www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2014 Môn: TOÁN; Khối: B và D; Thời gian làm bài: 180 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số 3 2 6 3( 2) 4 5 y x x m x m = − + + + − có đồ thị ( ), m C với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi 1. m = b) Tìm m để trên ( ) m C t ồ n t ạ i đ úng hai đ i ể m có hoành độ l ớ n h ơ n 1 sao cho các ti ế p tuy ế n t ạ i m ỗ i đ i ể m đ ó c ủ a ( ) m C vuông góc v ớ i đườ ng th ẳ ng : 2 3 0. d x y + + = Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin 1 cot 2. 1 cos 1 cos x x x x + + = + − Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình ( ) ( ) 1 1 2 2 0 ( , ). 1 4 0 x y y x y y y x x  − − − + =  ∈  + − + − =   ℝ Câu 4 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường 3 1 ; 0; 1. (3 1) 3 1 x x x y y x − − = = = + + Câu 5 (1,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có 2, 3, 2 , AB AC a BD CD a BC a = = = = = góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 0 45 . Tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD). Câu 6 (1,0 điểm). Giả sử , x y là các số thực dương thỏa mãn ( ) 2 2 2 3( ) 4 1 . x y x y + = + + Tìm giá tr ị l ớ n nh ấ t c ủ a bi ể u th ứ c 2 2 2 2 2 2 . 2 2 x y x y P x y x y + + = + + + II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a hoặc phần b) a. Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxy cho tam giác ABC có đỉ nh (3; 3), A tâm đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p (2;1), I ph ươ ng trình đườ ng phân giác trong góc  BAC là 0. x y − = Tìm t ọ a độ các đỉ nh B, C bi ế t r ằ ng 8 5 5 BC = và góc  BAC nh ọ n. Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxyz cho m ặ t ph ẳ ng ( ) : 2 1 0 P x y z − − + = và các đườ ng th ẳ ng 1 2 3 7 2 1 1 3 : ; : ; : . 2 1 2 1 2 1 1 1 2 x y z x y z x y z d d d + − − − − − = = = = = = − Tìm 1 2 , M d N d ∈ ∈ sao cho đườ ng th ẳ ng MN song song v ớ i (P) đồ ng th ờ i t ạ o v ớ i d m ộ t góc α có 1 cos . 3 α = Câu 9.a (1,0 điểm). Cho ph ươ ng trình 2 8 4( 1) 4 1 0 (1), z a z a− + + + = v ớ i a là tham s ố . Tìm a ∈ ℝ để (1) có hai nghi ệ m 1 2 , z z th ỏ a mãn 1 2 z z là s ố ả o, trong đ ó 2 z là s ố ph ứ c có ph ầ n ả o d ươ ng. b. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm). Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxy cho tam giác ABC có ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng ch ứ a đườ ng cao k ẻ t ừ B là 3 18 0, x y + − = ph ươ ng trình đườ ng th ẳ ng trung tr ự c c ủ a đ o ạ n th ẳ ng BC là 3 19 279 0, x y + − = đỉ nh C thu ộ c đườ ng th ẳ ng : 2 5 0. d x y − + = Tìm t ọ a độ đỉ nh A bi ế t r ằ ng  0 135 . BAC = Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian v ớ i h ệ t ọ a độ , Oxyz cho đ i ể m (4; 4; 5), (2; 0; 1) A B − − − và m ặ t ph ẳ ng ( ) : 3 0. P x y z + + + = Tìm t ọ a độ đ i ể m M thu ộ c m ặ t ph ẳ ng (P) sao cho m ặ t ph ẳ ng (MAB) vuông góc v ớ i (P) và 2 2 2 36. MA MB− = Câu 9.b (1,0 điểm). Cho đồ th ị 2 2 ( ): 1 a x ax C y x + − = − và đườ ng th ẳ ng : 2 1. d y x = + Tìm các s ố th ự c a để d c ắ t ( ) a C t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t , A B th ỏ a mãn , IA IB = v ớ i ( 1; 2). I − − Hết www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2014 Môn: TOÁN – Khối B, D; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) Khi 1 m = hàm số tr ở thành 3 2 6 9 1. y x x x = − + − a) Tập xác định: . R b) Sự biến thiên: * Giới hạn tại vô cực: Ta có lim x y →−∞ = −∞ và lim . x y →+∞ = +∞ * Chiều biến thiên: Ta có 2 ' 3 12 9; y x x = − + 1 1 ' 0 ; ' 0 ; ' 0 1 3. 3 3 x x y y y x x x = <   = ⇔ > ⇔ < ⇔ < <   = >   Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ) ( ) ;1 , 3; ; −∞ + ∞ nghịch biến trên khoảng ( ) 1; 3 . * Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1, 3, CĐ x y = = hàm số đạt cực tiểu tại 3, 1. CT x y = = − 0,5 * Bảng biến thiên: c) Đồ thị: 0,5 b) (1,0 điểm) Đường thẳng d có hệ số góc 1 . 2 k = − Do đó tiếp tuyến của ( ) m C vuông góc với d có hệ số góc ' 2. k = Ta có 2 ' ' 3 12 3( 2) 2 y k x x m = ⇔ − + + = 2 3 12 4 3 . x x m ⇔ − + = − (1) Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1. 0,5 Câu 1. (2,0 điểm) Xét hàm số 2 ( ) 3 12 4 f x x x = − + trên (1; ). + ∞ Ta có bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình ( ) 3 f x m = − có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi 5 8 8 3 5 . 3 3 m m − < − < − ⇔ < < Vậy 5 8 . 3 3 m < < 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) Điều kiện: cos 1, sin 0 , . x x x k k π ≠ ± ≠ ⇔ ≠ ∈ Z Phương trình đã cho tương đương với 0,5 x 'y y 1 ∞ − ∞ + 3 3 ∞ − ∞ + 1 − + – 0 0 + x O 3 y 1 1 − 3 x ( ) f x 1 ∞ − ∞ + ∞ + 8 − 2 5 − ∞ + www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 3 2 sin sin cos 1 cos cos 2 sin sin x x x x x x x − + + + = 2 sin cos 1 2sin sin cos cos2 0 (sin cos )(1 cos sin ) 0. x x x x x x x x x x ⇔ + + = ⇔ + + = ⇔ + + − = *) sin cos 0 , 4 x x x k π π + = ⇔ = − + . k ∈ Z *) 2 1 1 cos sin 0 sin 2 4 2 2 , . x k x x x x k k π π π π π  = +    + − = ⇔ − = ⇔      = + ∈  Z Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là , 2 , . 4 2 x k x k k π π π π = − + = + ∈ Z 0,5 Điều kiện: 1. x ≥ Đặ t 1, 0. t x t = − ≥ Khi đó 2 1 x t = + và hệ trở thành 2 2 2 2 (1 2 ) 2 0 2 2 0 ( ) 2 2 0 ( ) 3 0 3 0 ( ) 3 3 0 t y y t y ty t y ty y y t t y ty t t y ty − − + = − − + = − − + =       ⇔ ⇔    + + − = + + − = − + − =       Suy ra 2 0 2( ) 3( ) 0 3 3 . 2 2 t y y t t y t y t y y t − = =     − + − = ⇔ ⇔   − = − = +   0,5 Câu 3. (1,0 điểm) *) Với , y t = ta có 2 2 2 0 1. t t − + = ⇔ = Suy ra 2, 1. x y = = *) Với 3 , 2 y t = + ta có 2 3 3 3 13 2 2 0 4 6 1 0 . 2 2 4 t t t t t − +   − − + + = ⇔ + − = ⇔ =     Suy ra 19 3 13 3 13 , . 8 4 x y − + = = V ậ y nghi ệ m ( x ; y ) c ủ a h ệ là 19 3 13 3 13 (2;1), ; . 8 4   − +       0,5 Ta có 3 1 0 3 1 0. (3 1) 3 1 x x x x x − − = ⇔ = ⇔ = + + Rõ ràng 3 1 0 (3 1) 3 1 x x x− − ≥ + + với mọi [ ] 0;1 . x∈ Do đó diện tích của hình phẳng là 1 1 0 0 3 1 3 1 d .3 d . (3 1) 3 1 (3 1) 3 1 x x x x x x x S x x − − − = = + + + + ∫ ∫ 0,5 Câu 4. (1,0 điểm) Đặt 3 1, x t = + ta có khi 0 x = thì 2, t = khi 1 x = thì 2 t = và 2 3 1. x t = − Suy ra 3 ln3d 2 d , x x t t = hay 2 d 3 d . ln3 x t t x = Khi đó ta có ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 d 1 d . ln3 ln3 ln3 ln3 t S t t t t t t t − −     = = − = + =         ∫ ∫ 0,5 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 4 Gọi M là trung điểm BC. Từ các tam giác cân ABC, DBC , . AM BC DM BC ⇒ ⊥ ⊥ Từ giả thiết    0 0 0 45 ( , ) 45 135 AMD AM DM AMD  = ⇒ = ⇒   =  TH 1.  0 45 AMD = Sử dụng định lý Pitago , 2. AM a DM a⇒ = = Kẻ AH MD ⊥ tại H. Vì ( ) ( ). BC AMD BC AH AH BCD ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Khi đó 0 2 2 1 .sin45 ; . 2. 2 2 BCD a AH AM S DM BC a= = = = Suy ra 3 1 . . 3 3 ABCD BCD a V AH S= = 0,5 Câu 5. (1,0 điểm) Sử dụng định lý cosin cho 2 2 2 2 3 AMD AD a AC AD a CD ACD ∆ ⇒ = ⇒ + = = ⇒ ∆ vuông tại A. Suy ra ( ) 2 3 1 2 . , ( ) 2. 2 2 ABCD ACD ACD V a S AC AD d B ACD a S = = ⇒ = = TH 2.  0 135 AMD = Tương tự ta có ( ) 3 6 ; ,( ) , 3 3 ABCD a a V d B ACD= = ( 5 AD a = ). 0,5 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 3 3 3 . . . . 2 2 ( ) 2 x y xy xy x x y x y x y x y x y x y x y y xy y + − = ≤ = + + + + + + + + + Tương tự, ta cũng có 2 2 2 1 3 . . 2 2 x y y x y x y x y x y + − ≤ + + + + Mặt khác, ta có 2 , 2 2 3 x y x y x y + ≤ + + vì bất đẳng thức này tương đương với 2 2 2 2 4 2 3 2 2 5 x y xy x y xy + + ≤ + + , hay 2 ( ) 0. x y − ≥ 0,5 Câu 6. (1,0 điểm) Từ đó ta có 2 3 2 3 2 . . . 2 2 3 x y P x y x y x y x y x y x y   − ≤ + ≤ =   + + + + + +   Suy ra 4 . P x y ≤ + (1) Từ giả thiết ta lại có 2 2 2 2 3( ) 4( ) 4 2( ) 4. x y x y x y + = + + ≥ + + Suy ra 2 ( ) 4, x y + ≥ hay 2. x y + ≥ (2) Từ (1) và (2) ta có 2. P ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1. x y = = Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 2, đạt được khi 1. x y = = 0,5 Câu 7.a (1,0 điểm) Vì AD là phân giác trong góc A nên AD c ắ t đườ ng tròn (ABC) t ạ i E là đ i ể m chính gi ữ a cung BC . IE BC ⇒ ⊥ Vì E thu ộ c đườ ng th ẳ ng 0 x y − = và (0; 0). IE IA R E = = ⇒ Ch ọ n (2;1) BC n EI = = ⇒   pt BC có d ạ ng 2 0. x y m + + = T ừ gi ả thi ế t 2 2 4 5 3 5 5 HC IH IC HC⇒ = ⇒ = − = 0,5 A B D M H C A B C E I D H www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 5 3 ( , ) 5 d I BC⇒ = 2 | 5| 3 8 5 5 m m m = −  + ⇔ = ⇔ ⇒  = −  : 2 2 0 : 2 8 0. BC x y BC x y + − =   + − =  Vì  BAC nhọn nên A và I phải cùng phía đối với BC, kiểm tra thấy : 2 2 0 BC x y + − = thỏa mãn. Từ hệ 2 2 2 2 0 8 6 (0; 2), ; 5 5 ( 2) ( 1) 5 x y B C x y + − =     ⇒ −    − + − =     hoặc 8 6 ; , (0; 2) 5 5 B C   −     . 0,5 1 2 ( ; 2 2; 1); ( 1; ; 2 3). M d M m m m N d N n n n ∈ ⇒ + + ∈ ⇒ + + Suy ra ( 1; 2 2; 2 2). MN m n m n m n = − + + − + − − + +  Vì MN // (P) nên 2 0 2 . 0 0 0 ( ) P m n m n n MN n n N P  − + = = −   =  ⇔ ⇔    ≠ ≠ ∉       Suy ra (3; 2; 4) MN u n n = − + +  và (2; 1; 2). d u = −  0,5 Câu 8.a (1,0 điểm) Suy ra 2 2 | 3 12| | 4 | 1 cos( , ) cos 3 3 2 4 29 2 4 29 n n MN d n n n n α + + = = = = + + + + 2 2 2 3( 4) 2 4 29 20 19 0 1 n n n n n n ⇔ + = + + ⇔ + + = ⇔ = − hoặc 19. n = − *) 1 3 ( 3; 4; 2), (0; 1;1). n m M N = − ⇒ = − ⇒ − − − − *) 19 21 ( 21; 40; 20), ( 18; 19; 35). n m M N = − ⇒ = − ⇒ − − − − − − 0,5 T ừ gi ả thi ế t suy ra 1 2 , z z không ph ả i là s ố th ự c. Do đ ó ' 0, ∆ < hay 2 4( 1) 8(4 1) 0 a a + − + < 2 2 4( 6 1) 0 6 1 0. a a a a ⇔ − − < ⇔ − − < (*) Suy ra 2 2 1 2 1 1 ( 6 1) 1 ( 6 1) , . 4 4 a a a i a a a i z z z + − − − − + + − − − = = = 0,5 Câu 9.a (1,0 điểm) Ta có 1 2 z z là s ố ả o 2 1 z ⇔ là s ố ả o ( ) 2 2 2 0 ( 1) ( 6 1) 0 2 0 2. a a a a a a a =  ⇔ + − − − − = ⇔ − = ⇔  =  Đố i chi ế u v ớ i đ i ề u ki ệ n (*) ta có giá tr ị c ủ a a là 0, 2. a a = = 0,5 : 3 18 ( 3 18; ), : 2 5 ( ; 2 5). B BH x y B b b C d y x C c c ∈ = − + ⇒ − + ∈ = + ⇒ + T ừ gi ả thi ế t suy ra B đố i x ứ ng C qua đườ ng trung tr ự c . 0 :3 19 279 0 là 60 13 357 4 (6; 4) 10 41 409 9 (9; 23). u BC x y BC M b c b B b c c C ∆  =  ∆ + − = ⇔  ∈∆   + = =    ⇔ ⇔ ⇒    + = =      AC BH ⊥ ⇒ ch ọ n ( 3; 1) pt : 3 4 0 ( ; 3 4) AC BH n u AC x y A a a = = − ⇒ − + + = ⇒ −   (6 ; 8 3 ), (9 ; 27 3 ). AB a a AC a a ⇒ = − − = − −   0,5 Câu 7.b (1,0 điểm) Ta có  0 2 2 2 2 1 (6 )(9 ) (8 3 )(27 3 ) 1 135 cos( , ) 2 2 (6 ) (8 3 ) . (9 ) (27 3 ) a a a a A AB AC a a a a − − + − − = ⇔ = − ⇔ = − − + − − + −   2 2 2 3 9 (9 )(3 ) 1 2(3 ) 6 10 2 | 9 | 6 10 a a a a a a a a a < <  − −  ⇔ = − ⇔  − = − +  − − +  4. a ⇔ = Suy ra (4; 8). A 0,5 Câu 8.b (1,0 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa A, B và vuông góc với (P). Suy ra M thuộc giao tuyến của (Q) và (P). ( 2; 4; 4) , (0; 6; 6) 6(0;1; 1) (1;1;1) Q P P AB n AB n n  = −    ⇒ = = − = −    =        . Suy ra pt (Q): 1 0. y z − − = 0,5 A B C H d M trung đ i ể m www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 6 điểm) Gọi 1 0 2 1 ( ) ( ) pt : 3 0 2 1 1 y z x y z d P Q d x y z − − =  + + = ∩ ⇒ ⇔ = =  + + + = −  ( 2 2; ; 1) . M t t t d ⇒ − − − ∈ Ta có 2 2 2 ( 2; 0; 1) 0 2 36 6 8 0 14 4 1 4 ; ; . 3 3 3 3 M t MA MB t t M t − −  =    − = ⇔ − + = ⇔ ⇒     − =         0,5 Hoành độ giao điểm của d và ( ) a C là nghiệm của phương trình 2 2 2 1, 1 x ax x x + − = + − hay 2 ( 1) 1 0, 1. x a x x − + + = ≠ (1) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2 1 ( 1) 4 0 3. 1 a a a a  > ∆ = + − >  ⇔ ⇔   < − ≠    (2) Khi đó gọi 1 2 , x x là hai nghiệm phân biệt của (1), ta có 1 1 2 2 ( ; 2 1), ( ; 2 1). A x x B x x + + 0,5 Câu 9.b (1,0 điểm) Do đó 2 2 2 2 1 1 2 2 ( 1) (2 3) ( 1) (2 3) IA IB x x x x= ⇔ + + + = + + + ( ) 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 5 14 5 14 ( ) 5( ) 14 0 x x x x x x x x ⇔ + = + ⇔ − + + = 1 2 5( ) 14 0, x x ⇔ + + = vì 1 2 . x x ≠ (3) Theo định lý Viet ta có 1 2 1. x x a + = + Thay vào (3) ta được 19 5( 1) 14 0 , 5 a a+ + = ⇔ = − thỏa mãn điều kiện (2). Vậy 19 . 5 a = − 0,5 . www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam www.DeThiThuDaiHoc.com – Đề Thi Thử Đại Học 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 20 14 Môn: TOÁN; Khối: B và D; Thời. ) 2 3 1 2 . , ( ) 2. 2 2 ABCD ACD ACD V a S AC AD d B ACD a S = = ⇒ = = TH 2.  0 135 AMD = Tương tự ta có ( ) 3 6 ; ,( ) , 3 3 ABCD a a V d B ACD= = ( 5 AD a = ). 0,5 Ta có 2 2 2 2 2 2 2. 2 t = và 2 3 1. x t = − Suy ra 3 ln 3d 2 d , x x t t = hay 2 d 3 d . ln3 x t t x = Khi đó ta có ( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 d 1 d . ln3 ln3 ln3 ln3 t S t t t t t t t − − 