CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ PHỨC NĂM 2010-2011 Câu 1: Tìm phần thực của số phức : (1 ) n z i= + .Trong đó n∈N và thỏa mãn: ( ) ( ) 4 5 log 3 log 6 4n n− + + = Đáp án: a: Phương trình: 4 5 log ( 3) log ( 6) 4− + + =n n có nghiệm duy nhất n = 19. (Vì VT là hàm số đồng biến nên đồ thị cắt đường thẳng y = 4 tại một điểm duy nhất) Câu 2 : Cho số phức: 1 3.= −z i . Hãy viết số z n dưới dạng lượng giác biết rằng n∈N và thỏa mãn: 2 3 3 log ( 2 6) log 5 2 2 2 6 4 ( 2 6) − + − + + = − + n n n n n n Đáp án: Đặt ( ) 3 3 log 5 log 5 2 2 2 3 log ( 2 6) 2 6 3 ; ( 2 6) 3 5− + = ⇒ − + = − + = = t t t n n t n n n n . Ta được phương trình: 3 t + 4 t = 5 t . Phương trình có nghiệm duy nhất t = 2. ⇒ n 2 – 2n + 6 = 9 ⇔ n 2 – 2n – 3 = 0 ⇔ n =3 Câu 3: Giải phương trình nghiệm phức : 25 8 6z i z + = − Đáp án: Giả sử z = a +bi với ; a,b ∈ R và a,b không đồng thời bằng 0. Khi đó 2 2 1 1 ; a bi z a bi z a bi a b − = − = = + + Khi đó phương trình 2 2 25 25( ) 8 6 8 6 a bi z i a bi i z a b − + = − ⇔ − + = − + ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 25) 8( ) (1) (2) ( 25) 6( ) a a b a b b a b a b  + + = +   + + = +   . Lấy (1) chia (2) theo vế ta có 3 4 b a= thế vào (1) Ta có a = 0 v a = 4 Với a = 0 ⇒ b = 0 ( Loại) Với a = 4 ⇒ b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i. Câu 4: Tính tổng: 0 4 8 2004 2008 2009 2009 2009 2009 2009 S C C C C C= + + + + + . Đáp án: Ta có: 2009 0 1 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) i C iC i C+ = + + + 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 3 5 7 2007 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 ( ) C C C C C C C C C C C C i − + − + − + + − + − + − + Thấy: 1 ( ) 2 S A B= + , với 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 A C C C C C C= − + − + − + 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 B C C C C C C= + + + + + + Ta có: 2009 2 1004 1004 1004 1004 (1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2i i i i i+ = + + = + = + . Đồng nhất thức ta có A chính là phần thực của 2009 (1 )i+ nên 1004 2A = . + Ta có: 2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) x C xC x C x C+ = + + + + Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C C C C C C+ + + = + + + Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 ( ) ( ) 2C C C C C C+ + + + + + + = . Suy ra: 2008 2B = . + Từ đó ta có: 1003 2007 2 2S = + . Câu 5: Tính tổng : 1 3 8 1 8 8 8 1 3 (8 1) n n n n C C n C − − + − − Đáp án: Xét khai triển: 8 0 1 2 2 8 8 8 8 8 8 ( ) (1 ) n n n n n n n f x x C xC x C x C= + = + + + . Suy ra: 8 1 1 2 2 3 8 2 8 1 8 1 8 8 8 8 8 8 ( ) 8 (1 ) 2 3 (8 1) 8 n n n n n n n n n n f x n x C xC x C n x C nx C − − − − ′ = + = + + + + − + Cho x i= ta được 1 3 8 1 8 8 8 1 3 (8 1) n n n n A C C n C − = − + − − chính là phần thực của khai triển số phức 8 1 8 (1 ) n n i − + . Ta có: 8 1 8 4 4 8 (1 ) 4 (1 ) (1 ) 4 .2 4 .2 n n n n n i n i i n n i − + = + + = + . Vậy 1 3 8 1 4 8 8 8 1 3 (8 1) 4 .2 n n n n n A C C n C n − = − + − − = . Câu 6 : ) Tìm các số thực a, b, c để có: z i z i z i z ai z bz c 3 2 2 2(1 ) 4(1 ) 8 ( )( )− + + + − = − + + Từ đó giải phương trình: z i z i z i 3 2 2(1 ) 4(1 ) 8 0− + + + − = trên tập số phức. Tìm môđun của các nghiệm đó. Đáp án: Cân bằng hệ số ta được a = 2, b = –2, c = 4 Phương trình ⇔ 2 ( 2 )( 2 4) 0− − + =z i z z ⇔ 2 ; 1 3 ; 1 3= = + = −z i z i z i ⇒ 2=z . Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: 2 3z i z i− = − − . Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất. Đáp án: * Đặt z = x + yi (x; y ∈ R) |z - i| = | Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| * ⇔ x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - 3 = 0 * |z| nhỏ nhất ⇔ | OM uuuur | nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆ * ⇔ M( 3 5 ;- 6 5 ) ⇒ z = 3 5 - 6 5 i Chú ý: HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M Câu 8: Giải phương trình sau trên tập số phức (z 2 +3z+6) 2 +2z(z 2 +3z+6)-3z 2 = 0 Đáp án: Ta thấy z = 0 không là nghiệm của phương trình . Chia cả hai vế cho z 2 và đặt 2 3 6z z t z + + = , Dẫn tới phương trình : t 2 +2t-3 = 0 ⇔t=1 hoặc t=-3. Với t=1 , ta có : z 2 +3z+6 = z ⇔ z 2 +2z+6 = 0 ⇔ z = -1± 5 i Với t=-3 , ta có : z 2 +3z+6 = -3z ⇔ z 2 +6z+6 = 0⇔ z = -3 ± 3 Câu 9 : Giải phương trình sau trên tập số phức z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 Đáp án: z 4 -z 3 + 2 2 z +z+1 = 0 ⇔ (z 4 +1)-(z 3 -z)+ 2 2 z =0. Chia cả hai vế cho z 2 , ta được : (z 2 + 2 1 z ) –(z- 1 z ) + 1 2 =0 ⇔ 2 5 0, 2 w w - + = (với 1 z z w = - ) ⇔ 1 3 , 2 2 i w = + hoặc 1 3 2 2 i w = - + Phương trình : z- 1 z = 1 2 + 3 2 i cho nghiệm z 1 =1+i ; z 2 =- 1 2 (1-i) + Phương trình : z- 1 z = 1 2 - 3 2 i cho nghiêm z 3 =- 1 2 (1+i) ; z 4 = 1-i . CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ PHỨC NĂM 2010-2011 Câu 1: Tìm phần thực của số phức : (1 ) n z i= + .Trong đó n∈N và thỏa