KY THI OLYMPIC TRUYÊN THÔNG 30/4̀ ̀ ́ LÂN TH XIII TAI THANH PHÔ HUỀ Ứ ̣ ̀ ́ ́ ĐÊ THI MÔN TOÁN ̀ L P 11Ớ Th i gian lam bai: 180 phútờ ̀ ̀ Chu y:́ ́ Môi câu hoi thi sinh lam trên 01 t giây riêng biêt̃ ̉ ́ ̀ ờ ́ ̣ Câu 1 (4 đi mể ). Gi i h ph ng trình sau:ả ệ ươ      +++=++ + + = − 1)2yx(log2)6y2x(log3 1y 1x e 23 2 2 xy 22 Câu 2 (4 đi mể ). Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng d và s đo c a nh di n [B,SC,D]ề ạ ằ ố ủ ị ệ b ng 150ằ 0 . Tính th tích c a hình chóp đ u S.ABCD theo d.ể ủ ề Câu 3 (4 đi m).ể Cho dãy s d ng (aố ươ n ). a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng k :ứ ằ ớ ọ ố ươ ( )         + ++++ + ≤ − k 1k k 3 2 3 2 2 1 k k21 a k 1k a 3 4 a 2 3 a2 )1k(k 1 a a.a b. Bi t ế ∈= ∑ = ∞→ aalim n 1i i n R. Đ t bặ n = n n21 3 321211 a aa aaaaaa ++++ v i nớ 1 ≥ Ch ng minh r ng dãy (bứ ằ n ) có gi i h n.ớ ạ Câu 4 (4 đi m).ể Cho hàm s f(x) = 2x – sinx.ố Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h tho mãn đ ng th i các ứ ằ ồ ạ ằ ố ố ả ồ ờ đi u ki n sau: ề ệ 1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x. ớ ọ ố ự 2) h(x) là hàm s tu n hoàn. ố ầ 3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự Câu 5 (4 đi m).ể Tìm t t c các s t nhiên m, n sao cho đ ng th c sau đúng:ấ ả ố ự ẳ ứ 8 m = 2 m + n(2n-1)(2n-2) H T Ế Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả ĐÁP ÁN TOÁN L P 11Ớ N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 1: Gi i h ph ng trình ả ệ ươ 2 2 2 2 3 2 1 (1) 1 3log ( 2 6) 2log ( 2) 1 (2) y x x e y x y x y − − + = = + + + + + = + + + + Đk: x + 2y +6 > 0 và x + y + 2 > 0 0,5 Ph ng trình (1) ươ ⇔ y 2 – x 2 = ln(x 2 +1) – ln(y 2 +1) ⇔ ln(x 2 +1)+ x 2 +1 = ln(y 2 +1)+y 2 +1 (3) Xét hàm s f(t) = lnt + t v i t ố ớ ≥ 1 Ph ng trình (3) có d ng f(xươ ạ 2 +1) = f(y 2 +1) (4) Ta có f(t) đ ng bi n trên [1ồ ế ;+ ∞ ). Do đó (4) ⇔ x 2 +1 = y 2 +1 ⇔ x = ± y 1 * V i x = -y , t (2) ta đ c ớ ừ ượ 3 log (6 ) 1x− = , v i x<6ớ ⇔ x = 3 ⇒ y = -3 (th a mãn h )ỏ ệ 0.5 * V i x = y , t (2) ta đ cớ ừ ượ 3 2 3log ( 2) 2log ( 1)x x+ = + v i x > -1ớ 0.5 Đ t ặ 3 2 3log ( 2) 2log ( 1)x x+ = + = 6u ⇒ 2 3 2 3 1 2 u u x x x + = + + = + ⇒ 1+2 3u = 3 2u ⇔ 1 8 1 9 9 u u � � � � + = � � � � � � � � (5) Xét g(u) = 1 8 9 9 u u � � � � + � � � � � � � � , g(u) là hàm ngh ch bi n trên R và có g(1) = 1 nênị ế u = 1 là nghi m duy nh t c a (5).ệ ấ ủ V i u = 1 suy ra x = y = 7 (th a mãn h )ớ ỏ ệ 1 V y h có 2 nghi m (3ậ ệ ệ ;-3) , (7 ;7) 0.5 N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 2: Cho hình chóp đ u S.ABCD có c nh đáy b ng d và s đo c a nh di nề ạ ằ ố ủ ị ệ [B,SC,D] b ng 150ằ 0 . Tính th tích c a hình chóp để ủ ều S.ABCD theo d. Ta có: BD ⊥ SC . Dựng mặt phẳng qua BD vuoâng goùc vôùi SC taïi P. Ta coù : 0 150BPD =∠ 1 Ta có: cos150 0 = 2 2 2 22 BP2 BD 1 BP2 BDBP2 −= − (1) 0.5 G i M là trung đi m c a BC. Ta có SM .BC = BP.SC.ọ ể ủ BC = d, g i h là chi u cao hình chóp S.ABCDọ ề Ta có: SM 2 = h 2 + 4 d 2 ; SC 2 = h 2 + 2 d 2 . Suy ra: BP 2 = )dh2(2 )dh4(d 22 222 + + 1 (1) tr thành:ở 22 2 dh4 d 2 3 + −=− . Suy ra: h = 3 332 2 d − 1 V S.ABCD = 6 d dtABCD.h 3 1 3 = 3 332 − 0.5 N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 3 Cho dãy s d ng (aố ươ n ). a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng k: ứ ằ ớ ọ ố ươ ( )         + ++++ + ≤ − k 1k k 3 2 3 2 2 1 k k21 a k 1k a 3 4 a 2 3 a2 )1k(k 1 a a.a b. Bi t ế ∈= ∑ = ∞→ aalim n 1i i n R. Đ t bặ n = n n21 3 321211 a aa aaaaaa ++++ v i nớ 1 ≥ Ch ng minh r ng dãy (bứ ằ n ) có gi i h n.ớ ạ a)Ta có 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 2 1 3 4 ( 1) ( 2)( )( ) ( ) ( 1) 2 3 1 3 4 ( 1) ( 2)( )( ) ( ) 1 2 3 1 3 4 ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) ( 1) 2 3 k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a k k k a a a a a a a a k k k a a a a k k k − − − + = +a + =+ + � � + + + + + � � + � � 2 b) T câu a) suy raừ 2 1 2 1 1 1 3 1 1 ( 1) 1 ( 2)( ) ( )( ) ( )( ) 1.2 ( 1) 2 2.3 ( 1) ( 1) n n n n n b a a a n n n n n n n − + + + + + + + + + + + + Do : 1 1n 1 1 1n 1 n 1 3 1 2 1 2 1 1 )1n(n 1 3.2 1 2.1 1 < + −= + −++−+−= + +++ nên 1 2 1 2 1 1 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) ( ) 1 2 n n n n i i b a a a e a n = = + + + + + + < = v i ớ n n n 1 1lime       += ∞→ (b n ) tăng và b ch n trên, do đó có gi i h n. ị ặ ớ ạ 2 N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 4: Cho hàm s f(x)= 2x – sinx.ố Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h th a mãn đ ng th iứ ằ ồ ạ ằ ố ố ỏ ồ ờ các đi u ki n sau :ề ệ 1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x.ớ ọ ố ự 2) h(x) là hàm s tu n hòan.ố ầ 3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự T đi u ki n 3) cho th y mu n ch ng t t n t i g ch c n ch ng t f cóừ ề ệ ấ ố ứ ỏ ồ ạ ỉ ầ ứ ỏ hàm s ng c.ố ượ Chú ý : f đ ng bi n trên (-ồ ế ∞ ;+ ∞ ) nên có hàm s ng c g.ố ượ Ta có : f(g(x)) = x và g(f(x)) = x v i m i s th c x.ớ ọ ố ự 1 Đ t : h(x) = g(x) – bx. Ta s ch n b đ h(x) tu n hòan.ặ ẽ ọ ể ầ 0.5 Hàm sinx tu n hoàn chu kì 2ầ π . Ta s ch ng t g(x+ 4ẽ ứ ỏ π ) = g(x) +2 π v i m i s th c x.ớ ọ ố ự Th t v y : g(x)+2ậ ậ π = [f(g(x) +2 π )] = g[2(g(x)+2 π ) - sin(g(x)+2 π )] =g[2g(x)-sin(g(x)) + 4 π ] = g[f(g(x)) + 4 π ] = g( x +4 π ). 1 T đó : h(x+4ừ π ) = g(x + 4 π ) – b(x+4 π ) = g(x) + 2 π -bx – 4b π = h(x) + 2 π (1-2b). 1 N u ch n b =ế ọ 2 1 thì h(x + 4 π ) = h(x) v i m i s th c x.ớ ọ ố ự 0.5 N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 5: Tìm t t c các s t nhiên m,n sao cho đ ng th c sau đúng : ấ ả ố ự ẳ ứ 8 m = 2 m + n(2n-1)(2n-2) . Đ t x = 2ặ m , y = 2n-1 v i m ,n là các s t nhiên .ớ ố ự Ta có : (x,y) =1 và 2(x 3 -x) = (y+1)y(y-1) ⇔ y(y 2 -1) = 2x(x 2 -1) (1) Do m ≥ 0 , n ≥ 0 nên x ≥ 1 và y ≥ -1 . 0.5 + Tr ng h p x =1: Ta có m = 0 .Lúc đó n = 0 hay n =1 .ườ ợ 1 +Tr ng h p x >1:ườ ợ T (1) và (x,y)=1 suy ra : yừ 2 -1 chia h t cho x và 2(xế 2 -1) chia h t cho y. Do đóế 2(x 2 -1).(y 2 -1) chia h t cho xy. Nh ng: 2(xế ư 2 -1)(y 2 -1) = 2[x 2 y 2 -2xy-((x-y) 2 -1)] nên cũng có: 2((x-y) 2 -1) chia h t cho xy (2)ế 0.5 Chú ý: v i x >1 thì t (1) ta có xớ ừ 3 < y 3 < 2x 3 . Th t v y : (1) ậ ậ ⇔ (y-x)(y 2 +xy+y 2 -1) = x 3 -x. V i x>1 ta có xớ 3 -x>0.Lúc này y>0 và y 2 +xy+y 2 -1>0,nên y>x. Ngoài ra: (x 2 -1)(2x 3 -y 3 ) = x 2 [2(x 3 -x)] – (x 2 -1)y 3 = x 2 (y 3 -y)-(x 2 -1)y 3 = y(y 2 -x 2 ) > 0. Do đó: 2x 3 -y 3 > 0 1 + T đó: 0<y-x = x(ừ x y -1) < x( 3 2 -1) .Do đó (y-x) 2 <x 2 ( 3 2 -1) 2 < 2 1 xy . Suy ra: 0 ≤ 2((y-x) 2 -1) < xy . K t h p v i (2) ta có: (y-x)ế ợ ớ 2 -1 =0 hay y = x +1 . 0.5 Thay vào (1), ta có x = 4 và y = 5 .Lúc này m = 2, n = 3. Các c p (m,n) th a bài tóan là: (0,0) ;(0,1) ;(2,3) .ặ ỏ 0.5 . ế u = 1 là nghi m duy nh t c a (5).ệ ấ ủ V i u = 1 suy ra x = y = 7 (th a mãn h )ớ ỏ ệ 1 V y h có 2 nghi m (3ậ ệ ệ ;-3) , (7 ;7) 0.5 N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 2: Cho hình chóp đ u S.ABCD. )         + ++++ + ≤ − k 1k k 3 2 3 2 2 1 k k21 a k 1k a 3 4 a 2 3 a2 )1k(k 1 a a.a b. Bi t ế ∈= ∑ = ∞→ aalim n 1i i n R. Đ t bặ n = n n21 3 321 211 a aa aaaaaa ++++ v i nớ 1 ≥ Ch ng minh r ng dãy (bứ ằ n ) có gi i h n.ớ ạ Câu 4 (4 đi m).ể Cho. n(2n-1)(2n-2) H T Ế Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả ĐÁP ÁN TOÁN L P 11 N I DUNGỘ ĐI MỂ C âu 1: Gi i h ph ng trình ả ệ ươ 2 2 2 2 3 2 1 (1) 1 3log ( 2 6) 2log ( 2)