Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP GIẢI TOÁN A3 PHẦN 2
BÀI TẬP CĨ LỜI GIẢI TỐN A3 PHẦN 2 Phần I: Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Câu 1: Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai tại điểm dừng M(x o ,y o ). A=f’’ xx (x o ,y o ), B=f’’ xy (x o ,y o ), C=f’’ yy (x o ,y o ), ∆ =AC-B 2 Giải: Ta có: Nếu ∆ < 0, hàm f(x,y) không có cực trò Nếu < >∆ 0 0 A M là điểm cực đại Nếu > >∆ 0 0 A M là điểm cực tiểu Câu 2: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z=x 4 -8x 2 +y 2 +5. Tìm cực trò của hàm. Giải: z’ x =4x 3 -16x,z’ y =2y = = 0' 0' y x z z ⇔ = =− 02 0164 3 y xx ⇔ = = −= = 0 0 2 2 y x x x ⇒ Hàm có 3 điểm dừng: M 1 (0,0), M 2 (-2,0), M 3 (2,0) Z’’ xx =12x 2 -16, z’’ yy =2, z’’ xy =0 Xét M 1 (0,0) ta có: A=z’’ xx (M 1 )=-16 ⇒ ∆ =AC-B 2 =2.(-16)-0=-32<0 ⇒ z không đạt cực trò tại M 1 (0,0) Xét M 2 (-2,0) ta có: A=z’’ xx (M 2 )=32 ⇒ ∆ =AC-B 2 =64>0, A>0 ⇒ z đạt cực tiểu tại M 2 (-2,0) Xét M 3 (2,0) ta có: A=z’’ xx (M 3 )=32 ⇒ ∆ =AC-B 2 =64>0, A>0 ⇒ z đạt cực tiểu tại M 3 (2,0) Vậy z có hai cực tiểu M 2 (-2,0), M 3 (2,0) Câu 3: Cho hàm z=2x 2 -4x+siny-y/2 với x ∈ R, - π <y< π . Tìm cực trò của z. Giải: Z’ x =4x-4, z’ y =cosy-1/2 = = 0' 0' y x z z ⇔ =− =− 02/1cos 044 y x = = −= ⇔ 1 3/ 3/ x y y π π ⇒ Hàm có 2 điểm dừng: M 1 (1, 3/ π ), M 2 (1,- 3/ π ) Z’’ xx =4, z’’ xy =0, z’’ yy =-siny Xét M 1 (1, 3/ π ) ta có: C=z’’ yy (M 1 )= 2 3 ⇒ ∆ =AC-B 2 =2 3 >0, A>0 ⇒ z đạt cực tiểu tại M 1 (1, 3/ π ) Xét M 2 (1,- 3/ π ) ta có: C=z’’ yy (M 2 )=- 2 3 ∆⇒ =AC-B 2 =-2 3 <0 ⇒ z không đạt cực trò tại M 2 Vậy z có một cực tiểu tại M 1 (1, 3/ π ) 4: Tìm cực trò của hàm z=x 2 (y-1)-3x+2 với điều kiện x-y+1=0 Giải: Từ điều kiện ta có: y=x+1. Thay y vào z, ta được: z= x 3 -3x+2 ⇒ Z’ x =3x 2 -3 Z’ x =0 ⇔ =⇒−= =⇒= 01 21 yx yx Hàm có hai điểm dừng: M 1 (1,2), M 2 (-1,0) Bảng biến thiên: X - ∞ -1 1 + ∞ Z’ + 0 - 0 + Z 0 CT CĐ 2 Vậy z đạt cực đại tại M 2 (-1,0), cực tiểu tại M 1 (1,2) Câu 5: Tìm cực trò của hàm z=x 2 (y+1)-3x+2 với điều kiện x+y+1=0.Tìm cực trò của z. Giải: Ta có: y=-x-1 Thế y vào z ta được: z= -x 3 -3x+2 Z’ x =0 ⇔ -3x 2 -3=0 ⇔ x 2 =-1 (vô nghiệm) Vậy z không có cực trò. Câu 53: Xác định cận của tích phân 3 1 0 0 ( , ) x I dx f x y dy = ∫ ∫ trong đó D là miền giới hạn bởi các đường: y = 3x , y = x 2 . Bài giải: Ta có: D: 2 2 3 0 3 9 3 9 y x y x y y y y y y x y x y = = = ⇔ ⇒ = ⇔ = ⇔ = = = Suy ra: 3 0 9 y x x y y y = = = = Vậy: 9 0 3 ( , ) y y I dy f x y dx = ∫ ∫ Câu 68: Đổi thứ tự tích phân 3 1 0 0 ( , ) x I dx f x y dy = ∫ ∫ . Bài giải: Ta có D: 3 0 1 (1) 0 (2) x y x ≤ ≤ ≤ ≤ • Xác định cận x: Từ (2) ta có: 3 3 y x x y ≤ ⇔ ≥ và từ (1) 1x ≤ 3 1y x ⇒ ≤ ≤ • Xác định cận y: Từ (1) 3 1 1x x ⇒ ≤ ⇔ ≤ 3 1 1y x y ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ 0 1y ⇒ ≤ ≤ Vậy: 3 1 1 0 ( , ) y I dy f x y dx = ∫ ∫ Bài 73: Cho tích phân ln 1 0 ( , ) e x I dx f x y dy = ∫ ∫ . Thay đổi thứ tự tích phân ta được: Bài giải: Ta có D: 1 (1) 0 ln (2) x e y x ≤ ≤ ≤ ≤ • Xác định cận y: Từ (1) ln ln 1x e x e ⇒ ≤ ⇔ ≤ = ⇒ ln 1x ≤ (vì 1 x ≤ ) Mà (2) ⇒ ln 1y x ≤ ≤ ⇒ 1y ≤ ⇒ 0 1y ≤ ≤ • Xác định cận x: Từ (2) ⇒ lny x ≤ ⇒ lny x e e x ≤ = ⇒ y e x ≤ ⇒ y e x e ≤ ≤ Vậy: 1 0 ( , ) y e e I dy f x y dx = ∫ ∫ Câu 78: Thay đổi thứ tự tích phân 2 2 1 ( , ) x x I dx f x y dy = ∫ ∫ Bài giải: Ta có D: 1 2 (1) 2 (2) x x y x ≤ ≤ ≤ ≤ Vẽ các đường x=1, x=2, y=x, y=2x Trên hệ truc Oxy như hình vẽ. Ta thấy theo trục tung, miền D tăng dần từ 0 đến 2 và giảm dần từ 2 đến 4 Vậy: 2 4 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) y y I dy f x y dx dy f x y dx = + ∫ ∫ ∫ ∫ Bài 84: Chuyển tích phân sau sang tọa độ cực ( , ) D I f x y dxdy = ∫∫ , trong đó D là hình tròn 2 2 4x y y + ≤ . Bài giải: Ta có: D: 2 2 2 2 4 ( 2) 4x y y x y + ≤ ⇔ + − ≤ , là đường tròn tâm A(0, 2) và bán kính r = 2 1 2 1 2 3 4 o y = 2x y = x x =1 x = 2 o o o o o o x y o 1 2 4 x y A r o o o 2 o Đặt cos sin x r y r φ φ = = 0 2 0 r φ π ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Vậy: 2 0 0 ( cos , sin )I d f r r rdr π φ φ φ = ∫ ∫ Câu 91: Tính tích phân 2 0 sin(x+y)dx y o I dy π = ∫ ∫ Bài giải: 2 0 sin(x+y)dx y o I dy π = ∫ ∫ 2 0 .( os( )) 0 y I dy c x y π ⇔ = − + ∫ 2 0 (cos os2 )I y c y dy π ⇔ = − ∫ 1 2 (sin sin2y ) 2 0 I y π ⇔ = − 1I ⇔ = Vậy: 1I ⇔ = 97. Tính tích phân I = ln D x ydxdy y ∫∫ trong đó D là hình chữ nhật 0 2;1x y e≤ ≤ ≤ ≤ I = ln D x ydxdy y ∫∫ = 2 2 0 1 0 1 ln ln . (ln ) e e x dx ydy dx x y d y y = ∫ ∫ ∫ ∫ e = 2 2 0 ln . 2 y dx x ∫ = 2 2 2 2 0 0 ln ln 1 1 .( ). 2 2 2 e x dx xdx− = ∫ ∫ = 2 2 0 1 2 2 x = ( ) 2 2 1 2 0 4 − = 1 101. Tính tích phân I = ( ) 2 1 D dxdy x y+ + ∫∫ trong đó D là hình vuông 0 2;0 1x y≤ ≤ ≤ ≤ I = ( ) 2 1 D dxdy x y+ + ∫∫ = ( ) 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 ( 1) ( 1) d y x dy dx dx y x y x + + = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ = 1 1 0 0 1 . 1 dx x y − ÷ + + ∫ = 1 0 1 1 2 1 dx x x − − ÷ + + ∫ = 1 1 0 0 ln( 2) ln( 1)x x− + + + = ln3 ln 2 ln 2 ln1− + + − = ln3 ln 4− + 113. Tính tích phân I = 2 2 D x ydxdy ∫∫ trong đó D là tam giác với các đỉnh O(0,0); A(1,0); B(1,1). Dựa vào hình vẽ ta xác định được cận tích phân như sau: 0 1 0 x y x ≤ ≤ ≤ ≤ I = 1 2 2 2 0 0 0 0 2 x x x dx x ydy dxx y = ∫ ∫ ∫ = 1 1 5 4 0 0 1 5 5 x x dx = = ∫ 1 A O B x y 1 1 120. Tính tích phân I = D ydxdy ∫∫ trong đó D là miền giới hạn bởi đường thẳng y = x và parabol y = x 2 . Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y = x và parabol y = x 2 x 2 = x ⇒ x = 0 ; x = 1 Vậy 0 1x≤ ≤ . Ta xét ( ) 1 0,1 2 x = ∈ (0.5) 2 < 0.5 ⇒ I = 2 2 1 1 2 0 0 . 2 x x x x y dx ydy dx = ∫ ∫ ∫ = 1 1 3 5 2 4 0 0 1 1 ( ) 2 2 3 5 x x x x dx − = − ÷ ∫ = 3 5 1 1 1 1 2 3 5 15 − = ÷ 125. Tính tích phân I = 2 2 D dxdy x y+ ∫∫ trong đó D là hình tròn 2 2 9x y+ ≤ Đặt cos sin x r y r ϕ ϕ = = Dựa vào hình vẽ ta xác định được cận tích phân: 0 3 0 2 r ϕ ≤ ≤ ≤ ≤ ∏ I = ( ) ( ) 2 2 cos sin D D rdrd drd r r ϕ ϕ ϕ ϕ = + ∫∫ ∫∫ R x y 0 = 2 3 2 3 0 0 0 0 .dr d dr ϕ ϕ Π Π = ∫ ∫ ∫ = 3 3 0 0 2 2 . 6dr r Π = Π = Π ∫ 140. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ; x x y e x y e x − = + = + và x = 1 Phương trình hoành độ giao điểm của ; x x y e x y e x − = + = + x x e x e x − + = + ⇔ 1 x x e e = ⇔ 1 0 x x e e − = ⇔ ( ) 2 1 0 x e − = ⇔ 1 1 x x e e = = − ⇒ x = 0 Vậy 0 1x ≤ ≤ Tại [ ] 1 0,1 2 x = ∈ ta có x x e x e x − + ≤ + ⇒ cận tích phân là 0 1 x x x e x y e x − ≤ ≤ + ≤ ≤ + (loại) [...]... a)I=a2 b)I=2a2 c)I=a2 2 d)I =a3 2 Giải: ' x+y=a ⇒ y=a – x → y( x ) = -1 dl= 1 + ( y(' x ) ) 2 dx = 1 + ( −1) 2 dx = 2 dx a a 0 0 → I= ∫ ( x − a − x) 2 2dx = ∫ a 2 2dx =a2 2 [ x ] 1 =a3 2 0 1 → I= ∫ 2dx = 2 [ x ] 1 = 2 0 0 → Đáp án là D Câu 23 8: Cho điểm A(0,1) và B(1,0) tính tích phân đường I = ∫ ( y + 2 x + 1)dx + ( y − 1)dy AB lấy theo đường y=1-x đi từ A đến B a) I=4 b)I=3 c)I=1 d)I =2 Giải: y=1-x → dy... 0 0 I = ∫ (1 − x + 2 x + 1)dx + (1 − x − 1)(−1)dx = ∫ ( x + 2 + x)dx = ∫ (2 x + 2) dx 1 = x 2 + 2 x 0 =3 → Đáp án B Câu 24 1: Tính I = ∫ 3xydx − (3x OA 2 − 2 y )dy lấy theo đoạn nối từ O(0,0) đến A(-1,-1) a)I =-1b)I = 1c)I =-2d) I =2 Giải: Pt đường thẳng OA : x y = ⇔ x = y ⇔ dx = dy −1 −1 −1 −1 0 0 −1 I = ∫ 3 y 2 dx − (3 y 2 − 2 y ) dy = ∫ 2 ydy = y 2 =1 0 2 2 Câu 24 2:Tính I= ∫ ( x − y... 2 e Câu 20 0: Tính tích phân đường I = ∫ ( x + y )dl , trong đó C có phương trình x+y=1;0 ≤ x ≤ 1 C a) I= 2 b)I=1 c)I= 1 2 d)I =2 Giải: x+y=1 ⇒ rút y theo x ta được : ' y=1-x ⇒ y( x ) = - 1 dl= 1 + ( y(' x ) ) 2 dx = 1 + (−1) 2 dx = 2 dx 1 → I= ∫ 2dx = 2 [ x ] 1 = 2 0 0 → Đáp án là A 2 Câu 20 1: Tính tích phân đường I = ∫ ( x + y ) dl trong đó C có phương trình x+y=a,0 ≤ x ≤ C a a)I=a2 b)I=2a2 c)I=a2... 1} Trên mặt S1, ta có z = 0 ⇒ dS = dxdy 1 1 0 0 Vậy ∫∫ ( x + y + z )ds = ∫∫ ( x + y )dxdy = ∫ dx ∫ ( x + y )dy s1 1 = ∫[ 0 1 ( xy + y 2 ) 2 D 1 ] 0 dx = ∫ [ 1 0 1 (x + ) 2 1 x2 x dx = + =1 ]0 2 2 0 1 Trên mặt S2 ta có : z =1 ⇒ dS = dxdy , do đó ∫∫ ( x + y + z )dS = ∫∫ ( x + y + 1)dxdy = ∫∫ ( x + y)dxdy + ∫∫ dxdy s2 Vậy D ∫∫ ( x + y + z )dS s ⇒ Đáp án B D =3(1 +2) =9 D =1+1 =2 ... a)I = 9 b)I =8 c)I = 3 4 d) I = −3 4 Giải: Pt đường thẳng OA : y = 0 → dy = 0dx 3 3 x3 I= ∫ x dx + 0 = =9 0 3 0 2 → Đáp án A Câu 310; tính tích phân mặt loại 1:I = ∫∫ ( x + y + z )dS trong đó S là mặt của hình lập s phương [ 0,1] x [ 0,1] x [ 0,1] a)I = 0b)I =9 C)I =3 d)I = 12 Giải Miền S gồm 6 mặt : S1 = { ( x, y, z ) : z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} S2 = { ( x, y, z ) : z = 1, 0 ≤ x ≤ 1, . tròn 2 2 4x y y + ≤ . Bài giải: Ta có: D: 2 2 2 2 4 ( 2) 4x y y x y + ≤ ⇔ + − ≤ , là đường tròn tâm A(0, 2) và bán kính r = 2 1 2 1 2 3 4 o y = 2x y = x x =1 x = 2 o o o o o o x y o 1 2 4 x y A r o o o 2 o Đặt. x+y=a,0 ≤ x ≤ a. a)I=a 2 b)I=2a 2 c)I=a 2 2 d)I=a 3 2 Giải: x+y=a ⇒ y=a – x → ' ( )x y = -1 dl= ' 2 ( ) 1 ( ) x y+ dx = 2 1 ( 1) + − dx = 2 dx → I= 2 0 ( ) 2 a x a x dx− − ∫ = 2 0 2 a a dx ∫ =a 2 2 [. chữ nhật 0 2; 1x y e≤ ≤ ≤ ≤ I = ln D x ydxdy y ∫∫ = 2 2 0 1 0 1 ln ln . (ln ) e e x dx ydy dx x y d y y = ∫ ∫ ∫ ∫ e = 2 2 0 ln . 2 y dx x ∫ = 2 2 2 2 0 0 ln ln 1 1 .( ). 2 2 2 e x dx xdx−