inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 1 1. Công thức cơ bản: sin 2 a + cos 2 a = 1; tana.cota = 1 22 22 11 1tan ;1cot cos sin aa aa += += 2. Công thức quy gọn góc Cung GTLG x x x+ x 2 x+ 2 sin -sinx sinx -sinx cosx cosx cos cosx -cosx -cosx sinx -sinx tan -tanx -tanx tanx cotx -cotx cot -cotx -cotx cotx tanx -tanx 3. Bảng giá trị lợng giác đặc biệt 4. Công thức cộng sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba+= + sin( ) sin .cos sin .cosab ab ba= cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b+= cos( ) cos .cos sin .sinab a b a b= + tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab + += tan tan tan( ) 1 tan .tan ab ab ab = + Hệ quả: 1 tan 1 tan tan , tan 4 1 tan 4 1 tan xx xx xx + += = + 5. Công thức nhân đôi, nhân ba. 1) sin 2a=2sina.cosa 0 6 4 3 2 2 3 3 4 3 2 2 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 180 0 270 0 360 0 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 0 1 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 1 0 1 tan 0 3 3 1 3 3 1 0 0 cot 3 1 3 3 0 3 3 1 0 a. công thức LợNG GIáC Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng giác - Trang 2 2) 22 2 2 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina aa a a= − = −=− 3) 2 2 2tan cot 1 tan2 ; cot 2 2cot 1 tan aa aa a a − = = − 4) 3 sin3 3sin 4sinaa a= − 5) 3 cos3 4cos 3cosa aa= − 6) a aa a 2 3 tan31 tantan3 3tan − − = 6. C«ng thøc h¹ bËc 2 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a a a a a − = + = − = + )3sinsin3( 4 1 sin 3 aaa −= )3coscos3( 4 1 cos 3 aaa += 7. C«ng thøc biÕu diÔn sinx, cosx, tanx theo 2 tan x t = 2 2 sin 1 t a t = + ; 2 2 1 cos 1 t a t − = + ; 2 2 tan 1 t a t = − 8. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch 1) sin sin 2sin .cos 22 ab ab ab +− += 2) sin sin 2cos .sin 22 ab ab ab +− −= 3) cos cos 2cos .cos 22 ab ab ab +− += 4) cos cos 2sin .sin 22 ab ab ab +− −=− 5) sin( ) tan tan cos .cos ab ab ab + += 6) sin( ) tan tan cos .cos ab ab ab − −= 7) sin( ) cot cot sin .sin ab ab ab + += 8) sin( ) cot cot sin . ba ab a sinb − −= sin cos 2.sin 2.cos 44 aa a a   + = += −     ππ §Æc biÖt: sin cos 2 sin 2 cos 44 aa a a   − = −=− +     ππ 9. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b ab ab a b ab ab a b ab ab  = −+ +   = −− +   = −+ +  inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 3 I. Phơng trình lợng giác cơ bản 1. Phơng trình sinx = a a/ 2 sin sin ( ) 2 xk x kZ xk = + = =+ b/ sin . : 1 1. arcsin 2 sin ( ) arcsin 2 x a ẹieu kieọn a x ak xa kZ x ak = = + = =+ c/ sin sin sin sin( )uv uv= = d/ sin cos sin sin 2 uv u v == e/ sin cos sin sin 2 u v uv == Các trờng hợp đặc biệt: sin 0 ( )x xk kZ== sin 1 2 ( ) 2 x x k kZ==+ sin 1 2 ( ) 2 x x k kZ= =+ 22 sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( ) 2 x x x x x kkZ= = = = =+ 2. Phơng trình cosx = a a/ cos cos 2 ( )x x k kZ= =+ b/ cos . : 1 1. cos arccos 2 ( ) x a ẹieu kieọn a x a x ak k Z = == + c/ cos cos cos cos( )uvu v== d/ cos sin cos cos 2 uv u v == e/ cos sin cos cos 2 uv u v = = + Các trờng hợp đặc biệt: cos 0 ( ) 2 x x k kZ==+ cos 1 2 ( )x xk kZ== cos 1 2 ( )x x k kZ= =+ 22 cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x xk k Z= = = = = 3. Phơng trình tanx = a a/ tan tan ( )x x kkZ= =+ b/ tan arctan ( )x a x ak kZ== + c/ tan tan tan tan( )uvuv== b. PHơNG TRìNH LợNG GIáC inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 4 d/ tan cot tan tan 2 uv u v == e/ tan cot tan tan 2 uv u v = = + Các trờng hợp đặc biệt: tan 0 ( )x xk kZ== tan 1 ( ) 4 x x k kZ= =+ 4. Phơng trình cotx = a cot cot ( )x x kkZ= =+ cot arccot ( )x a x ak k Z== + Các trờng hợp đặc biệt: cot 0 ( ) 2 x x k kZ= =+ cot 1 ( ) 4 x x k kZ= =+ 5 ( ). 2 x k kZ+ . Một số điều cần chú ý: a/ Khi giải phơng trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phơng trình xác định. * Phơng trình chứa tanx thì điều kiện: * Phơng trình chứa cotx thì điều kiện: ()xk k Z * Phơng trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện () 2 xk k Z * Phơng trình có mẫu số: sin 0 ( )x xk kZ cos 0 ( ) 2 x x k kZ+ tan 0 ( ) 2 x xk k Z cot 0 ( ) 2 x xk k Z b/ Khi tìm đợc nghiệm phải kiểm tra điều kiện. Ta thờng dùng một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện: 1. Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. 2. Dùng đờng tròn lợng giác. 3. Giải các phơng trình vô định. inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 5 II. Phơng trình đa về phơng trình bậc 2, bậc 3 đối với một hàm số lợng giác Daùng ẹaởt ẹieu kieọn 2 sin 0asin x b x c+ += t = sinx 11t 2 cos cos 0a x b xc+ += t = cosx 11t 2 tan tan 0a xb xc+ += t = tanx () 2 x k kZ+ 2 cot cot 0a xb xc+ += t = cotx ()xk kZ Neỏu ủaởt: 2 sin sin : 0 1.t x hoaởc t x thỡ ủieu kieọn t= = Bi 1: Gii phng trỡnh: sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) 2 1 1 sin 2 2 x Gii: Ta cú: 2(cos 4 x + sin 4 x) = 2[(cos 2 x + sin 2 x) 2 2sin 2 xcos 2 x]= 2 = 2 sin 2 2x Vy ta c phng trỡnh: sin 2 2x + sin2x - 2 = 0 t t = sin2x vi iu kin -1 t 1 ta c phng trỡnh: t 2 + t 2 = 0 = = )(2 1 loait t Vi t = 1 ta cú phng trỡnh: sin2x = 1 Zkkxkx +=+= , 4 2 2 2 . Vy nghim ca phng trỡnh ó cho: Zkkx += , 4 . Bi 2: Gii phng trỡnh: sin 2 x.(tanx 1) = cosx.(5sinx cosx) 2. 1 3 t t = = Gii: iu kin ca phng trỡnh l: cosx 0 Chia hai v ca phng trỡnh cho cos 2 x ta c: tan 2 x (tanx 1) = 5tanx 1 2(1+tan 2 x) tan 3 x tan 2 x = 5tanx 3 2 tan 2 x tan 3 x + tan 2 x 5tanx + 3 = 0 t t = tanx ta c phng trỡnh. t 3 + t 2 5t +3 = 0 (t 1)(t 2 + 2t 3) = 0 Vi t = 1, phng trỡnh: tanx = 1 4 xk = + , k Z Vi t = -3, phng trỡnh: tanx = -3 x = arctan(-3) + k, k Z Cỏc giỏ tr ny tha món iu kin ca phng trỡnh ó cho. Vy phng trỡnh ó cho cú cỏc nghim: x = 4 k + ; x = arctan(-3) + k, k Z. Bi 3: 2cos5 .cos3 sin cos8 xxx x+= Gii phng trỡnh: PT cos2x + cos8x + sinx = cos8x Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng giác - Trang 6 ⇔ 1- 2sin 2 x + sinx = 0 ⇔     = = 2 1 - sinx 1 sinx ⇔ 7 2; 2; 2,( ) 2 66 x kx kx k kZ π ππ π ππ =+=−+=+ ∈ Bài 4: 9 6 5 sin4 3 2cos5 −       −=       + xx ππ Giải phương trình: .,2 3 2 26 )(, 10 14 6 sin 1 6 sin 014 6 sin4 6 sin10 9 6 sin4 6 sin215 2 2 Zkkxkx loaix x xx xxPT ∈+=⇔+=+⇔       −=       + =       + ⇔=−       ++       +⇔ −             +−=             +−⇔ π π π ππ π π ππ π π π Bài 5: ( ) 44 2 1 cot 2 cot 2 sin cos 3 cos xx xx x + + += Giải phương trình: (6) §iÒu kiÖn: sin2x ≠ 0. Ph¬ng tr×nh (6) ( ) 2 42 2 21 2 1 sin 2 3 sin 2 sin 2 2 0 2 sin x xx x ⇔ + − =⇔ + −= ( ) 2 2 2 sin 2 2 sin 2 1 cos2 0 44 sin 2 1 x k x xx k x  = − ππ ⇔ ⇔ =⇔ =⇔= + ∈  =    Bài 6: inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 7 Bi 7: Bài tập Baứi 1. Giải các phơng trình sau: 1) 2sin 2 x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin 2 x 4cosx 1 = 0 3) 4cos 5 x.sinx 4sin 5 x.cosx = sin 2 4x 4) ( ) 2 tan 1 3 tan 3 0xx+ = 5) ( ) 2 4sin 2 3 1 sin 3 0xx + += 6) 3 4cos 3 2 sin2 8cosx xx+= 7) tan 2 x + cot 2 x = 2 8) cot 2 2x 4cot2x + 3 = 0 Baứi 2. Giải các phơng trình sau: 1) 4sin 2 3x + ( ) 2 3 1 cos3 3x+ = 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0 3) 4cos 2 (2 6x) + 16cos 2 (1 3x) = 13 4) ( ) 2 1 33tan330 cos x x + + = 5) 3 cos x + tan 2 x = 9 6) 9 13cosx + 2 4 1 tan x+ = 0 7) 2 1 sin x = cotx + 3 8) 2 1 cos x + 3cot 2 x = 5 9) cos2x 3cosx = 2 4cos 2 x 10) 2cos2x + tanx = 4 5 Baứi 3. Cho phơng trình sin3 cos3 3 cos2 sin 1 2sin2 5 xx x x x ++ += + . Tìm các nghiệm của phơng trình thuộc ( ) 0;2 . Baứi 4. cho phơng trình: cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phơng trình thuộc ( ) ; . Baứi 5. giải phơng trình: 44 4 5 sin sin sin 4 44 xx x +++= . inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 8 III. PHNG TRèNH BậC NHấT Đẩi với sinx, cosx asinx + bcosx = c Cách 1 22 ab+ : Chia hai vế phơng trình cho ta đợc: (1) 22 22 22 sin cos ab c xx ab ab ab += ++ + Đặt: ( ) 22 22 sin , cos 0, 2 ab ab ab = = ++ phơng trình trở thành: 22 sin .sin cos .cos c xx ab += + 22 cos( ) cos (2) c x ab = = + Điều kiện để phơng trình có nghiệm là: 22 2 22 1. c ab c ab + + (2) 2( )x k kZ =+ Cách 2 2 22 x xk k=+ =+ : a/ Xét có là nghiệm hay không? b/ Xét 2 cos 0. 2 x xk+ Đặt: 2 22 21 tan , sin , cos , 2 11 x tt t thay x x tt = = = ++ ta đợc phơng trình bậc hai theo t: 2 ( ) 2 0 (3)b c t at c b+ + = Vì 2 0,x k bc + + nên (3) có nghiệm khi: 2 22 22 2 ' ( )0 .a cb ab c= + Giải (3), với mỗi nghiệm t 0 , ta có phơng trình: 0 tan . 2 x t= Ghi chú 22 2 .ab c+ : 1/ Cách 2 thờng dùng để giải và biện luận. 2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phơng trình có nghiệm: 3/ Bất đẳng thức B.C.S: 22 2 2 22 .sin .cos . sin cosya xb x ab x x ab= + + + =+ 22 22 sin cos min max tan xx a y abvaứ y ab x ab b =+ = + = = Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng giác - Trang 9 Bài 1: xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− Giải phương trình: (*) Bài 2: 3 Giải phương trình: 4cosx + 2 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 3 Giải: Ta có: 4cosx + 2 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 ⇔ 4cosx + 2 3 sinx + 2cos 2 x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 ⇔ 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) 2 = 0 ⇔ 2(cosx +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0 ⇔ cos 1 0 3sin cos 1 0 x xx +=   + +=             −=       + += ⇔      −=+ −= ⇔ 6 sin 6 sin 2 2 1 cos 2 1 sin 2 3 1cos ππ ππ x kx xx x ⇔ (2 1) 2 3 xk xk π π π = +    =−+  Bài 3: 2 Giải phương trình: 2cos 3 x – sin2x(sinx +cosx) +cos2x(sinx + ) - 2 (sin2x +1) – 2cosx –sinx = 0. 2 Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 ⇔ 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3 x – sin2xcosx – 2cosx = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos 2 x – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0 ⇔ cos2 sin 2 1 0 cos sin 2 0 xx xx − −=   + +=  ⇔ 2 cos 2 42 cos 1 4 x x π π   +=       −=−     ⇔ 22 44 2 4 xk xk ππ π π ππ  +=±+    −=+   ⇔ 4 5 2 4 xk xk xk π π π π π   =   =−+    = +  (k ∈ Z) inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 10 IV. phơng trình đẳng cấp a sin 2 x + b sinx.cosx + c cos 2 x = d Cách 1 2 sin 1 sin 1. 2 xk x x=+ = = : Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không? Lu yự: cosx = 0 Khi cos 0x , chia hai vế phơng trình (1) cho 2 cos 0x ta đợc: 22 .tan .tan (1 tan )a xb xc d x+ += + Đặt: t = tanx, đa về phơng trình bậc hai theo t: 2 () . 0a d t bt c d + + = Cách 2 1 cos2 sin2 1 cos2 (1) . . . 222 xx x a bc d + ++ = : Dùng công thức hạ bậc .sin2 ( ).cos2 2b x ca x dac + = (đây là phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x) Bi 1: Gii phng trỡnh: Bi 2: Gii phng trỡnh: [...]... 11 IV PHNG TRèNH đối xứng: a(sinx cosx) + bsinx.cosx = c Đặt: t = sin x cos x = 2 sin x ; t 2 4 1 t 2 = 2sin x.cos x sin x.cos x = (t 2 1) 1 2 Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t Giải phương trình này tìm t thỏa t 2 Suy ra x Lưu ý : sin a + cos a = 2.sin a + = 2.cos a 4 4 sin a cos a = sin a = 2 cos a + 2 4 4 Bi 1: inh Xuõn Thch ... nghiệm của phương trình là: x = + k2 ( k Z ) 2 4 4 sin x + cos x 1 Bi 22: Giai phng trinh: = ( tan x + cot x ) (1) sin 2 x 2 Điều kiện: sin 2 x 0 1 1 sin 2 2 x 1 sin x cos x 2 = + (1) sin 2 x 2 cos x sin x 1 1 sin 2 2 x 1 1 2 = 1 sin 2 2 x= 1 sin 2 x= 0 sin 2 x sin 2 x 2 3(sin 3 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Bi 23: Giai phng trinh: 1 + sin x cos x sin 2x + cos 2x = 0 Phương trình ... Nếu cot x > 0 phương trình đã cho trở thành: 1 co 2 x s 1 cot x = tan x + = sin x sin x cos x sin x 2 cos 2 x cos x 2 cos x cos x 1 0 = = 1 sin x Điều kiện sin2x 0 cos x = 1(l ) cos x = 1 2 2 = x 3 + k 2 (l ) 1 cos x = 2 2 x = + k 2 (tm) 3 - Nếu cot x < 0 phương trình đã cho trở thành 1 1 1 cot x = tan x + + = 0 cosx = -1 (loại) sin x sin x cos x sin x 2 KL: phương trình đã cho... Yờn Mụ B 3 , (với t 2 ) Phng trỡnh lng giỏc - Trang 32 VI Phương trình lượng giác chứa tham số ( ) Bi 1: Tỡm m phng trỡnh: 2 sin 4 x + cos 4 x + cos 4 x + 2sin 2 x m = 0 cú nghim trờn 0; 2 1 2 - Ta cú sin 4 x + cos4 x = sin 2 2 x v cos4 x = 1 2sin 2 2 x 1 - Do ú (1) 3sin 2 2 x + 2sin 2 x + 3 =m (1) - t t = sin 2 x Ta có phương trình: 3t 2 + 2t + 3 = m (2) Với x 0; 2 x [ 0; ] t... 2(cotg x + 1) 3 2 sin 2 x cos x 2 - Phương trình đã cho tương đương với: - Đk: x k inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B Phng trỡnh lng giỏc - Trang 24 ( ) 4 2 3= x 2cotg sin 2 x 2(sin 2 x + cos 2 x) 2 3tg x + 3= x 2cotg sin x cos x 3tg 2 x + 2tg x 3 = 0 3 1 + tg 2 x + tg x = 3 x = + k 3 1 tg x = x = + k 3 6 + k ; kZ 6 2 KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm: x = Bi 27: Giai... x cos x 3tan 2 x + 2tan x 3 = 0 tanx = 3 x = 3 + k ,kZ 1 tanx = x = + k 3 6 3tan 2 x + + k ; kZ 6 2 3 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos( x + ) 4 sin( x + ) = 0 4 4 So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm: x = Bi 12: Gii phng trỡnh: 2 2 cos 2 x + sin 2 x cos( x + 3 ) 4 sin( x + ) = 0 4 4 2 2 cos 2 x + sin 2 x (cos x.cos 3 sin x sin 3 ) 4(sin x cos + cos x sin ) = 0 4 4 4 4 4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0... (*) sin 2 x = , 4 2 thay vo (2) c PT: t -4t-5=0 t = -1( t/m (*)) hoc t = 5(loi ) 3 Vi t = -1 ta tỡm c nghim x l : x k 2 hoặc x = = + k 2 2 Bi 13: Gii phng trỡnh: 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 Phương trình đã cho tương đương với: 9sinx + 6cosx 6sinx.cosx + 1 2sin2x = 8 6cosx(1 sinx) (2sin2x 9sinx + 7) = 0 6cosx(1 sinx) (sinx 1)(2sinx 7) = 0 (1-sinx)(6cosx + 2sinx 7) = 0 1 sin x =... k k Z k { ;2;3;4;5;6;7} 1 4 < 2 0 < k < 8 - Kết hợp với iu kin cos3x 0, cos4x 0 v cos5x 0 Nghim ca phng trỡnh l: x1 = ; x2 = 4 3 5 7 ; x3 ; x4 ; x5 = = = 4 4 4 Bi 4: Tìm x (0; ) thoả mãn phương trình: cotx 1 = cos 2 x 1 + sin 2 x sin 2 x 1 + tan x 2 sin 2 x 0 tan x 1 đK: cos x sin x cos 2 x cos x = + sin 2 x sin x cos x sin x cos x + sin x cos x sin x = cos 2 x sin x cos x + sin... Ta có: x (0; ) 0 < x < 0 < inh Xuõn Thch THPT Yờn Mụ B 4 4 + k , (k Z ) (tmđk) + k < 4 4 < k < 4 1 3 .  Phương trình lượng giác - Trang 13 Bài 2: Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng giác - Trang 14 Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng. Giải phương trình: BT - GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH SAU: a/ 02cos22sincossin1 =++++ xxxx Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng giác - Trang 16 (Loại do điều kiện) V. PHƯƠNG. Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B  Phương trình lượng giác - Trang 9 Bài 1: xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− Giải phương trình: (*) Bài 2: 3 Giải phương trình: 4cosx + 2 sinx + cos2x + 3 sin2x