 d. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm ( ) − E 1; 1 là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình − + =x 2y 12 0 . Viết phương trình các cạnh còn lại của hình vuông. e. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có chu vi bằng 6 2 , đỉnh A thuộc trục Ox ( A có hoành độ dương) và hai đỉnh B,C thuộc đường thẳng − + =d : x y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng BD . Bài tập 4. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trọng tâm 2 G 0; 3       . Viết phương trình chứa các cạnh tam giác để 1 1 I ; 2 2   −     là trung điểm cạnh BC . b. Cho tam giác ABC có ( ) M 2; 0 là trung điểm của cạnh AB . Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là − − =7x 2y 3 0 và − − =6x y 4 0 . Viết phương trình đường thẳng AC . c. cho điểm ( ) C 2; 5− và đường thẳng ∆ − + =: 3x 4y 4 0 .Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua 5 I 2; 2       sao cho diện tích tam giác ABC bằng15. d. Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , tâm I là giao điểm của đường thẳng ( ) ( ) − − = + − = 1 2 d : x y 3 0, d : x y 6 0 . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của ( ) 1 d với trục Ox.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD . e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh − − = AB : x 2y 1 0 , đường chéo − + = BD : x 7y 14 0 và đường chéo AC đi qua điểm ( ) E 2;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Bài tập 5. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có 3 cạnh theo thứ tự nằm trên 3 đường thẳng là : ( ) + − = 1 d : x y 6 0, ( ) − + = 2 d : x 4y 14 0, ( ) − − = 3 d : 4x y 19 0 . Hãy xét hình dạng của tam giác. b. Cho điểm ( ) A 2;2 và hai đường thẳng: + − = 1 d : x y 2 0, + − = 2 d : x y 8 0 . Tìm tọa độ điểm B,C lần lượt thuộc 1 2 d ,d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh 551 c. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 cạnh AB, AC lần lượt là: + − =x 2y 2 0 và + + =2x y 1 0 , điểm ( ) M 1;2 thuộc đoạn BC . Tìm tọa độ điểm D sao cho DB.DC   có giá trị nhỏ nhất. d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) C : + + − − = 2 2 x y 2x 2y 14 0 có tâm I và đường thẳng ( ) d : + + = x y m 0 . Tìm m để d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B đồng thời diện tích tam giác IAB lớn nhất. e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB, BD lần lượt là: − + = x 2y 1 0 và − + = x 7y 14 0 , đường thẳng AC đi qua ( ) M 2; 1 . Tìm toạ độ điểm N thuộc BD sao cho + NA NC nhỏ nhất. Bài tập 6. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có ( ) A 4; 1 − và phương trình hai đường trung tuyến 1 BB : 8x y 3 0, − − = 1 CC :14x 13y 9 0 − − = . Tính tọa độ các điểm B, C. b. Cho hình chữ nhật ABCD, với toạ độ các đỉnh ( ) A 1;1 .Gọi 4 G 2; 3       là trọng tâm tam giác ABD. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật biết D nằm trên đường thẳng có phương trình: x y 2 0. − − = c . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 . Đường thẳng AB có phương trình 3x 4y 1 0, + + = đường thẳng BD có phương trình x y 2 0. + − = Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D?. d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có ( ) M 4;6 là trung điểm của AB .Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng ( ) d có phương trình 3x – 5y 6 0, + = điểm ( ) N 6;2 thuộc cạnh CD. Hãy viết phương trình cạnh CD biết tung độ điểm I lớn hơn 4 . Bài tập 7. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có ( ) A 4; 1 − , phương trình hai đường phân giác BE : x 1 0,CF : x y 1 0 − = − − = . Tính tọa độ các điểm B, C. b. Cho tam giác ABC vuông tại C , biết ( ) A 3;0 , đỉnh C thuộc trục tung, điểm B nằm trên đường thẳng : 4x 3y 12 0. ∆ + − = Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC bằng 6. http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 552 c. Cho hình bình hành ABCD có ( ) B 1;5 và đường cao AH có phương trình x 2y 2 0 + − = , với H thuộc BC, đường phân giác trong của góc  ACB có phương trình là x y 1 0 − − = . Tìm tọa độ đỉnh A,C,D. d. Cho tam giác ABC với hai điểm ( ) A 2; 1 , − ( ) B 1; 2 − và trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : x y 2 0. + − = Tìm tọa độ điểm C, biết diện tích tam giác ABC bằng 3 . 2 e. Cho hình bình hành ABCD có ( ) D 6; 6 . − − Đường trung trực của đoạn DC có phương trình ( ) d : 2x 3y 17 0 + + = và đường phân giác góc BAC có phương trình ( ) d' : 5x y 3 0 + − = .Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. Bài tập 8. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có ( ) C 4; 5 − − và phương trình đường cao AD : x 2y 2 0 + − = , đường trung tuyến 1 BB : 8x y 3 0− − = .Tìm tọa độ các điểm A, B. b. Cho hình thang vuông ABCD, vuông tại A và D. Phương trình AD − =x y 2 0 . Trung điểm M của BC có tọa độ ( ) M 1;0 . Biết = = BC CD 2AB. Tìm tọa độ của điểm A . c. Cho ABC ∆ ,biết tọa độ điểm ( ) A 2; 3 − và ( ) B 3; 2 − , diện tích tam giác ABC ∆ là 3 2 và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng : 3x y 8 0 ∆ − − = .Tìm tọa độ điểm C . d. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết B và C đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Đường phân giác trong của góc  ABC có phương trình là: x 2y 5 0. + − = Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết đường thẳng AC đi qua điểm ( ) K 6; 2 . e. Cho tam giác ABC cân tại C có phương trình cạnh AB là : x 2y 0 − = , điểm ( ) I 4; 2 là trung điểm của AB, điểm 9 M 4; 2       thuộc cạnh BC , diện tích tam giác ABC bằng 10 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn hơn hoặc bằng 3 . Bài tập 9. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có ( ) B 1;5 và phương trình đường cao AD : x 2y 2 0 + − = , đường phân giác trong 1 CC : x y 1 0− − = . Tính tọa độ các điểm A, C. http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 553 b. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình BC : 2x y 7 0, − − = đường thẳng AC đi qua điểm ( ) M 1;1 , − điểm A nẳm trên đường thẳng : x 4y 6 0. ∆ − + = Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. c. C ho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình là ( ) 1 d : 2x 3y 3 0 − − = và ( ) 2 d : 5x 2y 17 0 + − = . Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của ( ) 1 d , ( ) 2 d lần lượt cắt các tia Ox, Oy tại A và B sao cho 2 OAB AB S ∆         đạt giá trị nhỏ nhất. d. Cho parabol ( ) P : 2 y x 2x 3 = + − . Xét hình bình hành ABCD ( ) ( ) A 1; 4 , B 2;5 − − thuộc ( ) P và tâm I của hình bình hành thuộc cung AB của ( ) P sao cho tam giác IAB có diện tích lớn nhất. Hãy xác định tọa độ hai điểm C, D. e. Cho tam giác ABC cân tại A, có đỉnh B và C thuộc đường thẳng 1: d x y 1 0 + + = . Đường cao đi qua đỉnh B là 2 d : x 2y 2 0 − − = , điểm ( ) M 2;1 thuộc đường cao đi qua đỉnh C.Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC f. Cho tam giác ABC có A nằm trên Ox với A 5 0 x 2 < < . Hai đường cao xuất phát từ B và C lần lượt có phương trình: 1 d : x y 1 0,− + = 2 d : 2x y 4 0. + − = Tìm tọa độ A, B, C sao cho diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Bài tập 10. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có phương trình các đường cao AD : 2x y 1 0, BE : x y 2 0 − + = + − = , C thuộc đường thẳng d : x y 6 0 + − = và BC đi qua ( ) M 0;3 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. b. Cho hình vuông ABCD có phương trình đường thẳng AB : 2x y 1 0, + − = và C,D lần lượt thuộc 2 đường thẳng 1 d : 3x y 4 0,− − = 2 d : x y 6 0.+ − = Tính diện tích hình vuông c. Cho hình bình hành ABCD có ( ) A 2;1 , đường chéo BD có phương trình x 2y 1 0.+ + = Điểm M nằm trên đường thẳng AD sao cho AM AC.= Đường thẳng MC có phương trình x y – 1 0.+ = Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD . http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 554 d. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết phương trình cạnh BC là ( ) d : x 7y 31 0+ − = , điểm ( ) N 7; 7 thuộc đường thẳng AC, điểm ( ) M 2; 3− thuộc AB và nằm ngoài đoạn AB . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Bài tập 11. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm 4 1 G ; 3 3       , phương trình đường thẳng BC : x 2y 4 0− − = và phương trình đường thẳng BG : 7x 4y 8 0− − = . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C . b. Cho hình thang ( ) ABCD AB CD . Biết hai đỉnh ( ) B 3;3 và ( ) C 5; 3 − . Giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng : ∆ 2x y 3 0. + − = Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang ABCD để CI 2BI,= tam giác ACB có diện tích bằng 12 , điểm I có hoành độ dương và điểm A có hoành độ âm . Bài tập 12. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x 4y 2 0− − = , cạnh BC song song với d , phương trình đường cao BH : x y 3 0+ + = và trung điểm cạnh AC là ( ) M 1;1 . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C. b. Cho hình thoi ABCD có phương trình hai cạnh AB và AD theo thứ tự là x 2y 2 0+ − = và 2x y 1 0+ + = . Cạnh BD chứa điểm ( ) M 1;2 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi Bài tập 13. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, a. Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh ( ) A 6;6 , đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x y 4 0+ − = . Tìm tọa độ các đỉnh B và C , biết điểm ( ) E 1; 3− nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. b. Cho hai đường thẳng 1 d : x y 2 0,− − = 2 d : 2x y 5 0+ − = . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua gốc tọa độ O cắt 1 d , 2 d lần lượt tại A , B sao cho OA.OB 10= . Bài tập 14. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC , biết ( ) C 4;3 và các đường phân giác trong, trung tuyến kẻ từ A lần lượt có phương trình x 2y 5 0, 4x 13y 10 0+ − = + − = .Tìm tọa độ điểm A,B . http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 555 Bài tập 15. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A( 1;4)− và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x y 4 0∆ − − = . Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC bằng 18 . Bài tập 16. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC với ( ) ( ) A 2; 4 ,B 0; 2− − và trọng tâm G thuộc đường thẳng d : 3x y 1 0− + = . Hãy tìm tọa độ của C , biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 3 . Bài tập 17. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C( 4;1)− , phân giác trong góc A có phương trình x y 5 0+ − = . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Bài tập 18. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có ( ) ( ) M 1;0 ,N 4; 3− lần lượt là trung điểm của AB,AC ; ( ) D 2;6 là chân đường cao hạ từ A lên BC . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC . Bài tập 19. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có ( ) − M 2;2 là trung điểm BC và phương trình cạnh ( ) − − = AB :x 2y 2 0, ( ) + + = AC :2x 5y 3 0 . Hãy xác định tọa độ đỉnh của tam giác. Bài tập 20. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm ( ) − − G 2; 1 và phương trình các cạnh là ( ) + + = AB :4x y 15 0, ( ) + + = AC :2x 5y 3 0 . Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm M của BC , đỉnh B,C . Bài tập 21. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ∆ ABC có ( ) B 3;5 , đường kẻ từ A có phương trình : − + = 2x 5y 3 0 và trung tuyến kẻ từ C có phương trình : + − = x y 5 0 . Tìm tọa độ đỉnh A , trung điểm ∈ M AB . Bài tập 22. Viết phương trình các cạnh hình vuông ABCD , biết rằng ( ) M 0;2 AB,∈ ( ) N 5; 3 BC,− ∈ ( ) P 2; 2 CD,− − ∈ ( ) Q 2; 4 DA− ∈ . Bài tập 23. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho 2 điểm ( ) ( ) − A 1;1 ,B 2;2 . Tìm điểm C trên đường thẳng ( ) = d :y 3 , sao cho = ABC S 2 (đvdt). Khi đó tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC . http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 556 Bài tập 24. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có ( ) B 1;5 , đường cao AH : x 2y 2 0 + − = , đường phân giác trong d của góc  ACB có phương trình x y 1 0 − − = . Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình bình hành. Bài tập 25. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A , các đỉnh A, B,C lần lượt nằm trên các đường thẳng d : x y 5 0,+ − = 1 d : x 1 0,+ = 2 d : y 2 0+ = và BC 5 2= . Tìm tọa độ đỉnh A,B,C của tam giác. Bài tập 26. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ có ( ) C 1;1 và AB 5= và AB : x 2y 3 0+ − = , trọng tâm ABC∆ thuộc đường thẳng x y 2 0+ − = . Tìm tọa độ điểm A, B . Bài tập 27. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có ( ) A 2;6 ,− đỉnh B thuộc đường thẳng d : x 2y 6 0− + = . Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC,CD sao cho BM CN= . Xác định tọa độ đỉnh C , biết rằng AM cắt BN tại 2 14 I ; 5 5       . Bài tập 28. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ABC∆ có ( ) A 2;7 , đường thẳng AB cắt trục Oy tại E sao cho AE 2EB=   , đồng thời AEC∆ cân tại A và có trọng tâm 13 G 2; 3       . Viết phương trình chứa cạnh BC . Bài tập 29. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 , tâm I là giao điểm của đường thẳng 1 d : x y 3 0− − = và 2 d : x y 6 0+ − = . Trung điểm của AB là giao điểm của 1 d với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Bài tập 30. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD biết ( ) M 2;1 , ( ) N 4; 2 ; − ( ) ( ) P 2;0 ; Q 1;2 lần lượt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD . Hãy lập phương trình các cạnh của hình vuông. http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 557 Bài tập 31. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2; 1) và AC = 2BD. Điểm 1 M 0; 3       thuộc đường thẳng AB; điểm ( ) N 0; 7 thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương. Bài tập 32 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho điểm ( ) A 2;0 và 2 đường thẳng 1 d : x y 0,− = 2 d : x 2y 1 0+ + = . Tìm các điểm 1 B d ,∈ 2 C d∈ để tam giác ABC vuông cân tại A . Bài tập 33. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy cho hai đường thẳng 1 2 d : x 2y 1 0,d : 2x 3y 0− + = + = . Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết A thuộc đường thẳng d 1 , C thuộc đường thẳng d 2 và hai điểm B,D thuộc trục Ox. Bài tập 34. Cho hình bình hành ABCD . Biết 7 5 I ; 2 2       là trung điểm của cạnh CD, 3 D 3; 2       và đường phân giác góc  BAC có phương trình là : x y 1 0∆ − + = . Xác định tọa độ đỉnh B . Bài tập 35 . Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ba điểm ( ) I 1; 1 , ( ) ( ) − − J 2; 2 , K 2; 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD sao cho I là tâm hình vuông, J thuộc cạnh AB và K thuộc cạnh CD. Bài tập 36. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ba đường thẳng 1 d :4x y 9 0,+ − = 2 d :2x y 6 0,− + = 3 d : x y 2 0− + = . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD , biết hình thoi ABCD có diện tích bằng 15 , các đỉnh A,C thuộc 3 d , B thuộc 1 d và D thuộc 2 d . Bài tập 37. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy, cho ( ) ( ) A 2;2 ,B 7;2 và đường thẳng ( ) ∆ + − =:x 3y 3 0 . Hãy tìm trên ( ) ∆ các điểm C và D sao cho : a. ∆ABC cân tại A ; http://trithuctoan.blogspot.com/ 3 Nguyễn Phú Khánh 558 b. ( ) +AD BD ngắn nhất. Bài tập 38. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm ( ) A 1; 1 , − − ( ) B 0;2 , ( ) C 0;1 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A sao cho tổng khoảng cách từ B và C tới ∆ là lớn nhất. Hướng dẫn giải Bài tập 1.a. ( ) x t 2 d :x y 2 0 y t = −  − + = ⇔  =  t R∈ ; ( ) C d∈ nên ( ) C t 2;t− ( ) ( ) AC t 3;t 2 ,BC t 1;t 3 = − + = + −   ABC ∆ vuông tại C khi ( )( ) ⊥ ⇔ = ⇔ − + = AC BC AC.BC 0 t 3 2t 3 0   ( ) ⇔ = ⇒ 1 1 t 3 C 1;3 hoặc   = − ⇒ − −     2 2 3 7 3 t C ; 2 2 2 b. Gọi G là trong tâm của tam giác, suy ra tọa độ của G là nghiệm của hệ   + − = =    ⇔ ⇒ −     − − =     = −  7 3x 4y 3 0 x 7 G ; 1 3 3x 10y 17 0 3 y 1 . Gọi E là trung điểm của BC , suy ra 3 5 EA GA E 2; 2 2   = ⇒ −       . Giả sử ( ) B a;b , suy ra ( ) C 4 a; 5 b− − − . Từ đó ta có hệ: ( ) ( ) 3a 4b 3 0 3a 4b 3 0 a 5 3 4 a 10 5 b 17 0 3a 10b 45 0 b 3  + − =  + − =  =  ⇔ ⇔    − − − − − = − + + = = −     . Vậy, ( ) ( ) B 5; 3 ,C 1; 2− − − . c. Gọi 1 A đối xứng với A qua BD , suy ra ∈ 1 A BC và ( ) 1 A 1; 4− 2 A đối xứng với A qua CE , suy ra ∈ 2 A BC và 2 43 56 A ; 5 5   − −     . Suy ra phương trình − − =BC : 3x 4y 19 0 . Tọa độ B là nghiệm của hệ: ( ) x y 1 0 x 15 B 15; 16 3x 4y 19 0 y 16  − − =  = − ⇔ ⇒ − −   − − = = −   . Tọa độ C là nghiệm của hệ: ( ) x 2y 17 0 x 3 C 3; 7 3x 4y 19 0 y 7  + + =  = − ⇔ ⇒ − −   − − = = −   . http://trithuctoan.blogspot.com/ [...]... xứng với C qua đường thẳng d : x + y − 5 = 0 , ta tìm được D ( 4; 9 ) Vì A thuộc đường tròn đường kính CD nên A là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn đường kính CD , suy ra tọa độ của A là nghiệm của hệ: x + y − 5 = 0  ⇒ A ( 4;1) vì x A > 0  2 2 x + ( y − 5 ) = 32  577 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Suy ra AC = 8 ⇒ AB = 2S ∆ABC AC =6 D Vì B thuộc đường thẳng AD : x −... Khánh  5 3 dễ dàng tìm ra tọa độ điểm I  ;  Vì I là trung điểm AC nên biết tọa độ A,I 2 2 ta sẽ tìm ra tọa độ C ( 4;2 ) Vì D thưôc đường thẳng x − y − 2 = 0 mà C thỏa mãn phương trình này Do đó DC: x − y − 2 = 0 Biết phương trình DC sẽ viết được phương trình AB mà ABCD là hình chữ nhật nên biết pháp tuyến AB ta sẽ biết pháp tuyến AD từ đó viết được phương trình AD Tọa độ D là giao điểm của AD... x − 4y − 2 = 0 2 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:  ⇔x=y=− 3 x − y = 0  2 2 8 8 ⇒ A  − ; −  Suy ra tọa độ điểm C  ;   3 3 3 3 573 http://trithuctoan.blogspot.com/ Nguyễn Phú Khánh Cạnh BC đi qua C và song song với đường thẳng d nên có phương trình BC : x − 4y + 8 = 0 x + y + 3 = 0 x = −4 Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ:  ⇔ ⇒ B ( −4;1) x − 4y + 8 = 0 y = 1 b Tọa độ đỉnh A là giao... thì khi đó C' thuộc đường thẳng chứa cạnh 5   x = 2xH − xC 5   x = AB và H là trung điểm của CC' do đó  C' ⇔  C' 2 ⇒ C'  ; 5   yC' = 2yH − yC 2   y = 5  C' Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận DC ( 1; 2 ) làm vectơ chỉ  5 x= +t phương nên có phương trình là  2  y = 5 + 2t  Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường thẳng ∆ ta được 5 3... + 1 = 0 5  x = Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:  ⇔ 2 ⇒ A ;6 2x + y − 11 = 0 2   y = 6  5  Vậy, A  ; 6  ,C ( 9; −7 ) 2  d Gọi hình vuông đã cho là ABCD ( AB ) là x − 2y + 12 = 0 3 Gọi H là hình chiếu của E lên đường thẳng AB Suy ra H ( −2; 5 ) A, B thuộc đường tròn tâm H , bán kính EH = 45 có phương trình: ( x + 2 )2 + ( y − 5 )2 = 45  x − 2y + 12 = 0  Toạ độ hai điểm A, B là... ⇒ C ( 1; −1) d Gọi tọa độ điểm B ( −2b − 5; b ) ⇒ C ( 2b + 5; − b ) Điểm O ∈ BC Lấy đối xứng O qua phân giác của góc B ta được điểm M ( 2; 4 ) ∈ AB ⇒ BM = ( 7 + 2b; 4 − b ) CK = ( 1 − 2b; 2 + b ) Vì tam giác ∆ABC vuông tại A nên có: BM.CK = 0 ⇒ b = −3 hoặc b = 1 e Gọi tọa độ điểm B ( 2y B ; y B ) ⇒ A ( 8 − 2y B ; 4 − y B ) 0 Phương trình đường thẳng CI : 2x + y − 10 = 0 Gọi tọa độ điểm C ( xC ;10... = 1 ⇒ I ( 1;1) 3ξ Phương trình đường thẳng IC : x + y − 2 = 0 IC = 2IB ⇔ 15t 2 + 10t − 25 = 0 ⇔ t = − S ABC = 1 AC.d ( B; AC ) ⇒ AC = 6 2 2 Vì A ∈ IC ⇒ A ( a; 2 − a ) nên có: ( a − 5 ) = 36 ⇔ a = 11 hoặc a = −1 ⇒ A ( −1; 3 ) 2 Phương trình đường thẳng CD : y + 3 = 0 x − y = 0 Tọa độ D là nghiệm của hệ:  ⇒ D ( −3; −3 ) y + 3 = 0 Bài tập 12 a Cạnh AC nằm trên đường thẳng đi qua M và vuông góc với... phân giác ACB , ta tìm được A' ( 6; 0 ) Tọa độ điểm A là giao điểm A'C và AH ⇒ A ( 4; −1) Bài tập 2.a Dựng đường thẳng ( d ) qua A ( −1;3) và ( d ) ⊥ ( ∆ ) ⇒ ( d ) :2( x + 1) + 1( y − 3) = 0 hay ( d ) :2x + y − 1 = 0 ( ∆ ) ∩ ( d ) = {B(0;1)} ⇒ AB = 5 xC − 2y C + 2 = 0  Gọi C ( xC ;y C ) ,xC > 0;y C > 0 Ta có  ⇒ C ( 2;2) 2 2  xC + ( y C − 1) = 5  Hình ABCD là hình vuông nên : BA = CD ; ta có : ... 5 ( 4 − a )2 +  2 − a     ⇔ 2a 2 − 13a + 11 = 0 ⇔ a = 1 hoặc a = 2  11 ( loại ) 2 Vậy, tọa độ điểm B ( 2; 4 )  7 Cách 2: Ta có C  4;   2 Đường thẳng d đi qua C vuông góc với ∆ nhận u ( 1;1) làm vectơ pháp tuyến 7  nên có phương trình là 1 ( x − 4 ) + 1  y −  = 0 hay 2x + 2y − 15 = 0 2  Tọa độ giao điểm H của ∆ và d là nghiệm của hệ: 13  ͺ x = 4  x−y+1=0  13 17   ⇔ ⇒ H ; ... Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng: 6x − y − 4 = 0 nên suy ra phương trình BC : x + 6y + 9 = 0 7x − 2y − 3 = 0  3 3 ⇒ N  0; −  Tọa độ trung điểm N của BC thỏa mãn hệ:  2  x + 6y + 9 = 0 Suy ra AC = 2.MN = ( −4; − 3 ) Phương trình đường thẳng AC : 3x − 4y + 5 = 0 16 − 3a   3a + 4   c Gọi A  a;  ⇒ B  4 − a;  4  4    Khi đó diện tích tam giác ABC là: S ABC = 1 AB.d . trên đường thẳng có phương trình: x y 2 0. − − = c . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 22 . Đường thẳng AB có phương trình 3x 4y 1 0, + + = đường thẳng. diện tích tam giác IAB lớn nhất. e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB, BD lần lượt là: − + = x 2y 1 0 và − + = x 7y 14 0 , đường thẳng. Ox.Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD . e. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh − − = AB : x 2y 1 0 , đường chéo − + = BD : x 7y 14 0 và đường