Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Những kiến thức lượng giác đặc biệt là phương trình lượng giác (PTLG) là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán THPT nói chung và trong Đại số và giải tích 11 nói riêng. Trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng thường xuyên có mặt dạng toán giải PTLG, trong đó loại PTLG có điều kiện thường làm cho học sinh bối dối. Đa số các em gặp khó khăn trong khâu kết hợp nghiệm của phương trình hệ quả với điều kiện của phương trình ban đầu. Đặc thù của PTLG thường là có vô số nghiệm và công thức nghiệm cho một PTLG có thể có những hình thức biểu diễn khác nhau. Dung lượng kiến thức ở phần này tương đối lớn, số lượng tiết học trên lớp chỉ đảm bảo cho các em nắm vững kiến thức cơ bản. Để giải quyết tốt các đề bài PTLG có điều kiện ở mức độ thi đại học và cao đẳng, học sinh cần tìm tòi thêm và phải liên hệ tốt với kiến thức về công thức lượng giác. Nhằm giúp đỡ học sinh có kỹ năng tốt trong việc kết hợp nghiệm với điều kiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN” 2. Mục đích nghiên cứu Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ năng tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau từ đó chọn được một phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện phù hợp nhất đối với mỗi bài toán PTLG cụ thể. Qua đó có thể rút ngắn đáng kể thời gian để có được lời giải trọn vẹn, ngắn gọn, mạch lạc. 3. Phương pháp nghiên cứu + Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học. + Tập hợp những vấn đề nảy sinh, những băn khoăn, lúng túng của học sinh trong quá trình giải quyết bài toán phương trình lượng giác có điều kiện. Từ đó đề xuất các phương án giải quyết, tổng kết thành bài học kinh nghiệm. 4. Phạm vi nghiên cứu Trong việc giải PTLG có điều kiện có thể có nhiều phương pháp kết hợp nghiệm với điều kiện, xong tôi chỉ tập trung nghiên cứu tìm hiểu những phương pháp phổ biến nhất, hiệu quả nhất và phù hợp với học sinh. Trong chuyên đề, tôi 1 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH tổng hợp và đúc kết những kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy vấn đề này mà chủ yếu là đối với học sinh đang học lớp 11. 5. Điểm mới của chuyên đề Chuyên đề tập trung rèn luyện cho học sinh kỹ năng kết hợp nghiệm và điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện. Đặc biệt là cố gắng giúp học sinh nhận định được nên áp dụng phương pháp nào cho mỗi bài toán cụ thể. Chuyên đề cũng chú ý rèn luyện cho học sinh biết kết hợp các phương pháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong một bài toán phương trình lượng giác. 2 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH B. NỘI DUNG. I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1. Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau sin 0 2 0 cos 0 a sin a a =  = ⇔  =  sin 0 2 0 cos 0 a sin a a ≠  ≠ ⇔  ≠  2 sin 0 cos 1a a= ⇔ = ± ; 2 sin 1 cos 0a a= ⇔ = 2 os 0 sin 1c a a= ⇔ = ± ; 2 os 1 sin 0c a a= ⇔ = sin 0 os 1a c a≠ ⇔ ≠ ± ; os 0 sin 1c a a≠ ⇔ ≠ ± 1.2 Một số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A) Giải phương trình ( ) 1 sin os2 sin 1 4 cos 1 t anx 2 x c x x x π   + + +  ÷   = + Lời giải: Điều kiện: cos 0 sin 1 t anx 1 t anx 1 x x≠ ≠ ±   ⇔   ≠ − ≠ −   3 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH Khi đó ( ) 1 sin os2 sin 1 4 cos 1 t anx 2 x c x x x π   + + +  ÷   = + ( ) ( ) cos 1 sinx cos2 2.sin cos sin cos 4 x x x x x x π   ⇒ + + + = +  ÷   ⇔ ( ) ( ) 1 sinx cos2 2.sin sin cos 4 x x x x π   + + + = +  ÷   (do cos 0x ≠ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 sin cos sin os2 0 sin cos sin 1 2sin 0 tan 1 sin cos sin cos 0 sin 1 sin 1 2sin sin 1 0 1 1 sin sin / 2 2 .2 1 6 sin 7 2 .2 6 x x x c x x x x x x L x x x x x x L x x x x t m x k x k Z x k π π π π ⇔ + + = ⇔ + + − =    = −  = − + =    ⇔ ⇔ = ⇔ =    − − =     = −  = −    = − +  ⇔ = − ⇔ ∈   = +   Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B) Giải phương trình cot sin 1 tan .tan 4 2 x x x x   + + =  ÷   Lời giải: Điều kiện cos 0 sinx 0 sin2x 0 os 0 2 x x c   ≠  ≠ ⇔ ≠    ≠  Ta có sin cos sinx 2 cot sin 1 tan .tan 4 sinx 1 . 4 2 sinx cos os 2 x x x x x x x x c    ÷   + + = ⇔ + + =  ÷  ÷    ÷   ⇔ cos . os sinx.sin cos cos sinx 2 2 sinx 4 4 sinx sinx cos cos . os 2 x x x c x x x x x c   +  ÷ + = ⇔ + =  ÷  ÷   4 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH ( ) ( ) 2 1 4 sin 2 / sin 2 2 2 .2 . 6 12 5 5 2 .2 . 6 12 x t m x x k x k k Z x k x k π π π π π π π π ⇔ = ⇔ =   = + = +   ⇔ ⇔ ∈     = + = +     Ví dụ 3: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 11/2009) Giải phương trình 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = Lời giải: Điều kiện 2 cos 0 sin 1 sin 1 sin 1 sin2x 0 sinx 0 sinx 0 sinx 0 sin 4 0 os2 0 1 2sin 0 2 sin 2 x x x x x c x x x    ≠ ≠ ± ≠ ± ≠ ±        ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠         ≠ ≠ − ≠     ≠ ±   Khi đó 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = ( ) 2 sin 1 4sinx. os2 2 os2 2 sinx 2sin sinx-1 0 sin 0 1 sin 2 x c x c x x x x   = −  ⇒ + = ⇔ + = ⇔ =   =   Đối chiếu với điều kiện ta được ( ) .2 1 6 sin 5 2 .2 6 x k x k Z x k π π π π  = +  = ⇔ ∈   = +   Vậy phương trình có nghiệm là ( ) .2 6 5 .2 6 x k k Z x k π π π π  = +  ∈   = +   5 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH Ví dụ 4: (Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán_Tập 2 _Trần Phương) Giải phương trình 4 4 4 sin 2 os 2 os 4 tan tan 4 4 x c x c x x x π π + =     − +  ÷  ÷     Lời giải: Điều kiện sin 0 4 os 0 sin 2 0 4 2 os2 0 sin 2 1 sin 0 sin 2 0 4 2 os 0 4 x c x x c x x x x c x π π π π π π    − ≠  ÷           − ≠ − ≠   ÷  ÷        ⇔ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±         + ≠ + ≠  ÷  ÷            + ≠  ÷     Nhận thấy tan .tan 1 4 4 x x π π     − + =  ÷  ÷     , do đó phương trình đã cho trở thành 4 4 4 2 4 4 2 2 1 sin 2 os 2 os 4 1 sin 4 os 4 2 os 4 os 4 1 0 2 sin 2 0 os 4 1 sin 4 0 os2 0 x c x c x x c x c x c x x c x x c x + = ⇔ − = ⇔ − − = =  ⇔ = ⇔ = ⇔  =  Đối chiếu điều kiện ta được ( ) sin 2 0 2 x x k k Z π = ⇔ = ∈ Ví dụ 5: Giải phương trình 2 4 sin 2 os 2 1 0 sin .cos x c x x x + − = Lời giải: Điều kiện sin 2 0x > Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 2 4 4 2 2 os 2 0 sin 2 1 sin 2 os 2 1 0 os 2 os 2 0 sin 2 0 os 2 1 c x x x c x c x c x x c x  = = ±  + − = ⇔ − = ⇔ ⇔   = =    Đối chiếu điều kiện ta được ( ) sin 2 1 2 .2 . 2 4 x x k x k k Z π π π π = ⇔ = + ⇔ = + ∈ 6 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH Các bài tập tương tự 1/ 2 3 2 2 os os 1 os2 tan os c x c x c x x c x − − − = ; 2/ 2 os2 1 cotx 1 sin sin 2 1 t anx 2 c x x x− = + − + (2003_A); 3/ 2 cotx t anx 4sin 2 sin 2 x x − + = (2003_B); 4/ 2 2 2 sin tan cos 0 2 4 2 x x x π   − − =  ÷   (2003_D); 5/ ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tanx x x− = − (2004_B). 7 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH 2. Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 2.1 Kiến thức cơ sở + Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác ( ) sin 2 sink α π α α + = ∀ ; ( ) s 2 osco k c α π α α + = ∀ ; ( ) tan tank α π α α + = ∀ ; ( ) cot cotk α π α α + = ∀ + Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (sách giáo khoa Đại số 10) 2.2 Một số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Giải phương trình os3 .tan5 sin 7c x x x= Lời giải: Điều kiện os5 0c x ≠ Khi đó phương trình đã cho trở thành ( ) 2 2sin5 . os3 2sin 7 . os5 sin8 sin12 20 10 k x x c x x c x x x k Z k x π π π  =  = ⇔ = ⇔ ∈   = +   Với 2 k x π = thì ( ) 5 os5 os os 2 os 0 2 2 2 2 k k k c x c c k c k m m Z π π π π     = = + = ≠ ⇔ = ∈  ÷  ÷     Với 20 10 k x π π = + thì os5 os 0 4 2 k c x c π π   = + ≠  ÷   Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ; , 20 10 k x m x m k Z π π π = = + ∈ Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A) Giải phương trình 2 1 sin2x+cos2 2 sinxsin 2 1 cot x x x + = + Lời giải: Điều kiện sin 0 cos 1x x≠ ⇔ ≠ ± Khi đó phương trình đã cho trở thành 8 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 sin 1 sin 2 os2 2 2 sin .cos 1 2sin .cos 2 os 1 2 2 cos cos 0 / 2cos sinx cos 2 0 sinx cos 2 * x x c x x x x x c x x x t m x x x + + = ⇔ + + − =  = ⇔ + − = ⇔  + =   Giả sử sin 0 cos 1x x= ⇔ = ± , khi đó ( ) * 0 1 2⇔ ± = (vô lí) Do đó phương trình tương đương với cos 0 2 cos 1 2 4 4 x x k x x k π π π π π  =  = +   ⇔     − =  ÷  = +       Vậy phương trình có nghiệm là ( ) 2 2 4 x k k Z x k π π π π  = +  ∈   = +   Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 1 3sinx 2cos 3 1 t anx cos x x + = + − Lời giải: Điều kiện os 0 sin 1c x x≠ ⇔ ≠ ± Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3sinx 2cos 3 1 t anx cos 3sinx 2cos 3 cos sinx 1 cos cos 3sinx 2cos cos 3sinx 2cos 1 cos 3sinx 2cos 1 3sinx 2cos 1 0 cos 1 0 1 3sinx 2cos 1 cos 1 0 3sinx 2cos 1 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x + = + − ⇔ + = + − ⇔ + − = + − ⇔ + − − + − =  − = ⇔ + − − = ⇔  + − =   ( ) 1 cos 1x⇔ = thoả mãn điều kiện, do đó ta được 2 ,x k k Z π = ∈ Tiếp theo giả sử os 0 sin 1c x x= ⇔ = ± , thay vào (2) ta được 3 1 0± − = (vô lí) Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện. Giải (2) ta được 1 ar os 2 13 x cc k k Z α π = ± + ∈ , (với 2 3 os ; sin 13 13 c α α = = ) 9 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH Vậy phương trình có nghiệm 2 1 ar os 2 13 x k k Z x cc k π α π =   ∈  = ± +   10 [...]... Toán học và tuổi trẻ_NXB Giáo dục 20 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH MỤC LỤC RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN 1 A MỞ ĐẦU 1 “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN” 1 4 Phạm vi nghiên cứu 1 5 Điểm mới của chuyên đề 2 B NỘI DUNG 3 I CÁC PHƯƠNG... dụ 5 của phương pháp 2 minh hoạ cho điều này) III Hướng phát triển chuyên đề: Do thời gian có hạn nên chuyên đề chỉ đề cập những phương pháp cơ bản về kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Chuyên đề có thể nghiên cứu để mở rộng với các bài toán giải hệ phương trình lượng giác hoặc hệ lượng giác hỗn hợp, cũng như các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác và các hàm... hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác như đã nói trong phương pháp để có kết luận chính xác Đồng thời khi trình bày vào bài làm phải nói rõ là kết hợp trên ĐTLG ta được nghiệm của phương trình là… 3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào? Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp... đến phương trình thể giải quyết trọn 2cos 4 4 x − cos 2 4 x − 1 = 0 mà vẹn bài toán do mải không tìm được điều tìm ra điều kiện cụ kiện hoặc mất quá nhiều thể thì gian vào việc tìm ra điều kiện cụ thể cho phương trình 06/44 học sinh kết hợp ngiệm theo phương pháp biểu diễn trên ĐTLG nhưng không đủ nghiệm hoặc thừa nghiệm Không có học sinh nào giải quyết trọn vẹn bài toán theo phương pháp biểu diễn nghiệm. .. nghiệm và điều kiện thông qua cùng một hàm số lượng giác 05/42 học sinh không thể giải quyết trọn vẹn bài toán do kết hợp nghiệm theo phương pháp biểu diễn trên đường tròn đơn vị và dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm 31/42 học sinh giải quyết trọn vẹn bài toán nhờ phương pháp biểu diễn nghiệm và điều kiện thông qua cùng một 05/42 học sinh giải quyết hàm số lượng giác trọn vẹn các bài toán cos2x theo phương. .. trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác là ngắn gọn hơn cả 2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện không? Với vấn đề này, có thể cho phép học sinh không trình bày hình vẽ vào trong bài làm... 3 I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN:3 1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 3 1.2 Một số ví dụ minh hoạ: 3 2 Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập 8 3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) .13 II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế .16 III Hướng... giác trọn vẹn các bài toán cos2x theo phương pháp kết 04/42 học sinh giải 17 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH hợp nghiệm và điều kiện quyết trọn vẹn các bài trên ĐTLG toán theo phương pháp kết hợp nghiệm và điều kiện trên ĐTLG 18 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH D KẾT LUẬN: Chuyên đề được hoàn thành với sự tổng hợp, tham khảo tài liệu và đúc rút, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy, về cơ bản chuyên đề... chuyên đề vào thực tế Khi áp dụng chuyên đề vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau 1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào? Với vấn đề này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy phương pháp 1 là ít thao tác hơn cả Vi vi vậy nếu làm được theo phương pháp 1: “Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ... theo phương pháp 1 thì ta tìm cách áp dụng phương pháp 2 và 3 Phương pháp 3 có thể coi là phổ biến hơn phương pháp 2 nhưng trong một số bài toán mà việc biểu diễn nghiệm và điều kiện cần quá nhiều điểm hoặc các điểm biểu diễn trên ĐTLG quá gần nhau…thì phương pháp 3 gặp khó khăn và gần như không thể thực hiện được trong giới hạn về thời gian cũng như năng lực của học sinh Khi đó phương pháp 2 lại phù hợp . MÊLINH RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN A. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Những kiến thức lượng giác đặc biệt là phương trình lượng giác (PTLG). với điều kiện của PTLG có điều kiện qua đó có được những phương án giải quyết tối ưu và trọn vẹn cho mỗi bài toán PTLG có điều kiện, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG KẾT HỢP NGHIỆM. rèn luyện cho học sinh biết kết hợp các phương pháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong một bài toán phương trình lượng giác. 2 Nguyễn Hồng Sáng THPT MÊLINH B. NỘI DUNG. I. CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT