A – ĐẠI SỐ PHẦN 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ • Phương pháp giải ( hàm số y = f(x) ) 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Tính y ! và tìm nghiệm y ! = 0 3. Xét sự biến thiên 4. Tìm cực trị của hàm số ( nếu có ) 5. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực ( nếu có ) 6. Tìm các đường tiệm cận của hàm số 7. Lập bảng biến thiên 8. Xác định một số điểm đặc biệt 9. Nhận xét: chỉ ra tâm đối xứng hoặc trục đối xứng ( nếu có ) • Phân dạng hàm số 1. Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0). Đồ thị của hàm số luôn có một điểm uốn và điểm đó là tâm đối xứng của đồ thị. 2. Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 0). Hàm trùng phương là hàm số chẳn nên đồ thị nhận trụ tung làm trục đối xứng. 3. Hàm số y = ( c 0 và ad – bc 0).hàm nhất biến là hàm số có hai tiệm cận là tịm cận: tiệm cận đứng x = và tiệm cận ngang y = .Hàm số luôn có đạo hàm cấp một là y ! = . 4. Hàm số y = (a 0, c 0). Hàm số này có hai tiệm cận là tiệm cận đứng x = và tiệm cận xiên y = . Hàm số luôn có đạo hàm cấp một là y ! = . • Các bài toán liên quan: Chủ đề Công cụ xử lí Kiến thức bổ trợ Tính tăng, giảm Tính y ! : y ! hs tăng y ! hs giảm Dấu y ! =ax 2 + bx + c : y ! cùng dấu với a y ! trong trái ngoài cùng 1 Cực trị -Lập pt: y ! = 0 (1). -Có yêu cầu cực đại, cực tiểu dùng bảng biến thiên hoặc đạo hàm cấp hai. -Pt (1) có nghiệm đơn thì hàm số có cực trị ; nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì không có cực trị. Cực đại: , Cực tiểu: ,Cực trị: . GTLN và GTNN -Biến đổi đại luơng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thành một hàm số một biến: A = f(t). -Lập bảng biến thiên hs f(t). -Miền xác định phụ thuộc vào điều kiện của biến t. -Khi f(x) M,f(x) m thì M và m chỉ được gọi là GTLN,NN khi có hai điều kiện: + M,m là hằng số + tồn tại một giá trị của x sao cho f(x) = M , f(x) = m. Tương giao Lập pt hoành độ điểm chung. -Nghiệm đơn thì cắt. -Nghiệm kép thì tiếp xúc -Vô nghiệm thì không điểm chung Biện luận pt bằng đồ thị -Từ pt tạo hai hs (một hàm không tham số và một hàm có tham số). -Khảo sát và nvẽ đồ thị hàm số trên cùng hệ trục, dùng sự tương giao để biện luận. -Nghiệm đơn thì cắt. -Nghiệm kép thì tiếp xúc -Vô nghiệm thì không điểm chung Tiếp xúc Điều kiện tiếp xúc: hai hàm số bằng nhau và hai đạo hàm bằng nhau. Nghiệm của hệ là hoành độ điểm chung. Lập phương trình tiếp tuyến (tt) theo cách một Tìm tọa độ tiếp điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) bằng các giả thiết. - Tt song song với (d) thì f ! (x 0 ) = k d . - Tt vuông góc với (d) thì f ! (x 0 ).k d = -1. - Tt tạo với chiều dương ox một góc α thì f ! (x 0 ) = tanα. - Tt tạo với ox một góc α thì f ! (x 0 ) = ±tanα. Lập phương trình tiếp tuyến (tt) theo cách hai Lập phương trình tt dạng: y = kx + b Lập điều kiện tiếp xúc giửa (C): y = f(x) và tt: y = kx + b. - Tổng quát y = kx + b - Qua một điểm M thì pt dạng: y – y M = k( x - x M ) - Qua gốc tọa độ thì pt là: y = kx - Tt song song vời (d): y =lx thì pt là: y = lx + m - Tt vuông góc với (d): y = lx thì pt là: y = lx + m Điểm cố định của một họ đường Chuyển hs họ đường thành pt tham số của m dạng: a n .m n + a n-1 .m n-1 +…+ a 0 = 0 - Điểm tất cả các đồ thị đi qua thì các hệ số pt bằng 0. - Điểm không có đồ thị đi qua thì các hệ số của m bằng không cò hệ số độc lập khác 0. Tâm đối xứng và trục đối xứng -Dùng công thức dời trục: - Để chuyển hs y = f(x) thành hs Y = F(X) chẵn hoặc lẽ. - Hàm bậc ba I là điểm uốn. - Hàm hửu tỉ I là giao điểm hai đường tiệm cận. - Hàm chẵn trục đới xứng là IY, hàm lẻ tâm đối xứng là I. Vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối (C): y = f(x) vẽ (C ! ): y = | f(x) | Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C ! ), lấy đối xứng phần dưới ox làm phần hai của (C ! ). (C): y = f(x) vẽ (C ! ): Giữ nguyên phần (C) bên phải oy làm phần một của 2 y = f(| x |) (C ! ), lấy đối xứng phần giữ nguyên làm phần hai của (C ! ). (C): y = f(x) vẽ (C ! ): | y | = f(x) Giữ nguyên phần (C) trên ox làm phần một của (C ! ), lấy đối xứng phần giữ nguyên qua ox làm phần hai của (C ! ). (C): y = vẽ (C ! ): y = Giữ nguyên phần (C) bên phải TCĐ, bỏ phần bên trái TCĐ làm phần một của (C ! ), lấy đối xứng phần bỏ qua ox làm phần hai của (C ! ). Bài tập áp dụng: Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) ; b) y = x 3 – 6x 2 + 9x; c) y = - x 3 + 3x 2 -2 ; d) y = - x 3 + 3x 2 ; e) y = 2x 3 + 3x 2 – 1; e) y = -x 3 + 3x 2 - 9x +1. Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = x 4 – 2x 2 + 1; b) y = -x 4 + 3x 2 + 4; c) y = x 4 - 3x 2 + 4; a/ y = x 4 – 2x 2 – 1 b/ y = c/ y = - x 4 + 2x 2 d/ y = x 4 + x 2 – 2 Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a/ y = b/ y = c/ y = d/ y = Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x 3 + 3x + 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 –3x–2+m = 0 ĐS: * m > 4: 1 n 0 ; * m = 4: 2 n 0 ; * 0 < m < 4: 3 n 0 ; * m = 0: 2 n 0 ; * m < 0: 1 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2). ĐS: y = 3x + 2 d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) HD: PT đt đi qua 2 điểm A(x A ; y A ) và B(x B ; y B ) có dạng: . ĐS: y = 2x + 2 Bài 5: Cho hàm số (C): y = x 3 + 3x 2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x 3 + 3x 2 – k = 0 ĐS: * k > 4: 1 n 0 ; * k = 4: 2 n 0 ; * 0 < k < 4: 3 n 0 ; * k = 0: 2 n 0 ; * k < 0: 1 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 ĐS: y = -3x 3 d) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ĐS: y = -2x + 1 Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x 4 + 2x 2 + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x 4 + 2x 2 + 1 – m = 0 ĐS: * m > 2: vô n 0 ; * m = 2: 2 n 0 ; * 1 < m < 2: 4 n 0 ; * m = 1: 3 n 0 ; * m < 1: 2 n 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2 ĐS: y = 2 Bài 7: Cho hàm số (C): y = x 4 – 2x 2 – 3 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24. ĐS: y = 24x– 43 Bài 8: Cho hàm số (C): y = x 3 – 3x 2 + 4 .a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = . ĐS: y = ; y = Bài 9: Cho hàm số (C): y = a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường phân giác phần tư thứ nhất ĐS: y = -x và y = -x + 8 Bài 10: Cho hàm số (C m ): y = 2x 3 + 3(m – 1)x 2 + 6(m – 2)x – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C m ) đi qua điểm A(1; 4). ĐS: m = 2 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: y = -1; y = Bài 11: Cho hàm số (C m ): y = x 4 – (m + 7)x 2 + 2m – 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 1 b) Xác định m để đồ thị (C m ) đi qua điểm A(-1; 10). ĐS: m = 1 c) Dựa vào đồ thị (C), với giá trị nào của k thì phương trình: x 4 – 8x 2 – k = 0 có 4 nghiệm phân biệt. ĐS: -14 < k < 0 Bài 12: Cho hàm số (C m ): y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C 2 ) b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó c) Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1; ). ĐS: m = 2 4 d) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C 2 ) tại điểm (1; ). ĐS: y = Bài 13: Cho hàm số (C m ): y = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0 b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (C m ) đi qua điểm B(0; -1). ĐS: m = 0 c) Định m để tiệm cận ngang của đồ thị đi qua điểm C( ; -3). ĐS: m = -4 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung HD: Giao điểm với trục tung x = 0, thay x = 0 vào (C) y = -1: E(0; -1). ĐS: y = -2x – 1 Bài 14: Cho hàm số (C m ): y = x 3 + (m + 3)x 2 + 1 – m a) Định m để hàm số có điểm cực đại tại x = -1. ĐS: m = HD: * Tìm y ’ , tìm y ” và vận dụng công thức sau * Để hàm số đạt cực đại (hay tiểu) tại x = b) Xác định m để đồ thị (C m ) cắt trục hoành tại x = -2 ĐS: m = Bài 15: Cho hàm số (C m ): y = x 3 – 3mx 2 + 3(2m – 1)x + 1 a) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định HD: * Tìm y ’ và vận dụng công thức sau * Để hàm số đồng biến (hay nghịch biến) trên tập xác định y ’ 0 (hay y ’ 0) * m 2 – 2m + 1 m = 1 (vì m 2 – 2m + 1 = 0 có nghiệm kép m = 1 và a = 1 > 0) ĐS: m = 1 b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu ĐS: m 1 c) Xác định m để y ” (x) > 6x. ĐS: m < 0 5 Bài 16: Cho hàm số (C m ): y = a) Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ĐS: - 3 < m < 1 * Giải bất phương trình bậc hai (có 2 nghiệm phân biệt) lập bảng xét dấu b) Tìm trên (C -1 ) những điểm có tọa độ ngun ĐS: (1; 3); (-1; -5); (2; 1); (-2; -3); (4; 0); (-4; -2) Bài 17: Xác định m để hàm số y = x 3 – 3mx 2 + (m + 2)x – m đồng biến trên R. ĐS: Bài 18: Định m để hàm số y = x 3 – 6x 2 + 3(m + 2)x – m – 6 có cực trị. ĐS: m < 2 Bài 19: Định m để hàm số y = x 3 + mx 2 – 2mx + m + 1 đạt cực tiểu tại x = 3. ĐS: m = Bài 20: Định m để hàm số y = x 3 + mx 2 – (m – 1)x + m – 5 đạt cực trị tại x = 1 ĐS: m = -4 Bài 21: tìm max, min của các hàm số sau: a. A = cos4x + 2sin2x – 3(DS: Max A= , Min A = - 6) b. B = (DS: Max B = 19, Min B = 0) PHẦN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: @ @ @ @ @ ( ) @ 2. Các tính chất : @ @ @ @ @ 6 3. Hàm số mũ: Dạng : ( a > 0 , a 1 ) • Tập xác đònh : • Tập giá trò : ( ) • Tính đơn điệu: * a > 1 : đồng biến trên * 0 < a < 1 : nghòch biến trên • Đồ thò hàm số mũ : 0<a<1 y=ax a>1 y=ax II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a 1 và N > 0 Điều kiện có nghóa: có nghóa khi 2. Các tính chất : • ; ; • ; • 7 • Đặc biệt : 3. Công thức đổi cơ số : • ; * Hệ quả: và * Công thức đặc biệt: 4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a 1 ) • Tập xác đònh : • Tập giá trò • Tính đơn điệu: * a > 1 : đồng biến trên * 0 < a < 1 : nghòch biến trên • Đồ thò của hàm số lôgarít: 8 0<a<1 y=logax a>1 y=logax 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a 1 thì : a M = a N M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N M = N 5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N M < N (đồng biến) III.BÀI TẬP ÁP DỤNG 9 Bµi 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh: a. b. c. d. e. f. Bµi 2:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. Bµi 3:Gi¶i ph¬ng tr×nh: a. b. c. d. Bµi 4:Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh: a. b. c. d. e. f. g. h. k. l. Bµi 5: T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: Bµi 7: Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh sau: a. b. c. d.e. 10 [...]... isin n ) BÀI TẬP Bài 1 Giải phương trình Bài 2 Giải phương trình Bài 3 Giải phương trình Bài 4 Tìm giá trị của biểu thức: Bài 5 Giải phương trình trên tập số phức Đáp số: Bài 6 Giải phương trình trên tập số phức Đáp số: Bài 7 Giải phương trình trên tập số phức Đáp số: Bài 8 Giải phương trình Bài 9 Cho hai số phức: , Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8 trên tập số phức trên tập số phức trên tập số phức... (trong đó hai đường thẳng Cơng thức: có thể thi u một hoặc cả hai) (3) b).Các bước thực hiện:Bước 1: Nếu hai đường phương trình (PTHĐGĐ của Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a và trục Ox) để tìm Bước 2: Áp dụng cơng thức (3) b f c g m n d l p u v c h e k o b f g Bài 3:Tính các tích phân sau đây: h q t Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a đề bài cho thi u một hoặc cả hai thì giải y d k e l... Bài 18 Cho số phức z thỏ mãn: Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5 và Xác định phần thực và phần ảo của z trên tập số phức Đáp số: Tìm mơđun của Bài 19 Giải phương trình Bài 20 Hãy tìm dạng lượng giác của số phức: a) z = 1+ b) z = - ; 3 4 Đáp số: Xác định phần thực và phần ảo của z trên tập số phức c) z = 5 6 (4 – 5i)2 7 (3i + 1)3 8 Đáp số: Đáp số: ; d) z = - sin - icos Bài 21/ Tính : 1 (5 + 2i... trên tập số phức Đáp số: Bài 8 Giải phương trình Bài 9 Cho hai số phức: , Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8 trên tập số phức trên tập số phức trên tập số phức Đáp số: ; Đáp số: ; Đáp số: ; Đáp số: trên tập số phức Đáp số: ; ; ; ; Xác định phần thực và phần ảo của số phức Bài 10 Cho hai số phức: , Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7 Bài 11 Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình Xác định phần... thực hiện: • • Bước 1: Bước 2: Thế vào cơng thức (1) • Bước 3: Tính và suy nghĩ tìm cách tính tiếp §5 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi: (trong đó hai đường thẳng có thể thi u một hoặc cả hai) a) Cơng thức: b) Các bước thực hiện: (2) • • Bước1: Nếu hai đường Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) • • Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này Bước 4: Dùng phép phân... = (0 - i)(2+3i)(5+2i) c) z = (7 – 3i)2 – (2 - i)2 Bài23: Cho số phức z = 4 – 3i.Tìm : d) a) z2 b) Bài 24: Tìm số thực x, y thỏa : c) c) x+2i = 5+yi d) |z+z2+z3| d) (x+y) + 3(y - 1)i = 5 – 6i B – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I.VECTO TRONG KHƠNG GIAN a) Đường trung tuyến AM: M là trung điểm BC b) Đường phân giác AK: A B K C Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A B O C A c) Đường... thể tích tứ diện Cho khối tứ diện SABC và , , là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có S C' E' B' D' E 63) Thể tích khối chóp cụt CDEC’D’E’: B, B’ là diện tích hai đáy h là chiều cao C B D Bài tập rèn luyện Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác vng tại A, AC = b, BC’ của mặt bên BB’C’C tạo với mp(AA’C’C) một góc Đường chéo 1/Tính độ dài đoạn AC’ 2/Tính V khối lăng... Bài 5: Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao hợp bởi AB và trục của hình trụ là Tính A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc 1/Tính của hình trụ 2/Tính V khối trụ tương ứng Bài 6: Thi t diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh góc vng bằng a 1/Tính của hình nón 2/Tính V khối nón tương ứng Bài 7: Cho một tứ diện đều có cạnh là a Xác định tâm và bán kính mặt . A – ĐẠI SỐ PHẦN 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THI N CỦA HÀM SỐ • Phương pháp giải ( hàm số y = f(x) ) 1. Tìm tập xác định của hàm số 2. Tính y ! và tìm nghiệm y ! = 0 3. Xét sự biến thi n 4 (1). -Có yêu cầu cực đại, cực tiểu dùng bảng biến thi n hoặc đạo hàm cấp hai. -Pt (1) có nghiệm đơn thì hàm số có cực trị ; nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì không có cực trị. Cực đại: , Cực tiểu: ,Cực. ; • ; • 7 • Đặc biệt : 3. Công thức đổi cơ số : • ; * Hệ quả: và * Công thức đặc biệt: 4. Hàm số logarít: Dạng ( a > 0 , a 1 ) • Tập xác đònh : • Tập giá trò • Tính đơn điệu: *