Chương 1: Các vấn đề về Bất Đẳng Thức AM-GM : I. Bất Đẳng Thức AM-GM Trong tiết này, chúng ta sẽ giới thiệu BĐT AM-GM mà các bạn học sinh phổ thông quen gọi với cái tên gọi đó là Bất Đẳng Thức Cô si . Trước hết ta xét trong những trường hợp đơn giản nhất . Đầu tiên, ta bắt đầu từ hằng đẳng thức 2 0(a b)− ≥ .Điều này tương đương với 2 2 2a b ab + ≥ .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b= . Ta phát biểu lại theo ngôn ngữ toán học của BĐT AM-GM ( Trung bình cộng và trung bình nhân ): Cho hai số thực dương a,b . Lúc này ta có BĐT sau : 2 a b ab + ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = . Nói một cách nôm na là Trung bình cộng luôn luôn lớn hơn trung bình nhân . Bỏ qua hình thức rất đơn giản nhưng BĐT AM-GM lại có những ứng dụng rất rộng rãi trong việc chứng minh các bài toán về cực trị và cả trong các bài toán cực trị hình học . Chúng ta hãy thử xét qua các ví dụ nhập môn sau : Ví dụ 1: Cho 0a,b,c ≥ .CMR : 3 3 a b c abc + + ≥ Lời giải Đây chính là BĐT AM-GM cho 3 số dương . Lời giải của nó củng sẽ dựa trên cách áp dụng AM-GM với 2 số . Bất đẳng thức đã cho tương đương với : 3 3 4P a b c abc abc= + + + ≥ Ta có : 4 3 3 3 2 2 4 4P ab c abc abc abc abc ≥ + ≥ ≥ (đpcm) Chúng ta thử một cách tiếp cách khác để chứng minh VD này . Ở THCS ta đã biết được đẳng thức quan trọng sau : 3 3 3 2 2 2 1 3 0 2 a b c abc (a b c)((a b) (b c) (c a) )+ + − = + + − + − + − ≥ Như vậy ta cũng suy ra được điều cần chứng minh . Dường như ngay từ đầu tiên, người ta đã xây dựng các Bất Đẳng Thức dựa trên điều hiển nhiên sau 2 0x ≥ .Các bạn hãy đọc hết cuốn sách này để tự trả lời câu hỏi này nhé ! Một số dạng tương tự của BĐT AM-GM cho 3 số : Với 0a,b,c .> Ta có : 3 3 3 3 1 3 2 3 a b c abc ( ) a b c abc + + ≤ + + ≥ Sau đây chúng ta sẽ chứng minh Bất Đẳng Thức AM-GM trong trường hợp tổng quát nhất. Có khoảng hơn 20 cách chứng minh cho BĐT AM-GM trong trường hợp tổng quát . Mà chúng tôi không thể nào trình bày hết trong cuốn sách này được dù rất muốn trình bày . Đa phần chúng ta đã bỏ qua việc xây dựng lý thuyết khi học toán mà tập trung vào các kĩ năng tính toán . Điều này sẽ giúp các bạn đi nhanh lúc đầu nhưng sẽ hạn chế khả năng tuy duy và giải toán dài lâu sau này của các bạn . Với những Bất Đẳng Thức nhiều biến số, thì tư tưởng cơ bản và tự nhiên nhất đó chính là sử dụng phép quy nạp. Tại sao lại thế ? Bởi vì luôn có một sự liên hệ giữa trường hợp 1n − và n . Như vậy nếu như chúng ta chứng minh được với trường hợp số liền trước thì với trường hợp số liền sau ta hoàn toàn có cơ sở chúng minh được . Phương pháp quy nạp chính là “chìa khóa vàng” của các nhà toán học khi xây dựng nên các lý thuyết toán học cổ điển và hiện đại . Song, điều chúng ta cần nắm đó là cách quy nạp như thế nào . Đó là cả một nghệ thuật . Chúng ta hãy theo giỏi lời giải sau của TS.Trần Nam Dũng ( ĐHKHTN- ĐHQG Tp HCM ): (Chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng quy nạp tiến). ĐẶT MUA SÁCH Link đăng ký: http://goo.gl/forms/5SbEpf57U9 Mua trực tiếp liên hệ Nguyễn Văn Quốc Tuấn số điện thoại: 0989631669 Facebook: https://www.facebook.com/chicanemhanhphucS2g Ai có nhu cầu sẽ được chính tác giả ký tặng nhé!!!!!!!!! Đặt mua sách Bí quyết tiếp cận hiệu quả Kỳ thi THPT quốc gia Bất đẳng thức- Giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Nếu mua qua đây sẽ được tác giả ký tặng!!! GIÁ SÁCH Lưu ý: Mua nhóm trên 5 cuốn được miễn phí cước Chuyển phát nhanh. Bí quyết tiếp cận hiệu quả Kỳ thi THPT quốc gia Bất đẳng thức- Giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Giá bìa 234.000đ THANH TOÁN TỔNG TIỀN THANH TOÁN = 200K +40K phí Chuyển phát nhanh, Bạn nào lựa chọn thanh toán COD Qua bưu điện thì mất thêm 15K tiền thu hộ cho nhân viên bưu điện và cần thanh toán trước 20K bằng cách gửi MÃ THẺ CÀO +SERI thẻ cào điện thoại vào số 0989631669. CÁCH THỨC THANH TOÁN Hình thức 1: CHUYỂN KHOẢN Thông tin tài khoản của thầy: Các bạn chuyển vào tài khoản sau: +Chủ thẻ: Nguyễn Văn Quốc Tuấn +Ngân hàng TMCP Công Thương Việt Nam (Viettinbank) - Loại tài khoản: A - TK ATM Số TK: 711AB2793863 HÌNH THỨC 2: THANH TOÁN BẰNG THẺ CÀO: Sau khi đặt sách các bạn Gửi Mã thẻ cào + Số Seri (áp dụng với tất cả các loại thẻ của nhà mạng) vào số điện thoại 0989631669. Lưu ý: Thanh toán bằng thẻ cào các em thanh toán 130% tổng giá thanh toán gồm 130%*(200 ngàn +40 ngàn phí ship) Lưu ý: Mua nhóm trên 5 cuốn được miễn phí vẫn chuyển [...]... + 45y 2 − 54 y + 25 ≥ 0 2 Vế trái là tam thức bậc hai của x với hệ số của x2 dương và có ∆ 'x = 64 ( 3y − 4 ) − 48 ( 45y 2 − 54y + 25 ) = −176 ( 3y − 1) ≤ 0 2 2 x= Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 ,y = ,z = 2 3 6 Cách 2: Bất đẳng thức đã cho tương đương với: 9x 2 + 16 y 2 + 25z2 ≥ 20xy + 4yz + 14zx Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có 5 ( 4x2 + 9y2 ) ≥ 2 5... dụng bất đẳng thức sau đây 1 2a 2 7 2 a + ≥ − a2 3 3 3 Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với (a − 1)2 ( 2a 2 + 6a + 3) ≥0 3a 2 Hiển nhiên đúng với a là số thực dương Sử dụng các bất đẳng thức tương tự với b và c Ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1 Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho bài toán “ đơn giản” này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất. .. Bài toán này, chúng tôi lập tức nhận được đề xuất ý tưởng giải là áp dụng BĐT Am-GM kiểu: 1 + a 2 ≥ 2a Để quy về chứng minh bất đẳng thức sau: ∑ 2a ≥3 b+c Và “đâm đầu” chứng minh Bất đẳng thức trông có vẻ rất đúng và .đẹp này Nhưng nếu như cho a = b, c = 0 ta thấy ngay bất đẳng thức này……không đúng Như vậy, các bạn học sinh đã lặp lại lối mòn muôn thuở là “ngược dấu” Tôi đã hướng dẫn các em làm “chặt”... có 1  1 ⇔ k = 1; ( a; , b, c ) =  0; ; k − ÷ 2  2 và các hoán vị của nó Tiếp theo ta khảo sát một lớp bài toán là ứng dụng của tam thức bậc 2 để chứng minh các bài toán về Bất đẳng thức , cực trị : Bài 1 Chứng minh rằng với x,y,z là các số thực có tổng bằng 1 ta có ( 3x + 4 y + 5z ) 2 ≥ 44 ( xy + yz + zx ) Lời giải Thay z = 1− x − y bất đẳng thức trở thành: ( 3x + 4 y + 5 − 5x − 5y ) ≥ 44xy + 44... +1  2 Khi a =1 − ta sẽ có a +1 = −1 ⇒ m = −1 a2 + 1 Ta dự đoán bất đẳng thức sau đúng và thật vậy a(a − 1)2 2 ≥ 2−a ⇔ 2 ≥0 a2 + 1 a +1 Tương tự với các biến còn lại Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d =1 Bình luận : Ta có thể sử dụng kỹ thuật “Côsi ngược dấu” để tìm ra bất đẳng thức phụ trên 1 a2 a2 a = 1− 2 ≥ 1− = 1− 2 a +1 a +1 2a 2 Ví dụ 3:... tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” như vậy Phải chăng là dự đoán một cách “vô hướng” Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó Câu trả lời là hoàn toàn không phải Tất cả đều đi theo 1 qui luật của nó Ở các phần tiếp theo chúng tôi sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều... trình đi tìm bất đẳng thức phụ đã được phân tích cụ thể ở trên Tuy nhiên đó không phải là cách duy nhất để ta tìm ra hệ số Ta cũng có thể sử dụng tính chất của đường tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hay sử dụng đạo hàm Nhưng có lẽ cách dự đoán trên là hữu hiệu và đơn giản về mặt trực quan cũng như thực hiện Tuy nhiên tất cả cũng chỉ là sự dự đoán Nó không đảm bảo rằng sau khi tìm ra bất đẳng thức phụ... X + Y ≥ 2A Công viêc chúng ta là tìm cách chứng minh: Nhờ tính đối xứng ta thiết lập thêm được 2 bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại , khi đó ta có được điều phải chứng minh Dạng 2: XYZ ≥ ABC XY ≥ A 2 Ta thử tìm cách chứng minh: Tương tự ta có thêm 2 bất đẳng thức tương tự Sau đó nhân từng vế bất đẳng thức cùng chiều, ta có điều phải chứng minh Ta hãy đón xem các ví dụ sau a, b, c > 0 Mở đầu: Chứng... thu hộ cho nhân viên bưu điện và cần thanh toán trước 20K bằng cách gửi MÃ THẺ CÀO +SERI thẻ cào điện thoại vào số 0989631669 -CÁCH THỨC THANH TOÁN Hình thức 1: CHUYỂN KHOẢN Thông tin tài khoản của thầy: Các bạn chuyển vào tài khoản sau: +Chủ thẻ: Nguyễn Văn Quốc Tuấn +Ngân hàng TMCP Công Thương Việt Nam (Viettinbank) - Loại tài khoản: A - TK ATM Số TK: 711AB2793863 HÌNH THỨC 2: THANH TOÁN BẰNG THẺ... nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng Chú ý ở bài toán này điểm cực trị đạt được tại a = b = c =1 nên ta cần xác định m sao cho  (a + 1)( 2a 2 − 3)  1 2a 2 5 + ≥ + m(a − 1) ⇔ (a − 1)  − m ÷≥ 0 2 2 a 3 3 3a   Khi cho a =1 thì ta có lượng bình phương (a + 1)( 2a 2 − 3) 2 =− 2 3a 3 (a − 1) m=− từ đó ta dự đoán rằng 2 3 để tạo thành đại 2 trong biểu thức Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ 1 2a . ≥ . Để quy về chứng minh bất đẳng thức sau: 2 3 a b c ≥ + ∑ Và “đâm đầu” chứng minh Bất đẳng thức trông có vẻ rất đúng và .đẹp này. Nhưng nếu như cho 0a b,c= = ta thấy ngay bất đẳng thức này……không. Các vấn đề về Bất Đẳng Thức AM-GM : I. Bất Đẳng Thức AM-GM Trong tiết này, chúng ta sẽ giới thiệu BĐT AM-GM mà các bạn học sinh phổ thông quen gọi với cái tên gọi đó là Bất Đẳng Thức Cô si . Trước. dụng Bất Đẳng Thức Cô si : 1.Kĩ thuật chọn điểm rơi AM-GM: Trước hết, xin nhắc lại rằng : Điều quan trọng khi giải toán Bất Đẳng Thức là các đánh giá trung gian phải đảm bảo được dấu đẳng thức