§Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2010 2011– M«n thi: To¸n 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Câu 1 : Giải phương trình : a) )4(.)2( 2 4 3 2 1 xxx x x x −− + − + + − − b) 6x 2 - x - 2 = 0 Câu 2 : Cho x + y + z = 0 Rút gọn : 222 222 )()()( yxxzzy zyx −+−+− ++ Câu 3 : Chứng minh rằng không tồn tại x thỏa mãn : a) 2x 4 - 10x 2 + 17 = 0 b) x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 1 = 0 Câu 4 : Cho tam giác ABC, điểm D nằm trên cạnh BC sao cho 2 1 = DC DB ; điểm O nằm trên đoạn AD sao cho 2 3 = OD OA . Gọi K là giao điểm của BO và AC. Tính tỷ số AK : KC. Câu 5 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trực tâm H. Một đường thẳng qua H cắt AB, AC thứ tự ở P và Q sao cho HP = HQ. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng tam giác MPQ cân tại M. hướng dẫn giải Câu 1 (Bạn đọc tự giải) Câu 2: Từ x + y + z = 0 ⇒ x 2 + y 2 + z 2 = - 2(xy + yz + zx) (1) Ta có: (x - y) 2 + (y - z) 2 + (z - x) 2 = 2(x 2 + y 2 + z 2 ) - 2(xy + yz + zx) (2) Từ (1) và (2) suy ra: (x - y) 2 + (y - z) 2 + (z - x) 2 = - 6(xy + yz + zx) (3) Thay (1) và (3) vào biểu thức A ta có: A = - 2(xy + yz + zx) 1 - 6(xy + yz + zx) 3 = Câu 3: a) 2x 4 - 10x 2 + 17 = 0 ⇔ 2( x 4 - 5x 2 + 17 2 ) = 0 ⇔ 2(x 4 - 2. 5 2 x 2 + 25 4 ) 2 + 9 2 = 0 ⇔ 2(x 2 - 5 2 ) 2 + 9 2 = 0 Vì 2(x 2 - 5 2 ) 2 + 9 2 > 0 với mọi x nên không tồn tại x để 2x 4 - 10x 2 + 17 = 0 b) x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 1 = 0 ⇔ (x 2 + 1)(x 2 - x + 1) = 0 Vì vế phải luôn dương với mọi x nên không tồn tại x để x 4 - x 3 + 2x 2 - x + 1 = 0 Câu 4: Từ D kẻ DM // BK áp dụng định lí Talét vào ∆ AOK ta có: AK AO 3 KM OD 2 = = (1) Tương tự, trong ∆ CKB thì: KM CD 1 CK DB 3 = = (2) Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: AK 1 CK 2 = Câu 5 Gọi giao điểm của AH và BC là I Từ C kẻ CN // PQ (N ∈ AB), Tứ giác CNPQ là hình thang, có H là trung điểm PQ, hai cạnh bên NP và CQ đồng quy tại A nên K là trung điểm CN ⇒ MK là đường trung bình của ∆ BCN ⇒ MK // CN ⇒ MK // AB (1) H là trực tâm của ∆ ABC nên CH ⊥ A B (2) Từ (1) và (2) suy ra MK ⊥ CH ⇒ MK là đường cao của ∆ CHK (3) Từ AH ⊥ BC ⇒ MC ⊥ HK ⇒ MI là đường cao của ∆ CHK (4) Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của ∆ CHK ⇒ MH ⊥ CN ⇒ MH ⊥ PQ ∆ MPQ có MH vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên cân tại M O K M C D B A I K N M Q P H C B A . §Ò thi häc sinh giái cÊp huyÖn N¨m häc 2010 2011– M«n thi: To¸n 8 Thêi gian lµm bµi: 150 phót Câu 1 : Giải phương trình : a) )4(.)2( 2 4 3 2 1 xxx x x x −− + − + + − − b)