Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 2009 – 2010 A. LÝ THUYẾT : Câu 1: Hàm số y = ax 2 ( a khác 0)? Tính chất của hàm số? Cách vẽ đồ thị hàm số? Câu 2: Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai một ẩn? ( khi hệ số b chẵn, hệ số b lẻ) Câu 3: Hệ thức Vi – ét phát biểu và áp dụng? Câu 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình ( toán về số, toán năng suất, toán công việc, toán chuyển động) Câu 5: Nêu định nghĩa, tính chất, số đo của góc ở tâm, góc nội tiếp? Câu 6: Nêu định nghĩa,tính chất, số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn,có đỉnh bên trong đường tròn, góc tạo bở tiếp tuyến và dây? Câu 7: Liên hệ giữa cung và dây. Phát biểu định nghĩa, nêu tính chất và vẽ hình. Câu 8: Cung chứa góc? Quỹ tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 90 0 Câu 9: Tứ giác nội tiếp? - Nêu định nghĩa, tính chất - Nêu dấu hiệu nhận biết. Câu 10: Độ dài đường tròn,cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn nêu công thức và vẽ hình. B. PHẦN BÀI TẬP: DẠNG 1: DẠNG TOÁN RÚT GỌN Bài 1: Cho biểu thức A = 1 1 1 1 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x     + − +  ÷  ÷ − + − + −     a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3 c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ nhất HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1. Rút gọn ta được 1 A x(1 x) = − b) 2 1 x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5) 2 = − = + = − − c) min A = 4 khi 1 x 4 = Bài 2: Cho biểu thức: 2 x 1 10 5 A x 3 x 2 x x 6 + = − + + − + − a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị của x để A > 0 HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2 b) x 1 A x 2 + = − c) A > 0 ⇔ x > 2 hoặc x < −1 Bài 3: Cho biểu thức 1 1 x 2 C x 3 : x 1 : x 1 x 1 x +     = − + − −  ÷  ÷ − −     a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C c) Tính giá trị của biểu thức C khi x 6 20= + d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0 b) x 2 C x 2 − = + c) C 5 2= − d) x ∈ {−1, −3, −4, −6, 2} Bài 4: Cho biểu thức: x 2x x B x 1 x x − = − − − a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của B khi x 3 8= + c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B = 0? HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x 1= − b) 2 x 3 8 ( 2 1) : B 2= + = + = c) B > 0 ⇔ x > 1 (thỏa); B < 0 ⇔ x < 1 (Không có nghiệm do đk: x > 0); B = 0 ⇔ x = 1 (loại). Bài 5: Cho biểu thức a b a b N ab b ab a ab + = + − + − Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 1 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 a) Rút gọn biểu thức N b) Tính giá trị của N khi a 4 2 3, b 4 2 3= + = − c) Chứng minh rằng nếu a a 1 b b 5 + = + thì N có giá trị không đổi. HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0: a b N b a + = − b) N 3= − c) a a 1 a 1 b 5a b b 5 b 5 + − = = ⇒ = + − ⇒ 3 N 2 = Bài 6: Rút gọn biểu thức : ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2A = + + − HD: ( ) ( ) 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 4A = + + − = + + − = DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VIÉT Bài 1: Cho phương trình ( ) 2 2 1 1 0x m x m− + + + = a. Giải phương trình khi m = 2 b. Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm c. Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 2x x x x m− + − = HD: a. m = 2=> PT 2 6 3 0x x− + =  1 3 6x = + ; 2 3 6x = − b. 2 ' 0 1 0m m m m∆ = + ≥ ⇔ ≤ − ∧ ≥ c. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2x x x x m x x x x x x m− + − = ⇔ − + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 4 2 1 4 1x x x x m m m m+ − = ⇔ + − + = 2 2 2 0 1m m m⇔ + + = ⇔ = − Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x với m là tham số 2 2 2 1 0x mx m− + − = a. Giải phương trình khi m = 2 b. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của m thì phương trình luôn có nghiệm c. Tìm m để phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. HD: a. m = 2 2 1 2 4 3 0 1; 3x x x x⇔ − + = ⇔ = = b. ( ) 2 2 ' 2 1 1 0m m m∆ = − + = − ≥ Bài 3: Cho phương trình ( ) 2 2 2 1 4 3 0x m x m m− + + − + = a. Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b. Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn 0 c. Gọi 1 2 ,x x là hai nghiệm nếu có của phương trình. Tính 2 2 1 2 M x x= + theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của M ( nếu có ) HD: a. 2 6 3 0 ' 0 2 3 0 1 3 4 3 0 m m m P m m m m − > ∆ > >    ⇔ ⇔ ⇔ >    < < − ∧ > − + <    b. ' 0 6 3 0 2 0 2 2 0 1 m m S m m ∆ > − > >    ⇔ ⇔    < + < < −    không có m c. ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2M x x x x x x x x x x x x= + = + + − = + − ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 3 2 16 2m m m m m= + − − + = + − ( ) 2 2 2 16 2 2 4 34 34M m m m= + − = + − ≥ − GTNN M = -34 Bài 4: Cho phương trình 2 2 2 1 0x mx m− + − = a. Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm 1 2 ,x x với mọi giá trị của m b. Đặt ( ) 2 2 1 2 1 2 2 5A x x x x= + − . Chứng minh rằng 2 8 18 9A m m= − + Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 2 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 HD: a. ( ) 2 ' 1 0m∆ = − ≥ b. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 4 9 2 2 9A x x x x x x x x x x x x= + + − = + + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 9 2. 2 9 2 1 8 18 9x x x x m m m m= + − = − − = − + Bài 5: Cho phương trình 2 3 0x mx n+ + − = (1) Cho n = 0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m HD: n = 0 2 3 0x mx⇔ + − = 2 12 0m∆ = + ≥ DẠNG 3: CÁCBÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 2 : Bài 1: Cho hàm số (P) y = x 2 và đường thẳng (d) y = 2x + m a. Vẽ (P) b. Tìm m để (P) tiếp xúc với (d) HD: b. để (P) tiếp xúc với (d) thì PT x 2 = 2x + m  x 2 - 2x – m = 0 có nghiệm kép ' 0∆ =  1 + m = 0  m = -1 Bài 2: Vẽ dồ thị hàm số (P) y = ½ x 2 a. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; - 2) và B(1; - 4) b. Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị (P) HD: a. (d) có dạng y = ax + b thay tọa độ A, B vào ta có hệ ( 2) 2 2 2 2 .1 4 4 2 a b a b a a b a b b − + = − + = = −    ⇔ ⇔    + = − + = − = −    => (d) y = - 2x – 2 b. Giải PT : x 2 = - 2x – 2  A(-1;-1) Bài 3: Cho (P) y = ¼ x 2 và đường thẳng đi qua hai điểm A và B trên (P) lần lượt có hoành độ là – 2 và 4. a. Vẽ đồ thị hàm số trên b. Viết phương trình đường thẳng (d) HD: b. A và B trên (P) nên A( - 2; 1), B( 4; 4), Làm tương tự câu a bài 3 (d) y = 1 2 x + 2 Bài 4: Cho (P) y = 1 4 − x 2 và (d) y = x + m a. Vẽ (P) b. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B c. Xác định đường thẳng (d’) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng - 4 HD: b. để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B thì 1 4 − x 2 = x + m  1 4 − x 2 - x + m = 0 có 2 nghiệm 0∆ >  1 + m > 0  m > - 1 c. (d’) //(d) => (d’) y = x + b (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng - 4 => A( 4;- 4) => - 4 = 4 + b => b = - 8 => (d’) y = x - 8 DẠNG 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH: Bài 1: Hai Ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn Ô tô thứ hai 10 km nên đến sớm hơn Ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe Ô tô. HD: Ô tô 1 Ô tô 2 S ( km) 300 300 v ( km/h) x x – 10 T ( h) 300 x 300 10x − Theo bài ra có PT : 300 x + 1 = 300 10x − Giải ra được 1 60x = nhận => vận tốc lần lượt là 60km/h và 50km/h Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 3 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 2 50x = − loại Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm đúng theo kế hoạch đã đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức kế hoạch mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày họ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm? HD: Theo kế hoạch 12 ngày đầu Các ngày còn lại Số sản phẩm một ngày x x x + 20 Tổng sản phẩm 1200 12x 1200 - 12x Số ngày 1200 x 12 1200 12 20 x x − + Theo bài ra có PT: 1200 x = 12 + 1200 12 20 x x − + + 2  2 2 280 24000 0x x+ − = Giải ra được: 1 60x = nhận => Số sản phẩm làmtheo kế hoạch trong một ngày là 60 2 200x = − loại Bài 3: Khoảng cách hai bến sông A và B là 30 km. Một Ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút rồi trở về bến A. Thời gian từ lúc đi đến khi trở về đến bến A là 6 giờ. Tính vận tốc của Ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 3 km/h. HD: Xuôi dòng Ngược dòng S ( km) 30 30 v ( km/h) x + 3 x – 3 t ( h) 30 3x + 30 3x − Theo bài ra có PT: 30 3x + + 30 3x − + 2 3 = 6 Giải ra được: 1 12x = nhận => Vận tốc của Canô khi nước yên lặng là 12km/h 2 3 4 x = − loại Bài 4: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? HD: Cả hai vòi Vòi 1 Vòi 2 Thời gian chảy đẩy bể 2h55p = 35 12 h x x + 2 Một giờ chảy được phần bể 12 35 bể 1 x bể 1 2x + bể Theo bài ra có PT: 1 1 12 2 35x x + = +  2 6 23 35 0x x− − = Giải ra được 1 5x = nhận => Thời gian chảy đầy bể hai vòi 1,2 lần lượt là 5h và 7h 2 7 6 x = − loại Bài 5: Một cơ sở đánh cá dự định mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức 6 tấn một tuần nên chẳng những hoàn thành sớm kế hoạch 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định. Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 4 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 HD: Theo kế hoạch Vượt kế hoạch Số tấn cá một tuần 20 20 + 6 = 26 Tổng số tấn cá đánh được x x + 10 Số tuần phải đánh 20 x 10 26 x + Theo bài ra có PT: 20 x = 10 26 x + + 1  x = 120 => Kế hoạch phải đánh bắt của cơ sở là 120 tấn Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ hai được điều đi làm việc khác, tổ thứ nhất làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm trong bao lâu mới xong công việc? Cả hai tổ làm chung Tổ 1 Tổ 2 Số giờ hoàn thành công việc 12 x y Một giờ làm được 1 12 1 x 1 y 4 giờ làm được 1 3 4 x 4 y 10 giờ làm được Công việc còn lại 2 3 10 x Theo bài ra có hệ: 1 1 1 15 12 60 10 2 3 x x y y x  + =  =   ⇔   =   =   Làm riêng Tổ 1 mất 15 giờ, Tổ 2 mất 60 giờ Bài 7: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 8 m. Nếu tăng một cạnh góc vuông của tam giác lên 2 lần và giảm cạnh góc vuông còn lại xuống 3 lần thì được một tam giác vuông mới có diện tích là 51 2 m . Tính độ dài hai cạnh góc vuông ban đầu. Cạnh 1 Cạnh 2 Ban đầu x x + 8 Thay đổi 2x ( x + 8) : 3 Diện tích 1 2 . 2x. 8 3 x + Theo bài ra có PT: 2 1 8 2 51 8 153 0 2 3 x x x x + × × = ⇔ + − = Giải PT được: 1 9x = nhận => Hai cạnh ban đầu là 9 cm và 17 cm 2 17x = − loại Bài 8: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1) x 2,5x = + + . Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn) DẠNG 5: TỨ GIÁC NỘI TIẾP Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 5 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 Bài 1: Cho ∆c.ABC (AB = AC), các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AHE. a) Chứng minh ED = 1 BC 2 b) Chứng minh rằng DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm HD: a) ∆v.BEC có DE là trung tuyến ⇒ DE = 1 BC 2 b) ∆BDE cân ⇒ µ µ µ µ 0 1 2 1 2 E E B D 90+ = + = ⇒ · 0 DEO 90= ⇒ DE là tiếp tuyến Bài 2: Cho ∆c.ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp µ A , O là trung điểm của IK a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) · · 0 KBI KCI 180+ = (Tính chất phân giác) ⇒ BICK nội tiếp (O) b) µ · µ 0 1 1 2 C OCI C I 90+ = + = $ ⇒ OC ⊥ AC ⇒ AC là tiếp tuyến của (O) c) 2 2 2 2 AH AC HC 20 12 16= − = − = (cm). 2 2 CH 12 OH 9 AH 16 = = = (cm) Vậy: OC = 2 2 2 2 OH HC 9 12 225 15+ = + = = (cm) c) ∆BDH ∆ADC ⇒ BD DH BD 2 AD DC 8 BD = ⇒ = ⇔ DE = BD = 4cm Bài 3: Cho ∆ABC vuông ở A (AB > AC), đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC là tứ giác nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC HD: a) AEHF có ba góc vuông ⇒ AEHF là hình chữ nhật b) µ µ $ 1 1 B E F= = ⇒ BEFC nội tiếp c) ∆AEF ∆ACB (g.g) ⇒ AE.AB = AF.AC Bài 4 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa đường tròn sao cho cung CB bằng cung CA, D là một điểm tùy ý trên cung CB ( D khác C và B). Các tia AC, AD cắt Bx theo thức tự ở E và F. a. Chứng minh tam giác ABE vuông cân. b. 2 .FB FD FA= c. Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn. HD: a. ABE ∆ vuông tại B, có µ 0 45A = Nên ABE ∆ vuông cân tại B b. ABF ∆ BDF ∆ Suy ra: 2 . FA FB FB FD FA FB FD = ⇔ = ( đpcm) c. Ta có: · » 0 0 1 1 90 45 2 2 CDA sdCA= = × = · · 0 180CDA CDF+ = ( hai góc kề bù) Mà · · 0 45CDA CEF= = Suy ra: · · 0 180CDF CEF+ = Nên tứ giác CDFE nội tiếp được. Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 6 x 1 2 2 1 1 1 O H E D B C A 2 1 1 H B C O A K I 2 2 1 1 1 O 2 O 1 F E H C A B Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 7 . Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOÁN LỚP 9 NĂM HỌC 20 09 – 2010 A. LÝ THUYẾT : Câu 1: Hàm số y = ax 2 . (Không có nghiệm do đk: x > 0); B = 0 ⇔ x = 1 (loại). Bài 5: Cho biểu thức a b a b N ab b ab a ab + = + − + − Biên soạn: Giáo viên Phạm Đức Tân 1 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 a). Phạm Đức Tân 3 Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán lớp 9 2 50x = − loại Bài 2: Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm đúng theo kế hoạch đã đề ra, những ngày