ĐỀ THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 2 NĂM 2011 MÔN: TOÁN - LỚP 10 Thời gian làm bài : 150 phút Câu I: (2 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau 1) ( ) ( ) 2 5 2 3 3x x x x+ − = + 2) 2 2 1 4 2 2 2x x x − + ≤ + + Câu II: ( 1 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 3 4 1 1 x y x y x x xy x x  + + + = − +   + + =   Câu III: (2,5 điểm) Cho phương trình: ( ) 2 2 2 2 1 4 3 0x m x m m+ + + + + = 1) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 1 .x 2 - 2 (x 1 + x 2 ) Câu IV: (2,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm A(2;-1), B(1;-2) và đường thẳng (d): x + y - 2 =0 1) Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với (d). 2) Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết trọng tâm G nằm trên (d) và diện tích tam giác ABC bằng 3 2 . Câu V: ( 1 điểm) Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + Câu VI: (1điểm) Tính góc µ A của tam giác ABC biết các cạnh a, b, c thỏa mãn: ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c a c− = − ……………………………………… Hết Hướng dẫn chấm thi khảo sát Hs khá giỏi lần 2 Môn: Toán lớp 10 Câu ý Nội dung Điểm I 2 1 Giải phương trình: ( ) ( ) 2 5 2 3 3x x x x+ − = + + Pt 2 2 3 10 3 3x x x x⇔ − − + = + (đk: 3 0x x ≤ − ∪ ≥ ) Đặt t = 2 3x x+ , t 0 ≥ + Phương trình trở thành : 2 3 10 0 2 (do t 0) t t t − − + = ⇔ = ≥ + Giải 2 1 3 2 4 x x x x =  + = ⇔  = −  + KL 0.25 0.25 0.5 2 Giải bất phương trình: 2 2 1 4 2 2 2x x x − + ≤ + + + BPT 2 2 6 8 0 2 x x x x + + ⇔ ≤ + + Lập bảng xét dấu + Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình : T= ( ) [ 4; 2) 2;0− − ∪ − 0.25 0.25 0.5 II 1 HPT ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 1 1 1 2 xy x x xy x x x xy x x  + + + = − +  ⇔  + = −   Thế (2) vào (1) ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 3 1x x x x− − = − − ( ) ( ) 2 2 1 2 0 0 1 2 x x x x x x x ⇔ − + − = =   ⇔ =   = −  + x=0 thay vào (2) thấy không thỏa mãn + x=1 thay vào (2) được y= -1 + x=-2 thay vào (2) được y = 5 2 − KL: Hệ Pt có 2 nghiệm : (1;-1) , (-2 ; 5 2 − ) 0.25 0.5 0.25 III 2.5 1 Pt có nghiệm 0⇔ ∆ ≥ 2 6 5 0 5 1 m m m ⇔ − − − ≥ ⇔ − ≤ ≤ − KL 0.25 0.25 0.5 IV 2 Với [ 5; 1]m ∈ − − pt có 2 nghiệm x 1 , x 2 Theo viét x 1 + x 2 = - m - 1 , x 1 . x 2 = 2 4 3 2 m m+ + + A= x 1 .x 2 - 2 (x 1 + x 2 ) = 2 8 7 2 m m+ + + Xét f(m) = 2 8 7 2 m m+ + trên D=[-5 ; -1] có: f (-5)= -4 f (-4) = 9 2 − f (-1) = 0 KL: Min A = 9 2 − khi m= -4 0.25 0.5 0.5 0.25 2.5 1 (d) có véc tơ chỉ phương ( ) 1;1u = − r Đường thẳng qua A vuông góc với (d) nhận ( ) 1;1u = − r làm vtpt có PTTQ: - x + y +3 = 0 0.5 0.5 2 + ( ) ( ) ;2G d G x x∈ ⇒ − + G là trọng tâm tam giác ABC ( ) 3 3;9 3C x x⇒ − − + ( ) 1; 1 , 2AB AB= − − = uuur + PTTQ của đường thẳng AB: x - y - 3 =0 + ( ) 1 3 . , 2 2 ABC S AB d C AB ∆ = = 6 15 1 3 . 2 6 15 3 2 2 2 x x − ⇔ = ⇔ − = 3 2 x x =  ⇔  =  KL: C 1 (6;0), C 2 (3;3) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 V 1 + Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số : 2 4 a b c a b c + + ≥ + , 2 4 b c a b c a + + ≥ + , 2 4 c a b c a b + + ≥ + + Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được đfcm + Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 0.5 0.5 VI 1 ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c a c− = − 2 2 2 b c bc a⇔ + − = (1) Theo định lý cosin 2 2 2 2 .cosa b c bc A= + − (2) Từ (1) và (2) ta có cosA= 0 1 60 2 A⇒ = 0.25 0.25 0.5 . ĐỀ THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN 2 NĂM 2011 MÔN: TOÁN - LỚP 10 Thời gian làm bài : 150 phút Câu I: (2 điểm). c thỏa mãn: ( ) ( ) 2 2 2 2 b b a c a c− = − ……………………………………… Hết Hướng dẫn chấm thi khảo sát Hs khá giỏi lần 2 Môn: Toán lớp 10 Câu ý Nội dung Điểm I 2 1 Giải phương trình: ( ) ( ) 2 5