ỨNG DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN 1) Lý thuyết: a) Nếu A, B là các biểu thức nhận các giá trị dương thì: ( )( )A B A B+ − = A – B A B+ và A B− là hai biểu thức liên hợp của nhau b) Với X , Y là hai biểu thứ bất kỳ ta có. 3 3 2 2 3 3 3 ( )( )X Y X XY Y+ − + = X + Y 3 3 X Y+ ; 3 3 2 2 3 X XY Y− + được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau 3 3 2 2 3 3 3 ( )( )X Y X XY Y− + + = X – Y 3 3 X Y− ; 3 3 2 2 3 X XY Y+ + được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau 2) Bài tập: Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = 1 1 1 1 1 5 5 9 9 13 21 25 + + + + + + + + Giải: Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút gọn. Số tổng quát : 1 4k k+ + = 4 ( 4 )( 4 ) k k k k k k + − + + + − = 4 4 k k k k + − + − = 4 4 k k+ − ( k = 1 , 2 , 3, …, 25) Áp dụng đẳng thức 1 4k k+ + = 4 4 k k+ − ta có A = 1 1 1 1 1 5 5 9 9 13 21 25 + + + + + + + + = 5 1 9 5 13 9 25 21 4 4 4 4 − − − − + + + + = 5 1 9 5 13 9 21 17 25 21 4 − + − + − + + − + − = 25 1 4 − = 5 1 4 − = 1 Bài 2 : Giải phương trình: 1 1 1 1 1 2 2 3x x x x x x + + + + + + + + + + = 1 Giải : Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát của từng số hạng trong vế trai sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút gọn vế trái ĐK : x ≥ 0 . Số hạng tổng quát của mỗi biểu thức trong phương trình : 1 1 1 ( 1 )( 1 ) k k k k k k k k + − = + + + + + − = 1 1 k k k k + − + − = 1k k+ − (k ≥ 0 ) Áp dụng đẳng thức này với k = x , x + 1 , x + 2 cho vế trái của phương trình Phương trình tương đương với: 1 2 1 3 2x x x x x x+ − + + − + + + − + = 1 ⇔ 3x x+ − = 1 ⇔ 3x + = x + 1 ⇔ x+ 3 = x + 2 x + 1 ⇔ x = 1 ⇔ x = 1 (TMĐK) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là :x = 1 Bài 3 : Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 5 4 4 5 6 5 5 6 7 6 6 7 25 24 24 25 + + + + + + + + Giải : Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp cụ thể để rút gọn. Số hạng tổng quát là : 1 ( 1) 1.k k k k+ + + = 1 ( 1) ( 1 )k k k k+ + + = 1 ( 1). .( 1 )( 1 ) k k k k k k k k + − + + + + − = 1 1. k k k k + − + = 1 1 1k k − + Áp dụng đẳng thức 1 ( 1) 1.k k k k+ + + = 1 1 1k k − + ta có : 1 1 1 1 5 4 4 5 6 5 5 6 7 6 6 7 25 24 24 25 + + + + + + + + = = 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 23 24 24 25 − + − + + − + − = 1 1 4 25 − = 1 1 2 5 − = 3 10 Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức : 1 1 1 2 1 2 n n n n < + − < + Giải : Bài này ta chứng minh 2 bất đẳng thức liên tiếp ( 1 )( 1 ) 1 1 n n n n n n n n + − + + + − = + + = 1 1 1 1 n n n n n n + − = + + + + Với n là số nguyên dương ta có : 2 n < 1n n+ + < 2 1n + => 1 1 1 2 1 1 2n n n n < < + + + Hay : 1 1 1 2 1 2 n n n n < + − < + Bài 5 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 1 1 1 1 26 2 10 1 2 3 25 − < + + + + < Giải : Đặt M = 1 1 1 1 1 2 3 25 + + + + => M = 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 25   + + + +  ÷   Theo bài 4 thì với n là số nguyên dương ta có : 1 1 1 2 n n n n n + − < < − − => 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 25   + + + +  ÷   > 2 1 3 2 25 24 26 25− + − + + − + − = 26 -1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 25 + + + + < 1 0 2 1 24 23 25 24− + − + + − + − = 25 0− = 5 Vậy : 2 1 1 1 1 26 2 10 1 2 3 25 − < + + + + < Bài 6 : So sánh 2 số biết : A = 3- 2 2 ; B = 2 2 - 7 Giải: A= 3- 2 2 = (3 2 2)(3 2 2) 3 2 2 − + + = 2 9 (2 2) 3 2 2 − + = 9 8 3 2 2 − + = 1 3 2 2+ B = 2 2 - 7 = (2 2 7)(2 2 7) 2 2 7 − + + = 2 (2 2) 7 8 7 1 2 2 7 2 2 7 2 2 7 − − = = + + + V ì 0 < 2 2 + 7 < 3 + 2 2 nên 1 3 2 2+ < 1 2 2 7+ Vậy A < B Bài 7: Cho các số dương a , b , c thoả mãn a > b .Chứng minh rằng: a c a+ − < b c b+ − Giải: a c a+ − = ( )( )a c a a c a a c a + + + − + + = a+c a c a a + − + = c a c a+ + b c b+ − = ( )( )b c b b c b b c b + + + − + + = b c b b c b + − + + = c b c b+ + Vì a > b nên a c a+ + > b c b+ + => 1 1 a c a b c b < + + + + => c a c a+ + < c b c b+ + Vậy a c a+ − < b c b+ − Bài 8: Cho các dương a , b ,c thoả mãn a > c , b > d Chứng minh rằng: a b a b+ − − < c d c d+ − − Giải: Âp dụng kết quả bài toán trên ta có: a > c => a c a+ − < c b c+ − => a b a b+ − − < c b b+ − - c b > d => b c b+ − < d c d+ − => b c b+ − - c < d c d+ − - c Áp dụng tính chất bắc cầu từ 2 bất đẳng thức trên => a b a b+ − − < d c d+ − - c Bài 9: Cho a > b > 0 .So sánh 2 biểu thức: 3 3 1a a+ − và 3 3 1b b+ − Giải: 3 3 1a a+ − = 32 2 3 3 3 1 ( 1) 1. a a a a a a + − + + + + = 32 2 3 3 3 1 ( 1) 1.a a a a+ + + + 3 3 1b b+ − = 32 2 3 3 3 1 ( 1) 1. b b b b b b + − + + + + = 32 2 3 3 3 1 ( 1) 1.b b b b+ + + + Vì a > b > 0 nên: 32 2 3 3 3 1 ( 1) 1.a a a a+ + + + < 32 2 3 3 3 1 ( 1) 1.b b b b+ + + + Vậy 3 3 1a a+ − < 3 3 1b b+ − Bài 10: So sánh : A = 3 3 20 32+ ; B = 3 3 24 28+ Giải: Ta có : A – B = 3 3 20 32+ - 3 3 24 28− = ( 3 3 32 28− ) – ( 3 2 24 20− ) = 3 32 2 3 3 32 28 32 32. 28 28 − + + - 3 32 2 3 3 24 20 24 24. 20 20 − + + = 3 32 2 3 3 4 32 32. 28 28+ + - 3 32 2 3 3 4 24 24. 20 20+ + Ta có : 3 32 2 3 3 32 32. 28 28+ + > 3 32 2 3 3 24 24. 20 20+ + => 3 32 2 3 3 4 32 32. 28 28+ + < 3 32 2 3 3 4 24 24. 20 20+ + => 3 32 2 3 3 4 32 32. 28 28+ + - 3 32 2 3 3 4 24 24. 20 20+ + < 0 Vậy : A < B Bài 11: Tìm x thoả mãn 29 9x x+ − + = 2 ĐKXĐ : x ≥ - 9 Giả sử x thoả mãn 29 9x x+ − + = 2 => ( 29 9)( 29 9) 29 9 x x x x x x + − + + + + + + + = 2 => 29 9 29 9 x x x x + − − + + + = 2 => 20 29 9x x+ + + = 2 29 9x x+ + + = 10 => 29 9 2 29 9 10 x x x x  + − + =   + + + =   => 29 6 9 4 x x  + =   + =   => x = 7 (TNĐK) Bài 12: Cho số dương a thoả mãn ( 2 5 3a + + ) 3 = 35.Tính 2 5a + - a Giải: ( 2 5 3a + + ) 3 = 35 => 2 5 3a + + = 3 35 => 2 2 3 2 ( 5 )( 5 ) 35 5 a a a a a a + − + + = + − => 2 2 3 2 5 35 5 a a a a + − = + − => 3 2 5 35 5a a = + − => 2 5a + - a = 3 5 35 Bài 13: Cho các số dương x , y thoả mãn 2 2 ( 5 )( 5 ) 5x x y y+ − + − = Tính : x 5 + y 5 Giải: Ta có : ( ) ( ) 2 2 5 5x x x x+ + + − = ( ) ( ) 2 2 5 5y y y y+ + + − = 5 => 2 2 5 5 5 x x x x + + = + − ; 2 2 5 5 5 y y y y + + = + − Theo điều kiện bài cho ta có : 2 2 2 2 5 .( 5 ) 5 5 5 ( 5 ). 5 5 y y x x x x y y  + + =  + −    + + =  + −  => 2 2 2 2 5 5 5 5 x x y y y y x x  + − = + +   + − = + +   Cộng từng vế tương ứng ta có : - x – y = x + y => x = - y => x 5 = - y 5 => x 5 + y 5 = 0 Bài 14 : giải phương trình : 2 2 1 2 2(1 1 ) x x x − = + + Giải : ĐK : x ≥ - 1 2 2 1 2 2(1 1 ) x x x − = + + ⇔ 2 2 2 2 2 ( 1 1) 2 2( 1 1) ( 1 1) x x x x x − + − = + + + − ⇔ 2 2 2 2 ( 1 1) 2 2(1 1) x x x x − + − = + − ⇔ 2 2 2 2 ( 1 1) 2 2 x x x x − + − = ⇔ x – 2 = 2 ( 1 1)x+ − ⇔ x – 2 = 2 + x - 2 1 x+ ⇔ 2 1 x+ = 4 ⇔ 1 + x = 4 ⇔ x = 3 (TMĐK) Bài 15 : Rút gọn : S = 1 1 1 1 16 18 20 22 22 24 62 64 + + + + + + + + Bài 16 : Tìm số nguyên dương n thoả mãn 1 1 1 19 1 2 2 3 1n n + + + = + + − + Bài 17 : Rút gọn 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 + + + + + + + + Bài 18 : So sánh : A = 2008 2006− ; B = 2006 2004− . ỨNG DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP TRONG CÁC BÀI TOÁN CHỨA CĂN 1) Lý thuyết: a) Nếu A, B là các biểu thức nhận các giá trị dương thì: ( )( )A B A B+ − = A – B A B+ và A B− là hai biểu thức liên. 2 biểu thức liên hợp của nhau 2) Bài tập: Bài 1: Rút gọn biểu thức: A = 1 1 1 1 1 5 5 9 9 13 21 25 + + + + + + + + Giải: Ta sẽ biểu diễn số hạng tổng quát sau đó áp dụng cho từng trường hợp. biểu thức liên hợp của nhau b) Với X , Y là hai biểu thứ bất kỳ ta có. 3 3 2 2 3 3 3 ( )( )X Y X XY Y+ − + = X + Y 3 3 X Y+ ; 3 3 2 2 3 X XY Y− + được gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau