GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 1 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trong các các kì thi Đ ạ i Học – C a o Đ ẳ ng câu tích phân luôn mặc định xuất h i ệ n trong đề thi môn Toán. Tích phân không phải là câu hỏi khó, đây l à m ột bài toán “nhẹ nhàng”, mang tính chất “cho điểm”. Vì vậy việc m ất điểm s ẽ trở nên “vô duyên” với những ai đã bỏ chút thời gian đọc tài liệ u. Ở bài viế t nhỏ nà y sẽ cung cấp tới các em các dạng tích phân thường xuyên xuất h i ện trong các kì t h i Đ ạ i H ọc - Cao Đẳng ( và đề thi cũng sẽ không nằm ngoài các dạng này). Vớ i cách giải tổng quát cho các dạng, các ví dụ minh họa đi kèm, cùng với lượng bài tập đa dạng, phong phú. Mong rằng sau khi đọ c tài liệu, việc đứng trước một b à i toán tích phân sẽ không còn là rào cản đối với các em . Chúc các em thành công ! Trong bài viết này sẽ giới thiệ u tới các em 8 phần: Trang I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………… 1 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… 2 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… 3 –12– 26 I V . 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI H ỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81 V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI … … . . 94 – 102 - 106 VII. DÙNG TÍCH PHÂN ĐỂ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA k n C …… 107 - 110 VIII. KINH NGHIỆM GIẢI BÀI TOÁN TÍCH PHÂN ĐẠI H ỌC ……………… 111- 114 I. SƠ ĐỒ CHUNG GIẢ I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 2 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ Điều kiện tiên quyết để l à m t ốt p h ần tích phân là chúng ta phải n h ớ và hiểu được cách vận dụng các công thức nguyên hàm sau: (chỉ cần hiểu 8 công thứ c t h ì s ẽ biết cách suy luận ra các công thức còn lại) 1 ( 1 ) ) 1 u u du C            1       2 1 1 1 1 ; . 1 1 1 1 ; ; 1 ax b x x dx C ax b dx C a du du du u C C C u u u u                                           ) l n du u C u    2 ln 1 ln dx x C x dx ax b C ax b a                 ) ln u u a a du C a    3 ; ln 1 ; x x u u x x ax b ax b a a dx C e du e C a e dx e C e dx e C a                       ) sin cosudu u C    4 sin cos 1 sin( ) cos( ) xdx x C ax b dx ax b C a                 ) cos sinudu u C   5 cos sin 1 cos( ) sin( ) xdx x C ax b dx ax b C a               2 ) cot sin du u C u     6 2 2 cot sin 1 cot( ) sin ( ) dx x C x dx ax b C ax b a                   2 ) tan cos du u C u    7 2 2 tan cos 1 tan( ) cos ( ) dx x C x dx ax b C ax b a                 2 2 1 1 1 1 ) ln 2 2 du u a du C u a a u a u a a u a                  8 2 2 2 2 1 l n 2 1 ln 2 du u a C a u a u a dx x a C x a a x a                      Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 3 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU T Ỉ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ( ) ( ) f x I dx g x     (*) Chú thích: Sơ đồ t r ê n đ ư ợ c h iểu như sau : Khi đứng trước một bài toán tích phân có dạn g h ữu tỉ trước tiên ta quan tâm tới b ậ c c ủa t ử số và mẫu số. *) Nế u bậ c của tử số nhỏ hơn bậc của m ẫ u số, khi đó ta chú ý tới b ậc dưới m ẫu số. Cụ thể: ++) Nế u bậ c d ư ớ i m ẫ u số bằn g 1 ta có luôn công thức t r o n g b ảng nguyên hàm và đưa ra được đáp số. ++) Nế u bậ c d ư ớ i m ẫ u số bằn g 2 ta quan tâm tới  hay “tính có nghiệm” của phương trình dưới m ẫ u. +) Nế u 0  tức khi đó ta sẽ phân tích dưới m ẫ u thành tích và dùng kĩ thuật tách ghép để t á c h t h à n h hai biể u thức có mẫ u bậc 1 (quay về trường hợp mẫ u số có b ậc bằ ng 1 ). +) Nế u 0  tức khi đó ta sẽ phân tích dưới m ẫ u thành hằng đẳng thức và dùng kĩ thuật tách ghép để đưa tích phân về dạng đã b i ết. +) Nế u 0  tức khi đó ta không thể phân tích dưới m ẫu số thành tích và hằng đẳng thức được . -) Nếu trên tử là hằng số khác 0 ta sẽ dùng phương pháp lượng giác hóa để c h u yển về d ạng cơ bản ( theo cách đổi b i ến ở sơ đồ trên). -) Nếu trên tử có dạ ng bậc nh ấ t ta sẽ c h u y ển v ề b ậc 0 ( hằng số hay số tự do) bằ ng kĩ thuật vi phân như cách trình bày ở sơ đồ và quay về trườn g h ợp trước đó (tử l à h ằng số khác 0 ). ++) Nế u bậc của mẫ u số lớn hơn 2 ta sẽ tìm cách giảm bậc bằng phương pháp đổi b i ến h o ặc các kĩ t h u ậ t: Nhân, chia, tách ghép (đồng nhất hệ số), vi phân… *) N ế u bậ c của tử s ố l ớn hơn hoặc b ằ ng b ậc của mẫ u s ố thì ta chuy ể n sang TH2 (trư ờ ng h ợ p 2). Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 4 CHÚ Ý : Việc đồng nhất hệ s ố dựa theo cách phân tích sau: 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m n n m n m n A B x C A A B x C B x Cf x ax b cx dx e ax b ax b ax b cx dx e cx dx e cx dx e                        Sau đó quy đồn g b ỏ m ẫu, dùng tính chất “hai đa thức bằ ng nhau khi các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau” từ đó tìm được các , i j A B , j C ( 1 , ; 1 , )i m j n  hoặc có thể dùng cách chọn x để tìm các , i j A B , j C . Các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Tính tích phân 2 2 0 2 dx I x x k     v ới : 1) 3 4 k  2) 1k  3) 4k  Giải: 1) V ới 3 4 k  thì : 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 4 (2 3 ) (2 1 ) 2 2 2 1 2 l n 3 4 8 3 (2 1 ) ( 2 3 ) 2 1 2 3 2 3 2 4 dx dx x x x I dx dx x x x x x x x x x                               15 ln 7 2) V ới 1k  thì : 2 2 2 2 2 0 0 0 1 2 1 ( 1 ) 1 dx dx I x x x x            2 3 3) V ới 4k  thì : 2 2 2 2 0 0 2 4 ( 1 ) 3 dx dx I x x x         Đặt 1 3 tan x t   với ; 2 2 t           2 2 3 3.(1 tan ) cos dt dx t dt t     v à :02x  thì : 6 3 t    Khi đó 23 3 3 2 6 6 6 3.(1 tan ) 3 3 3. (t an 1 ) 3 3 t dt I dt t t               3 18  Ví dụ 2. Tính các tích phân sau: 1) 2 1 1 3 4 1 I dx x    2) 0 2 2 1 2 3 dx I x x      3) 1 3 2 0 6 9 dx I x x     4) 1 4 2 0 2 2 dx I x x     5) 1 5 2 0 4 5 2 x I dx x x      6) 2 6 2 1 3 2 4 4 1 x I dx x x      7) 2 7 2 1 3 2 4 x I dx x x       Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 5 Giải: 1) 2 2 1 1 1 3 3 ln 4 1 4 1 4 I dx x x       3 7 ln 4 3 2) 0 2 2 1 2 3 dx I x x      0 1 ( 1 ) ( 2 3 ) dx x x       1 5 0 1 (2 3 ) 2( 1 ) ( 1 ) ( 2 3 ) x x dx x x        0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 l n l n 5 1 2 3 5 2 3 5 6 x dx x x x                   l n 6 5  3) 1 1 1 3 2 2 0 0 0 1 6 9 ( 3 ) 3 dx dx I x x x x            1 12 4) 1 1 4 2 2 0 0 2 2 ( 1 ) 1 dx dx I x x x         Đặt 1 tan x t   v ới ; 2 2 t           2 2 ( 1 tan ) cos dt dx t dt t     và :0 1x  thì : 0 4 t    Khi đó 0 0 2 0 4 2 4 4 4 ( 1 tan ) tan 1 t dt I dt t t               4  5)   1 1 1 1 5 2 0 0 0 0 4 5 ( 1 ) 3 ( 2) 1 3 ln 2 3ln 1 2 ( 1 ) ( 2) 2 1 x x x I dx dx dx x x x x x x x x                             4ln2 Chú ý: V i ệc phân tích 4 5 1 3 ( 2)x x x     có được là do ta đi tìm hệ số ,a b thỏa mãn: 4 5 ( 1 ) ( 2) 4 5 ( ) 2 x a x b x x a b x a b            k h i đ ó 4 1 2 5 3 a b a a b b               6)   2 2 2 6 2 2 2 1 1 1 3 7 2 1 3 2 3 7 2 2 4 4 1 (2 1 ) 2(2 1 ) 2(2 1 ) x x I dx dx dx x x x x x                      2 1 3 7 ln 2 1 4 4(2 1 ) x x           3 7 ln3 2 6  7)   2 2 2 2 7 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 4 3 1 (2 2) 1 2 4 4 2 4 2 4 2 2 4 2 4 2 x x x dx I dx dx dx A B x x x x x x x x                           (*) +) Tính 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (2 2) ( 2 4) l n 2 4 2 4 2 4 x d x x A dx x x x x x x                   2ln2 (1) +) Tính 2 2 2 2 1 1 2 4 ( 1 ) 3 dx dx B x x x           Đặt 1 3 tan x t   v ới ; 2 2 t           2 2 3 3.(1 tan ) cos dt dx t dt t     và : 1 2x   thì :0 3 t   23 3 3 2 0 0 0 3.(1 tan ) 3 3 3 tan 1 3 t dt B dt t t             (2) . Thay (1) và (2) vào (*) ta được: 7 I  4 3 ln 2 3   Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 6 Ví dụ 3. Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 1 1 2 2 4 2 1 x x x I dx x       2) 1 4 3 2 2 2 0 2 4 2 2 3 x x x x I dx x x         3) 2 3 2 3 2 1 4 4 7 2 4 4 1 x x x I dx x x        4) 1 2 4 2 0 ( 1 ) 1 x I dx x     ( D – 2013) 5) 2 2 5 2 0 2 1 2 4 x x I dx x x       Giải: 1) 2 2 2 3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 4 5 5 1 l n 2 1 2 1 2 1 3 2 x x x x I d x x dx x x x x                             10 5 ln3 3 2  2) 1 1 1 4 3 2 2 2 2 2 2 0 0 0 2 4 2 5 2( 1 ) ( 3 ) 1 1 2 3 2 3 ( 1 ) ( 3 ) x x x x x x x I dx x dx x dx x x x x x x                                     1 1 3 2 0 0 2 1 1 2ln 3 l n 1 3 1 3 x x d x x x x x x                                 2 2ln3 ln2 3   3) 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 7 2 6 2 3 ( 2 1 ) 1 3 1 4 4 1 4 4 1 (2 1 ) 2 1 (2 1 ) x x x x x I dx x dx x dx x dx x x x x x x x                                            2 2 1 3 1 l n 2 1 2 2 2(2 1 ) x x x            11 3 ln3 6 2  4) 1 2 4 2 0 ( 1 ) 1 x I dx x     ( D – 2013)   1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 4 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 ( 1 ) 1 ln( 1 ) 1 1 1 1 x x x x d x I dx dx dx dx dx x x x x x x                               1 ln2 5) 2 2 2 2 5 2 2 2 0 0 0 3 (2 2 ) 6 2 1 3 9 2 2 2 2 4 2 4 2 4 x x x x I d x dx dx x x x x x x                                    2 2 2 2 2 2 0 0 0 3 ( 2 4) 2 6 2 2 4 2 4 d x x dx dx x x x x             2 2 0 3 3 2 ln( 2 4) 6 4 ln 3 6 2 2 x x x I I               (*) Tính 2 2 2 2 0 0 2 4 ( 1 ) 3 dx dx I x x x         Đặt 1 3 tan x t   (với ; 2 2 t           ) 2 2 2 2 3 3(1 tan ) cos ( 1 ) 3 3 ( 1 tan ) d x d t t dt t x t              v à :02x  thì : 6 3 t    23 3 3 2 6 6 6 3(1 tan ) 3 3 3 3 ( 1 tan ) 3 3 18 t dt I dt t t                (2*). Thay (2*) vào (*) ta được : 5 I  3 3 4 l n 3 2 3    Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 7 Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: 1) 1 3 1 4 2 0 3 2 x I dx x  x   (B – 2012) 2) 1 7 2 4 2 0 ( 3 2 ) x I dx x    3) 2 2 3 4 2 1 1 ( 3 2) x I dx x x x      4) 2 4 2 2 1 2 3 ( 2 )( 4 3 ) x I dx x x x x       5) 1 2 5 4 3 2 2 1 4 6 4 1 x I dx x x x x          6) 2 6 3 5 1 dx I x x    7) 1 7 3 0 ( 1 2 ) x I dx x    8)   2 8 2014 1 1 dx I x x    9) 0 2 9 8 1 ( 1 ) x dx I x     Giải: 1) 1 3 1 4 2 0 3 2 x I dx x  x   (B – 2012) Đ ặ t 2 t x 2d t x d x hay 2 dt xdx  và :01x  thì :0 1t   1 1 1 1 2 1 4 2 2 0 0 0 0 . 1 . 1 2( 1 ) ( 2) 1 2 1 3 2 2 3 2 2 ( 1 ) ( 2) 2 2 1 x x d x t dt t t I dt dt x x t t t t t t                           1 0 1 l n 2 l n 1 2 t t            3 ln3 l n 2 2  2) 1 7 2 4 2 0 ( 3 2 ) x I dx x    Đặt 3 3 4 4 1 8 8 3 2 3 2 dt x dx x dx dt t x t x                 và :01x  thì :31t  Khi đó 1 1 1 3 7 4 3 2 4 2 4 2 2 2 0 0 3 1 3 1 1 3 2 . ( 3 2 ) (3 2 ) 8 16 t x x t I dx x dx dt dt x x t t              3 3 2 1 1 1 3 1 1 3 ln 16 16 dt t t t t                   2 l n 3 16  3) 2 2 3 4 2 1 1 ( 3 2) x I dx x x x      Đặt 2 2 2 dt t x dt x d x xdx     và :12x  thì :1 2t  Khi đó 2 2 2 3 2 4 2 2 1 1 ( 1 ) 1 1 . ( 3 2) 2 ( 3 2) x t I xd x d t x x x t t t           Lúc này ta sẽ phân tích 2 1 ( 3 2 ) t t t t    thành tổng các phân thức có mẫ u bậc 1 bằng phương pháp đồng nhất hệ s ố . Cụ thể: 2 1 1 ( 3 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 1 2 t t A B C t t t t t t t t t             1 ( 1 ) ( 2) ( 2) ( 1 )t A t t Bt t Ctt         (*) Việc tìm , ,A B C có thể làm theo 2 cách : Cách 1: 2 (*) 1 ( ) ( 3 2 ) 2t A B C t A B C t A         khi đó 1 0 2 3 2 1 2 2 1 3 2 A A B C A B C B A C                           Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 8 Cách 2: +) Chọn 0t  thì (*) có dạ ng: 1 1 2 2 A A     +) Chọn 1t   thì (*) có dạng: 2 2B B     +) Chọn 2t   thì (*) có dạn g : 3 3 2 2 C C     Vậy 2 2 3 1 1 1 1 2 3 1 3 ln ln( 1 ) ln( 2) 2 2 1 2 ( 2) 44 I dt t t t t t t                           7ln3 11.ln2 4  4) 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 2 3 2 3 2 3 ( 2 )( 4 3) ( 2)( 1 ) ( 3) ( 3 )( 3 2) x x x I dx dx dx x x x x x x x x x x x x                   Cách 1: ( đ ổ i biến) Đặt 2 3t x x  (2 3 )dt x dx   v à :12x  thì : 4 10t  Khi đó 10 10 10 4 4 4 4 1 1 1 1 l n ( 2) 2 2 2 2 dt t I dt t t t t t                 1 15 l n 2 12 Cách 2: ( tách ghép và sử dụn g k ĩ thuật vi phân) 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 1 ( 3 2) ( 3 ) (2 3 ) 1 1 (2 3 ) (2 3 ) 2 ( 3 ) ( 3 2) 2 3 3 2 x x x x x x dx x dx I dx x x x x x x x x                              2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 3 ) ( 3 2 ) 13 ln 2 3 3 2 2 3 2 d x x d x x x x x x x x x x                      1 15 l n 2 12 5) 1 2 5 4 3 2 2 1 4 6 4 1 x I dx x x x x          Chia cả t ử và mẫu trong biểu thức tích phân cho 2 x ta được : 1 1 2 2 5 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 1 1 4 6 4 6 dx x x I dx x x x x x x x x                                     Cách 1: ( đổi biến ) Đặt 1 t x x   2 2 2 2 1 1 1 2 dt dx x t x x                    và :2 1x    thì 5 : 2 2 t    Khi đó 2 2 2 2 5 2 2 2 5 5 5 5 2 2 2 2 1 ( 2 ) 4 6 4 4 ( 2) 2 dt dt dt I t t t t t t                         1 36 Cách 2: ( tách ghép và sử dụn g k ĩ thuật vi phân – dành cho những ai có kĩ năng phân tích tốt) 1 1 1 2 5 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 4 4 2 dx d x x x I x x x x x x x x                                                       1 36 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh T r a n g 9 6) 2 2 6 3 5 3 2 1 1 ( 1 ) dx dx I x x x x       Cách 1: (đ ổ i b i ế n) Đặt 2 t x 2 2 dt dt xdx x d x    và :12x  thì :1 4t  Khi đó 2 4 6 4 2 2 1 1 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) xdx dt I x x t t        4 2 1 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) t t dt t t     4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) t t dt dt t t t t t t                       4 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l n 2 1 2 t dt t t t t t                      3 1 5 l n 8 2 8  Cách 2: (Dùng kĩ thuật tách ghép) 2 2 2 2 6 3 2 3 2 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) ( 1 ) x x I dx dx x x x x x                2 2 2 2 3 2 3 2 1 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 ) 1 x x x dx dx x x x x x x                       2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 ( 1 ) 2 1 d x dx x x x              2 2 2 1 1 1 3 1 5 ln l n ( 1 ) ln 2 ln 2 2 8 2 2 x x x                3 1 5 l n 8 2 8  7) 1 1 1 1 7 3 3 2 3 2 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) 2 ( 1 2 ) ( 1 2 ) 2 2(1 2 ) 4(1 2 ) x x I dx dx dx x x x x x x                                1 18 8)   2 8 2014 1 1 dx I x x    Đặt 2014 2013 2013 1 2014 2014 dt t x dt x dx x dx      và :12x  thì 2014 : 2 1 2t   Khi đó   2014 2014 2 1 2 1 2 2013 8 2014 2014 1 2 2 1 1 1 1 2014 ( 1 ) 2014 1 1 x dx dt I dt t t t t x x                   2014 1 2 2 1 1 ln 2014 t t     2014 2015ln2 l n (1 2 ) 2014   9) 0 2 9 8 1 ( 1 ) x dx I x     Đ ặ t 1t x dt d x     v à :1 0x   thì :1 2t  Khi đó 2 2 2 2 2 2 9 8 8 8 7 6 7 6 5 1 1 1 1 ( 1 ) 1 2 1 2 1 1 1 1 7 3 5 t d t t t I dt dt t t t t t t t t                             33 4480 Ví dụ 5. Tính các tích phân sau: 1) 2 2 1 3 1 1x I dx x    2) l n 2 3 2 0 1 x I e dx   Giải: 1) 2 2 1 3 1 1x I dx x    Đặt 2 2 2 2 2 1 1 1 tdt x d x t x t x x t             và cận :0 3t  2 2 3 3 2 2 2 1 3 4 2 2 2 2 1 1 0 0 1 1 . . ( 1 ) ( 1 ) x x x d x t tdt t I dx dt x x t t              Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh Trang 10 Đặt 2 2 tan ( 1 tan ) cos du t u dt u du u      và cận :0 3 u   2 2 2 23 3 3 3 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 0 tan .(1 tan ) tan sin .cos sin ( 1 tan ) 1 tan c o s u u du u u I du udu udu u u u                3 3 0 0 1 cos2 1 1 3 sin2 2 2 4 6 8 u du u u                  4 3 3 24   2) l n 2 3 2 0 1 x I e dx   Đặt 2 3 3 3 3 1 1 1 x x x x t dt e dx t e t e e t               v à c ậ n :0 1t  l n 2 l n 2 1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 3 0 0 0 0 0 1 . . 3 1 1 3 3 1 1 1 1 x x x x e e dx t t dt t dt I e dx dt e t t t                        Ta dùng phương pháp đồn g n h ất hệ s ố: 2 3 2 2 1 1 1 .( 1 ) ( )( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 A B t C A t t Bt C t t t t t t t t                   2 0 1 1 2 1 ( ) ( ) 0 ; ; 3 3 3 1 A B A B t A B C t A C A B C A B C A C                             ( C ó t h ể chọn 0t  và 1t   được ba pt 3 ẩn , ,A B C rồi giải t ì m được , ,A B C (máy tính có thể giúp ) ) V ậy ta có: 3 2 2 1 1 2 1 1 2 1 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) 3 1 1 t t t t t t t t t                      1 2 2 0 1 2 3 1 1 t I dt t t t               1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 1 (2 1 ) 1 1 1 1 ( 1 ) 2 3 3 1 1 1 2 1 1 t d t t d t dt d t t t t t t t t t                                        1 2 0 1 3 ln( 1 ) ln( 1 ) 2 t t t t J             3 l n 2 J   (*) với 1 1 2 2 2 0 0 1 1 3 2 2 dt dt J t t t                     Đặt 2 2 2 2 2 3 3(1 tan ) 2cos 2 1 3 tan 2 2 1 3 3 ( 1 tan ) 2 2 4 u dt du du t t u t u                                và :0 1t  thì cậ n : 6 6 u     26 6 6 2 6 6 6 3(1 tan ) 4 2 3 2 32 3 . 2 3 ( 1 tan ) 3 3 9 u J du du u u                    (2*) Thay (2*) vào (*) ta được : 2 I  2 3 3 l n 2 9    Webdiemthi.vn [...]... 15 3 24) I 24   Trang 11 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh 2 TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Trước khi đi vào 10 dạng tích phân hay gặp trong các kì thi Đại Học – Cao Đẳng các em cần nắm được cách tính các tích phân lượng giác cơ bản qua các ví dụ sau: Ví dụ 1 Tính các tích phân sau với k  1;5 (có 40 câu tích phân trong ví dụ này) :  2  2 A... x.cos   x  3  Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh IV 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG  DẠNG 1: I1     f g ( x), n g ( x) g '( x)dx (*)  CÁCH GIẢI CHUNG Các ví dụ minh họa Ví dụ 1 Tính các tích phân sau: 4 1 1) I1   x 2  x dx (B – 2013) 0 2 4) I 4  x  x 1  1  x3 1  x  1 dx 1 4 7) I 7  2 3 4  5)... trong tình huống này với kiến thức toán sơ cấp sẽ không tính được vì hàm số dưới dấu tích phân không xác định với cận x  0 có sự khác biệt Ví như tính C1   tan xdx và H1   +) Để đưa ra công thức tổng quát cho các tích phân trên các em sẽ tìm hiểu rõ hơn ở mục VI trong phần tích phân truy hồi Ví dụ 2 Tính các tích phân sau:  2  2 dx 1) I1   1  cos x 0  2 dx 2) I 2   2  cos x 0  4 dx 1...  2) 2  (u 2  2) u 2  2 1 t C  C 1 1  2t 2 2 t2 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968  https://www.facebook.com/trangtuyensinh dx CHÚ Ý : +) Dạng tổng quát của (*) là I   n n và ta giải bằng cách đặt x  n (a  bx ) a  bx +) Dạng tích phân trên các em sẽ được tìm hiểu kĩ hơn ở Dạng 9  1 t Ví dụ 6 Tính tích phân : 4 3 x 2 dx 1) I1   2) I 2  1 x x 0 1  1 x  1 1 x... = 3 ) 2 Trang 18 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh CHÚ Ý: +) Sẽ có nhiều em thắc mắc là biểu thức dưới dấu tích phân  tan k xdx tương tự với k k x dx và 1 dx Nếu đi tính nguyên hàm (tích phân bất định ) chúng có sự giống nhau x (tính nguyên hàm được hiểu là tính trên tập xác định của hàm) Nhưng nếu đi tính tích phân xác định thì sẽ  cot... 2 Khi đó: I 4  2  1 3 Trang 35 dt  2ln t t 2 2 1 3  2 ln 2 2 1 3 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh Bài luyện Tính các tích phân sau: 2 5 1) I1   x 2  5 xdx ( Đs: 1 5 1 4) I 4  2) I 2   x 3 1  x 2 dx ( Đs: 0  0 dx x  2 x 1  5 5) I 5  0 10) I10  x  2 x 1 0 1 13) I13  11) I11  dx ( Đs: 1) 2 x3  4 x 0 2 dx ( Đs: 14)...  C 3 3 3 u u u u t 1 1  x3 2 (có thể dùng kĩ thuật vi phân để tính : I    t dt t 3   1 t  1 3 3  CHÚ Ý : Dạng tổng quát của bài toán trên I     I1  1 x 3 1  x3 1 0 4 3 1 3 1 3  (t  1) d (t  1)  3 t 3  1  C ) 3  dx n n (a  bx ) a  bx và ta giải bằng cách đặt x  n 1 t  6 cos x dx 0 cos 2 x cos 2 x 2) I 2   Phân tích: Tương tự như ý 1) nếu bài toán này ta đặt t  cos 2... 1 t 1  2 1 1 1 1  I2   Trang 27 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 4 3) I 3  0947141139 – 0925509968 tdt  dx Đặt t  2 x  1  t 2  2 x  1   và x : 0  4 thì t :1  3 2 2 x  t  1 4x 1 dx (D – 2011) 2x 1  2  0 3 3 3  2t 3  3 40 2(t 2  1)  1 2t 3  3t 10  5  tdt  dt    2t 2  4t  5  dt    2t 2  5t  10 ln(t  2)    10 ln  t2 t 2 t2 1 3  3 1 3 1  I3   1... 1 e 2  1 4t 2  1  1 1 dt  2 4t  1 4 Ví dụ 5 Tính tích phân : 1) I1   0 1) I1   0  1   1 1  (2t  1)(2t  1)  dt    1 1 1  1  1 2t  1  1  2  2t  1  2t  1   dt  4  t  4 ln 2t  1      1 1 1 1 e2  1  e2 1 1 6 1  e2  3  ln 4 16 2 1  e2  1  6 dx 3 3 1 e2 (1  x ) 1  x 3 dx 3 3 (1  x ) 1  x3 Phân tích: Nếu đặt: t  3 1  x 3  t 3  1  x 3  t 2 dt...   sin x  sin  x    sin  x    sin  x   6  6  6 6 6  6        3 Trang 25  3  2 ln  6 3 2  3  6   2 ln 3 2 Webdiemthi.vn GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 https://www.facebook.com/trangtuyensinh CHÚ Ý :  Khi gặp tích phân I  f ( x)  g ( x) dx mà h( x), g ( x) là các hàm bậc nhất theo sin x và cos x thì ta có thể dùng phương  pháp đồng nhất hệ số: *) h ( x) a . 10 DẠNG TÍCH PHÂN HAY GẶP TRONG CÁC KÌ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Trong các các kì thi Đ ạ i Học – C a o Đ ẳ ng câu tích phân luôn mặc định xuất h i ệ n trong đề thi môn Toán. Tích phân. THI ĐẠI H ỌC – CAO ĐẲNG 27 – 81 V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN…………………………………………………… 82 – 93 VI. CÁC LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT VÀ TÍCH PHÂN TRUY HỒI … … . . 94 – 102 - 106 VII. DÙNG TÍCH PHÂN. BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………………… 1 II. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ…………………………… 2 III. LỚP TÍCH PHÂN HỮU TỈ VÀ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN… 3 –12– 26 I V . 10 DẠNG TÍCH PHÂN TRONG