BÀI TẬP CHƯƠNG III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp 3 bước: 1/      =+−− =−+− =−− 398,104,112,011,0 849,005,003,111,0 795,01,005,002,1 zyx zyx zyx (*) Giải: (*) ⇔          +++= +++= +++= 04,1 398,1 0 04,1 12,0 04,1 11,0 03,1 849,0 03,1 05,0 0 03,1 11,0 02,1 795,0 02,1 1,0 02,1 05,0 0 z yx z z y x y zy xx Gọi α=                 0 04,1 12,0 04,1 11,0 03,1 05,0 0 03,1 11,0 02,1 1,0 02,1 05,0 0 và β =                 04,1 398,1 03,1 849,0 02,1 795,0 Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1, Vì ∞ α = max (0,147, 0,155, 0,221) = 0,221 <1 Nên thỏa điều kiện . Vậy (*) có thể viết là X = α X + β Chọn X 0 = β =                 04,1 398,1 03,1 849,0 02,1 795,0 Khi đó ta có : X 1 = X α 0 + β =           521777,1 972764,0 951605,0 , tương tự ta có X 2 =           557123,1 999772,0 976290,0 X 3 =           562951,1 004124,1 981079,0 Vậy nghiệm của hpt: x= 0,981079 y= 1,004124 z= 1,562851 2/      =+− =−+ =++ 8,162,75,12,1 55,105,15,52,2 55,162,12,21,6 zyx zyx zyx (*) với X 0 =           5,2 2 5,1 Giải: (*) ⇔          +++ − = +++ − = +−−= 2,7 8,16 0 2,7 5,1 2,7 2,1 5,5 55,10 5,5 5,1 0 5,5 2,2 1,6 55,16 1,6 2,1 1,6 2,2 0 z yx z z y x y zy xx Gọi α=                 − − −− 0 2,7 5,1 2,7 2,1 5,5 5,1 0 5,5 2,2 1,6 2,1 1,6 2,2 0 và β =                 2,7 8,16 5,5 55,10 1,6 55,16 Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max ( 0,557;0,672;0,375) = 0,672 < 1 Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = α X + β với X 0 =           5,2 2 5,1 X 1 = X α 0 + β =           5,2 2 5,1 X 2 =           5,2 2 5,1 và hiển nhiên X 3 =           5,2 2 5,1 Vậy nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5 Bài 2: giải hệ phương trình sau bằng phương pháp seidel qua 3 bước: 1/      =++ =++ =++ 2,11,01,0 2,11,01,0 2,11,01,0 zyx zyx zyx (*) với X 0 =           0 0 0 (*) ⇔      ++−−= +−+−= +−−= 2,101,01,0 2,11,001,0 2,11,01,00 zyxz zyxy zyxx Gọi           −− −− −− = 01,01,0 1,001,0 1,01,00 α và           = 2,1 2,1 2,1 β Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max( 0,2 ,0,2 ,0,2) = 0,2 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = α X + β với X 0 =           0 0 0      =++−−= =+−+−= =+−−= 972,02,101,01,0 08,12,11,001,0 2,12,11,01,00 011 1 0011 0001 zyx zyxy zyxx z hay X 1 =           972,0 08,1 2,1      =++−−= =+−+−= =+−−= 00018,12,101,01,0 00332,12,11,001,0 9948,02,11,01,00 122 2 1122 1112 zyx zyxy zyxx z hay X 2 =           00018,1 00332,1 9948,0      =++−−= =+−+−= =+−−= 000033,12,101,01,0 000016,12,11,001,0 9996492,02,11,01,00 233 3 2233 2223 zyx zyxy zyxx z hay X 3 =           000033,1 000016,1 9996492,0 Vậy nghiệm của hpt là :      = = = 000033,1 000016,1 9996492,0 z y x 2/      =+− =−+ =++ 8,162,75,12,1 55,105,15,52,2 55,112,12,21,6 zyx zyx zyx (*) với X 0 =           5,2 2 5,1 (*) ⇔          +++ − = +++ − = +−−= 2,7 8,16 0 2,7 5,1 2,7 2,1 5,5 55,10 5,5 5,1 0 5,5 2,2 1,6 55,16 1,6 2,1 1,6 2,2 0 z yx z z y x y zy xx Gọi α=                 − − −− 0 2,7 5,1 2,7 2,1 5,5 5,1 0 5,5 2,2 1,6 2,1 1,6 2,2 0 và β =                 2,7 8,16 5,5 55,10 1,6 55,16 Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max ( 0,557,0,672,0,357) = 0,672 < 1 Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = α X + β          =+++−= =+++−= =+−−= 5,2 2,7 8,16 0 2,7 5,1 2,7 2,1 2 5,5 55,10 5,5 5,1 0 5,5 2,2 5,1 1,6 55,16 1,6 2,1 1,6 2,2 0 011 1 0011 0001 zyx zyxy zyxx z hay X 1 =           5,2 2 5,1 Tương tự ta có X 2 =           5,2 2 5,1 và hiển nhiên X 3 =           5,2 2 5,1 Nên nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5 Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với 51 10 −+ <− nn xx và đánh giá sai số . 1/      =+−− =−+− =−− 398,104,112,011,0 849,005,003,111,0 795,01,005,002,1 zyx zyx zyx (*) (*) ⇔          +++= +++= +++= 04,1 398,1 0 04,1 12,0 04,1 11,0 03,1 849,0 03,1 05,0 0 03,1 11,0 02,1 795,0 02,1 1,0 02,1 5,0 0 z yx z z y x y zy xx Gọi α=                 0 04,1 12,0 04,1 11,0 03,1 05,0 0 03,1 11,0 02,1 1,0 02,1 5,0 0 và β =                 04,1 398,1 03,1 849,0 02,1 795,0 Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max ( 0,147059; 0,155340; 0,221154) = 0,221154 < 1 Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = α X + β Chọn 0 X = β=                 04,1 398,1 03,1 849,0 02,1 795,0 1 X = 0 X α + β =           521777,1 972764,0 951605,0 tương tự ta có 2 X =           557123,1 999772,0 976290,0 3 X =           562951,1 004124,1 981079,0  6 X =           564062,1 005069,1 982015,0 , 7 X =           564067,1 005073,1 982019,0 Khi đó [ ] 76 XX − =           − − − 6 6 6 10.5 10.4 10.4 vì ∞ − 76 XX < 10 5− Nên nghiệm gần đúng của phương trình là 564067,1 005073,1 982019,0 = = = z y x (*) Đánh giá sai số : ∞ − *7 XX = ∞ ∞ − α α 1 ∞ − 76 XX = 221154,01 10.5.221154,0 6 − − = 1,419754. 10 6− 2/      =+− =−+ =++ 8,162,75,12,1 55,105,15,52,2 55,162,12,21,6 zyx zyx zyx (*) (*) ⇔          +++ − = +++ − = +−−= 2,7 8,16 0 2,7 5,1 2,7 2,1 5,5 55,10 5,5 5,1 0 5,5 2,2 1,6 55,16 1,6 2,1 1,6 2,2 0 z yx z z y x y zy xx Gọi α=                 − − −− 0 2,7 5,1 2,7 2,1 5,5 5,1 0 5,5 2,2 1,6 2,1 1,6 2,2 0 và β =                 2,7 8,16 5,5 55,10 1,6 55,16 Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max ( 0,557377; 0,672727; 0,375) = 0,672727 < 1 Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = α X + β Chọn 0 X = β=                 2,7 8,16 5,5 55,10 1,6 55,16 1 X = 0 X α + β =           280769,2 469299,1 562295,1 tương tự ta có 2 X =           379055,2 915292,1 734528,1 3 X =           443264,2 873204,1 554343,1 , 4 X =           464527,2 962789,1 556891,1  17 X =           499988,2 999982,1 500016,1 , 18 X =           499993,2 999990,1 500009,1 Khi đó 1718 XX − =           − − − − 6 6 6 10.5 10.8 10.7 vì ∞ − 1718 XX = 8.10 6− < 10 5− Nên nghiệm gần đúng của hệ phương trình là x= 1,500009 ;y= 1,999990; z= 2,499993 (*) Đánh giá sai số : ∞ − *18 XX = ∞ ∞ − α α 1 ∞ − 1718 XX = 1,644442.10 5− 3/      =+−− =−+− =−− 78,221,114,025,0 555,115,013,141,0 515,03,025,002,1 zyx zyx zyx (*) (*) ⇔          +++= +++= +++= 21,1 78,2 0 21,1 14,0 21,1 25,0 13,1 555,1 13,1 15,0 0 13,1 41,0 02,1 515,0 02,1 3,0 02,1 25,0 0 z yx z z y x y zy xx Gọi α=                 0 21,1 14,0 21,1 25,0 13,1 15,0 0 13,1 41,0 02,1 3,0 02,1 25,0 0 và β =                 21,1 78,2 13,1 555,1 02,1 515,0 Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max (0,539215; 0,495575; 0,322314) = 0,539215 < 1 Nên thỏa điều kiện hội tụ vậy (*) có thể viết là X = α X + β Chọn 0 X = β=                 21,1 78,2 13,1 555,1 02,1 515,0 khi đó 1 X = 0 X α + β =           561058,2 864281,1 517924,1 tương tự ta có 2 X =           826843,2 266821,2 715086,1 3 X =           914154,2 373639,2 891920,1 , 4 X =           963049,2 449389,2 943780,1  15 X =           999993,2 499991,2 999991,1 , 16 X =           999997,2 499996,2 999996,1 Ta có : 1516 XX − =           − − − 6 6 6 10.4 10.5 10.5 vì ∞ − 1516 XX = 5.10 6− < 10 5− Nên nghiệm gần đúng của hpt là : 999997,2 499996,2 999996,1 = = = z y x (*) Đánh giá sai số : ∞ − *16 XX = ∞ ∞ − α α 1 ∞ − 1516 XX = 5,851048.10 6− 4/      =++ =++ =+− 1142 3252 84 zyx zyx zyx (*) (*) ⇔      ++−−= +−+−= +−+= 75,205,025,0 6,04,004,0 225,025,00 zyxz zyxy zyxx Gọi           −− −− − = 05,025,0 4,004,0 25,025,00 α và           = 75,2 6,0 2 β Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max( 0,5 ;0,8 ;0,75) = 0,8 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = α X + β Chọn 0 X =           = 75,2 6,0 2 β khi đó 1 X = 0 X α + β =           − 95,1 3,1 4625,1 tương tự ta có 2 X =           − 034375,3 765,0 1875,1 3 X =           − 835625,2 08875,1 050156,1 , 4 X =           − 031836,3 954313,0 018906,1  16 X =           − 000005,3 999995,0 0000002,1 , 17 X =           − 999998,2 000002,1 999999,0 Ta có : 1617 XX − =           − − − − − − 6 6 6 10.7 10.7 10.3 vì ∞ − 1617 XX = 7.10 6− < 10 5− Nên nghiệm gần đúng của hpt là : 999998,2 000002,1 999999,0 = −= = z y x (*) Đánh giá sai số : ∞ − *17 XX = ∞ ∞ − α α 1 ∞ − 1617 XX = 8,01 10.7.8,0 6 − − = 2,8. 10 5− 5/      −=−+ −=−+ =++ 93 542 924 zyx zyx zyx (*) (*) ⇔        +++= −++−= +−−= 30 3 1 3 1 25,125,005,0 25,25,025,00 zyxz zyxy zyxx Gọi             − − −− = 0 3 1 3 1 25,005,0 5,025,00 α và           −= 3 25,1 25,2 β Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là ∞ α <1 Vì ∞ α = max( 0,75 ;0,75 ; 3 2 ) = 0,75 < 1 nên thỏa điều kiện hội tụ Vậy (*) có thể viết là X = α X + β Chọn 0 X =           −= 3 25,1 25,2 β khi đó 1 X = 0 X α + β =             − 3 10 625,1 0625,1 [...]... 0 x + 0,25 y + 0 z − 6  − 0,75 0   0 6 − 0,75  0 0,25 và β = 7,5 Gọi α =     0 6 0,25 0      Điều kiện để hpt hội tụ theo phương pháp này là α ∞ . BÀI TẬP CHƯƠNG III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp 3 bước: 1/      =+−− =−+− =−− 398,104,112,011,0 849,005,003,111,0 795,01,005,002,1 zyx zyx zyx .           5,2 2 5,1 Vậy nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5 Bài 2: giải hệ phương trình sau bằng phương pháp seidel qua 3 bước: 1/      =++ =++ =++ 2,11,01,0 2,11,01,0 2,11,01,0 zyx zyx zyx .           5,2 2 5,1 Nên nghiệm của hpt là: x= 1,5 ; y=2; z= 2,5 Bài 3 : Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp đơn với 51 10 −+ <− nn xx và đánh giá sai số . 1/      =+−− =−+− =−− 398,104,112,011,0 849,005,003,111,0 795,01,005,002,1 zyx zyx zyx (*)