BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI OLYMPIC C ÁC NƯỚC VÀ KHU VỰC NGUYỄN VĂN QUÝ SV khoa Toán, trường ĐHKHTN Hà Nội Hà Nội - 2014 1 I. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN. Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực a, b, c, d ∑ cyc  (a 2 + 1) (b 2 + 1) (c 2 + 1) ≥ 2(ab + bc + cd + da + ac + bd) − k. Iran Team Selection Test 2011 Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng √ 3( √ a + √ b + √ c) ≤ a √ a bc + b √ b ca + c √ c ab . Iran Team Selection Test 2012 Bài 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và a ≥ b ≥ c. Chứng minh rằng  a(a + b − √ ab) +  b(a + c − √ ac) +  c(b + c − √ bc) ≥ a + b + c. Iran Team Selection Test 2013 Bài 4. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 + 1 (a + b + c) 2 ≥ 7 25  1 a + 1 b + 1 c + 1 a + b + c  2 . Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2010 Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng 3 − √ 3 + x 2 y + y 2 z + z 2 x ≥ (x + y + z) 2 . Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2010 Bài 6. Cho các số thực không âm x, y, z, t thỏa mãn |x −y| + |y −z|+ |z − t| + |t − x| = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2 + y 2 + z 2 + t 2 . Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2011 Bài 7. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng a 1 + (b + c) 2 + b 1 + (c + a) 2 + c 1 + ( a + b) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) a 2 + b 2 + c 2 + 12abc . 2 www.VNMATH.com Iran National Mat h Olympiad (3rd Round) 2011 Bài 8. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số C n lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a 1 , a 2 , , a n a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 n n ≥  a 1 + a 2 + ···+ a n n  2 + C n (a 1 − a n ) 2 . Middle European Mathematical Olympiad 2010 Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 1 + a + b 1 + b + c 1 + c = 2. Chứng minh rằng √ a + √ b + √ c 2 ≥ 1 √ a + 1 √ b + 1 √ c . Middle European Mathematical Olympiad 2011 Bài 10. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng  9 + 16a 2 +  9 + 16b 2 +  9 + 16c 2 ≥ 3 + 4(a + b + c). Middle European Mathematical Olympiad 2012 Bài 11. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng 1 a 5 (b + 2c ) 2 + 1 b 5 (c + 2a) 2 + 1 c 5 (a + 2b) 2 ≥ 1 3 . USA Team Selection Test 2010 Bài 12. Cho tam giác ABC có h a , h b , h c theo thứ tự là độ dài các đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C. Giả sử P là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Chứng minh rằng PA h b + h c + PB h c + h a + P C h a + h b ≥ 1. USA Team Selection Test 2010 Bài 13. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 7 √ a + 7 √ b + 7 √ c. Chứng minh rằng a a b b c c ≥ 1. USA ELMO 2013 Bài 14. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng (a − b)(a − c) 2a 2 + ( b + c) 2 + (b −c )(b − a) 2b 2 + ( c + a) 2 + (c − a)(c − b) 2c 2 + (a + b) 2 ≥ 0. 3 USA ELMO Shortlist 2010 Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng  a 4 + 2b 2 c 2 a 2 + 2bc +  b 4 + 2c 2 a 2 b 2 + 2ca +  c 4 + 2a 2 b 2 c 2 + 2ab ≥ a + b + c. USA ELMO Shortlist 2010 Bài 16. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm hằng số c = c(n) lớn nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực không âm a 1 , a 2 , , a n thỏa mãn a 1 + a 2 + ···+ a n = n : 1 n + ca 2 1 + 1 n + ca 2 2 + ···+ 1 n + ca 2 n ≤ n n + c . USA ELMO Shortlist 2011 Bài 17. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Với k = 2 + √ 3, chứng minh rằng ∑ cyc  (xy + kx + ky)(xz + kx + kz) ≥ k 2 . USA ELMO Shortlist 2011 Bài 18. Cho các số thực x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 , y 3 khác 0 thỏa mãn x 1 + x 2 + x 3 = y 1 + y 2 + y 3 = 0. Chứng minh rằng x 1 x 2 + y 1 y 2  (x 2 1 + y 2 1 )(x 2 2 + y 2 2 ) + x 2 x 3 + y 2 y 3  (x 2 2 + y 2 2 )(x 2 3 + y 2 3 ) + x 3 x 1 + y 3 y 1  (x 2 3 + y 2 3 )(x 2 1 + y 2 1 ) ≥ − 3 2 . USA ELMO Shortlist 2011 Bài 19. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a ≤ b ≤ c và a + b + c = 1. Chứng minh rằng a + c √ a 2 + c 2 + b + c √ b 2 + c 2 + a + b √ a 2 + b 2 ≤ 3 √ 6(b + c) 2  (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) . USA ELMO Shortlist 2012 Bài 20. Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng (a 2 + 2b c) 2012 + (b 2 + 2ca) 2012 + (c 2 + 2ab) 2012 ≤ ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2012 + 2(ab + bc + ca) 2012 . USA ELMO Shortlist 2012 4 www.VNMATH.com Bài 21. Cho các số thực dương a, b, c đôi một khác nhau và số nguyên k ≥ 3. Chứng minh rằng     a k+1 (b −c ) + b k+1 (c − a) + c k+1 (a − b) a k (b −c ) + b k (c − a) + c k (a − b)     ≥ k + 1 3(k − 1) (a + b + c),     a k+2 (b −c ) + b k+2 (c − a) + c k+2 (a − b) a k (b −c ) + b k (c − a) + c k (a − b)     ≥ (k + 1)(k + 2) 3k(k −1) (a 2 + b 2 + c 2 ). USA ELMO Shortlist 2012 Bài 22. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 1 a + 1 b + 1 + 1 b + 1 c + 1 + 1 c + 1 a + 1 ≥ 3 3 √ abc + 1 3 √ abc + 1 . USA ELMO Shortlist 2013 Bài 23. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca = ab + bc + ca + 1 2 . Chứng minh rằng  a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + |a − b| + |b − c| + |c − a| 2 . USA ELMO Shortlist 2013 Bài 24. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 1 (3 − a)(4 −a) + 1 (3 −b)(4 −b) + 1 (3 −c)(4 −c) + ab + bc + ca 9 ≥ 5 6 . USA ELMO Shortlist 2013 Bài 25. Cho các số thực a, b, c ∈  0, 1  và a + b, b + c, c + a ≥ 1. Chứng minh rằng 1 ≤ (1 − a) 2 + (1 −b) 2 + (1 −c) 2 + 2 √ 2abc √ a 2 + b 2 + c 2 . USA TSTST 2011 Bài 26. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz + xy + yz + zx = x + y + z + 1. Chứng minh rằng 1 3    1 + x 2 1 + x +  1 + y 2 1 + y +  1 + z 2 1 + z   ≤  x + y + z 3  5/8 . 5 USA TSTST 2012 Bài 27. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng ∑ cyc 4  (a 2 + b 2 )(a 2 − ab + b 2 ) 2 ≤ 2 3 (a 2 + b 2 + c 2 )  1 a + b + 1 b + c + 1 c + a  . Turkey Team Selection Test 2010 Bài 28. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 2) (b + 1)(b + 5) + (b + 1)(c + 2) (c + 1)(c + 5) + (c + 1)(a + 2) (a + 1)(a + 5) ≥ 3 2 . Turkey Team Selection Test 2011 Bài 29. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 1. Chứng minh rằng a + b + c + √ 3 ≥ 8abc  1 a 2 + 1 + 1 b 2 + 1 + 1 c 2 + 1  . Turkey Team Selection Test 2012 Bài 30. Với mọi số thực x, y, z thỏa mãn −2 ≤ x, y, z ≤ 2 và x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 4, tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng z(xz + yz + y) xy + y 2 + z 2 + 1 ≤ k. Turkey Team Selection Test 2013 Bài 31. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Chứng minh rằng √ a + b + √ a + c + √ b + c ≥ 5abc + 2. Turkey Team Selection Test 2014 Bài 32. Cho n số thực dương a 1 , a 2 , , a n thỏa mãn a 1 a 2 ···a n = 1. Chứng minh rằng n ∑ i=1 a i  a 4 i + 3 ≤ 1 2 n ∑ i=1 1 a i . Turkey National Olympiad Second Round 2011 Bài 33. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng 1 x + y 20 + z 11 + 1 y + z 20 + x 11 + 1 z + x 20 + y 11 ≤ 1. 6 www.VNMATH.com Turkey National Olympiad Second Round 2011 Bài 34. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng x(2x − y) y(2z + x) + y(2y −z) z(2x + y) + z(2z − x) x(2y + z) ≥ 1. Turkey National Olympiad Second Round 2012 Bài 35. Tìm giá trị lớn nhất của M sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương a, b, c a 3 + b 3 + c 3 −3abc ≥ M(ab 2 + bc 2 + ca 2 −3abc). Turkey National Olympiad Second Round 2013 Bài 36. Cho hai số thực dương a, b. Chứng minh rằng a 2 b 2 (a 2 + b 2 −2) ≥ (a + b)(ab −1). Turkey Junior National Olympiad 2010 Bài 37. Cho hai số thực dương x, y. Chứng minh rằng 1 ≤ (x + y)(x 3 + y 3 ) (x 2 + y 2 ) 2 ≤ 9 8 . Turkey Junior National Olympiad 2011 Bài 38. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a 3 + b 3 + c 3 = a 4 + b 4 + c 4 . Chứng minh rằng a a 2 + b 3 + c 3 + b b 2 + a 3 + c 3 + c c 2 + a 3 + b 3 ≥ 1. Turkey Junior National Olympiad 2012 Bài 39. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |(x −y)(y − z)(z − x)|. Turkey Junior National Olympiad 2013 Bài 40. Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng 1 + yz + zx (1 + x + y) 2 + 1 + zx + xy (1 + y + z) 2 + 1 + xy + yz (1 + z + x) 2 ≥ 1. Japan Mathematical Olympiad Finals 2010 7 Bài 41. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca ≤ 3abc. Chứng minh rằng  a 2 + b 2 a + b +  b 2 + c 2 b + c +  c 2 + a 2 c + a + 3 ≤ √ 2( √ a + b + √ b + c + √ c + a). India International Mathematical Olympiad Training Camp 2010 Bài 42. Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn a + b + c + d = 6, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 12. Chứng minh rằng 36 ≤ 4(a 3 + b 3 + c 3 + d 3 ) −(a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ) ≤ 48. IMO Shortlist 2010, India International Mathematical Olympiad Training Camp 2011 Bài 43. Cho tam giác nhọn ABC có r , R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Gọi AD, BE, CF là các đường phân giác trong. Chứng minh rằng EF B C + FD CA + DE AB ≥ 1 + r R . India International Mathematical Olympiad Training Camp 2012 Bài 44. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực a 1 , a 2 , , a n thỏa mãn a 2 1 + a 2 2 + ···+ a 2 n = n. Chứng minh rằng ∑ 1≤i<j ≤n 1 n − a i a j ≤ n 2 . Asian Pacific Mathematical Olympiad 2012 Bài 45. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng x(x + 2) 2x 2 + 1 + y(y + 2) 2y 2 + 1 + z(z + 2) 2z 2 + 1 ≥ 0. Romania Team Selection Test 2011 Bài 46. Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực dương x 1 , x 2 , , x n thỏa mãn n ∑ i=1 1 x i + 1 = 1. Chứng minh rằng với k > 1, ta có n ∑ i=1 1 x k i + 1 ≥ n (n −1) k + 1 . 8 www.VNMATH.com Romania Team Selection Test 2011 Bài 47. Cho số nguyên dương k và các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3k. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 3k−1 b + b 3k−1 c + c 3k−1 a + k 2 a k b k c k . Romania Team Selection Test 2012 Bài 48. Cho các số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn ab + bc + cd + da + ac + bd = 6. Chứng minh rằng 1 a 2 + 1 + 1 b 2 + 1 + 1 c 2 + 1 + 1 d 2 + 1 ≥ 2. Brazil Olympic Revenge 2013 Bài 49. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 3 ≤ 4a + b a + 4b + 4b + c b + 4c + 4c + a c + 4a < 33 4 . Germany Team Selection Test 2010 Bài 50. Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a bcd = 1. Chứng minh rằng 1 a + 1 b + 1 c + 1 d + 9 a + b + c + d ≥ 25 4 . China Girls Mathematical Olympiad 2011 Bài 51. Cho các số thực dương x 1 , x 2 , , x n+1 thỏa mãn x 1 x 2 x n+1 = 1. Chứng minh rằng x 1 √ n + x 2 √ n + ··· + x n+1 √ n ≥ n n √ x 1 + n n √ x 2 + ···+ n n √ x n+1 . Iran Team Selection Test 2014 Bài 52. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 . Chứng minh rằng  (x −y)(y − z)(z − x)  2 ≤ 2  (x 2 −y 2 ) 2 + ( y 2 −z 2 ) 2 + ( z 2 − x 2 ) 2  . Iran Team Selection Test 2014 9 Bài 53. Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 2(xy + yz + zx). Chứng minh rằng x + y + z 3 ≥ 3  2xyz. Iran National Mat h Olympiad (Second Round) 2014 Bài 54. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng  a 2 + ab + b 2 +  b 2 + bc + c 2 +  c 2 + ca + a 2 ≤  5(a 2 + b 2 + c 2 ) + 4(ab + bc + ca). Tajikistan Team Selection Test 2014 Bài 55. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a 2 (b + c) + b 2 (c + a) + c 2 (a + b) = 0. Chứng minh rằng ab + bc + ca ≤ 0. Israel National Mat h Olympiad 2011 Bài 56. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có a 5 b 5 + b 5 c 5 + c 5 a 5 ≥ (a + 1) 5 (b + 1) 5 + (b + 1) 5 (c + 1) 5 + (c + 1) 5 (a + 1) 5 . Israel National Mat h Olympiad 2011 Bài 57. Cho {a 1 , a 2 , , a n } ⊂ (0, 1). Chứng minh rằng a 1 1 −a 1 + a 2 1 −a 2 + + a n 1 −a n + 1 a 1 + a 2 + + a n ≥ 2 + 1 n . Israel Winter Camp 2011 Bài 58. Cho các số thực dương x 1 , x 2 , , x n thỏa mãn x 1 + x 2 + + x n = n. Chứng minh rằng x 1 x 2 + x 2 x 3 + + x n x 1 ≤ 4 x 1 x 2 · · x n + n −4. Israel National Mat h Olympiad 2012 Bài 59. Cho số nguyên n ≥ 2. Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho bất đẳng thức  x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n ≥ k ·min{|x 1 − x 2 |, |x 2 − x 3 |, , |x n − x 1 |}, đúng với mọi số thực x 1 , x 2 , , x n . Israel National Mat h Olympiad 2013 10 www.VNMATH.com [...]... 66 Chứng minh rằng với mọi số thực x, bất đẳng thức sau luôn đúng 1 max{| sin x |, | sin( x + 2010)|} > √ 17 11 www.VNMATH.com Moldova Team Selection Test 2010 Bài 67 Cho p ∈ R+ và k ∈ R+ Giả sử đa thức F ( x ) = x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + k4 với các hệ số thực có 4 nghiệm âm Chứng minh rằng F ( p ) ≥ ( p + k )4 Moldova Team Selection Test 2010 Bài 68 Cho các số thực dương x1 , x2 , , xn thỏa mãn... xn ≤ thì tồn tại k sao cho 1 ≤ k ≤ n và 3 1 2 ≤ x1 + x2 + + xk < 3 3 Moldova Team Selection Test 2014 Bài 77 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 + 5 b3 + 5 c3 + 5 + 3 + 3 a3 ( b + c ) b ( c + a ) c ( a + b ) E( a, b, c) = Moldova Team Selection Test 2014 Bài 78 Tìm giá trị lớn nhất của số thực k sao cho bất đẳng thức a b c 1 + + ≥ , 2 2 2 2 1 + 9bc... 2013 12 Bài 74 Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng ( xy + yz + xz) 1 1 1 + 2 + 2 x 2 + y2 y + z2 z + x 2 5 > 2 Moldova Team Selection Test 2013 Bài 75 Cho a, b ∈ R+ thỏa mãn a + b = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E( a, b) = 3 1 + 2a2 + 2 40 + 9b2 Moldova Team Selection Test 2014 Bài 76 Cho số nguyên n ≥ 2 và các số thực x1 , x2 , , xn thỏa mãn 0 < x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn 2 và x1 + x2 + · ·... w + w y −1 Middle European Mathematical Olympiad 2013 Bài 63 Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f thỏa mãn a < b < c < d < e < f Đặt a + c + e = S và b + d + f = T Chứng minh rằng 2ST > 3(S + T ) S(bd + d f + f b) + T ( ac + ce + ea) IMO Shortlist 2010 √ Bài 64 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn min{ a + b, b + c, c + a} > 2 và a2 + b2 + c2 = 3 Chứng minh rằng b c 3 a + + ≥ ( b + c − a )2... Cho các số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a2 + b2 + c2 + d2 = 4 Chứng minh rằng a b c d 2 + + + ≤ + 2 b c d a abcd Israel Winter Camp 2013 Bài 61 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 1 1 + 2 + 2 2 a b c a+b+c = Chứng minh rằng 2( a + b + c ) ≥ 3 7a2 b + 1 + 3 7b2 c + 1 + 3 7c2 a + 1 Middle European Mathematical Olympiad 2013 Bài 62 Cho các số thực x, y, z, w khác 0 thỏa mãn x + y = 0, z + w = 0, và. .. biểu thức xn x3 x2 +···+ + E = x1 + 2 2 1 − ( x1 + x2 ) 1 − ( x 1 + x 2 + · · · + x n −1 )2 1 − x1 Moldova Team Selection Test 2010 Bài 69 Cho các số thực dương x1 , x2 , , xn thỏa mãn x1 x2 · · · xn = 1 Chứng minh rằng 1 x1 ( x1 + 1) + 1 x2 ( x2 + 1) +···+ 1 x n ( x n + 1) ≥ n 2 Moldova Team Selection Test 2011 Bài 70 Cho số nguyên n ≥ 2 Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá giá trị của biểu thức: ... 1 Japan Mathematical Olympiad Finals 2014 Bài 79 Cho số nguyên n > 2 và các số thực dương a1 , a2 , , an thỏa mãn a1 + a2 + · · · + an = 1 Chứng minh rằng a2 · a3 · · · · · a n a · a · · · · · an a · a · · · · · a n −1 1 + 1 3 +···+ 1 2 ≤ a1 + n − 2 a2 + n − 2 an + n − 2 ( n − 1)2 Mediterranean Mathematics Olympiad 2010 Bài 80 Cho các số thực dương a, b, c, d, e, f Chứng minh rằng 3 abc + a+b+d 3... các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ≥ 2 2 2 2 a+b b+c c+a Croatia Team Selection Test 2011 Bài 83 Cho số nguyên dương k Tìm hằng số Dk lớn nhất sao cho bất đẳng thức: ( abc)2 + (bcd)2 + (cda)2 + (dab)2 ≤ Dk , đúng với mọi số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn ak + bk + ck + dk = 4 Croatia Team Selection Test 2013 14 ... c+e+ f 13 3 ( a + b + d)(c + e + f ) www.VNMATH.com European Mathematical Cup 2012 Bài 81 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c ab bc ca + + ≥ + + 1+b+c 1+c+a 1+a+b 1+a+b 1+b+c 1+c+a Chứng minh rằng √ √ √ a2 + b2 + c2 ab + bc + ca +a+b+c+2 ≥ 2 ab + bc + ca European Mathematical Cup 2013 Bài 82 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ≥ 2 2 2 2 a+b . BẤT ĐẲNG THỨC TRONG KÌ THI OLYMPIC C ÁC NƯỚC VÀ KHU VỰC NGUYỄN VĂN QUÝ SV khoa Toán, trường ĐHKHTN Hà Nội Hà Nội - 2014 1 I. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN. Bài 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của k sao cho bất. y, z ≤ 2 và x 2 + y 2 + z 2 + xyz = 4, tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau luôn đúng z(xz + yz + y) xy + y 2 + z 2 + 1 ≤ k. Turkey Team Selection Test 2013 Bài 31. Cho các số thực. rằng với mọi số thực x, bất đẳng thức sau luôn đúng max{|sin x|, |sin(x + 2010)|} > 1 √ 17 . 11 Moldova Team Selection Test 2010 Bài 67. Cho p ∈ R + và k ∈ R + . Giả sử đa thức F(x) = x 4 + a 3 x 3 +