Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 5 điểm ): 1. Cho a c c b = . với , , 0a b c ≠ . Chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 a a c b b c + = + b) 2 2 2 2 b a b a a a c − − = + 2. Tổng ba phân số tối giản bằng 25 5 63 các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó. Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: 5 1 4 8 y x + = Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết 1 3 x A x + = − ( ) 0x ≥ Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau 2013 2014 2015A x x x= − + − + − Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ). a) Chứng minh BH AK= . b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? 1 Trường THCS Mỹ Hưng HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Lớp 7 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (6 điểm) 1. a, Từ: a c c b = ⇒ 2 2 . a c a c c b c b     = =  ÷  ÷     ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 a a c a c b c b c b + = = = + ⇒ 2 2 2 2 a a c b b c + = + (đpcm) b, Áp dụng chứng minh phần a ta có: a c c b = ⇒ 2 2 2 2 a a c b b c + = + ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b b c b b c a a c a a c + + = ⇒ − = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b c a c b a b c a c a a a c a c a a c + + − + − − ⇒ − = − ⇒ = + + + 2 2 2 2 b a b a a a c − − ⇒ = + (đpcm) 2. Gọi ba phân số cần tìm là a, b, c. Theo bài ra ta có: 25 5 63 a b c+ + = 1 1 1 1 1 1 20 5 4 : : 21:35:12 1 3 7 20 12 35 a b c = = = = = = = 25 5 5 63 21 35 12 21 35 12 68 63 a b c a b c+ + ⇒ = = = = = + + 5 5 21. 63 3 a⇒ = = ; 5 25 35. 63 9 b⇒ = = ; 5 20 12. 63 21 c⇒ = = Vậy: Ba phân số cần tìm là 5 3 ; 25 9 và 20 21 . 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Câu 2 (3 điểm) Từ: 5 1 4 8 y x + = ( ) 5 1 5 1 2 1 2 40 8 4 8 y y x y x x − ⇒ = − ⇒ = ⇒ − = ⇒ 1 2y− ∈ ước lẻ của 40 là: 1; 5± ± Lập bảng: 1-2y -5 -1 1 5 x -8 -40 40 8 y 3 1 0 -2 Vậy ta có các cặp số (x; y) là: (-8; 3); (-40; 1); (40; 0); (8; -2) 1,0 đ 0,5 đ 1,0 đ 0,5 đ Câu 3 (3 Ta có: 1 4 1 3 3 x A x x + = = + − − 0,5 đ 2 điểm) 4 3 3 A Z Z x x ∈ ⇔ ∈ ⇔ − ∈ − Ư(4) { } 1; 2; 4= ± ± ± Lập bảng: 3x − -4 -2 -1 1 2 4 x / 1 4 16 25 49 Vậy: { } 1;4;16;25;49x∈ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ Câu 4 (2 điểm) 2013 2014 2015A x x x= − + − + − ( ) 2013 2015 2014A x x x= − + − + − Vì: 2015 2015x x− = − ( ) 2013 2015 2014A x x x⇒ = − + − + − Mà: 2013 2015 2013 2015 2x x x x− + − ≥ − + − = ( ) 2013 2015 2014 2 2014 2 2014 0 A x x x x A x  = − + − + − ≥ + −  ⇒ ≥  − ≥   Dấu bằng sảy ra ( ) ( ) 2013 2015 0 2014 0 x x x − − ≥  ⇔  − =   2013 2015 2014 x x ≤ ≤  ⇔  =  2014x ⇔ = Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi 2014x = 1,0 đ 1,0 đ Câu 5 (7 điểm) A H E a) Xét ABH∆ và CAK∆ có: B M C · · 0 90AHB CKA= = K AB AC= ( ABC∆ cân tại A) · · ABH CAE= ( Cùng phụ với · BAH ) ABH CAK⇒ ∆ = ∆ ( Cạnh huyền và góc nhọn) BH AK⇒ = ( Hai cạnh tương ứng ) (đpcm) b) Ta có MA MB MC= = ( Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ABC∆ ) ABC∆ cân tại A ⇒ vừa là trung tuyến vừa là đường cao AM BC⇒ ⊥ AMB⇒ ∆ và AMC∆ vuông cân tại M 0,5 đ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 3 · · 0 45BAM ACM⇒ = = Ta có: ABH CAK∆ = ∆ (Theo chứng minh phần a) · · BAH ACK= (Hai góc tương ứng) Mà: · · · · · · · · · · · · 0 0 45 45 BAH BAM MAH BAH MAH MAH MCK ACK ACM MCK ACK MCK   = + = +   ⇒ ⇒ =   = + = +     Xét AMH∆ và CMK∆ có: · · AMH CMK= (cùng phụ với · HMC ) MA MC= (Theo chứng minh trên) · · MAH MCK= (Chứng minh trên) ( ) . .AMH CMK g c g MH MK MHK⇒ ∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ∆ cân tại M · · · · · · · 0 0 90 90 AMH HMC CMK HMC HMK AMH CMK  + =  ⇒ + = =  =   HMK⇒ ∆ vuông cân tại M. 0,5 đ 0,5 đ 1 đ 1 đ THCS Tam Hưng ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN LỚP 7 4 Năm học 2013 – 2014 (Thời gian 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3đ) Tìm x Z∈ sao cho a, x 5 2+ ≤ b, 2 2 2 2 (x 20)(x 15)(x 10)(x 5) 0− − − − < Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn a, m n 2 2 2048− = b, 3m 4n mn 16+ − = Bài 3 (4đ) a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau: 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 y xz, z yt v y z t 0à y z x x CM : y z t t = = + + ≠ + + = + + b, Cho x+y – z = a-b x - y + z = b - c -x+y + z = c – a Chứng minh : x+y+z=0 Bài 4 (4đ) a, Cho đa thức 2015 2014 2013 2012 f(x) x 2000x 2000x 2000x 2000x 1= − + − + + − Tính giá trị của đa thức tại x=1999 b, Cho đa thức 2 f(x) ax bx c= + + chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0− ≤ nếu 13a b 2c 0 + + = Bài 5 (5đ) a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE · · 0 ABD ACE 9O= = 1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy. b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA MD MB MC+ ≥ + - HẾT - ĐÁP ÁN Bài 1 (3đ) 5 a, - Chỉ rõ được { } x 5 0,1,2+ ∈ (0.25đ) - Chỉ rõ từng trường hợp và kết luận đúng x 5 0 x 5 1 x 5 2 + = + = + = (0.75đ) b, Lý luận để có 2 2 2 2 (x 20) (x 15) (x 10) (x 5)− < − < − < − (0.25đ) Xét đủ 2 trường hợp - Trường hợp có 1 số âm tính được x 4= ± (0.75đ) - Trường hợp có 3 số âm tính được x 3 = ± (0.75đ) - Kết luận đúng (0.25đ) Bài 2: Ta có m 11 11 n 11 11 11 11 m 11 n 11 m 11 n 11 2 2 2 0 (0.75®) 2 (2 2 1) 0 (0.5®) (2 2 1) 0 (0.25®) + − + − − − − − ⇔ − − = ⇔ − − = ⇒ − − = Lý luận tìm được m 12 n 11 = = (0.5đ) b, Biến đổi được (3 n)(m 4) 4− − = (1đ) Xác định được tích 2 số nguyên bằng 4 (6 trường hợp) (0.75đ) Kết luận được: (m,n) (8,2); (0,4); (5, 1); (3,7); (6,1); (2,5)= − (0.25đ) Bài 3: Từ giả thiết suy ra x y z y z t = = (0.5đ) Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có 3 3 3 3 3 3 x y z y z t + + + + (0.5đ) Mặt khác ta có 3 3 x x x x x y z x . . . . y y y y y z t t = = = (0.75đ) Suy được điều cần chứng minh (0.25đ) b, Cộng vế với vế suy được điều cần chứng minh (2đ) Bài 4 2015 2014 2013 2012 a,f(x) x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x (1999 1)x 1= − + + + − + + + + − (0.75đ) Thay 1999=x ta được 2015 2015 2014 2014 2013 2013 2 f(x) x x x x x x x x 1= − + − + − + − + − (0.75đ) Tính được kết quả và kết luận f(1999) = 1998 (0.5đ) b, Tính f( 2) v f(3)à− (0.5đ) f( 2) f(3)=13a+b+2c⇒ − + (0.5đ) f( 2) f(3)⇒ − = − (0.5đ) 6 [ ] 2 f( 2)f(3)=-f(3)f(3)=- f(3) 0⇒ − ≤ (0.5đ) Bài 5 (5đ) a, (2đ) 1, Vẽ hình và chứng minh đúng đến hết (1đ) 2, Chỉ ra được AH, BE, CD là 3 đường cao của BCK∆ (1đ) b, (3đ) Xét 2 trường hợp * Trường hợp điểm M AD ∈ thì ta có MA MD MB MC+ > + (1đ) * Trường hợp M AD∉ - Gọi I là trung điểm của BC (0.75đ) - Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM=IN (0.5đ) IB IC = Vì AB CD AB IB IC CD = + = + AI ID⇒ = (0.25đ) * Chứng minh được IMA IND (c.g.c)∆ = ∆ (0.25đ) MA ND⇒ = - Điểm C nằm trong MDN∆ chứng minh được ND MD NC MC+ > + (0.5đ) - Chứng minh IBM ICN (c.g.c)∆ = ∆ (0.25đ) - Suy ra MA MD MB MC + > + (0.5đ) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC 7 TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA MÔN TOÁN 7 Năm học 2013 – 2014 (Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề) Câu 1:( 5điểm): Cho a c c b = chứng minh rằng: a) a c c b a c c b − − = + + b) 2 2 2 2 a c a b c b + = + b) 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết: = = 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Câu 3:(4 điểm) a).Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 5 6 7 100 4 < + + + + < . b) Tìm số nguyên a để: 2 9 5 17 3 3 3 3 a a a a a a + + + − + + + là số nguyên. Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 1996 1997 x A + = − Câu 5: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=30 0 , đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều. b) AH = CE. c) EH song song với AC. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC 8 Đề chính thức TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA TOÁN 7 Năm học 2013 – 2014 Câu 1:( 5điểm) a) Từ a c a c a c c b c b c b − + = = = − + (0,5điểm) a c c b a c c b − − ⇒ = + + (0,5điểm) b) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b = (0,5điểm) khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + (0,5 điểm ) = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + ( 1 điểm) c) Theo câu b) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a b c b b c b a c a + + = ⇒ = + + (0,5điểm) từ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b c b b c b a c a a c a + + = ⇒ − = − + + (0,5điểm) hay 2 2 2 2 2 2 b c a c b a a c a + − − − = + (0,5điểm) vậy 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + (0,5điểm) Câu 2: (2điểm)Tìm các số x;y biết. = = 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: + − − + − − = = = = = = − − − − 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 (0,5điểm) 9 => 2 2 5 12 y y x x = − − => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x= 2 vào trên ta được (0,5điểm) (0,5điểm ) =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 15 − (0,5điểm) Vậy x = 2, y = 1 15 − thỏa mãn đề bài. Câu 3:(4 điểm) a). §Æt : A = 2 2 2 2 1 1 1 1 5 6 7 100 + + + + Ta cã : * A < 1 1 1 1 4.5 5.6 6.7 99.100 + + + + = 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 99 100 − + − + + − = 1 1 1 4 100 4 − < (0,75điểm) * A > 1 1 1 1 1 1 1 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 + + + + = − > . (0,75điểm) Vậy: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 6 5 6 7 100 4 < + + + + < (0, 5điểm) b. Ta cã : 2 9 5 17 3 3 3 3 a a a a a a + + + − + + + = 4 26 3 a a + + = = 4 12 14 4( 3) 14 14 4 3 3 3 a a a a a + + + + = = + + + + là số nguyên (1 điểm) Khi đó (a + 3) là ước của 14 mµ ¦(14) = 1; 2; 7; 14 ± ± ± ± . Ta có : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. (1 điểm) Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: 10 1 3 2 12 2 y y y + = = − − [...]... 0,5 1 0 ,75 0 ,75 1,25 f(x) = g(x) 0 ,75 0,5 Cõu 3 Ktlun Nu a thcf(x) = -4x4 + 3x3 2x2 + x 1 cú nghim thỡ 24 0,5 (2 im) nghim ú l c ca -1 Mt khỏc (-1) = { Ta cú : f(-1) = -11 0,5 0,5 0,5 0,5 } 0 F(1) = -3 Vy a thc ó cho khụng cú nghim nguyờn Cõu 4 (2 im) Cú Du = xy ra (x 2006 )( 20 07 x ) 0 2006 Vy Amin = 1 Cõu 5 (7 im) 0 ,75 0 ,75 0,5 2006 - V hỡnh ỳng 1 a, ABC cõn ti A , 0,5 => 0 ,75 XộtBOC... 1 a, ABC cõn ti A , 0,5 => 0 ,75 XộtBOC cú 0 ,75 =>BOC = MOC ( c.g.c ) => M 0,5 0,5 nờn hai tia CM v CA trựng nhau Do ú 3 im C , O ,M thng hng b,CBM cú CM = CB 0 ,75 =>CBM cõn ti C ; 25 1 => 0 ,75 VyBAM cõnti B => BA = BM = BO =>AOB cõn ti B PHềNG GD&T THANH OAI TRNGTHCS TN C THI OLYMPIC LP 7 Nm hc 2013-2014 Mụn thi: Toỏn Thi gian lm bi :150 phỳt( Khụng k thi gian giao ) chớnh thc Cõu 1: (5 im) Cho... OAI THI OLYMPIC LP 7 NM HC 2013-2014 MễN THI: TON 7 Trng THCS Liờn Chõu Thi gian lm bi:120 phỳt Cõu1(3im).Choa,b,cl ba s thc dng, tho món iu kin: a+ b c b+ c a c+ a b b a c = = Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc B = 1 + 1 + 1 + c a b a c b Cõu 2 (5im) 3 a b c a+b+c a = = Chng minh: 1) Cho: = b c d d b+c+d a 1 b + 3 c 5 = = 2)Cho v 5a - 3b - 4 c = 46 xỏc nh a,b,c 2 4 6 3) Ba lp 7A, 7B, 7C... Bi 4: (7 im) Cho tam giỏc ABC cú AB BAM c Kẻ đờng cao BK Biết AK= 7cm; AB=9cm Tính độ dài BC Ngi ra Nguyn Vn Nhõn 20 Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2013 - 2014 Môn: toán - lớp 7 Câu1: (5 điểm) a x = 20; y=12; z=42 b x... Bi 1 (.5im) 2 x = y = z 24 45 10 2 V 2 2 2 x +y +z = 24 + 45 +10 2 2 2 2 2 2 2 = 24309 = 9 = 32 270 1 0,5 0.5 x2 = 242 32 = 72 2 x = 72 Hs tớnh tng t y = 135 ; z = 30 1.0 0,5 Vy A = 2 37 hoc A = - 2 37 1b a c Ta cú = c b Li cú a c 2 2 2 2 2 2 a =c c b a c a = = c b b 2 2 2 2 + =a c c +b ( 1) 0.5 (2) 0 .75 T (1) v (2) suy ra PCM 2a Bi2 (.4im) 2b Bi 3 (2 im) x y z t x+ y + z +t 0,25 1 Ta cú y + z +... 0.5 0 .75 0,5 0.5 AC AB 2 0 ,75 0,5 x 14 10 (4 x) 10 = 1 = 4 x 4 x 4 x 10 M nh nhõt khi v ch khi nh nht 4 x 10 10 Xột x < 4 thỡ < 0 ; x > 4 thỡ >0 4 x 4 x 10 10 Ta ch xột x < 4 thỡ nh nht ln nht 4 x 4 x M= Bi 5 (2 im) C 1,0 0,25 Nờn suy ra 4 x =1( vỡ mu nguyờn,dng nh nht) Võy x = 3 khi ú Min M = -11 19 PHềNG GIO DC V O TO HUYN THANH OAI TRNG THCS THANH MAI THI OLYMPIC LP 7 Nm hc 2013-2014 MễN THI: ... giỏc vuụng ANB: ANB = 900 200 = 70 0 -> BNC = 1100 CND = CNK (gg) -> DNC = KNC = 1100 => CDN = 600 (NCD = 100; DNC = 1100) cú CDE u(cmt) => CDE = 600 15 0.5 0.5 Do ú: CDN = CDE = 600 Suy ra: Tia DN trựng vi tia DE Hay 3 im D,N,E thng hng 0.5 16 PHềNG GD & T THANH OAI Trng THCS Thanh Thựy THI CHN HC SINH GII LP 7 NM HC: 2013-2014 MễN TON Thi gian 120 phỳt (khụng k thi gian giao ) Bi 1 ( 5 im) S A... AK 2 = 32 - AKC vuông tại K nên ta có BC= BK 2 + KC 2 = 6cm 1 1 0.5 và TH2: - BAC tù A nằm giữa hai điểm K,C KC=AK+AC=16cm - ABK vuông tại K BK 2 = AB 2 AK 2 = 32 - BKC vuông tai K BC = BK 2 + KC 2 = 288 0.5 0.5 0.5 1 2 Vậy BC=6cm hoặc BC= 288cm PHềNG GD&T THANH OAI TRNG THCS THANH CAO THI OLYMPIC TON 7 Nm hc : 2013- 2014 Thi gian : 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Cõu 1(5im) a, Chng minh . giác đều. b) AH = CE. c) EH song song với AC. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC 8 Đề chính thức TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA TOÁN 7 Năm. 14 4 x x − − 17 TRƯỜNG THCS THANH THÙY ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2013-2014 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giaođề) TT Ý Nội dung Điểm Bài 1 (.5điểm) 1a Ta có 2 3 1. Trường THCS Mỹ Hưng ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 7 Huyện Thanh Oai – HN Năm học 2013 – 2014 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 5 điểm ): 1. Cho