CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ 1: 1. Đường trung bình của tam giác, của hình thang. 2. Đường trung tuyến của tam giác vuông. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H. M là điểm bất kỳ trên cạnh BC. Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Gọi I là trung điểm của AM. ID cắt EF tại K. a) DEIF là hình gì? b) CM: M, K, H thẳng hàng. c) Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN. d) Tìm GTNN của S DEIF biết tam giác ABC có cạnh bằng a. Lời giải: Giã sử M nằm giữa B và D: a) ∆ IED có: · · 0 1 2 2. 60 IE ID AM EID BAD  = =    = =  ⇒ ∆ IED là tam giác đều (1) Chứng minh tương tự ta được ∆ IFD là tam giác đều (2). Từ (1) và (2) suy ra DEIF là hình thoi. b) Vì ∆ ABC đều nên trực tâm H củng là trọng tâm. Suy ra: AH = 2.HD Gọi P là trung điểm của AH ⇒ AP = PH = HD. Suy ra IP, KH thứ tự là đường trung bình của các tam giác AMH và DIP ⇒ MH // IP và KH // IP, suy ra M, K, H thẳng hàng. c) Vì ∆ EDK vuông tại K nên ta có: EF = 2.EK = 2. ED. · sinKDE = 3 .DE Do đó EF đạt GTNN ⇔ DE đạt GTNN ⇔ DE ⊥ AB ⇔ M trùng với D. ( Có thể dùng định lý pitago để tính EF theo DE ). d) S DEIF = 1 .EF 2 DI Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD. Gọi A / , B / , C / , D / lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. CMR: AA / , BB / , CC / , DD / đồng qui. Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 P K H I F E M D C A B CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Lời giải: Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BD, AC và A / C. Ta có: +) NI là đường trung bình của ∆ AA / C ⇒ AA / // NI. +) ∆ MNI có A / là trung điểm của MI và AA / // NI ⇒ K là trung điểm của MN. Chứng minh tương tự thì BB / , CC / , DD / đều đi qua trung điểm K của MN ⇒ AA / , BB / , CC / , DD / đồng qui tại K. Bài tập: BT.1: CMR: Trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của một tam giác cùng nằm trên một đường thẳng. BT.2: Cho đoạn thẳng AC và điểm B nằm giữa A và C. Vẽ các tam giác vuông cân ABD và BCE trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AC. Gọi I là trung điểm của AC. Tam giác IDE là tam giác gì? Vì sao? CHUYÊN ĐỀ 2: 1. Định lí Talet và hệ quả 2. Tam giác đồng dạng 3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông * Những điểm lưu ý: 1- Định lý Talet và tam giác đồng dạng chỉ đề cập tới tỉ số của hai đối tượng cùng loại ( cùng là độ dài, cùng là diện tích, …) 2- Đối với các bài toán cần thực hiện phép toán A C B D ± ta thường dùng định lí Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng để biến đổi / / ; A M C M B N D N = = sao cho N = N / . Trong hình học rất hiếm khi ta thực hiện phép nhân chéo A C B D ± . . . A D B C B D ± = . Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 I A / K N M D C B A CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 3- Đối với bài toán cần thực hiện phép toán . A C B D ta thường biến đổi A M B N = , / / C M D N = trong đó N = M / . 4- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức có dạng 1 1 1 A B C ± = ta cần tìm các đoạn thẳng M = N = P và chứng minh M N P A B C ± = lúc này ta có thể dùng định lí Talet hoặc tính chất của tam giác đồng dạng. 5- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a.b = c.d + e.f ta thường tách b = x +y và chứng minh a.x = c.d và b.y = e.f 6- Đối với bài toán cần chứng minh đẳng thức dạng a 2 = c.d + e.f làm tương tự như trên. Ví dụ 1: Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, AC, AB của tam giác ABC sao cho AD, BE, CF đồng qui tại M. Chứng minh rằng: AF BF AM AE DM CE = + . * Định hướng: Cần chuyển các tỉ số ở vế phải về cùng mẫu. Lời giải: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE và CF tại I và K. Áp dụng định lí Talet ta có: AE AI CE BC = và AF AK BF BC = AF BF AE KI CE BC ⇒ + = (1) AM AI AK AI AK KI DM BD CD BD CD BC + = = = = + (2). Từ (1) và (2) suy ra đpcm. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt tia BC và các cạnh CA, AB tại D, E, F. CMR: 1 1 1 GD GE GF + = . Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 K I M F E D C B A CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Định hướng: ( xem lưu ý 4 ) Lời giải: Vẽ CI // FE, BK // FE ⇒ CI = BK; MK = MI. A.d định lí Talet ta có: (1) (2) (3) CI AI GE AG CI MI GD MG BK AK GF AG  =    =    =   Cộng từng vế của (1) và (2) sẽ được (3). ⇒ CI CI BK GD GE GF + = ⇒ đpcm. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Biết rằng đường phân giác ngoài của góc A cắt BC kéo dài tại E. CMR: AE 2 = EB. EC – AB. AC Phân tích: 1.Cần tách AE = x – y thỏa mãn: AE.x = EB. EC và AE.y = AB. AC 2. Giã sử tồn tại M thuộc EA để: EA. EM = EB. EC ⇐ EAC EBM∆ ∆ ⇐: · · EMB ECA = . Lời giải: Lấy M thuộc tia đối của tia AE sao cho · · EMB ECA = . ⇒ EAC EBM∆ ∆: suy ra EA. EM = EB. EC (1). Lại có: EAC BAM∆ ∆: ⇒ EA. AM = AB. AC (2). Lấy (1) – (2) ta có đpcm. Ví dụ 4: Cho 4 điểm theo thứ tự E, B, D, C cùng nằm trên một đường thẳng thỏa mãn: DB EB DC EC = và A là một điểm sao cho AE ⊥ AD. CMR: AD và AE thứ tự là phân giác trong và ngoài của tam giác ABC. Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 K I M G F E D C B A X M E C B A CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC * Định hướng: - Chỉ cần chứng minh AD hoặc AE là phân giác - Vẽ đường phụ là đt song song để sử dụng (gt) DB EB DC EC = . N M E D C B A Cách 1: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD và AE tại M và N. Theo định lí Talet ta có: DB BM DC AC BM BN EB BN EC AC  =   ⇒ =   =   ( Vì DB EB DC EC = ). Tam giác AMN vuông tại A có AB là trung tuyến ⇒ AB = MB. Suy ra · · BAM BMA = (1). Lại có · · CAM BMA = ( vì BM // AC ) (2). Do đó AD là phân giác trong của ∆ ABC ⇒ AE là phân giác ngoài ( vì AE ⊥ AD ). Cách 2: Qua C vẽ đt song song với AB cắt AD, AE tại M và N. Tương tự cách 1 ta cũng chứng minh được: · · BAM CMA = và · · CAM CMA = . Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có µ 0 60B = . Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của AF và CE. CMR: a) ∆ EAC đồng dạng với ∆ ACF. b) AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆ MDF. Lời giải: a) Ta có ∆ EAD đồng dạng với ∆ DCF AE CD AD CF ⇒ = AE AC AC CF ⇒ = (vì AD = AC = CD ). Xét ∆ EAC và ∆ ACF có: · · 0 120EAC ACF= = và AE AC AC CF = ; suy ra: Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ∆ EAC đồng dạng với ∆ ACF (c.g.c) b) Chứng minh được ∆ ACM đồng dạng với ∆ AFC 2 .AFAC AM ⇒ = mà AC = AD nên ta có 2 .AFAD AM = , suy ra AD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vuông tại A, có µ 0 20B = . Kẻ phân giác BI. Vẽ góc · 0 30ACH = về phía trong tam giác. CMR: HI song song với phân giác của góc HCB. Lời giải: Gọi CK là phân giác của góc HCB. Ta có: AI BA IC BC = (t.c đường phân giác) (1). Tam giác ACH vuông tại A có · 0 30ACH = , suy ra: 2 CH AH = . Khi đó vì CK là phân giác của góc HCB nên ta có: 1 1 2 . 2 CH AH CB HK HK BK = = (2) Kẻ KM BC⊥ , vì tam giác KCB cân tại K nên: CB = 2BM (3). Từ (2) và (3) đồng thời kết hợp với ∆ BMK đồng dạng với ∆ BAC suy ra: Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 M K I H C B A M F E A D C B CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC AH BM BA HK BK BC = = (4). Từ (1) và (4) suy ra điều phải chứng minh. Bài tập: BT.1) Cho tam giác ABC, AD là phân giác trong của góc A ( D ∈ BC ). CMR: AD 2 = AB.AC – DB.DC BT.2) Cho hình thang ABCD ( BC // AD ). Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và CD sao cho AM CN AB CD = . Đường thẳng MN cắt AC và BD lần lượt ở E và F. CMR: EM = FN BT.3)Cho tam giác đều ABC. Gọi D là trung điểm cạnh BC và E, F là các điểm thứ tự thuộc các cạnh AB, AC sao cho · 0 60EDF = . 1. Chứng minh: a) ∆ BDE đồng dạng với ∆ CFD. b) BE. CF không đổi c) ED 2 = EF. EB d) EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 2. Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác DEF đạt GTLN. 3. Tìm vị trí của các điểm E, F để diện tích tam giác AEF đạt GTLN. CHUYÊN ĐỀ 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP N M D C B A • Đối với tứ giác ABCD cho trước, các khẳng định sau là tương đương: 1. ABCD là tứ giác nội tiếp. 2. µ µ µ µ 0 A + C = B + D = 180 . 3. · · ABC = ACD . 4. MA.MC = MB. MD ( trong đó M là giao điểm của AC và BD ). 5. NA.NB = NC.ND ( trong đó N là giao điểm của AB và CD ) Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC S C B A • Cho tam giác ABC và điểm S thuộc tia đối của tia BC. Khi đó các khẳng định sau là tương đương. 1. SA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. · · ACB = BAS . 3. SA 2 = SB.SC. Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ( H ∈ BC ). Gọi I, J, K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp ∆ ABC, ∆ AHB và ∆ AHC. CMR: a) AI ⊥ JK. b) BJKC là tứ giác nội tiếp. Lời giải: a) Dễ thấy ABHM là tứ giác nội tiếp, suy ra BM ⊥ AK. Tương tự: CN ⊥ AJ. Vậy I là trực tâm ∆ AJK, suy ra đpcm. b) Ta có: · µ 0 45 2 C JBC = − . · ¶ · · µ 0 IAJ 45 2 C IKJ IAB JAB = = − = − ( vì · · µ 1 1 2 2 JAB HAB C = = ). Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O và S cố định nằm ngoài (O). Một cát tuyến thay đổi đi qua S cắt (O) tại A và B ( A khác B ). a) Đường thẳng d vuông góc với OS tại S và cắt các tiếp tuyến với (O) tại A và B lần lượt ở C và D. Chứng minh: SC = SD. b) Gọi E là giao điểm của các tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. CMR: Khi cát tuyến SAB thay đổi thì E luôn nằm trên một đường thẳng cố định; xác định đường thẳng đó. Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 N M K J I H C B A CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Lời giải: a) Từ các tứ giác nội tiếp SOBD và SAOC suy ra · · SDO SCO = , từ đó suy ra SC = SD. b) Vẽ EI ⊥ SO. Dễ thấy SIKE là tứ giác nội tiếp, suy ra: OI. OS = OK. OE (1). - Tam giác OBE vuông tại B có đường cao là BK, suy ra: OK. OE = OB 2 = R 2 (2). Từ (1) và (2) suy ra: 2 OS R OI = , không đổi. Vậy E nằm trên đường thẳng EI cố định ( chỉ hai phần đt nằm ngoài đường tròn ). Ví dụ 3: Từ điểm K ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến KA, KC và cát tuyến KBD với đường tròn ( A, C là tiếp điểm; B nằm giữa K và D ). Gọi M là giao điểm của OK và AC. CMR: a) AB. CD = AD. BC b) Tứ giác BMOD nội tiếp c) Tứ giác BMOE nội tiếp ( E là giao AC và đường thẳng qua O vuông góc với BD ). d) BE là tiếp tuyến của (O) e) I, A, C thẳng hàng với I là giao điểm các tiếp tuyến tại B và D. f) AC luôn đi qua một điểm cố định khi K thay đổi trên BD cố định ( K ở ngoài (O)). Lời giải: a) ∆ KBA : ∆ KAD AB KB AD KA ⇒ = Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 K I C D O E B A S E M O D B C A K CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ∆ KBC : ∆ KCD CB KB CD KC ⇒ = .Mà KA = KC ⇒ AB CB AD CD = ⇒ đpcm b) CM được KB. KD = KM. KO c) Có · · · BMK BDO DBO= = ; suy ra: · · BME BOE= ⇒ đpcm. d) Suy ra từ (c) e) Có · 0 90AMO = . Lại có IBMOD cùng nằm trên một đường tròn nên suy ra · · 0 90IMO IBO = = ⇒ đpcm. f) Suy ra từ (e). Ví dụ 4: Từ một điểm A ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AD, AE ( D, E là các tiếp điểm ). Tia AO cắt đường tròn tâm O tại B, C ( B ở giữa A và C ). Kẻ DH vuông góc với CE tại H. Gọi P là trung điểm của DH. Tia CP cắt đường tròn tâm O tại Q ( Q ≠ C ). Gọi giao điểm của AC và DE là I. CMR: a) DQIP là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) AC là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 3 điểm A, D, Q. Lời giải: a) Ta có: · · DQP DIP = ( = · DEC ). b) Vì · 0 90DPI = ⇒ · 0 90DQI = , suy ra: · · QIA QDI = ( cùng phụ với · QID ). Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 I M O D B C A K H P Q O I E D C B A [...]... thẳng d vuông góc với OT tại T a)Biết d cắt hai đường thẳng AC và BD theo thứ tự tại M và N CMR: TM = TN b)Biết d cắt hai đường thẳng AB và CD theo thứ tự tại E và F CMR: TE = TF 4) Cho góc vuông xOy và tam giác ABC vuông tại A; trong đó A cố định nằm trong góc xOy; B chạy trên Ox; C chạy trên Oy Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của A trên BC CHUYÊN ĐỀ 4: KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ( SKKN: 08 – 09 ) Hoàng... BDKI thì suy ra DK song song với BI do đó DK vuông góc với AK Từ đó ta có bài toán mới như sau: 1 AC Gọi H là 2 hình chiếu của A trên BC, K là trung điểm của HC Chứng minh rằng DK ⊥ AK Bài 12: Cho hình thang vuông ABDC ( ∠A = ∠B = 90 0 ) và BD = Gợi ý: Gọi I là trung điểm của AH.Theo ví dụ 3 ta có BI ⊥ AK(1) Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 C CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 1 2 Vì IK là đường trung bình của tam giác... Chùa Hang 1 D A C CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài 16: Cho hình thang vuông ABDC ( ∠A = ∠B = 90 0 ) và AC = m; BD = n Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K thuộc đoạn HC sao cho HK n = Chứng minh HC m rằng DK ⊥ AK Gợi ý: Từ K vẽ KI // AC // BD ⇒ KI ⊥ AB; suy ra I là trực tâm của tam giác ABK ⇒ BI ⊥ AK (1) B n D IK HK n BD ⇒ IK = BD Tứ = = = AC HC m AC giác BDKI có BD = IK và BD // IK ⇒ BDKI là hình bình hành ⇒... tứ giác nội tiếp Bài toán 2 có thể diễn đạt dưới các bài tập sau: Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài 3: Cho tam giác đều ABC cố định và một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) sao cho trong 3 đoạn MA , MB , MC luôn tồn tại một đoạn bằng tổng của hai đoạn kia Chứng minh rằng điểm M chạy trên một đường tròn cố định Bài 4: Cho tam giác đều ABC cố định và một điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) Gọi... toán 7, ta nhận ra rằng nếu gọi F là trung điểm cung BC thì ta có · AF ⊥ BC , AMF = 90 0 Suy ra: AM ≤ AF,AE ≥ AH Do vậy ME = AM – AE ≤ AF – AH = FH ⇒ E M H F 1 1 ≥ ( không đổi ) Dấu bằng ME FH xảy ra ⇔ M ≡ F Từ đó ta có được bài toán như sau: Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 B C CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài 9: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA... đi qua một điểm cố định khi M chạy trên d Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 ⇔ CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài tập: 1) Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M và trên CD lấy N sao cho · MAN = 450 Gọi I, K thứ tự là giao điểm của BD với AM và AN; P là giao điểm của MK và NI a) Chứng minh AP ⊥ MN KI b) Tính tỉ số MN c) Chứng tỏ MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 2) Cho tam giác nhọn ABC có BC cố định,... SKKN: 08 – 09 ) Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 1) Khai thác bài toán dựa vào cấu trúc lôgic giữa các mệnh đề hình học: Ví dụ 1: ( Bài 30 – SGK – Trang 116 ) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB M là điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến của (O;R) M tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D Chứng minh rằng: C · a) COD = 90 o b) CD = AC + BD c) AC BD = R2 R O A D B Đây... BDA và BMC Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 D M R B O A D O C B M CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC c) Chứng minh MA = MB + MC Đây là bài toán rất quen thuộc , lời giải có trong SBT và nhiều tài liệu khác, kết quả cụ thể là: a) ∆ MBD là tam giác đều b) ∆ BDA = ∆ BMC c) MA = MB + MC Nhận thấy rằng nếu xem: + ) Hình H là: “ Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC” + ) Tính chất T là: “ Trong ba đoạn MA , MB , MC có một... có một đoạn bằng tổng của hai đoạn còn lại” Thì ta chứng minh được: 1) Mọi điểm thuộc hình H thì có tính chất T và ngược lại 2) Những điểm không thuộc hình H thì không có tính chất T và ngược lại Do đó giáo viên có thể ra cho HS những bài tập sau: Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm không thuộc (O) Chứng minh rằng ba đoạn thẳng MA , MB , MC là độ dài ba cạnh của một tam... ra: Hoàng Kim Đỉnh THCS Chùa Hang 1 M C CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC ( MA + MB ) AB = MA.BC ⇒ MA + MB = BC MA Kết hợp với (*) suy ra được AB BC = 1 ⇒ AB = BC ⇒ đpcm AB 2 ) Khai thác bài toán mới dựa trên kết quả của bài toán cũ: Trong ví dụ 2 , nếu lấy kết quả “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác các bài toán mới thì ta có các kết quả sau: Bài 6: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; . CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ 1: 1. Đường trung bình của tam giác, của hình thang. 2. Đường trung tuyến của tam giác vuông. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực. ABC vuông tại A; trong đó A cố định nằm trong góc xOy; B chạy trên Ox; C chạy trên Oy. Tìm quỹ tích hình chiếu vuông góc của A trên BC. CHUYÊN ĐỀ 4: KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ( SKKN: 08 – 09 ) Hoàng. Hang 1 K D I H C B A I K H B C A K I H A C B D CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC Bài 16: Cho hình thang vuông ABDC ( 0 90 A B ∠ = ∠ = ) và AC = m; BD = n. Gọi H là hình chiếu của A trên BC, K thuộc đoạn HC sao