Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS Ngày 2 tháng 5 năm 2015 CHỨNG MINH 1 Dạng 1.1. Chứng minh quan hệ bằng nhau của hai đoạn thẳng, hai góc, hai cung 1. Các cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau a) Sử dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng: - Hai đoạn thẳng có cùng số đo. - Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba. - Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng hoặc hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một. b) Sử dụng tam giác bằng nhau: Hai cạnh tương ứng (tổng quát: hai đoạn thẳng tương ứng) của hai tam giác bằng nhau. c) Sử dụng định nghĩa các hình: - Hai cạnh bên của hình thang cân, các cạnh của tam giác đều. - Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, đường trung tuyến của tam giác, đường trung trực của đoạn thẳng. - Bán kính của đường tròn. d) Sử dụng tính chất các hình: - Tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đường tr ung trực của một đoạn thẳng. - Định lí thuận về đương trung bình của tam giác, của hình thang, các cạnh của hình thoi, hình vuông. - Hai đường chéo của hình thang cân, hình chữ nhật. - Tính chất đường chéo của hình bình hành, hình chữ nhật. - Các đoạn thẳng đối xứng nhau qua một trục, qua một tâm. - Tính chất của đường kính vuông góc với một dây. - Hai dây cách đều tâm của một đường tròn. - Hai khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng nhau trong một đường tròn. - Hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn. - Tính chất của đường nối tâm hai đường tròn cắt nhau. - Hai dây căng hai cung bằng nhau trong một đường tròn. 2. Các cách chứng minh hai góc bằng nhau a) Sử dụng yếu tố số đo của góc: - Hai góc có cùng số đo. - Hai góc cùng bằng một góc thứ ba. - Hai góc cùng phụ (hoặc cùng bù) với một góc thứ ba. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS b) Sử dụng hai tam giác bằng nhau hoặc tam giác đồng dạng: Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc hai tam giác đồng dạng. c) Sử dụng định nghĩa các hình: - Định nghĩa tia phân giác của góc. - Hai góc kề một đáy của hình thang cân. d) Sử dụng tính chất các hình: - Hai góc đối đỉnh. - Hai góc so le trong, hoặc đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến. - Hai góc ở đấy của một tam giác cân, các góc của một tam giác đều. - Hai góc đối của hình bình hành, hình thoi. - Tính chất đường chéo hình thoi, hình vuông. - Hai góc đối xứng nhau qua một trục, qua một tâm. - Tính chất của hai tiếp tuyến cùng xuất phát từ một điểm đến một đường tròn. - Hai góc nội (hoặc góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây) cùng chắn một cung hoặc hai cung bằng nhau. 3. Các cách chứng minh hai cung bằng nhau (trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau) - Hai cung có số đo bằng nhau. - Hai cung có dây căng cung bằng nhau (chỉ xét cung nhỏ hơn nửa đường tròn). - Hai cung có góc ở tâm tương ứng bằng nhau (chỉ xét cung nhỏ hơn nửa đường tròn). - Hai cung bị chắn bởi hai góc nội tiếp bằng nhau. - Hai cung chắn giữa hai dây song song. - Đường kính vuông góc với một dây thì chia cung căng dây thành hai phần bằng nhau. - Đường kính đi qua trung điểm của một dây khác đường kính thì chia cung căng dây thành hai phần bằng nhau. Dạng 1.2. Chứng minh qua hệ không bằng nhau của hai đoạn thẳng, hai góc, hai cung 1. Các cách chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau - So sánh độ dài hai đoạn thẳng. - So sánh hai góc đối diện với hai cạnh trong một tam giác. - Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa các đường xiên và các hình chiếu của chúng. - Sử dụng quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. - So sánh đường kính và dây của một đường tròn. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS - Sử dụng quan hệ giữa hai dây và khoảng cách từ tâm đến hai dấy đó. - So sánh hai cung của một đường tròn từ đó so sánh được hai dây căng hai cung đó. 2. Các cánh chứng minh hai góc không bằng nhau - So sánh số đo của hai góc. - Góc ngoài của một tam giác và góc trong không kề với nó. - So sánh hai cạnh đối diện với hai góc của một tam giác. 3. Các cách chứng minh hai cung không bằng nhau (trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau) - So sánh số đo của hai cung. - So sánh hai góc ở tâm tương ứng. - So sánh hai góc nội tiếp chắn hai cung. - Sử dụng quan hệ giữa hai cung và dây căng cung. Dạng 1.3. Chứng minh quan hệ song song hoặc vuông góc của hai đường thẳng, quan hệ thẳng hàng của ba điểm, quan hệ đồng quy của ba đường thẳng 1. Các cách chứng minh hai đường thẳng song song - Xét cặp góc đồng vị, hoặc so le trong, hoặc trong cùng phía tạo thành hai đường thẳng với một cát tuyến. - Hai đường thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba. - Các cạnh đáy của hình thang, các cạnh đối của hình bình hành, hình vuông, . . . - Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, đường trung bình của hình thang. - Sử dụng định lí Ta-lét đảo. 2. Các cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc - Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng là góc vuông. - Hai tia phân giác của hai góc kề bù. - Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia. - Sử dụng định nghĩa đường cao, đường trung trực. - Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác. - Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy là tam giác vuông. - Hai cạnh kề của hình chữ nhật, hình vuông. - Hai đường chéo của hình thoi, hình vuông. - Sử dụng định lí Pi-ta-go đảo. - Đường kính đi qua trung điểm một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS - Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy. - Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. - Đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau thì vuông góc với nhau. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông. 3. Các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng 2 - Hai đoạn thẳng, mỗi đoạn nối hai trong ba điểm ấy, tạo thành góc 180 ◦ . - Sử dụng tiên đề Ơ-clit: hai đoạn thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy, cùng song song với một đường thẳng thứ ba. - Hai đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua hai trong ba điểm ấy, cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba. - Một điểm nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm còn lại. - Trung điểm của một đường chéo và hai đầu của đường chéo kia trong hình bình hành. - Hai đầu của một đường kính và tâm đường tròn. - Hai tâm của hai đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm. 4. Cách chứng minh ba đường thẳng đồng quy 3 (ba đường thẳng cùng đi qua một điểm) - Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại. - Ba đường trung tuyến, ba đường phân giác, ba đường cao, ba đường trung trực của một tam giác. - Các đường chéo của hai hình bình hành có một đường chéo chung. 1.4. Chứng minh quan hệ tiếp xúc của hai đường thẳng và hai đường tròn, của hai đường tròn 1. Các cách chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn - Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung. - Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn. - Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. - Nếu  BAx có số đo bằng nửa số đo của cung AB và cung này nằm bên trong góc đó thì Ax là tiếp tuyến của đường tròn. 2. Các cách chứng minh hai đường tròn tiếp xúc nhau - Nếu đoạn nối tâm hai đường tròn bằng tổng của hai bán kính thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài. - Nếu đoạn nối tâm hai đường tròn bằng hiệu của hai bán kính thì hai đường tròn tiếp xúc trong. 1.5 Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn 4 Các cách chứng minh bốn điểm thuộc cùng một đường tròn (hoặc chứng minh tứ giác nội tiếp): 2 Xem thêm chuyên đề thẳng hàng, đồng quy 3 Xem thêm chuyên đề thẳng hàng, đồng quy 4 Xem thêm chuyên đề tứ giác nội tiếp Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS - Chỉ ra một điểm cách đều bốn đỉnh của tứ giác. - Chứng minh hai góc đối của tứ giác bù nhau. - Chứng minh một góc của tứ giác bằng góc ngoài tại đỉnh đối diện. - Chứng minh hai đỉnh liên tiếp của tứ giác nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau (dựa vào cung chứa góc). - Chứng minh tứ giác là hình thang cân. - Ngoài ra còn dùng một vài cách khác để chứng minh xem thêm phần chuyên đề tứ giác nội tiếp. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP Nhắc lại một số điều kiện để một tứ giác nội tiếp. • Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại N, hai đường thẳng AB, CD cắt nhau tại M. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) Tứ giác ABCD nội tiếp. ii)  ACB =  ADB. iii)  ABC +  ADC = 180 ◦ . iv) MA ·MB = MC ·MD. v) NA ·NC = NB ·ND. A B CD N M A BC S • Cho tam giác ABC và điểm S thuộc tia đối của tia BC. Khi đó các điều sau là tương đương: i) SA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ii)  ACB =  BAS. iii) SA 2 = SB ·SC. Bài 1. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần lượt tại E, F. Các đường thẳng BI, CI lần lượt cắt EF tại M, N. Chứng minh rằng bốn điểm B, M N, C cùng thuộc một đường tròn. Lời giải A B C E F I N M • Nếu M thuộc tia đối của tia FE, ta có:  MIC =  B 2 +  C 2 = 90 ◦ −  A 2 =  AFE =  MFC. Vậy tứ giác IFMC nội tiếp do đó  BMC =  IFC = 90 ◦ . • Nếu M thuộc đoạn EF làm tương tự ta cũng suy ra  BMC = 90 ◦ . Vậy ta luôn có  BMC = 90 ◦ . Tương tự  BNC = 90 ◦ . Do đó bốn điểm B, C, M, N thuộc cùng một đường tròn. Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao xuất phát từ A. Về phía ngoài tam giác dựng các Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS tam giác vuông AMB và ANC đồng dạng với nhau (vuông tại M, N). Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh rằng các điểm T , H, M, N thuộc cùng một đường tròn. Lời giải A B C E M F N TH A B M C DE F hình bài 2 hình bài 3 Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Do các tam giác AMB và ANC đồng dạng với nhau suy ra ∆EMT  ∆FT N do đó  EMT =  FT N (1) Do AMBH, AHCN là các tứ giác nội tiếp nên  BHM =  BAM,  CHN =  CAN. Mặt khác  BAM =  CAN nên  MHN = 180 ◦ −  BHM −  CHN = 180 ◦ −2  BAM = 180 ◦ −  BEM =  EMT +  BET +  ET M =  EMT +  ET F +  ET M. (2) Từ (1), (2) suy ra  MHN =  FT N +  ET F +  ET M =  MT N. Vậy các điểm M, H, T , N cùng thuộc một đường tròn. Bài 3. Cho hình thoi ABCD có  B = 60 ◦ . Một đường thẳng đi qua D không cắt hình thoi nhưng cắt các đường thẳng AB, BC lần lượt tại E, F. Gọi M là giao điểm của AF, CE. Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Lời giải Ta có ∆AED  ∆CDF nên AE AC = AC CF . Mặt khác  CAE =  FCA nên ∆AE C  ∆CAF. Suy ra  ACE =  CFA, Do đó ∆ACM  ∆AFC. Suy ra AM AC = AC AF hay AC 2 = AM ·AF. Do đó AD 2 = AM ·AF. Vậy AD tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Bài 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O 1 ). Các tia AB và CD cắt nhau tại M, các tia AD và BC cắt nhau tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN cắt (O 1 ) tại điểm B  khác B. Chứng minh rằng B  D đi qua trung điểm của MN. Lời giải Gọi I là giao điểm của B  D với MN, ta có  IMB  = 180 ◦ −  B  BC =  B  DC nên  IMD =  IMB  −  DMB  =  B  DC −  DMB  =  MB  D. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS A B M C B  O 1 N I D A B M C E H F O N ∆ hình bài 4 hình bài 5 Do đó IM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác B  DM suy ra IM 2 = ID ·IB  . Tương tự IN 2 = ID ·IB  . Vậy IM = IN, ta có đpcm. Bài 5. Cho đường thẳng ∆ và một điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng ∆, H là hình chiếu vuông góc của A xuống ∆. Hai điểm B, C thay đổi trên ∆ sao cho  BAC = 90 ◦ . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H xuống AB, AC. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm B, E, F, C thuộc cùng một đường tròn (O ); b) Đường tròn (O) luôn đi qua hai điểm cố định. Lời giải a) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AE ·AB = AH 2 = AF ·AC. Vậy các điểm B, E, F, C thuộc cùng một đường tròn. b) Gọi M, N lần lượt là các giao điểm của (O) với AH (M thuộc đoạn AH). Ta có HM ·HN = HB ·HC = AH 2 (1) Mặt khác AH 2 = AE ·AB = AM ·AN = ( AH −HM ) ( AH +HN ) = AH 2 −HM ·HN +AH ( HN −HM ) . Suy ra HN −HM = AH (2) Từ (1), (2) ta có HN −HM = AH và HM ·HN = AH 2 do đó HM = √ 5 −1 2 AH và HN = √ 5 + 1 2 AH. Vậy (O) luôn đi qua điểm cố định M, N. Bài 6. Cho hình bình hành có  ABC > 90 ◦ . Hạ DA  , DC  , DD  lần lượt vuông góc với AB, BC , AC. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng các điểm A  , O, C  , D  thuộc cùng một đường tròn. Hướng dẫn giải Ta có  BA  D =  BC  D = 90 ◦ do đó các điểm A  , B, C  , D thuộc đường tròn đường kính AD. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS Lại có O là trung điểm của BD nên O là tâm đường tròn đi qua bốn điểm A  , B, C  , D. Suy ra  A  OC  = 2  A  DC  = 2  180 ◦ −  ABC  . (1) A B D CC  A  D  O A B D C K M N O I hình bài 6 hình bài 7 Mặt khác  A  D  C  =180 ◦ −  A  D  A −  C  D  C = 180 ◦ −   ADA  +  CDC   (do các tứ giác A  ODA, CDD  C  nội tiếp được). =180 ◦ −   ADC −  A  DC   = 180 ◦ −   ABC −  180 ◦ −  ABC  =2  180 ◦ −  ABC  (2) Từ (1), (2) suy ra  A  OC  =  A  D  C  hay tứ giác A  OD  C  nội tiếp được. Bài 7. Đường phân giác  BAD của hình bình hành ABCD cắt cạnh BC và đường thẳng CD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: a) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. b) Nếu K là giao của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác CMN, BCD (K = C) thì  AKC = 90 ◦ . Hướng dẫn giải a) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác C MN. Ta có  BAN =  CAD =  CMN do đó BA = BM suy ra CD = BM. Mà  BAN =  MNC và  CAD =  BMA suy ra  CMN =  MNC hay MC = NC. Lại có  OCD =  BCD +  OCM =  OCM +  A 2 +  A 2 =  OCM +  M 1 + 1 2  BAD = 90 ◦ + 1 2  BAD (do OC⊥MN).  BOM = 180 ◦ −  OMC = 180 ◦ −  OCM = 90 ◦ + 1 2  BAD. Do đó  OCD =  BMO. Suy ra ∆OMB = ∆OCD (g.c.g) nên  OBM =  ODC do đó các điểm O, C, D, B thuộc cùng đường tròn. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS b) Gọi K là giao điểm của đường tròn đi qua ba điểmC, H, N và đường tròn đi qua ba điểm B, C, D. Theo câu a) ta có OD = DB và OC = OK nên CKBD. Do đó đường nối O với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD đi qua trung điểm của BD hay trung điểm của AC. Từ đó ta có OIAK và OI⊥KC suy ra AK⊥KC. Vậy  AKC = 90 ◦ . Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là một điểm thuộc cạnh huyền BC và E là điểm đối xứng với D qua AB. Gọi G là giao điểm của AB và DE. Từ giao điểm H của AB và CE hạ HI vuông góc với BC. Các tia CH, IG cắt nhau tại K. Chứng minh rằng KC là phân giác của  IKA. Hướng dẫn giải A B D C K H E G I P A I Q B C M E D F N hình bài 8 hình bài 9 Ta có  HID =  HGD = 90 ◦ do đó tứ giác HGID nội tiếp được. Từ đó, ta có  HIG =  HDE =  HED =  ACH (do ACED) =  HIA (do tứ giác HACI nội tiếp). Suy ra  BIK =  AIC =  AH C =  KHB, tức tứ giác KHIB nội tiếp được. Do đó  BKH =  HID = 90 ◦ =  BAC hay tứ giác BKAC nội tiếp được. Suy ra  AKC =  ABC =  HKI. Vậy KC là tia phân giác của  IKA. Bài 9. Cho tam giác ABC đường cao AD. Gọi D, E, F là hai điểm nằm trên một đường thẳng qua D sao cho  AEB =  AFC = 90 ◦ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, EF. Chứng minh rằng  ANM = 90 ◦ . Hướng dẫn giải Dựng hình chữ nhật APBD, QADC. Gọi I là trung điểm của PQ. Ta có tứ giác AEBD nội tiếp. Do đó  PEA =  PBA =  BAD =  BED hay  PED =  AEB = 90 ◦ . Tương tự  QFE = 90 ◦ . Suy ra PEQF hay tứ giác EPQF là hình thang, mà N, I lần lượt là trung điểm của EF, PQ. Do đó NIFQ, IMQC. Từ đó ta có  NIM =  FQC =  CDF nên tứ giác NDMI nội tiếp được. Suy ra  ANM =  MIQ = 90 ◦ . Vậy  ANM = 90 ◦ . [...]... − PQE ⇒ tứ giác PCEQ là tứ giác nội tiếp ⇒ E nằm trên đường tròn đi qua C, N, P PMA = 180◦ − PCE = PQE = 180◦ − PQA ⇒ tứ giác MAIP là tứ giác nội tiếp IPC = 180◦ − MPI = MAI = 180◦ − IDC ⇒ IPC + IDC = 180◦ ⇒ tứ giác PCDI là tứ giác nội tiếp ⇒ PDI = PCI (1) Tương tự, tứ giác BMQC là tứ giác nội tiếp ⇒ QBM = MCQ (2) Từ (1), (2) ta có PDA = QBA Bài 17 Cho tam giác vuông ABC (A = 90◦ ) và B < C, tiếp tuyến... Theo giả thiết BED = A ⇒ BMD = BED ⇒ tứ giác BMED là tứ giác nội tiếp ⇒ MEA = MBD = BCA = MIA ⇒ tứ giác AMEI nội tiếp ⇒ EIC = AME = EDB ⇒ tứ giác IEDC nội tiếp ⇒ NI = NC = ND ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IEDC ⇒ A = DNC = 2DEC Bài 26 Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D, E, K Trên cạnh BC lấy... = KED Vậy tứ giác MEKC nội tiếp, từ đó MEC = MKC Vì ICK = AED = MEB; MEC = 90◦ + MEB; MKC = MKI + IKC nên MKI = 90◦ Do A, E, H, K, D nằm trên đường tròn đường kính AH, nên HKA = 90◦ Vậy ba điểm M, H, K thẳng hàng (đpcm) c) Do tứ giác DEHK bội tiếp nên HEK = HDK (1) Tứ giác MEKC nội tiếp nên KEC = KMC (2) Từ (1), (2) suy ra KMB = HDK hay tứ giác MBKD nội tiếp Bài 11 Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường... A1C nội tiếp ⇒ DA · DC = DC1 · DA1 Tứ giác AEBC nội tiếp ⇒ DA · DC = DE · DB ⇒ DE · DB = DC1 · DA1 ⇒ C1 A1 BE nội tiếp Mặt khác tứ giác C1 BA1 H nội tiếp ⇒ 5 điểm C1 , E, B, A1 , H nằm trên một đường tròn đường kính BH ⇒ BE⊥HE Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS Kéo dài EH cắt AC tại I ⇒ tứ giác BEB1 I nội tiếp ⇒ HE · HI = HB · HB1 Mặt khác HA · HA1 = HB · HB1 ⇒ HA · HA1 = HE · HI ⇒ tứ giác AEA1 I nội tiếp. .. 180◦ P Q D D A A F O H I E I B B C E N C K M H P Q hình bài 34 hình bài 35 ⇒ tứ giác AQBH nội tiếp, gọi I là giao điểm BH và AP ⇒ KAF = HBQ = AIE Hoàn toàn tương tự, tứ giác ADCH nội tiếp ⇒ AHD = ACD = CAP ⇒ AHD + HAF = CAP + AIE = 90◦ ⇒ tứ giác AHEF nội tiếp ⇒ HFE = HAE = HAC = HDC ⇒ EF CD ⇒ EF AP Bài 35 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M, đường thẳng AM cắt... D C N hình bài 19 hình bài 20 Theo giả thiết BD⊥AC, CE⊥AB ⇒ tứ giác BCDE là tứ giác nội tiếp ⇒ EBC + EDC = 180◦ ⇒ ADE = ABC Mặt khác ABC = AMC (cùng chẵn cung AC) ⇒ AMC = ADE ⇒ IMC + IDC = 180◦ ⇒ tứ giác IMCD là tứ giác nội tiếp; AM là đường kính đường tròn (O) ⇒ ACM = 90◦ ⇒ DIM = 90◦ ⇒ DE⊥AM H là trực tâm tam giác ABC ⇒ CH⊥AB, AM là đường kính ⇒ MB⊥AB ⇒ CH MB, BD⊥AC, MC⊥AC ⇒ BD MC ⇒ tứ giác BMCH là... đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM tại Q Chứng minh P, A, Q thẳng hàng và ACN = BCM Lời giải AMCQ là tứ giác nội tiếp ⇒ MAC = MQC, APBN nội tiếp ⇒ BPN = BAN, AD là phân giác ⇒ BAD = CAD ⇒ BPN = MQC ⇒ BPC = BQC ⇒ PQCB nội tiếp ⇒ QPC = QBC, APN = ABN Theo giả thiết CBM = ABN ⇒ CBQ = CPA, CPQ = CBQ ⇒ P, A, Q thẳng hàng Các tứ giác AQCM, PQCB nội tiếp ⇒ ACM = AQM ⇒ ACN = BCM Bài 28 Cho tam giác ABC, gọi J... nội tiếp ⇒ OED = OID (1) OMA là tam giác vuông ⇒ OM 2 = OD · OA Tương tự OP2 = OI · OB, OM = OP ⇒ OD · OA = OI · OB ⇒ tứ giác DABI là tứ giác nội tiếp ⇒ OID = DAB (2) Từ (1), (2) ⇒ OED = DAB ⇒ tứ giác DAHE là tứ giác nội tiếp, DAN = 90◦ ⇒ AHE = 90◦ ⇒ OE⊥AB Bài 22 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD, M là điểm đối xứng với A qua đường kính BD, AM cắt BD tại N Từ N kẻ đường thẳng song song... Đường phân giác các góc A và B cắt nhau tại P, đường phân giác góc C và D cắt nhau tại R, đường phân giác B và C cắt nhau tại Q, đường phân giác góc A và D cắt nhau tại S Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp và MQ vuông góc với NP Lời giải Ta có 1 1 1 1 SPQ + SRP = 180◦ − B − A + 180◦ − C − D 2 2 2 2 1 = 360◦ − A + B + C + D = 180◦ 2 ⇒ tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp Xét NAB: phân giác A, B... cung MC), NQ AC ⇒ MNQ = MAC ⇒ MNQ = MBQ ⇒ NMQB là tứ giác nội tiếp ⇒ BM là đường kính ⇒ MQ⊥BQ, BD là đường kính ⇒ DC⊥BC Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS Mặt khác, MDC = MAC = MNP ⇒ tứ giác DNPM nội tiếp đường tròn đường kính DM ⇒ DPM = 90◦ Tứ giác MPCQ có ba góc vuông ⇒ tứ giác PCQM là hình chữ nhật Bài 23 Cho tam giác ABC, đường tròn (J ) bàng tiếp góc A tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại I, . ⇒ tứ giác BMED là tứ giác nội tiếp ⇒  MEA =  MBD =  BCA =  MIA ⇒ tứ giác AMEI nội tiếp ⇒  EIC =  AME =  EDB ⇒ tứ giác IEDC nội tiếp ⇒ NI = NC = ND ⇒ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác. (đpcm). c) Do tứ giác DEHK bội tiếp nên  HEK =  HDK (1) Tứ giác MEKC nội tiếp nên  KEC =  KMC (2) Từ (1), (2) suy ra  KMB =  HDK hay tứ giác MBKD nội tiếp. Bài 11. Cho tứ giác ABCD nội tiếp một. xem thêm phần chuyên đề tứ giác nội tiếp. Tài liệu bồi dưỡng Toán THCS BÀI TẬP BỒI DƯỠNG TỨ GIÁC NỘI TIẾP Nhắc lại một số điều kiện để một tứ giác nội tiếp. • Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo