BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN _____________________________________________________ § 1 - BẤT ĐẲNG THỨC A) KIẾN THỨC CẦN NHỚ I) Bất đẳng thức Cauchy 1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Cauchy: - Nội dung: Trung bình cộng của n số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. Nghĩa là: a + a + a +…+ a > n với a > 0, a > 0,…,a > 0 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a =…= a * Chú ý: Chính vì nội dung của bất đẳng thức Cauchy mà khi chứng minh bất đẳng thức có xuất hiện tổng hoặc tích thì ta nên nghĩ ngay tới bất đẳng thức Cauchy - Hệ quả: 1/ Tổng của một số dương với số nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2: a + > 2 (∀a ∈ R) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 1 2/ Với các số dương a, b ta luôn có: (a+b)( + ) > 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b Tổng quát: (a+a +…+a) + +…+ > n Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a = … = a 3/ a + b > 2 > 2ab (∀a, b ∈ R) ⇒ (a + b) > 4ab (∀a, b ∈ R) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b 4/ a + b + c > ab + ac + bc (∀a, b, c ∈ R) ⇒ 3(a + b + c) > (a + b + c) > 3(ab + ac + bc) (∀a, b, c ∈ R) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c * Chú ý: Bất đẳng thức Cauchy còn có ý nghĩa về mặt hình học 2- Một số ví dụ về việc vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức: VÍ DỤ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc b) + + > + + (*) Từ đó hãy chứng minh: + + > (**) với p là nửa chu vi của tam giác đó Giải: Nhận xét đầu tiên cho bài toán này đó là vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta luôn có các số dương a+b-c ; c+a-b ; b+c-a. Chính vì vậy ta đã có thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy. Cụ thể: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương: (a+b-c) + (c+a-b) > 2 ⇒ 2a > 2 ⇒ a > (a+b-c)(c+a-b). Làm tương tự như vậy ta sẽ có: b > (a+b-c)(b+c-a) , c > (c+a-b)(a+b-c) Vậy (abc) > ⇒ (a+b-c)(c+a-b)(b+c-a) < abc Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là tam giác đều * Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên theo cách làm sau đây: (a+b-c)(c+a-b) = = a - (b-c) < a Tương tự (a+b-c)(b+c-a) < b , (c+a-b)(b+c-a) < c Từ đó ta có đccm. b) Muốn chứng minh bất đẳng thức này ta cần liên tưởng đến một hệ quả rất hữu dụng của bất đẳng thức Cauchy: + > (∀x, y ∈ R) Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: + > = = (1) + > = = (2) + > = = (3) Cộng vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta có 2VT > 2VP. Bất đẳng thức (*) được chứng minh. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c Ta dễ dàng nhận thấy: p-a = - a = = ⇒ = p-b = - b = = ⇒ = p-c = - c = = ⇒ = Do đó: + + = 2( + + ) (***) Từ (*) và (***) ta có: + + > 2( + + ) Lại áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cauchy + + > (∀x, y, z ∈ R) Vậy + + > 2. = = (đccm) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là tam giác đều ۞ Chú ý: Các bất đẳng thức ở phần a) và b) của VÍ DỤ 1 có thể được chứng minh bằng phương pháp đặt ẩn phụ rồi biểu diễn bất đẳng thức qua các biến phụ. Từ đó ta có thể dễ dàng chứng minh. VÍ DỤ 2: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) + + > a+b+c b) (a+b)(b+c)(a+c) > 8abc c) (1+a)(1+b)(1+c) >(1+ ) Giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng cặp số dương: + > 2 = 2. Tương tự: + > 2a , + > 2c Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta được đccm. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số: a và b, b và c, c và a rồi nhân các vế của các bất đẳng thức vừa thu được, ta suy ra đccm. Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c c) Khai triển tích (1+a)(1+b)(1+c) = (1+a+b+ab)(1+c) = 1+(a+b+c) +(ab+ac+bc)+abc > 1+ 3 +3 +() = (1+ ) (Theo bất đẳng thức Cauchy) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c II) Bất đẳng thức Bunyakovsky 1- Những nội dung cơ bản về bất đẳng thức Bunyakovsky: - Nội dung: Cho 2 bộ n số thực (a, a,…, a) và (b, b, , b). Ta có: (a + a +…+ a)(b + b +…+ b) > (ab + ab +…+ ab) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k Bất đẳng thức Bunyakovsky còn có một biến dạng khác là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz hay còn gọi là bất đẳng thức Schwarz hay bất đẳng thức B.C.S (Bunyakovsky - Cauchy - Schwarz) Đó là: > (bất đẳng thức B.C.S) - Hệ quả: 1/ Với các số dương a, a,…, a ta có: n.(a + a +…+a) > (a + a +…+ a) Dấu “=” xảy ra ⇔ a = a = … = a 2/ Với 2 bộ n số thực (a, a,…,a) và (b, b, , b) ta luôn có: + +…+ > Dấu “=” xảy ra ⇔ a = kb, a = kb,…, a = kb hay = =…= = k 2- Một số ví dụ về vận dụng bất đẳng thức Bunyakovsky trong việc chứng minh bất đẳng thức: VÍ DỤ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x: + > 4 (*) Giải: Ta thấy vế trái của (*) gồm có một căn thức và một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Mối liên hệ này làm ta nhớ đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz. Ta giải bài này như sau: = = > = Do đó + > + Đến đây, ta áp dụng bất đẳng thức quen thuộc sau: + > Do đó: + > = =4 Dấu “=” xảy ra ⇔ ⇔ ⇔ x = 0,5 VÍ DỤ 2: Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng: + > (a+b)(c+d) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: = > = ac+bc (do a, b, c > 0) = > = ad+bd (do a, b, d > 0) Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được: VT > ac+bc+ad+bd = c(a+b) + d(a+b) = (a+b)(c+d) = VP. Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra ⇔ ab = c = d VÍ DỤ 3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh: + + > Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky: ( + + ) > (a+b+c) ⇒ VT.2(a+b+c) > (a+b+c) ⇒ VT > = VP Ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c III) Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 1- Phương pháp xét hiệu: Cơ sở của phương pháp này chính là A > B ⇔ A - B > 0 VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số a+b có tổng là một số dương. Chứng minh rằng: a + b > ab(a+b) Giải: Xét hiệu - ab = a - ab - ab + b = a(a - b) - b(a - b) = (a - b)(a - b) = (a-b)(a+b) > 0 (vì (a-b) > 0 ∀a, b và a+b > 0) Dấu “=” xảy ra ⇔ a - b = 0 ⇔ a = b * Chú ý: Ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp biến đổi tương đương hoặc sử dụng tính chất của bất đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy. VÍ DỤ 2: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a + b + c - 3abc b) Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh: > (Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho ba số không âm) Giải: a) Ta có: a + b + c - 3abc = (a+b) - 3ab - 3ab + c - 3abc = - = (a+b+c) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c+2ab-ac-bc) - 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a+b+c-ab-ac- bc) b) Từ kết quả của phần a) ta có thể chứng minh được với x, y, z không âm thì: x + y + z - 3xyz = (x+y+z)(x + y + z - xy - xz - yz) Mà x, y, z > 0 nên x+y+z > 0 (1) Và theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy thì: x + y + z > xy + xz + yz ⇒ x + y + z - xy - xz - yz > 0 (2) Từ (1) và (2) ta có: x + y + z - 3 xyz > 0 hay x + y + z > 3xyz Đặt x = , y = , z = thì bất đẳng thức trên tương đương với > Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c * Chú ý: Bài toán trên cho ta một cách chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho ba số bằng phương pháp đặt ẩn phụ để bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức “hữu tỉ” rồi sau đó sử dụng phương pháp xét hiệu. Ngoài ra ta còn có thể chứng minh bằng cách khác như sau: Ta nhận thấy với mọi số không âm a, b ta có: > Thật vậy, - = = > 0 ⇒ > Áp dụng bất đẳng thức trên cho các số không âm: a+b > 2 , c+ > 2 ⇒ a+b+c+ > 2 + 2 = 2( + ) > 2.2. = 4 = 4 ⇒ a+b+c+ > 4 ⇒ a+b+c > 3 2- Phương pháp biến đổi tương đương: Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng một bất đẳng thức khác tương đương với nó. Nếu bất đẳng thức đó đúng thì bất đẳng thức ta cần chứng minh cũng đúng. Trong suốt quá trình biến đổi ta bắt buộc phải sử dụng kí hiệu ⇔ VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: + y + z > xy + 2yz - xz Giải: Ta có: + y + z > xy + 2yz - xz ⇔ + y + z - xy - 2yz + xz > 0 ⇔ ( - y + z) > 0 (đúng với ∀x, y, z) Dấu “=” xảy ra ⇔ + z = y VÍ DỤ 2: Cho các số a, b, c thỏa mãn a > b > c > 0. Chứng minh: < Giải: Ta có: < ⇔ < ⇔ < ⇔ + < + ⇔ a+b + a-b + 2 < a+c + a-c + 2 ⇔ 2a + 2 < 2a + 2 ⇔ a - b < a - c ⇔ -b < -c ⇔ b > c (đúng) 3- Phương pháp sử dụng tính chất của bất đẳng thức: Trước tiên ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 1/ a > b ⇔ b < a 2/ a > b, b > c ⇒ a > c 3/ a > b ⇔ a + c > b + c 4/ a > b, c > d ⇒ a + c > b + d 5/ a > b, c < d ⇒ a - c > b - d 6/ a > b c > 0 ⇒ ac > bc c < 0 ⇒ ac < bc 7/ a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd 8/ a > b > 0 ⇒ a > b 9/ 0 < a < 1 ⇒ a > a (m, n ∈ N* ; m < n) a > 1 ⇒ a > a 10/ a > b ⇔ > (n ∈ N*) 11/ a > b, ab > 0 ⇒ < VÍ DỤ 1: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ab+ac+bc < a + b + c < 2(ab+ac+bc) Giải: Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức: a + b + c > ab + ac + bc (1) và a + b + c < 2(ab+ac+bc) (2) Theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy ta thấy rõ ràng (1) đúng. Ta chỉ cần chứng minh (2) cũng đúng. Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác ta có: a = a.a < a(b+c) = ab + ac (3) b = b.b < b(c+a) = bc + ab (4) c = c.c < c(a+b) = ac + bc (5) Cộng vế các bất đẳng thức (3), (4), (5) ta có: a + b + c < 2(ab+ac+bc) Dấu “=” ở bất đẳng thức (1) xảy ra ⇔ a = b = c ⇔ Tam giác đó là tam giác đều VÍ DỤ 2: Cho các số a, b thỏa mãn a+b > 1. Chứng minh: a + b > Giải: Theo hệ quả bất đẳng thức Cauchy ta có: 2(x + y) > (x + y) hay x + y > Áp dụng bất đẳng thức trên ta có: a + b > ⇒ (a + b) > Mặt khác: a + b = (a) + (b) > > = > Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = * Chú ý: Ta có: (a - b) > 0 ⇒ a - 2ab + b > 0 (a + b) = 1 ⇒ a + 2ab + b = 1 Do đó: (a - 2ab + b) + (a + 2ab + b) > 1 ⇒ 2(a + b) > 1 ⇒ a + b > ⇒ (a + b) > ⇒ a + 2ab + b > Mà (a - b) > 0 ⇒ a - 2ab + b > 0 Vậy (a + 2ab + b) + (a - 2ab + b) > ⇒ 2(a + b) > ⇒ a + b > 4- Phương pháp xét phần tử đại diện: VÍ DỤ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 ta có: S = + + + +…+ không phải là số tự nhiên Giải: Ta có: S = 1+ + + +…+ > 1 (1) Mặt khác ta thấy các hạng tử của S đều có dạng (k ∈ N, 2 < k < n) Xét = < = - Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có: < 1- < - ………………… < + Do đó: + +…+ < 1 - + - +…+ - = 1 - < 1 ⇒ S < 1+1 = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có: 1 < S < 2. Vậy S không phải số tự nhiên. VÍ DỤ 2: Chứng minh rằng với ∀ n ∈ N* ta có bất đẳng thức A = + + +…+ < Giải: Ta thấy các hạng tử của A đều có dạng (k ∈ N*) Xét = < = = ( - ) Cho k nhận các giá trị từ 1 đến n ta có: < (1- ) < ( - ) ………………… < ( - ) Do đó: A < (1- ) < 5- Phương pháp chứng minh phản chứng: VÍ DỤ: Cho các số a, b thỏa mãn a + b = 2. Chứng minh a + b < 2 Giải: Giả sử a + b > 2. Khi đó (a+b) > 8 ⇔ a + b + 3ab(a+b) > 8 ⇔ 2 + 3ab(a+b) > 8 ⇔ ab(a+b) > 2 ⇔ ab(a+b) > a + b ⇔ ab > a - ab + b ⇔ a - 2ab + b < 0 (vô lí) Do đó giả sử sai. Vậy m + n < 2 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = 1 * Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh trực tiếp bất đẳng thức trên như sau: Vì a + b = 2 > 0 ⇒ a > -b ⇒ a > -b ⇒ a+b > 0 Áp dụng bất đẳng thức a + b > ab(a+b) ta có: 3(a + b) > 3ab(a+b) ⇔ 4(a + b) > a + b + 3ab(a+b) = (a+b) ⇒ 4.2 > (a+b) ⇒ (a+b) < 8 ⇒ a+b < 2 6- Phương pháp qui nạp toán học: Các bước chứng minh mệnh đề đúng trên tập hợp số tự nhiên N bằng phương pháp qui nạp toán học: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k > 1 (giả thiết qui nạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k+1 - Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n VÍ DỤ: Chứng minh rằng với ∀ n ∈ N, n > 3 thì: 2 > 2n+1 (1) Giải: a) Với n = 3 thì 2 = 8, 2n+1 = 2.3+1 = 7 ⇒ 2 > 2n+1 Do đó mệnh đề đúng với n = 3 b) Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ∈ N, k > 3), tức là 2 > 2k+1 Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k+1: 2 > 2(k+1)+1 hay 2 > 2k+3 (2) Thật vậy, 2 = 2.2, mà 2 > 2k+1 (giả thiết qui nạp) Nên 2 > 2(2k+1) = 4k + 2 = (2k+3) + (2k-1) Vì k > 3 ⇒ 2k-1 > 0 ⇒ 2 > 2k+3 Vậy (2) đúng với mọi k > 3 c) Kết luận: Mệnh đề (1) đúng với mọi số tự nhiên n, n > 3 B) LUYỆN TẬP Bài 1: Chứng minh rằng với ∀a, b thỏa mãn ab > 1 ta có: + > Bài 2: Cho các số dương a, b thỏa mãn a+b < 2. Chứng minh a+b < 2 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng A = cot B + cot C Bài 4: Chứng minh rằng với mọi x > 1 ta có: 4x-5 + > 3 Bài 5: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh: a) a(1-a) > b) abc(1-a)(1-b)(1-c) > MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I) Kĩ thuật “cộng thêm” để chứng minh bất đẳng thức Ta có thể cộng thêm số để áp dụng bất đẳng thức Cauchy một cách phù hợp. Tuy nhiên cộng như thế nào cho hợp lí và dẫn ta đến kết quả của bài toán là một vấn đề không hề đơn giản. Ta xét một số ví dụ sau đây: VÍ DỤ: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh: + + > Giải: Ta có: + > 2 = 2. = a Tương tự: + > b , + > c Cộng vế các bất đẳng thức trên ta có: + + + > a+b+c ⇒ đccm [...]... 1) Tính A và B Bài 3: Cho a, b, c, d và A, B, C, D là các số dương thỏa mãn điều kiện = = = Chứng minh: + + + = Bài 4: Cho các số thực a, b, x, y thỏa mãn Chứng minh rằng + = Bài 5: Tìm giá trị của x sao cho: a) A = có giá trị nhỏ nhất b) B = có giá trị lớn nhất LUYỆN MỘT SỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI VÀO LỚP CHUYÊN A) CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ SỐ 1 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2 010 - 2011)... đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng B) CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái 2011 - 2012 Câu 1: (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau: 2 1 A = 9x − 12x + 4 − x 2 B = x − 6 x + 9 + x + 6 x + 9 Câu 2: (1,5 điểm) Không sử dụng máy tính hãy: 1 Giải phương trình: 5 + 7... = (cái) Giải phương trình trên ta được x = 100 Số đội viên trong phân đội đó là: 100 : 1+ = 10 (đội viên) Vậy có 10 đội viên và 100 cái kẹo C) LUYỆN TẬP Bài 1: Một số tự nhiên có 5 chữ số Nếu viết thêm vào bên trái hay bên phải chữ số 1 ta đều được một số có 6 chữ số Biết rằng khi ta viết thêm vào bên phải số đó ta được một số lớn gấp ba lần ta viết thêm vào bên trái Hãy tìm số đó Bài 2: Giải phương... - 10n + 9 + 384 Ta có: P = n - 10n + 9 = (n-1)(n+1)(n-3)(n+3) Mặt khác n là số nguyên lẻ, do đó n = 2k+1 (k ∈ Z) Thay n = 2k+1 vào P ta có: P = (2k+1-1)(2k+1+1)(2k+1-3)(2k+1+3) = 2k(2k+2)(2k-1)(2k+4) = 16(k-1)k(k+1)(k+2) Vì tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n! nên P + 16.4! = 384 VÍ DỤ 5: Chứng minh rằng ta luôn tìm được 10 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số Giải: Đặt a = 10! Ta có: a = 10! ... 10 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số Giải: Đặt a = 10! Ta có: a = 10! + 2 + 2 a = 10! + 3 + 3 a = 10! + 4 + 4 ……………… a = 10! + 11 + 11 Vậy ta luôn tìm được 10 số tự nhiên liên tiếp đều là hợp số C) LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm số tự nhiên x sao cho 100 0 < n < 2000 để a = là số tự nhiên Bài 2: Cho 4 số nguyên dương a, b, c và d thỏa mãn đẳng thức a + b = c + d Chứng minh rằng số a+b+c+d cũng là một hợp số... D và E Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) Câu 5 (5,0 điểm) a) Với giá trị nào của x, y thì biểu thức P = 2x2 + 9y2 – 6xy + 2x – 30y + 2052 có giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó b) Cho a3 + b3 = 2 Chứng minh rằng a + b ≤ 2 ĐỀ SỐ 2 (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2007 - 2008) Bài 1 (4 điểm) Cho a là một số tự nhiên lẻ, b là một số tự nhiên Chứng minh rằng các số a và ab+4 không... ra ⇔ a = b = c * Chú ý: Ở đây ta đặt ra một câu hỏi tại sao ta không “cộng thêm” vào số dương b+c mà lại cộng với ? Ta thử lật ngược lại vấn đề: Nếu ta cộng vào số b+c thì: + b+c > 2 = 2a Làm tương tự như vậy đối với và rồi cộng từng vế các bất đẳng thức vừa chứng minh ta sẽ có: + + + (b+c+c+a+a+b) > 2a + 2b + 2c ⇒ + + > 0, điều này không nói ai cũng biết !!! Từ đây chúng ta phải có sự định hướng đúng... trong mọi trường hợp Tùy từng bài toán mà ta có những cách vẽ hình phụ khác nhau mang tính sáng tạo của riêng mình sao cho lời giải bài toán thật ngắn gọn, dễ hiểu, có sức thuyết phục B) CÁC VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ 1: Cho hình thang vuông ABCD ( = = 90) có BC = 2AB = 2AD Lấy điểm M trên cạnh AD Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MB cắt CD tại N Chứng minh tam giác BMN vuông cân Giải: M A D N H B C Kẻ trung... tròn (O) và (O’) cắt BC tại M Khi đó MB = MA, MC = MA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Do đó MA = MB = MC Vậy tam giác ABC vuông tại A Mặt khác MO là phân giác , MO’ là phân giác ⇒ MO ⊥ MO’ Tam giác MOO’ vuông tại M cho ta MA = AO.AO’ ⇒ MA = Lại có MA = BC ⇒ BC = 2 VÍ DỤ 3: Cho góc nhọn xOy và điểm M cố định thuộc miền trong của góc Một đường thẳng thay đổi vị trí nhưng luôn đi qua M cắt Ox và Oy thứ... Cho hệ phương trình (a, b là các số nguyên dương và a ≠ b) Tìm tất cả các cặp giá trị của a và b để hệ phương trình có nghiệm số dương Bài 3 (3 điểm) Giải phương trình - = Bài 4 (5 điểm) a) Cho tam giác vuông ABC có các cạnh góc vuông là a, b và cạnh huyền là c Chứng minh rằng c > Với điều kiện nào của a, b thì c = , khi đó tính giá trị của c theo a và b b) Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a . BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN VÀ ÔN THI VÀO CHUYÊN _____________________________________________________ § 1 - BẤT ĐẲNG. hỏi tại sao ta không “cộng thêm” vào số dương b+c mà lại cộng với ? Ta thử lật ngược lại vấn đề: Nếu ta cộng vào số b+c thì: + b+c > 2 = 2a. Làm tương tự như vậy đối với và rồi cộng từng. < 8 ⇒ a+b < 2 6- Phương pháp qui nạp toán học: Các bước chứng minh mệnh đề đúng trên tập hợp số tự nhiên N bằng phương pháp qui nạp toán học: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n =