bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002 đề chính thức Môn thi : toán, Khối B. (Thời gian làm bài : 180 phút) _____________________________________________ Câu I. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm) Cho hàm số : ( ) 109 224 ++= xmmxy (1) ( m là tham số). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1 = m . 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. Câu II. (ĐH : 3,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm) 1. Giải phơng trình: xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222 = . 2. Giải bất phơng trình: ( ) 1)729(loglog 3 x x . 3. Giải hệ phơng trình: ++=+ = .2 3 yxyx yxyx Câu III. ( ĐH : 1,0 điểm; CĐ : 1,5 điểm) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng : 4 4 2 x y = và 24 2 x y = . Câu IV.(ĐH : 3,0 điểm ; CĐ : 3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm 0; 2 1 I , phơng trình đờng thẳng AB là 022 =+ yx và ADAB 2 = . Tìm tọa độ các đỉnh DCBA ,,, biết rằng đỉnh A có hoành độ âm. 2. Cho hình lập phơng 1111 DCBABCDA có cạnh bằng a . a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đờng thẳng BA 1 và DB 1 . b) Gọi PNM ,, lần lợt là các trung điểm của các cạnh CDBB , 1 , 11 DA . Tính góc giữa hai đờng thẳng MP và NC 1 . Câu V. (ĐH : 1,0 điểm) Cho đa giác đều n AAA 221 L ,2( n n nguyên ) nội tiếp đờng tròn () O . Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong n2 điểm n AAA 221 ,,, L nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong n2 điểm n AAA 221 ,,, L , tìm n . Hết Ghi chú : 1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu IV 2. b) và Câu V. 2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 1 Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002 Đáp án và thang điểm đề thi chính thức Môn toán, khối b Câu ý Nội dung ĐH CĐ I 1 Với 1=m ta có 108 24 += xxy là hàm chẵn đồ thị đối xứng qua Oy . Tập xác định Rx , ( ) 44164' 23 == xxxxy , 0' =y = = 2 0 x x , 3 4 121612" 22 == xxy 3 2 0" == xy . Bảng biến thiên: + 2 3 2 0 3 2 2x 'y 0 + 0 0 + " y + 0 0 + + 10 + y lõm U CĐ U lõm CT lồi CT 6 6 Hai điểm cực tiểu : () 6;2 1 A và ( ) 6;2 2 A . Một điểm cực đại: () 10;0 B . Hai điểm uốn: 9 10 ; 3 2 1 U và 9 10 ; 3 2 2 U . Giao điểm của đồ thị với trục tung là ( ) 10;0B . Đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ: 64 +=x và 64 =x . (Thí sinh có thể lập 2 bảng biến thiên) 0,1 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 5,1 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ x 0 10 y -6 -2 2 A 2 A 1 B U 1 U 2 2 I 2 ( ) ( ) 922924' 2223 +=+= mmxxxmmxy , =+ = = 092 0 0' 22 mmx x y Hàm số có ba điểm cực trị phơng trình 0' = y có 3 nghiệm phân biệt (khi đó 'y đổi dấu khi qua các nghiệm) phơng trình 092 22 =+ mmx có 2 nghiệm phân biệt khác 0. 092 22 =+ mmx = m m x m 2 9 0 2 2 . Phơng trình 092 22 =+ mmx có 2 nghiệm khác 0 << < .30 3 m m Vậy hàm số có ba điểm cực trị << < .30 3 m m 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ II 1 xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222 = 2 12cos1 2 10cos1 2 8cos1 2 6cos1 xxxx + = + ()() 06cos8cos10cos12cos =++ xxxx () 07cos11coscos = xxx 02sin9sincos = xxx . 2 9 02sin9sin Zk k x k x xx = = = Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng các cách biến đổi khác để đa về phơng trình tích. 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 2 ( ) 1)729(loglog 3 x x (1). Điều kiện: 73log1729 0)729(log 0729 1,0 9 3 >> > > > x xx x x x (2). Do 173log 9 >> x nên ( ) x x 729log)1( 3 ( ) 072333729 2 xxxx (3). Đặt x t 3= thì (3) trở thành 293898072 2 xttt x . Kết hợp với điều kiện (2) ta đợc nghiệm của bất phơng trình là: 273log 9 < x . 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 3 3 ++=+ = ).2(2 )1( 3 yxyx yxyx Điều kiện: )3( .0 0 + yx yx () += = = .1 01)1( 63 yx yx yxyx Thay y x = vào (2), giải ra ta đợc .1 == yx Thay 1 += yx vào (2), giải ra ta có: 2 1 , 2 3 == yx . Kết hợp với điều kiện (3) hệ phơng trình có 2 nghiệm: 1,1 == yx và 2 1 , 2 3 == yx Chú ý: Thí sinh có thể nâng hai vế của (1) lên luỹ thừa bậc 6 để di đến kết quả: += = .1yx yx 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ III Tìm giao điểm của hai đờng cong 4 4 2 x y = và 24 2 x y = : 4 4 2 x = 24 2 x 8804 432 2 24 ===+ xx xx . Trên [ ] 8;8 ta có 24 2 x 4 4 2 x và do hình đối xứng qua trục tung nên dx xx S = 8 0 22 24 4 42 21 8 0 2 8 0 2 22 1 16 SSdxxdxx == . Để tính 1 S ta dùng phép đổi biến tx sin4 = , khi 4 0 t thì 80 x . tdtdx cos4 = và > 4 ;00cos tt . Do đó 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 5,1 đ 0,5 đ 0,25 đ x 0 -4 4 2 y -2 2 2 2 2 A 2 A 1 4 x 4y 2 = 24 x y 2 = 4 () 422cos18cos1616 4 0 4 0 2 8 0 2 1 +=+=== dtttdtdxxS . 3 8 26 1 22 1 8 0 3 8 0 2 2 === xdxxS . Vậy 3 4 2 21 +== SSS . Chú ý: Thí sinh có thể tính diện tích dx xx S = 8 8 22 24 4 4 . 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ IV 1 Khoảng cách từ I đến đờng thẳng AB bằng 2 5 5= AD và 2 5 == IBIA . Do đó BA , là các giao điểm của đờng thẳng A B với đờng tròn tâm I và bán kính 2 5 = R . Vậy tọa độ BA , là nghiệm của hệ : =+ =+ 2 2 2 2 5 2 1 022 yx yx Giải hệ ta đợc ()() 2;2,0;2 BA (vì 0< A x ) ()( ) 2;1,0;3 DC . Chú ý: Thí sinh có thể tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của I trên đờng thẳng AB . Sau đó tìm BA, là giao điểm của đờng tròn tâm H bán kính HA với đờng thẳng AB . 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5,1 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ x C I O A D B H y 5 IV 2a) Tìm khoảng cách giữa BA 1 và DB 1 . Cách I . Chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho ()()()()( ) ( ) ( )( ) aaDaaaCaaBaaCaAaDaBA ;;0,;;;;0;;0;;;0;0,0;;0,0;0;,0;0;0 1111 () ()() 0;0;,;;,;0; 1111 aBAaaaDBaaBA === và [ ] ( ) 222 11 ;2;, aaaDBBA = . Vậy () [ ] [] 66 , ., , 2 3 11 1111 11 a a a DBBA BADBBA DBBAd === . Cách II. () DBBADCABBA ADBA ABBA 11111 1 11 . Tơng tự DBCA 111 ( ) 111 BCADB . Gọi () 111 BCADBG = . Do aCBBBAB === 11111 nên GGCGBGA == 11 là tâm tam giác đều 11 BCA có cạnh bằng 2 a . Gọi I là trung điểm của BA 1 thì IG là đờng vuông góc chung của BA 1 và DB 1 , nên () 6 2 3 3 1 3 1 , 1111 a BAICIGDBBAd ==== . Chú ý: Thí sinh có thể viết phơng trình mặt phẳng ( ) P chứa BA 1 và song song với DB 1 là: 02 =++ azyx và tính khoảng cách từ 1 B (hoặc từ D ) tới () P , hoặc viết phơng trình mặt phẳng ( ) Q chứa DB 1 và song song với BA 1 là: 022 =++ azyx và tính khoảng cách từ 1 A (hoặc từ B) tới ( ) Q . 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5,1 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ x D 1 D C 1 B 1 A 1 z y x A C B I G 6 2b) Cách I. Từ Cách I của 2a) ta tìm đợc a a Pa a N a aM ; 2 ;0,0;; 2 , 2 ;0; 0.;0; 2 , 2 ; 2 ; 11 = = = NCMPa a NC aa aMP . Vậy NCMP 1 . Cách II. Gọi E là trung điểm của 1 CC thì ( ) 11 CCDDME hình chiếu vuông góc của MP trên () 11 CCDD là 1 ED . Ta có NCEDNCDNCCEDCECDCNC 1111 0 111111 90 === . Từ đây theo định lý ba đờng vuông góc ta có NCMP 1 . 0,1 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ V Số tam giác có các đỉnh là 3 trong n 2 điểm n AAA 221 ,,, L là 3 2n C . Gọi đờng chéo của đa giác đều n AAA 221 L đi qua tâm đờng tròn ( ) O là đờng chéo lớn thì đa giác đã cho có n đờng chéo lớn. Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong n 2 điểm n AAA 221 ,,, L có các đờng chéo là hai đờng chéo lớn. Ngợc lại, với mỗi cặp đờng chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đờng chéo lớn của đa giác n AAA 221 L tức 2 n C . Theo giả thiết thì: 0,1 đ 0,25 đ 0,25 đ D 1 A 1 B 1 C 1 C B A M E N P y x z 7 () () () ( )( ) () 2 1 20 6 2212.2 !2!2 ! 20 !32!3 !2 20 23 2 = = = nnnnn n n n n CC nn 81512 == nn . Chú ý: Thí sinh có thể tìm số hình chữ nhật bằng các cách khác. Nếu lý luận đúng để đi đến kết quả số hình chữ nhật là 2 )1( nn thì cho điểm tối đa phần này. 0,5 đ www.boxmaths.com * Giỏo trỡnh Toỏn Cao ng i Hc Cao Hc. * Ti Liu Toỏn Thi Toỏn cho hc sinh THPT. * Phn mm Toỏn. * Giỏo Trỡnh T in Phn Mm Hc Ting Anh. * Cỏc Phn mm ng dng khỏc. Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 Môn thi : toán khối B Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút _______________________________________________ Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số ( là tham số). 32 3 (1)yx x m= + m 1) Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. m 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m =2. Câu 2 (2 điểm). 1) Giải phơng trình 2 otg tg 4sin 2 sin 2 xx xc x + = . 2) Giải hệ phơng trình 2 2 2 2 2 3 2 3. y y x x x y + = + = Câu 3 (3 điểm). 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho tam giác có y ABC n 0 , 90 . AB AC BAC == Biết (1; 1)M là trung điểm cạnh B C và 2 ; 0 3 G là trọng tâm tam giác . Tìm tọa độ các đỉnh . ABC , , ABC 2) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là một hình thoi cạnh , góc .' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a n 0 60BAD = . Gọi M là trung điểm cạnh và là trung điểm cạnh ' . Chứng minh rằng bốn điểm ' N AA CC ', , , B MDN ' cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh ' theo a để tứ giác AA B MDN là hình vuông. 3) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho hai điểm và điểm sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm yz 0)(2; 0; 0), (0; 0; 8)AB C (0; 6;AC = I của B C đến đờng thẳng OA . Câu 4 (2 điểm). 1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 2 4.yx x=+ 2) Tính tích phân 4 2 0 12sin 1sin2 x I dx x = + . Câu 5 (1 điểm). Cho là số nguyên dơng. Tính tổng n 23 1 012 21 21 2 1 23 1 n n nnn CCC n + ++++ + " n C ( C là số tổ hợp chập k của phần tử). k n n Hết Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh 1 Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003 đáp án thang điểm đề thi chính thức Môn thi : toán Khối B Nội dung điểm Câu 1. 2điểm 1) Đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ tồn tại 0 0x sao cho 00 () ( )yx y x= tồn tại 0 0x sao cho 32 3 2 00 0 0 3()3() x xm x x m +=+ tồn tại 0 0x sao cho 2 0 3 x m= 0m> . 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2. Khi 2 m = hàm số trở thành 32 32.yx x= + Tập xác định : \ . 2 0 ' 3 6 , ' 0 2. x yx xy x = = = = " 6 6. '' 0 1.yx y x= == "y triệt tiêu và đổi dấu qua 1(1;0)x = là điểm uốn. Bảng biến thiên: Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm (1; 0), (1 3; 0) và cắt trục tung tại điểm (0;2) . 1 điểm 0, 25 đ 0, 25 đ 0,25 đ 0,25 đ 1 điểm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ x 0 2 + y + 0 0 + 2 + CĐ CT y 2 x y O 2 2 1 2 [...]... Cao ng i Hc Cao Hc * Ti Liu Toỏn Thi Toỏn cho hc sinh THPT * Phn mm Toỏn * Giỏo Trỡnh T in Phn Mm Hc Ting Anh * Cỏc Phn mm ng dng khỏc 4/4 B GIO DC V O TO CHNH THC THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2008 Mụn thi: TON, khi B Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt PHN CHUNG CHO TT C TH SINH Cõu I (2 im) Cho hm s y = 4x 3 6x 2 + 1 (1) 1 Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s (1) 2 Vit phng trỡnh... Ht Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh s bỏo danh B GIO DC V O TO CHNH THC Cõu I P N - THANG IM THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2006 Mụn: TON, khi B (ỏp ỏn - Thang im cú 04 trang) í 1 Ni dung im 2,00 Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s (1,00 im) x2 + x 1 1 y= = x 1+ x+2 x+2 Tp xỏc nh: \ {2} S bin thi n: y ' = 1 Bng bin thi n: 1 ( x + 2) 2 , y'... đợc đủ điểm từng phần nh đáp án quy định Ht 4/4 B GIO DC V O TO THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2007 Mụn thi: TON, khi B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt CHNH THC PHN CHUNG CHO TT C TH SINH Cõu I (2 im) Cho hm s: y = x 3 + 3x 2 + 3(m 2 1)x 3m 2 1 (1), m l tham s 1 Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s (1) khi m = 1 2 Tỡm m hm s (1) cú cc i, cc tiu v cỏc im cc tr... Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: B GIO DC V O TO P N - THANG IM THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2007 Mụn: TON, khi B (ỏp ỏn - Thang im gm 04 trang) CHNH THC Cõu I í 1 Ni dung im 2,00 Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s (1,00 im) Khi m =1 ta cú y = x 3 + 3x 2 4 Tp xỏc nh: D = S bin thi n: y ' = 3x 2 + 6x, y ' = 0 x = 0 hoc x = 2 Bng bin thi n: x 0 2... Ti Liu Toỏn Thi Toỏn cho hc sinh THPT * Phn mm Toỏn * Giỏo Trỡnh T in Phn Mm Hc Ting Anh * Cỏc Phn mm ng dng khỏc 4 THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2005 Mụn: TON, khi B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt B GIO DC V O TO CHNH THC Cõu I (2 im) Gi (Cm ) l th ca hm s y = x 2 + ( m + 1) x + m + 1 (*) ( m l tham s) x +1 1) Kho sỏt s bin thi n v v th... liu Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: B GIO DC V O TO CHNH THC P N - THANG IM THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2008 Mụn: TON, khi B (ỏp ỏn - Thang im gm 04 trang) Cõu I Ni dung 1 im 2,00 Kho sỏt s bin thi n v v th ca hm s (1,00 im) TX : x = 0 S bin thi n : y ' = 12x 2 12x , y ' = 0 x = 1 0,25 yC = y(0) = 1, yCT = y(1) = 1 Bng bin thi n : x y 0,25... thc xy ra (1), (2), (3) l cỏc ng thc x = 0 -Ht - 4 0,25 B GIO DC V O TO THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2006 CHNH THC Mụn: TON, khi B Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt PHN CHUNG CHO TT C CC TH SINH Cõu I (2 im) x2 + x 1 Cho hm s y = x+2 1 Kho sỏt s bin thi n v v th ( C ) ca hm s ó cho 2 Vit phng trỡnh tip tuyn ca th ( C ) , bit tip tuyn ú vuụng gúc vi... -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh Số báo danh . Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Môn: Toán, Khối B Đề chính thức (Đáp án - thang điểm có 4 trang) Câu I Nội dung ý 1 Điểm 2,0 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 1 y = x 3 2x 2 + 3x (1) 3 a) Tập xác định: R b) Sự biến thi n: y' = x2 4x + 3;... Ht -Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm H v tờn thớ sinh S bỏo danh B GIO DC V O TO CHNH THC Cõu I P N THANG IM THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2005 -Mụn: TON, Khi B (ỏp ỏn thang im gm 4 trang) í Ni dung im 2,0 1,0 I.1 x 2 + 2x + 2 1 = x +1+ x +1 x +1 a) TX: \{ 1 } m =1 y = b) S bin thi n: y ' = 1 1 = 0,25 x + 2x 2 ( x + 1)... 2) v hai ng thng: x = 1 + t x y 1 z + 1 = d1 : = , d 2 : y = 1 2t 1 2 1 z = 2 + t 1 Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A, ng thi song song vi d1 v d2 2 Tỡm ta cỏc im M thuc d1, N thuc d2 sao cho ba im A, M, N thng hng Cõu IV (2 im) ln 5 dx e + 2e x 3 ln 3 x, y l cỏc s thc thay i Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 2 Cho 1 Tớnh tớch phõn: I = x A= ( x 1)2 + y2 + ( x + 1)2 + y2 + y 2 PHN T CHN: Thớ . II 1 xxxx 6cos5sin4cos3sin 2222 = 2 12cos1 2 10cos1 2 8cos1 2 6cos1 xxxx + = + ()() 06cos8cos10cos12cos =++ xxxx () 07cos11coscos = xxx 02sin9sincos = xxx . 2 9 02sin9sin. cho tương đương với 2 sin x cos x 2sin x cos x 2cos x 0+ ++= ( ) sin x cosx 2cos x sin x cosx 0⇔++ + = ( ) ( ) sin x cos x 2cos x 1 0.⇔ ++= 0,50 • sin x cos x 0 tgx 1 x k 4 π +=⇔=−⇔=−+π . 2 cotg tg 4sin 2 (1). sin 2 xx x x + = Điều kiện: sin 0 (*). cos 0 x x Khi đó (1) cos sin 2 4sin2 sin cos sin 2 xx x x xx + = 22 cos sin 2 4sin2 sin cos sin 2 xx x x xx += 2 2cos2