Phơng pháp phần tử hữu hạn Giáo viên : TS. Đỗ Văn Bình Bộ môn: Kết cấu xây dựng, ĐHGTVT Thời gian : 45 T 1 CHNG 1 Khỏi nim c bn 1. Sơ đồ giải bài toán phân tích trạng thái ứng suất dạng A. Lý thuyết đàn hồi B. Phơng pháp phần tử hữu hạn Phơng trình trạng thái - biểu thị theo các hàm ẩn * chuyển vị các phơng trình Lamé * ứng suất các phơng trình Beltrami - Michel Điều kiện biên + Giải PTTT: * Tích phân các PTVP đạo hàm riêng Nghiệm giải tích * Rời rạc toán học ( Sai phân hữu hạn) Nghiệm bằng số Trạng thái ứng suất- biến dạng 2 Nghiên cứu phân tố: 1. ĐK cân bằng (ứng suất - ngoại lực):3 Ph.trình Navier- Cauchy 2. ĐK chập ( biến dạng- chuyển vị): 6 Công thức Cauchy 3. ĐK vật lý ( ứng suất- biến dạng)- ĐL Hooke 6 Ph.trình Điều kiện tơng đơng : - Năng lợng trong mô hình thay thế Năng lợng trong hệ thực - Trên các biên , điều kiện chập ( liên tục về lực và chuyển vị) phải đợc thoả mãn. H THC H THAY TH Ri rc v t lý Bc t do = Bc t do hu hn PTHH(kớch thc hu hn) Biờn Nỳt (liờn kt cỏc phn t 3 Nhiệm vụ thực hiện trong PPPTHH + PPPTHH là gần đúng (mô hình rời rạc chỉ phản ánh gần đúng công trình thực) + Muốn chính xác hơn ,tăng số lợng PT ( khối lợng tính tăng theo) + Ngôn ngữ sử dụng PPPTHH là PP số ,cần dùng máy tính ma trận. 2. Công thức ma trận của các phơng trình cơ bản trong lý thuyết đàn hồi Rời rạc hoá kết cấu Chọn ẩn * Chuyển vị - mô hình chuyển vị * ứng suất - mô hình ứng suất Nghiên cứu TTs - BD của PTHH( sử dụng LT đàn hồi) Tổ chức ghép nối các PTHH bằng các liên kết đặt ở nút Lập các phơng trình cơ bản cho toàn hệ trong hệ toạ độ chung Điều kiện biên Giải hệ PT đại số tuyến tính Nghiệm ứng suất,chuyển vị tại nút của các PTHH 4 A. Các phơng trình cân bằng Bài toán không gian Tách phân tố hình học dx,dy,dz ,lập phơng trình cân bằng: 0=+ + + g x z xz y xy x x x yx + y y + z yz + 0 = g y x zx + y zy + 0 =+ g z z z x , y , z :ứng suất pháp xy , yz , zx :ứng suất tiếp, tuân theo luật đối ngẫu g x , g y , g z :các thành phần lực thể tích theo các phơng x,y,z trên đơn vị thể tích Y X Z z z z dz + yz yz z dz + xz xz z dz + y y y dy + zy zy y dy + x xy xy y dy + x x x dx + yx yx x dx + zx zx x dx + z xz yz y zy xy zx 5 Dạng ma trận xyz zxy zyx 000 000 000 zx yz xy z y x + g g g z y x = 0 0 0 => [ ] [ ] [ ] [ ] 0 =+ g T (1) [ ] = xz yz xy y y x 0 0 0 00 00 00 ; [ ] = zx yz xy z y x ={ x y z xy yz zx }; [ ] g = g g g z y x ={ g x g y g z } [ ] -ma trận các toán tử vi phân biểu thị phép biến đổi tuyến tính(toán tử Laplace) Các PTCB phải đợc thoả mãn ở bất kì mọi điểm của vật thể :trong và trên bề mặt Điều kiện bề mặt:điểm trên bề mặt phải cân bằng với ngoại lực tác dụng trên bề mặt .Theo kết quả nghiên cứu ứng suất trên mặt cắt nghiêng. l x + m xy + n xz = x p l yz + m y + n yz = p y 6 xy yz x zx zy A z y xy B xz y x z C l zx + m zy + n z =p z l,m,n -các cosin chỉ phơng của pháp tuyến ngoài của mặt vật thể tại điểm đang xét l= cos(v,x); m= cos(v,y); n= cos(v,z) x p , p y , p z : thành phần ngoại lực theo x,y,z trên đơn vị diện tích mặt ngoài của vật thể Dạng ma trận: [ ] L [ ] = [ ] p (2) [ ] L = lmn nlm nml 000 000 000 ; [ ] p = z y x p p p ={ x p y p z p } Bài toán phẳng 0 =+ + g x y xy x x x yx + y y + 0 = g y Dạng ma trận [ ] [ ] [ ] [ ] 0 =+ g T (3) [ ] T = xy yx 0 0 ; [ ] = xy y x ; [ ] g = g g y x Phơng trình biểu thị điều kiện chu vi : l x + m xy = p x l yx + m y = p y 7 => lm ml 0 0 xy y x = p p y x => [ ] L [ ] = [ ] p (4) B. Các phơng trình biến dạng - chuyển vị Bài toán không gian Trong hệ x,y,z chuyển vị của điểm A bất kì Ux = x'- x = Ux(x,y,z) ; Uy = y'- y= Uy(x,y,z) ; Uz = z'-z = Uz(x,y,z) ; Biến dạng tỷ đối x x x u = ; y = y y u ; z z z u = ; = xy x x u + y y u ; = y yz y y u + z z u ; zx = z z u + x x u Do luật đối ngẫu: = xy yx ; = y yz zy ; zx = xz Dạng ma trận : 8 A(x',y',z') A(x,y,z) x u z u x u y y z =                                   ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ xz yz xy y y x 0 0 0 00 00 00           u u u z y x ;=> [ ] [ ][ ] u ∇= ε (5) 9                     γ γ γ ε ε ε zx zx xy z y x • Bµi to¸n ph¼ng = yz γ 0; zx γ = 0 ; z u = 0 D¹ng ma trËn : dx y x d x u x d y A B DC y y u u dy y ∂ + ∂ u y x x u u dx x ∂ + ∂ x x u u dy y ∂ + ∂ y y u u dy y ∂ + ∂ A 1 B 1 C 1 D 1 β α 0 10 [...]... điểm (x,y,z) g(x,y,z),p(x,y,z)- cờng độ lực thể tích và lực bề mặt tại điểm (x,y,z) Trong thực hành :lực phân bố => lực tập trung => chỉ cần xét lực tập trung Dạng ma trận : Tơng tự : W * A* = = [R ] [ q ] + T 1 [R] T [q] 2 [ ] [ ] dV + 1 [ ] [ ] dV T V T 2V (34) (35) C.2.Lực khả dĩ ,công bù khả dĩ Tởng tợng trong quá trình thay đổi nhỏ về lực [R ] và ứng suất [ ] [ q ] ; [ ] không đổi ,nghĩa là [q... phẳng-Bài toán phẳng của LTĐH đợc chia thành 2 loại: - Trạng thái phẳng về ứng suất (TT ứng suất phẳng) z 0 y x - Đối tợng :tấm,bề dày nhỏ so với hai kích thớc còn lại chịu tải trọng trong mặt phẳng của tấm Gọi x0y - hệ trục trong mặt phẳng tấm;0z- trục mặt tấm: z = 0 ; zx = zy = 0 Các biến dạng: zx = zy = 0: z = 1 à 1+ à à ( x + y ) + T = ( x + y ) + T 0 E 1 à 1 à Nh vậy , z tồn tại và có liên... trung: n W = W j = j 1 n R jq j + j 1 19 1 2 n R q j 1 j j ( 21) - Chịu lực phân bố: W = g ( x, y, z )u ( x, y, z ) dV + V + p( x, y, z )u ( x, y, z )dS + S 1 g ( x, y, z )u ( x, y, z )dV + 2V 1 p( x, y, z )u ( x, y, z )dS 2S u(x,y,z) chuyển vị tại điểm (x,y,z); g(x,y,z); p(x,y,z) cờng độ lực thể tích và lực bề mặt tại điểm (x,y,z) Trong thực hành : lực phân bố => lực tập trung => chỉ cần xét... lực tập trung => chỉ cần xét lực tập trung Dạng ma trận : W= [q ] [ R ] + T 1 [q ] T [R] 2 (22) Tơng tự : A = [ ] [ ] dV + T V T 1 [ ] [ ] dV 2V (23) B.2 Chuyển vị khả dĩ, công khả dĩ Tởng tợng trong quá trình thay đổi nhỏ về chuyển vị [q ] và biến dạng [ ] [ R] ; [ ] không đổi, nghĩa là [R ] =0; [ ] = 0 => [q ] , [ ] gọi là CVKD và BDKD CVKD phải vô cùng bé ,thoả mãn ĐK liên tục về mặt động học ,phù... A) = 0 Gọi = V+A- thế năng toàn phần của hệ : (V + A) = =0 => =const 21 Định lý: Trong các trờng hợp CV tơng thích thoả mãn các ĐK biên ,khi thoả mãn các ĐK cân bằng tĩnh thì thế năng toàn phần có giá trị đứng (NL biến phân Lagrange) * Cũng chứng minh đợc : Dạng biến dạng của hệ tơng ứng với TTCB phải là một trong những dạng làm cho năng lợng biến dạng A cực tiểu(ĐL NLBD cực tiểu) B.5 Định lý... + T E y 1 [ à ( x + y ) ]+ T E z z = E- môđun đàn hồi dọc trục yz = xy = zx 2(1 + à ) 1 = xy E xy G 2(1 + à ) = E yz = 1 G yz (7) 2(1 + à ) 1 zx = G zx E G- môđun đàn hồi trợt à -hệ số Poisson Hệ số giãn nở vì nhiệt T- Độ biến thiên nhiệt độ Suy ra: x = E E E T ; xy = xy = G xy [(1- à ) x + à ( y + z )] (1 + à )(1 2à ) (1 2à ) 2(1 + à ) 11 y = E E [(1 à ) y + à ( x + z )] T ; (1... R 2 R i R n }: R i -lực đặt tại toạ độ i X Với phần tử e(hình vẽ): [ R] e R1 = { R 1 R 2 R 12 } R2 R3 R7 R9 4 R8 R5 R6 R4 R R12 10 R11 Y Các nguyên lý năng lợng NLNL là cơ sở để thiết lập các phơng trình cơ bản của lý thuyết tính kết cấu Hai nguyên lý: - Nguyên lý công khả dĩ (NL chuyển vị khả dĩ) - Nguyên lý công bù khả dĩ ( NL lực khả dĩ) A Khái niệm về công và công bù, NL biến dạng và NL biến... hồi 2à 2à 0 0 0 2(1 à ) 2à 2(1 à ) 2à 0 0 0 2à 2à 2(1 à ) 0 0 0 E [ E0 ] = (10) 2(1 + à )(1 2 à ) 0 0 0 (1 2à ) 0 0 0 0 0 0 (1 2 à ) 0 0 0 0 0 (1 2 à ) 0 [l ] = 1 {1 1 1 0 0 0} ( 11) Dạng ma trận của (7) x 0 0 0 x 1 à à 0 0 0 y y à 1 à z 1 à à 1 0 0 0 z = + T 0 0 xy xy E 0 0 0 2(1 + à ) 0 0 0 0 2(1 + à ) 0 zx yz 0 0 0 0 2(1 +... x x y = 0 xy y C 0 u x u => y y x [ ] = [ ][ u ] (6) Các phơng trình ứng suất - biến dạng Giả thiết vật liệu đàn hồi tuyến tính ,đồng nhất và đẳng hớng =>ĐL Hooke tổng quát Xét ảnh hởng của sự thay đổi nhiệt độ (chỉ xét biến dạng dọc trục vì nhiệt,bỏ qua ảnh hởng... u x ( x, y ) : u y = u y ( x, y ) : => u x u y u z = = = 0 :=> z z z 15 zx = zy =0 v z = 0 uz = 0 Từ (7) : z = 1 [ z à ( x + y ) ]+ T =0 => E z = à ( x + y ) ET Thay vào các biến dạng còn lại trong (7), sẽ đợc: x = y = E 1+ à [(1 à ) x à y ] + (1 + à )T ; x = (1 + à )(1 2à ) [(1 à ) x + à y ] 1 E2à T E 1+ à [(1 à ) y à x ] + (1 + à )T ;=> E xy = yx = y = 2(1 + à ) 1 xy = xy ; E