Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Lời nói đầu Muốn giải toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản, còn phải vận dụng thành thạo các kiến thức đó vào các bài tập từ dễ đến khó . Chúng ta thấy bài tập thì rất nhiều, rất đa dạng, làm thế nào và làm đến đâu thì vừa. Có thể xếp các bài toán theo những dạng chủ yếu không? Đứng trớc một bài toán có thể xẹm xét nó thuộc dạng toán nào, vằ có phơng pháp nào giải không? Từ đó mà biết cần vận dụng kiến thức gì và giải nó theo trình tự nào? Các bài toán về số chính phơng là một trong những mảng kiến thức khó của toán số học . Bởi học sinh trụng học cơ sở chỉ có khái niệm cơ bản về số chính ph- ơng, cha có công cụ để giải vấn đề đó một cách tờng minh. Do đó tôi thiết nghĩ mình phải tìm ra một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh học toán số học, thông qua đó giúp đợc các em giải quyết đợc vấn đề này trong các kì thi, nhất là kì thi học sính giỏi sắp tới. Qua đây mong sao các em học sinh và đội ngũ giáo viên giảng dạy có đợc một số phơng pháp suy nghĩ để tìm cách giải các bài toán Số chính phơng. Hy vọng vấn đề trên góp phần xây dựng một phần nền móng toán học cấp THCS, tạo đà tốt cho các em học tiếp các chơng trình toán học cao hơn.Đề tài này tôi đã viết rất thận trọng nhng không tránh khỏi thiếu sót, bản thân tôi rất mong sự chỉ bảo của độc giả. Xin chân thành cảm ơn sự góp ý của các độc giả. Tháng 3 năm 2013 1 Kinh nghiệm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Phần I. Đặt vấn đề. 1. Cơ sở lý luận. Toán học là một môn học cơ bản trong chơng trình phổ thông nó là nền móng cho nhiều nghành khoa học khác. Đối với học sinh khá và giỏi môn toán, học toán hay giải toán là yếu tố thờng nhật trong mọi hoạt động và suy nghĩ. vì vậy vấn đề bồi dỡng cho học sinh có khả năng t duy sáng tạo, liên hoàn vận dụng tôt các kiến thức lý thuyết đã học và phát huy tố năng lực của cá nhân là một vấn đề rất đợc coi trọng và cũng chẳng đơn giản dể dàng gì. Để quá trình dạy bồi dỡng cho học sinh có kết quả tốt hơn, có chất lợng cao, ngời thầy phải nắm chắc chơng trình bồi dỡng, vấn đề nào cơ bản trọng tâm, vấn đề nào cần trình bài kĩ hay lớt qua và đặc biệt phải có một kế hoạch cụ thể, th- ờng xuyên, liên tục ôn luyện cho cả thầy và trò. Ngời học sinh giỏi toán trớc hết phải nắm vững kiến thức cơ bản để dựa vào đó suy luận và phát triển thành kiên thức mới của mình. Học toán hay giải toán là yêu cầu thờng xuyên trong mọi hoạt động và suy nghĩ. Để có thể học tốt môn toán hay giải đợc các bài toán, đòi hỏi phải có cái nhìn hệ thống về mặt kiến thức, áp dụng vào các dạng toán với lời giải đúng tránh những sai lầm thiếu sót. Hơn nữa để vận dụng giải đợc nhanh ta phải huy động đợc ngay các kiến thức liên quan đến dạng bài toán đó. Từ đó không những giúp ta giải quyết tốt bài toán mà còn có thể phát triển sáng tạo thêm các bài toán mới có phơng pháp giải hoàn toàn tơng tự, đó là công cụ sắc bên nhất cho ngời học toán. 2. Cơ sở thực tiển. Là một giáo viên dạy toán, tôi luôn băn khoăn, trăn trở làm thế nào cho học sinh nắm đợc các phơng pháp giải toán, có hệ thống và vận dụng sắc bén các kiến thức vào giải các bài toán để có kết quả cao trong các kì thi sắp tới. bởi vậy tôi luôn thấy đợc trách nhiệm của mình là không ngừng học hỏi, tìm tòi ở đồng nghiệp, tài liệu tham khảo, tạp chí để hớng dẫn học sinh biết huy động 2 Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng những kiến thức liên quan khi nhận ra dạng bài toán giải đợc cách nhanh nhất, hợp lý nhất. Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh , tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề , học hỏi đồng nghiệp và những ngời có kinh nghiệm . tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn số học còn nhiều mảng kiến thức khó mà học sinh cần phải biết thêm hơn nữa nh : Các bài toán về cấu tạo số, so sánh phân số , dãy số viết theo quy luật ,đặc biệt là các bài toán số chính phơng. Đây là dạng toán khó đối với học sinh THCS . Học sinh rất khó hiểu khi đứng trớc dạng toán này, học sinh rất lúng túng khi tìm ra phơng pháp giải . Trong các vấn đề thi học sinh giỏi cũng nh các đề thi vào các trờng chuyên THPT có rất nhiều bài toán liên quan đến số chính phơng. đối với học sinh khá giỏi nói riêng và học sinh THCS nói chung khi giải một bài toán về số chính phơng các em gặp rất nhiều khó khăn . Để giúp các em khắc phục đợc khó khăn đó, tôi mạnh dạn đa ra Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng . Hy vọng nó giúp đợc các em trong việc giải loại toán này. 3.Mục đích nghiên cứu Với bản thân tôi là một giáo viên dạy toán bậc THCS tôi đi sâu nghiên cứu vấn đề trên, để góp phần nhỏ trong cách định hớng , phơng pháp nhận biết , nhận dạng từng bài toán số chính phơng và giúp cho giáo viên lựa chọn phơng pháp hợp lí , phù hợp với từng bài, từng đối tợng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này, nhằm mục đích góp phần đào tạo nhân lực , bồi d- ỡng nhân tài phục vụ cho đất nớc trong thời kì công nghiệp hóa - hiện địa hóa. 4.Nhiệm vụ nghiên cứu - Cơ sở lý thuyết về số chính phơng. - Cách vận dụng lý thuyết vào từng phơng pháp cụ thể - Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng. Mỗi phơng pháp cần giải quyết một số bài toán cụ thể và bài toán tơng t 5. Đối tợng nghiên cứu Truyền đạt một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng cho học sinh THCS 6.Thời gian nghiên cứu Bắt đầu tháng 9 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013 7.Phơng pháp nghiên cứu + Phơng pháp đọc sách + Phơng pháp nghiên cứu tài liệu + Phơng pháp đúc rút kinh nghiệm của giáo viên + Phơng pháp khảo sát học sinh 3 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng phần ii : nội dung Nằm trong khuôn khổ của vấn đề cần đề cần đề cập nên phạm vi bài viết chỉ nêu một số kiến thức cơ bản đợc rút ra từ số chính phơng để vận dụng trong mỗi bài toán cụ thể của phần áp dụng giải toán . Để giúp giáo viên và học sinh ở cấp THCS giải một số bài toán Số chính phơng i.các kiến thức về lí thuyết 1.Định nghĩa : Số chính phơng là bình phơng đúng của một số tự nhiên. 2. Các tính chất : - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phơng chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn , không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ - Số chính phơng chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4 - Số chính phơng chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9 - Số chính phơng chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25 -Số chính phơng chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16 -Số lợng các ớc của một số chính phơng là số lẻ . Đảo lại, một số có số lợng các ớc là số lẻ thì số đó là số chính phơng. -Tận cùng của một số chính phơng là một trong các số sau : 0; 1; 4; 5; 6; 9 -Số chính phơng không có tận cùng là các số: 2; 3; 7 ; 8 -Số chính phơng có tận bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn -Số chính phơng có tận bằng 5 thì chữ số hàng chục là số 2 -Số chính phơng khi chia cho 3 có số d là 0 hoặc 1 - Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1. Còn một số khi chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng. Chứng minh : Số chính phơng khi chia cho 4 có số d là 0 hoặc 1. Còn một số khi chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 thì không phải là số chính phơng. C M :Với a làsố nguyên, a có dạng a = 2k hoặc a = 2k + 1 ( k C Z ) Với a = 2k suy ra a 2 = 4k chia hết cho 4 Với a = 2k + 1 suy ra a 2 = 4k 2 + 4k + 1`chia cho 4 có số d là 1 Vậy với a = 4n hoặc a = 4n + 1 suy ra a là số chính phơng Với a = 4n + 2 hoặc a = 4n + 3 khi chia cho 4 có số d là 2 hoặc 3 nên a không là số chính phơng 3. Một số bài toán 3.1,Phơng pháp sử dụng chữ số tận cùng Bài toán 1 : Các tổng sau có phải là số chính phơng không a, 3.5.7.9.11 + 3 b, 2011 + 2011 2 + 2011 3 + 2011 4 + +2011 2013 c, 2010 2004 + 2012 2007 Hớng dẫn giải: a. Xét tổng 3.5.7.9.11 + 3 có tận cùng bằng 8 nên tổng đó không phải là số chính phơng. 4 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng b. Xét tổng: 2011 + 2011 2 + 2011 3 + 2011 4 + +2011 2013 = = ( 1) + ( 1) +( 1) + + ( 1) = ( 3) (Vì tổng trên có 2013 số hạng ) Tổng trên có tận cùng là 3 nên tổng trên không phải là số chính phơng c. Xét tổng: 2010 2004 + 2012 2007 = ( 0) + 2012 2004 + 3 = ( 0) + ( 2012 4 ) 501 . 2012 3 = ( 0) + ( 6)( 8) = ( 0) + ( 8) = ( 8) Tổng trên có tận cùng là 8 nên tổng trên không phải là số chính phơng Bài toán tơng tự: Các tổng (số) sau có là số chính phơng không? a. 11 + 11 2 +11 3 + + 11 2013 b. 2010 2013 + 2013 2007 c. 20092010201120122013 d. 2000 2013 + 3 2. Phơng pháp dùng tính chất chia hết Bài toán 2 : Các tổng, số sau có phải là số chính phơng không ? a, 5 + 5 2 + 5 3 + +5 2013 b, 2004 2013 c , 3 + 3 2 + 3 3 + +3 2013 Hớng dẫn giải: a ,Ta có 5 + 5 2 + 5 3 + +5 2013 luôn chia hết cho 5 mà 5 + 5 2 + 5 3 + +5 2013 = = 5 + 5 2 ( 1 + 5 + 5 2 + +5 2011 ) không chia hết cho 25 suy ra tổng 5 + 5 2 + 5 3 + +5 2013 không phải là số chính phơng b, Xét số 2004 2013 = 2004.2004 2012 Do 2004 luôn chia hết cho 3 nhng 2004 không chia hết cho 9 suy ra 2004 2013 không phải là số chính phơng c , 3 + 3 2 + 3 3 + +3 2013 ( tơng tự câu a ) Bài toán 3 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số , đợc viết bởi các chữ số 3;6;8;8 ( Đề thi HSG lớp 6 phòng GD-ĐT Đức Thọ năm học 2003-2004 ) Hớng dẫn giải : Gọi a 2 là số chính phơng cần tìm Theo tính chất ta thấy số chính phơng không tận cùng bằng 3 ; 8 do đó a 2 phải tận cùng bằng 6 Suy ra a 2 = 86 hoặc a 2 = 36 Với a 2 = 86 suy ra a 2 chia hết cho 2 mà a 2 không chia hết cho 4 Vậy số có tận cùng bằng 86 không phải là số chính phơng. Với a 2 = 36 suy ra a 2 chia hết cho 2 và a 2 cũng chia hết cho 4 nên a 2 có tận cùng bằng 36 là số chính phơng Vậy số cần tìm là a 2 = 8836 5 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Bài toán 4 : Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phơng không ? Hớng dẫn giải Giả sử a 2 là số chính phơng gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 . Theo bài ra ta có a 2 = A0 hoặc a 2 = A06 hoặc a 2 = A66 Với a 2 = A0 có một chữ số 0 nên A0 không thể là số chính phơng. Với a 2 = A06 suy ra a 2 chia hết cho 2 mà a 2 không chia hết cho 4. Vậy số A06 không thể là số chính phơng. Với a 2 = A66 suy ra a 2 chia hết cho 2 mà a 2 không chia hết cho 4. Vậy số A66 không thể là số chính phơng. Vậy không tồn tại số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 không thể là số chính phơng Bài toán 5 : Tìm số chính phơng có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau ( Đề thi vào trờng chuyên Hà Tĩnh vòng 1 Năm học 2000 2001 ) Hớng dẫn giải : Gọi số chính phơng cần tìm là n 2 = aabb ( a;b C N , 1 <a < 9, 0 < b < 9 ) Ta có n 2 = aabb + 1100a + 11b = 11 ( 100a + b ) = 11 ( 99a + a + b ) (*) Để n 2 = aabb là số chính phơng thì ( 99a + a + b ) chia hết cho11 nên ( a+ b ) chia hết cho 11 suy ra ( a + b ) = 11 Thay a + b = 11 vào (*) ta đợc n 2 = 11 ( 99 + 11 ) = 11 2 ( 9a + 1 ) . Do đó 9a + 1 phải là số chính phơng Đặt d 2 = 9a + 1 (**), suy ra 9a = d 2 1 = (d -1)(d+1) Do (d+1) (d -1) = 2 nên hai số này không có ớc chung là 3. Vậy một thừa số phải là bội của 9 Mặt khác từ (**) suy ra d là số chỉ có một chữ số ( vì a < 9 hay 9a + 1 < 100 ) .Do đó d 1 < 9 và d + 1 = 9 nên d = 8 Thay vào (**) ta có a = 7 , b = 11-7 =4 Vậy số cần tìm là n 2 = 7744 = 88 2 Bài toán tơng tự : Tìm số chính phơng có bốn chữ số: a, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 4 ( ĐS : 2304 = 48 2 ) b, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 4; 7 ( ĐS : 2704 = 52 2 ) c, Đợc viết bởi các số : 0 ; 2 ; 3 ; 5 ( ĐS: 3025 = 55 2 ) 3.3 , Phơng pháp sử dụng ớc số Bài toán 6 : Viết liên tiếp từ 1 đến 12 đợc số A = 123456789101112 . Số A có thể có 81 ớc số đợc không ? ( Đề thi khảo sát giáo viên phòng GD-ĐT Can Lộc) Hớng dẫn giải : Giả sử số A có 81 ớc số, theo tính chất A là số chính phơng , vì số lợng ớc của số A là số lẻ. 6 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Mặt khác theo bài ra ta có A = 123456789101112 có tận cùng là 2 nên A không thể là số chính phơng. Vậy A không thể có 81 ớc số. Bài toán tơng tự : a ,Viết liên tiếp từ số 2000 đến số 2013 đợc số M = 200020012003 20122013. Số M có thể có 2013 ớc số đợc không? b, Viết liên tiếp từ số 1 đến số 28 đợc số . A = 1234 262728. Số A có thể có 101 ớc số đợc không? c , Xét số B = 20132014201520162017 . Số B có thể có 99 ớc số đợc không? 3. 4, Phơng pháp dùng ớc số Bài toán 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho các tổng sau là số chính phơng. a. n 2 + 2n + 12 b. n( n + 3) c. n 2 + n + 1589 Hớng dẫn giải: a. Do n 2 + 2n + 12 là số chính phơng. Đặt : n 2 + 2n + 12 = a 2 ( a thuộc N) n 2 + 2n + 1 + 11 = a 2 ( n + 1) 2 +11 = a 2 a 2 ( n + 1) 2 = 11 ( a- n -1 ) ( a + n + 1) = 11 Suy ra ( a- n -1 ) và ( a + n + 1) là ớc của 11 Do a- n -1 < a + n + 1 Nên a - n -1 = 1 a + n +1 = 11 Suy ra a = 6 và n = 4 Vậy với n = 4 ta có n 2 + 2n + 12 = 6 2 b. Do n ( n+ 3) = a 2 là số chính phơng Đặt n ( n + 3) = a 2 n 2 + 3n = a 2 4n 21 + 12n = 4a 2 4n 21 + 12n +9 = 4a 2 + 9 (2n + 3) 2 = (2a) 2 +9 (2n + 3 2a) (2n + 3 + a) = 9 Suy ra (2n + 3 2a) và (2n + 3 + a) là ớc của 9 Do: 2n + 3 2a < 2n + 3 + a Nên: 2n + 3 2a = 1 2n + 3 + 2a = 9 Suy ra: n = 1 và a = 2 Vậy với n =1 ta có n( n + 3) = 2 2 c. Do n 2 + n + 1589 là số chính phơng 7 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Đặt n 2 + n + 1589 = a 2 4n 2 + 4n + 6356 = 4a 2 4n 2 + 4n + 1 + 6355 = 4a 2 ( 2a) 2 - ( 2n + 1) 2 = 6355 (2a 2n -1) (2a + 2n +1) = 6355 Suy ra: (2a 2n -1) và (2a + 2n +1) là ớc của 6355 Ta có Ư( 6355) = ( 1; 5; 31; 41; 155; 205; 1271; 6355) Do 2a 2n 1 < 2a + 2n + 1 Nên 2a 2n 1 = 1 2a + 2n + 1 = 6355 Hoặc 2a 2n 1 = 5 2a + 2n + 1 = 1271 Hoặc 2a 2n 1 = 31 2a + 2n + 1 = 205 Hoặc 2a 2n 1 = 41 2a + 2n + 1 = 155 Giải ra ta đợc n 1 = 1588; n 2 = 316; n 3 = 43; n 4 = 28; Bài tập tơng tự: Tìm số tự nhiên a sao cho tổng sau là số chính phơng a, a 2 + a + 43 b, a 2 + 81 c, a 2 + 31a + 1984 d, a 2 + 2004 3.5, Phơng pháp dùng hằng đẳng thức Bài toán 8 : Chứng minh tích bốn số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính ph- ơng Hớng dẫn giải : Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là : a; a+1; a+2; a+3; ( a C N ) Ta gọi A = a(a+1)(a+2)(a+3) +1 = = a(a+3)(a+1)(a+2) +1= = (a 2 +3a)(a 2 +3a+2) +1 Đặt n = a 2 + 3a , khi đó ta có A = n(n+2) +1 = n 2 + 2n + 1 = ( n+1) 2 = = ( a 2 + 3a + 1 ) 2 Do a C N nên a 2 + 3a + 1 C N . Suy ra A là số chính phơng Bài toán 9 : Chứng minh rằng với các số nguyên a ; b thì M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b 4 là số chính phơng Hớng dẫn giải : Ta có M =( a + b)(a+2b)(a+3b)(a+4b) +b 4 =( a + b )(a+4b)(a+2b)(a+3b) +b 4 = = (a 2 +5ab + 4b 2 )(a 2 +5ab+6b 2 ) +b 4 8 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Đặt a 2 +5ab + 5b 2 = y khi dó ta có M = ( y b 2 ) (y + b 2 ) + b 4 = = y 2 b 4 + b 4 = y 2 =( a 2 +5ab + 5b 2 ) 2 Do a ; b C Z, nên a 2 +5ab + 5b 2 C Z . Suy ra M là số chính phơng Bài toán 10 : Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) (k C Z) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phơng Hớng dẫn giải : Ta có k(k+1)(k+2) = k (k+1)(k+2) 4 4 k (k+1)(k+2)[(k+3) (k-1)] 4 k (k+1)(k+2)[(k+3) k (k+1)(k+2)(k-1) 4 4 Suy ra 4S =1.2.3.4- 0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4 + + k (k+1)(k+2)[(k+3) - k (k+1)(k+2)(k-1) = k (k+1)(k+2)[(k+3) Nên 4S + 1 = k (k+1)(k+2)[(k+3) + 1 là số chính phơng (Theo bài toán 8) Bài toán 11: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; Dãy số trên đợc xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa các chữ số đứng trớc và đứng sau nó . Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phơng Hớng dẫn giải Ta có 444 488 89 = 444 488 8 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 = 44 4.10 n + 8. 11 1 +1 n chữ số 4 n chữ số 1 4(10 n 1)10 n 8(10 n 1) 9 9 4.10 2n 4.10 n + 8.10 n 8 + 9 9 4.10 2n + 4.10 n + 1 9 (2.10 n + 1) 2 3 2 Do n C N * nên ( 2.10 n + 1 ) chia hết cho 3. Suy ra 2.10 n + 1) là số tự nhiên 3 Vậy các số có dạng 444 889 là số chính phơng Bài toán tơng tự : Chứng minh rằng các số có dạng sau là số chính phơng 9 Kinh nghiêm năm học 2012 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng a, A = 111 1 + 444 4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 b, B = 111 1 + 11 1 + 66 6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số1 n chữ số 6 c, C = 444 4 + 22 2 + 88 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số2 n chữ số 8 3.6, Phơng pháp quy nạp Bài toán 12`.Tổng n số lẻ đầu liền là số chính phơng Hớng dẫn giải : Theo bài ra ta có: 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n 2 Với n = 1 ta có 1 = 1 2 ( luôn đúng ) n =2 ta có 1 + 3 = 2 2 ( luôn đúng) Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n 2 Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 1 + 3 + 5 + + ( 2k + 1) + ( 2 ( k + 1 ) - 1) = = k 2 + 2k + 2 1 = ( k 2 + 2k + 1 ) = ( k + 1) 2 Vậy 1+ 3 + 5 + + ( 2n + 1 ) = n 2 ( đfcm) Bài toán13 : Chứng minh rằng: 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = ( 1 + 2 + + n) 2 Hớng dẫn giải Ta có 1 + 2 + 3 + 4 + + n = [n(n+1)] : 2 Với n = 1 ta có 1 3 = 1 = 1 2 ( luôn đúng ) n =2 ta có 1 3 + 2 3 = 9 = ( 1 + 2) 2 ( luôn đúng) Giã sử đẳng thức đúng với n, ta có 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = ( 1 + 2 + 3 + + n) 2 Chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1 1 3 + 2 3 + 3 3 + + k 3 + ( k + 1 ) 3 = ( 1 + 2 + + k) 2 + ( k + 1 ) 3 ( k ( k + 1) ) 2 ( k + 1) 3 4 1 k 2 ( k + 1) 2 + 4( k + 1) 3 4 ( k + 1) 2 ( k 2 + 4k + 4) 4 ( k + 1) 2 ( k + 2) 2 4 [( k + 1)( k + 2)] 2 2 2 Vậy 1 3 + 2 3 + 3 3 + + n 3 = ( 1 + 2 + + n) 2 (đfcm) 10 Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng 4. Khảo sát đối tợng: Sau khi vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, tôi thấy học sinh khối THCS áp dụng để giải các bài toán Số chính phơng đợc tăng lên. Hơn nữa khi trang bị kiến thức này cho học sinh các em có hứng thú hơn, say mê học toán hơn. Kiến thức bài toán học đợc nâng cao rõ rệt, t duy toán học thực sự phát triển. Sau đây tôi xin đa ra một số kết quả trong bớc đầu giảng dạy cách vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, trên cho học sinh. Năm học Tổng số HS K6 HS đạt TB trở lên HS giải đợc dạng toán trên HS phat triển đợc dạng toán trên Số HS giỏi 2010-2011 Không áp dụng 185 75% 4% 0% 1% 2011-2012 Có áp dụng 189 82% 45% 22% 15% Qua điều tra sơ bộ, rỏ ràng kết quả đạt đợc sau khi vận dụng phơng pháp giải bài toán số chính phơng, cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối 6 , đây là một điều hết sức quan trọng và rất khả quan. t duy bài toán nói chung và kỷ năng giải toán số chính phơng nói riêng của học sinh đợc tăng lên đáng kể. Vì thế tôi mạnh dạn viết lên bài viết này với mong muốn các đồng nghiệp cùng nghiên cứu và tham khảo. 11 Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Phần Iii. kết luận và kiến nghị Trên là một số bài toán về số chính phơng đợc áp dụng kiến thức lớp 6 để giải. Với khuôn khổ bài viết chỉ nêu ra những bài toán áp dụng các kiến thức mang tính cơ bản, trọng tâm nhất. Tôi nghĩ với ngời giải toán chúng ta luôn cần suy nghĩ tìm tòi những cách làm hay để truyền đạt lại cho học sinh trong quá trình giảng dạy. Với các phơng pháp giải toán trên, học sinh đợc tiếp tục khai thác sâu thêm ở chơng trình cấp 3, với những kiến thức cơ bản ở khối THCS. Chỉ áp dụng trực tiếp vào những bài toàn trọng tâm, cơ bản khá hay để không ngừng nâng cao chất lợng, hiệu quả cho học sinh đại trà và đặc biệt học là sinh thi học sinh giỏi thi vào cấp 3, thi vào các chuyên trờng ,lớp chọn Vì đây là dạng toán luôn có trong các kì thi vào chuyên trờng, lớp chọn, bởi vậy chúng ta cần phải đầu t vào lĩnh vực mũi nhọn đối với môn toán. Đây là điều kiện khai thác các kỹ năng hết sức quan trọng và cần thiết của giáo viên và học sinh. Với tôi sau khi đợc đứng vào hàng ngũ những nhà giáo dục hơn 10 năm trở lại đây tôi đợc giao nhiệm vụ giảng dạy một số lớp toán và bồi dỡng ôn luyện cho học sinh thi vào cấp 3, vào các trờng chuyên, lớp chọn, tôi đã áp dụng cách làm này. Tôi tin rằng kết quả thi học sinh giỏi, thi vào cấp 3 trờng chuyên, lớp chọn của năm 2012 2013 sẽ đạt kết quả cao. Với kiến thức còn hạn chế của bản thân, rất mong nhận đợc sự trao đổi của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu nhà trờng và các đồng chí trong tổ toán đã giúp đỡ và ủng hộ tôi trong thời gian qua. Tháng 3 năm 1013 12 Kinh nghiêm năm học 2012 - 2013 . 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng Bài toán 4 : Một số tự nhiên gồm một chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phơng không ? Hớng dẫn giải Giả sử a 2 là số chính. thuyết về số chính phơng. - Cách vận dụng lý thuyết vào từng phơng pháp cụ thể - Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng. Mỗi phơng pháp cần giải quyết một số bài toán cụ thể và bài toán. 2013 Một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng 4. Khảo sát đối tợng: Sau khi vận dụng một số phơng pháp giải bài toán số chính phơng, tôi thấy học sinh khối THCS áp dụng để giải các bài toán