A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN: - Trong trường THCS môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng. Bởi lẽ môn Toán là môn học công cụ, có tính thực tiễn phổ dụng. Những tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ ỏê học tập những môn học khác. Cùng với tri thức , môn toán rèn luyện cho học sinh những kỹ năng toán học như tính toán, vẽ hình, kỹ năng đo đạc…Môn toán có khả năng to lớn góp phần phát triển tư duy lô gíc, phat shuy tính linh hoạt , sang tạo trong học tập. tuy vậy môn học này có tính trừu tượng cao, học sinh luôn coi đây là một môn học khó, đặc biệt là phân môn hình học. - Ngay từ cấp Tiểu học, học sinh đã được học những bài toán hình học song mới chỉ dừng lại ở việc nhận biết hình và tính toán đơn thuần. Đến lớp 7 học sinh mới dần làm quen với việc chứng minh và việc chứng minh khó dần qua các chương. Ở độ tuổi này các em đã bước đầu có thói quen suy luận độc lậpnhưng tư duy chưa sâu, nhận thức vấn đề còn dựa vào trực quan. Vì vậy người thầy cần phải xây dựng cho học sinh hướng suy nghĩ, tìm tòi khám phá ra hướng chứng minh cho mỗi bài toán chứng minh hình học. 2. CƠ SỞ THỰC TIỄN: a) Đối với học sinh: - Nói đến hình học học sinh thường ngại học, quá trình làm bài đôi khi còn bế tắc, không biết bắt đầu từ đâu, trình bày như thế nào, thậm chí vẽ hình còn lung túng, không biết nhìn nhận phân tích hình để làm bài. Đa số học sinh chỉ làm được những bài toán chứng minh hình học đơn giản. Song thực tế nội dung bài toán thì lại rất phong phú. Đặc biệt việc khai thác bài toán của học sinh còn nhiều hạn chế, ngay cả học sinh khá cũng rất lung túng chưa biết vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải toán. b) Đối với giáo viên - Qua thực tế bản than tôi cũng như các cô giáo trong tổ nhận thấy môn hình học là một môn học đòi hỏi người học phải có sự thích thú mới có thể có sự say mê và tìm tòi khi học. Để gây hứng thú cho học sinh học tập bộ môn, kích thích sự tìm tòi sang tạo khám phá kiến thức của học sinh, người thầy với vai trò chủ đạo cần định hướng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vẽ hình, khả năng phân tích tìm lời giải và nhìn nhận bài toán dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Đó chính là lý do tôi viết chuyên đề này. B. NỘI DUNG: I. MỘT SỐ KHÓ KHĂN CỦA HỌC SINH TRONG KHI HỌC MÔN HÌNH HỌC: 1. Vẽ hình: - Một trong những yếu tố quyết định đến việc giải mọt bài toán hình học là vẽ hình chính xác. Qua thực tế dạy học tôi thấy việc vé hình trong một bài toán là yêu cầu tương đối khó đối với một số học sinh, các em hay vẽ thiếu chính xác, nguyên nhân là do các em chưa đọc kỹ bài, chưa biết xác định rõ bìa toán cho gì ( GT), yêu cầu làm gì ( KL) hoặc sử dụng các dụng cụ, thao tác chưa chính xác hay vẽ hình còn cẩu thả…dẫn đến gây trở ngại cho việc định hướng chứng minh VD: + Khi vẽ ∧∧ = BA , AB = AC, AB ⊥ AC + Không biết ký hiệu một cáh hợp lý trên hình vẽ ( những điều GT cho) để hỗ trợ cho việc chứng minh. - Đôi khi vẽ hình, học sinh còn vẽ vào trường hờp đặc biệt, dẫn đến ngộ nhận làm cho việc định hướng chứng minh sai lầm, không chứng minh được hay chứng minh sai - VD: Cho d là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Trên s lấy 2 điểm C và D khác phía đối với bờ AB. Tìm tất cả các tia phân giác của các góc trong hình vẽ. Nếu trong bài này học sinh vẽ vào trường hợp C, D đối xứng nhau qua AB thì có đến 4 tia phân giác! 2. Khả năng suy luận hình học còn hạn chế đẫn đến việc xây dựng kế hoạch giải còn khó khăn: - Khi đã vẽ xong hình, việc tìm hướng giải bài toán là khó khăn thứ nhất. Thực tế cho thấy học sinh thượng bị mắc ở khâu này. Nguyên nhân ở chỗ các em chưa biết sử dụng giả thiết đã cho để kết hợp với khả năng phân tích hình vẽ để lựa chọn cách làm bài. Việc huy động những kiến thức đã học để phục vụ cho việc chứng minh còn hạn chế, có em còn lẫn lộn giữa giả thiết và kết luận. Việc liên hệ giữa các bài toán còn chưa tốt, khả năng phân tích, tổng hợp …của một số đông học sinh còn yếu. Nhiều bài toán đã chữa nhưng nếu thay đổi một số dữ kiên thì học sinh còn gặp lung túng khi giải. 3. Việc trình bày bài của học sinh còn thiếu chính xác, chưa khoa học, còn lủng củng, nhiều khi đưa ra khẳng định còn thiếu căn cứ. không chặt chẽ. - Học sinh lớp 7 bắt đầu được tập dượt chứng minh. Vì lần đầu tiên được làm quen với các bài toán chứng minh hình học nên khi trình bày, sử dụng các kí hiệu quy định có khi còn bỏ qua như ký hiệu góc, quy định về đỉnh đôi khi còn viết chữ thường, không có sự tương ứng đỉnh giữa hai tam giác bằng nhau… Từ những thực tế trên. người thầy phải tìm ra những biện phps hữu hiệu để khắc phục những nhược điểm của học sinh, gây hứng thú học tập cho học sinh, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo của học sinh, rèn luyện cách trình bày cho khoa học. II. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 1. Hướng dẫn học sinh vẽ hình: - SO với sách giáo khoa Toán 7 cũ thì sách giáo khoa Toán 7 mới đã giảm nhiều về lý thuyết, tăng cường nhiều thời gian cho học sinh thực hành, luyện tập. Qua việc đo đạc, vẽ hình học sinh nắm được những thao tác vẽ bài bản hơn. Song thực tế cho thấy trong bài toán hình học vẽ hình là công việc khó đối với học sinh- Đặc biệt là học sinh lớp 7, thậm chí ngay cả với những mà việc vẽ hình không khó thì học sinh vẫn có thể mắc sai lầm. - Đối với học sinh lớp 7 rèn luyện cách vẽ hình là rất quan trọng. Do vậy người thầy cần phải khai thác tốt giờ luyện tập để học sinh thành thạo việc sở dụng dụng cụ vẽ hình, kiểm tra hình vẽ nhờ dụng cụ, vẽ hình xuôi ngược để rèn luyện kỹ năng vẽ hình. Cần tập cho học sinh thói quen: Muốn vẽ hình chính xác trước hết phải nắm thật chắc đề bài, bài toán cho biết điều gì và yêu cầu làm gì, tức là phải phân biệt được rõ rang GT và KL của bài toán. Khi vẽ nên xét xem nên vẽ gì trước, chọn dụng cụ nào để cho chính xác. Cần lưu ý cho học sinh những điều giả thiết đã cho phải thể hiện trên hình vẽ. VD1:( Bài 43 SGK toán 7 – 125) Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD = BC b) EAB = ECD c) OE là tia phân giác của góc xOy. * Hướng dẫn học sinh vẽ hình ? Bài toán này ta cần vẽ gì trước? Góc đó cần thỏa mãn điề kiện gì? HS dễ dàng vẽ được góc xOy ≠180 0 ? Tiếp theo em cần làm gì? Lấy hai điểm A, B thuộc Ox sao cho OA < OB dễ dàng nhưng lấy điểm C và D thì lại phải phụ thuộc vào A và B ( Vì OC = OA, OD = OB) ? Nên dung dụng cụ nầo để xác định C và D… -Trong chương trình hình học 7 nhiều bài toán đều có thể vẽ hình chính xác lần lượt theo yêu cầu của đề xong có những bài lại phải đọc hết bài mới xác định được cách vẽ hình. Cho nên giáo viên nên hướng dẫn học sinh vẽ phác họa lần đầu ra giấy nháp sau đó phân tích các số liệu đã cho trên hình rồi tìm cách vẽ cho chính xác. - VD2: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB ( D và C nằm khác phía đối với AB), AD = AB. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC ( E và B nằm khác phía đối với AC), AE vuông góc với AC. Biết rằng DE = BC. Tính góc BAC. * Hướng dẫn học sinh vẽ hình Để vẽ được chính xác hình bài này cần phải vẽ phác họa ra giấy nháp trước. thực tế cho thấy khi dạy bài này cho học sinh chỉ một số ít học sinh vẽ đúng được hình, nhiều em không biết cách vẽ dẫn đến không làm được bài. Mấu chốt để vẽ hình chính xác là phả tính góc BAC = 90 0 ( KL của bài toán) Thật vậy sau khi vẽ phác họa hình ta có ngay: B C D A E 4 3 2 1 ∆ ABC = ∆ ADE (c.c.c). Mà Â 2 =Â 4 =90 0 Từ đó ta vẽ tam giác ABC có ¢=90 0 Thực tế còn có nhiều bài toán mà có thể có nhiều trường hợp hình vẽ, với mỗi hình lại cho ta một đáp số. Với loại bài này phải cho học sinh thấy cần vẽ tất cả các trường hợp có thể xảy ra. 2. Xây dựng kế hoạch giải: a) Phân tích hình vẽ và sử dụng giả thiết để tìm cách giải - Sau khi đã vẽ hình cần phải quan sát trên hình vẽ xem đã thể hiện đầy đủ giả thiết bài toán trên hình vẽ chưa ( cần chú ý các ký hiệu quy ước). tren cơ sở đó phân tích hình vẽ và huy động vốn kiến thức đã có học sinh sẽ định hướng được việc giải bài toán dưới sự dẫn dắt của giáo viên. VD3: Bài 40. SGK toán 7 – 124 Cho tam giác ABC ( AB khác AC), tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với tia Ax (E ∈ A x, F ∈ A x). so sánh các độ dài BE và CF. * Dẫn dắt bằng hệ thống câu hỏi. : B A M C E x F ? So sánh hai đoạn thẳng có các khả năng nào xảy ra. ? Từ hình vẽ em dự đoán sẽ xảy ra trường hợp nào. ? Hãy chứng minh dự đoán đó. HS sẽ biết được để chứng minh BE = CF cần dựa vào sự bằngnhau của hai tam giác. VD4: (Bài 61.SBT toán 7-105) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy ( B và C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng. a, ∆ BAD = ∆ ACE b, DE = BD + CE * Hướng dẫn học sinh phân tích hình vẽ. C B A D E y x 2 2 1 1 Phần a) ∆ BAD và ∆ ACE là hai tam giác vuông có một cặp cạnh huyền bằng nhau. Vậy để chứng minh ∆ BAD = ∆ ACE cần có them một cặp góc nhọn hoặc một cặp cạnh góc vuông bằng nhau nữa. Từ đó suy ra mấu chốt của vấn đề: Cần chứng minh ∧ A 1 = ∧ C 1 hoặc ∧ A 2 = ∧ B 2 E D B A Phần b) Chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng mà chúng không nằm trên một đường thẳng ta làm thế nào để giải quyết vấn đề này? Xét xem có các đoạn thẳng nào bằng đoạn thẳng BD và CE? DE = DA + AE = BD + CE ( Thay thế các đoạn thẳng bằng nhau) b) Sử dụng phương pháp phân tích để tìm hướng làm bài: - Trong môn hình học có hai phương pháp phân tích để tìm lời giải. + Phương pháp 1: Phân tích xuôi - Trong quá trình giảng dạy học sinh chứng minh hình học, cần hướng dẫn học sinh những tri thức phương pháp chứng minh, cần định hướng cho học sinh suy nghĩ: Có cách nào để chứng minh vấn đề đó, để chứng minh được vấn đề đó thì cần phải biết thềm gì… Ta có thể dung sơ đồ sau để tìm cách chứng minh cho một bài toán. A = A 0 → A 1 → A 2 → → A n = B Trong đó A là tiên đề, định lý, GT của bài toán…, B là vấn đề cần chứng minh. VD5: ( Bài 19- sgktoán 7-/ 114) Cho hình vẽ sau. Chứng minh rằng · · ) ) a ADE BDE b DAE DBE ∆ = ∆ = * Giải: Đối với bài tập này, sau khi xác định yêu cầu của đề bài nhìn vào hình vẽ học sinh dễ dàng nhận thấy. )a ADE BDE∆ = ∆ (c.c.c) Như vậy giáo viên có thể hướng dẫn học sinh suy luận theo hướng phân tích xuôi để tìm lời giải cho bài toán. b) Đối vơi câu b): Từ việc chứng minh hai tam giác bằng nhau học sinh có thể chứng minh hai góc bằng nhau khá dễ dàng. Xong đối với nhiều bài tập hình học, đặc biệt là những bài tập khó việc suy luận từ GT bài toán để đi đến KL là rất khó. Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh tư duy phương pháp phân tích ngược (Đi từ KL đến GT của bài toán) Phương pháp này gọi là phương pháp phân tích đi lên. Việc sử dụng phương pháp phân tích đi lên để tìm hướng giair cho bài toán có rất nhiều thuận lợi trong việc giải bài tập hình học, giúp cho học sinh có thể định hướng chứngminh một cách nhanh chóng. Phương pháp phân tích đi lên suy luận ngược theo sơ đồ: B = B 0 ← B 1 ← ← B n = A VD 6:Trở lại VD1(Bài 43. SGK-125) x y D C O 1 2 1 1 2 2 E B A Phần a có thể dẫn dắt học sinh theo cách sau: AD = BC ↑ ∆ OAD = ∆ OCB ↑ OA = OC ∧ O : góc chung OD = OB Phần c) ∧ O 1 = ∧ O 2 ↑ ∆ OAE = ∆ OCE ↑ OA = OC ∧ A 1 = ∧ C 1 EA = EC c. Kẻ thêm đường phụ: Nhiều bài toán sau khi có hình vẽ theo nội dung đề bài, việc chỉ sử dụng các yếu tố đã cho trên hình vẽ đó để chứng minh bài toán gặp rất nhiều khó khăn, thậm chí là không thể chứng minh được. Với những bài toán đó việc dựa vào GT, KL của bài toán để kẻ thêm hình phụ là vô cùng cần thiết. Hình phụ đó có thể là một điểm, một đoạn thẳng hay một tam giác… Việc hướng dẫn học sinh biết phương pháp vẽ thêm hình phụ cũng đặc biệt cần thiết trong chứng minh hình học - đặc biệt hơn trong công tác bồi dưỡng họa sinh giỏi. Giáo viên cũng cần hướng dẫn, định hướng cho học sinh phương pháp vẽ ngay từ năm học lớp 7 để học sinh làm quen và có phương pháp vẽ thêm hình cho phù hợp. VD7: (Bài 38. SGK toán 7- 124) Trên hình vẽ bên có AB // CD, AD // BC. Hãy chứng minh: AB = CD, AD = BC. *Hướng suy nghĩ:: D A C B GV: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau đối với học sinh lớp 7 ta có những cách nào? HS: Ta thường dựa vào chứng minh hia tam giác bằng nhau nhận các đoạn thẳng đó làm cạnh. GV: ? Trong hình vẽ này có hai tam giác chứa hai đoạn đó chưa? vậy chúng ta cần làm như thế nào? HS: Nối A với D hoặc B với C D A C B 2 1 2 1 AB = CD, AC = BD ↑ ∆ ACD = ∆ DBA ↑ VD8:( Bài 65. SBT toán 7-106) Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ đường thẳng song song với BC, chúng cắt AC theo thứ tự tại Mvà N. Chứng minh rằng : DM + EN = BC. * Hướng dẫn học sinh phân tích: E B A D N m c K Rõ rang việc cộn hai đoạn thẳng mà chúng không cùng nằm trên một đường thẳng là rất khó. Hướng suy nghĩ là ta cần phải chia đoạn BC thành hai đoạn thẳng lần lượt bằng DM và EN. Vậy cần tìm vị trí của một điểm, điểm K chẳng hạn nằm trên đoạn BC mà BK = EN và KC = DM Như vậy ta cần kẻ NK // AB (K ∈ BC) 3. Rèn luyện cách trình bày bài toán chứng minh: - Như đã nói ở trên, trong chương trình lớp 7 lần đầu tien học sinh được làm bài toán chứng minh hình học nên việc trình bày lời giải bài toán của học sinh sẽ còn nhiều thiếu sót. Thực tế trong chương trình đã có những bài toán chứng minh mẫu được đưa ra nhưng dưới dạng sắp xếp chưa hoàn chỉnh. Công việc phải làm của học sinh là sắp xếp thành bài toán hoàn chỉnh và thàng một bài toán mẫu để từ đó học sinh hình thành cách trình bày cho ác bài tập sau đó. (Bài 18. SGK-114; bài 26. SGK- 119 ). Theo tôi người thầy cần phải đặc biệt coi trọng các tiết luyện tập để uốn nắn, tập luyện cho học sinh cách trình bày bài toán chứng minh hình học cho chặt chẽ, khoa học: Có khẳng định phải có căn cứ, phải sử dụng các ký hiệu cho đúng… 4. Khai thác bài toán: Trong khi giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản thì việc phát huy tính tích cực học tập của học sinh để mở rộng, khai thác thêm bài toán theo tôi là rất cần thiết, đặc biệt là công tác bồi dường học sinh giỏi. Mặt khác từ kinh nghiệm giải quyết một bài toán, phân tích một bài toán là một cách nâng cao khả năng suy luận, tư duy sâu cho học sinh. VD9: Trở lại VD1(bài 43. SGK-125) x y D C O 1 2 1 1 2 2 E B A Đối với bài toán này còn có thể khai thác thêm: - Nối A với C, B với D. Chứng minh rằng 1)AC ⊥ OE 2) AC// BD hoặc chứng minh rằng OE là đường trung trực của AC hoặc BD. VD10: (Bài 44. SGK-125) Cho tam giác ABC có ∧∧ = CB . Tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Chứng minh rằng: a) ∆ ADB = ∆ ADC; b) AD = AC. D C B A Đối với bài này khi làm xong ta có thể khai thác thêm: Ta còn có thể chứng minh được điều gì? Học sinh phát hiện được AD ⊥ BC. [...]... cú thỏi nghiờm tỳc, say mờ hc tp b mụn B Chun b - Thc thng, thc , compa, mỏy chiu C Tin trỡnh dy hc: A Kim tra: HS1: Phỏt biu trng hp bng nhau th nht ca tam giỏc cnh - cnh - cnh HS 2: Trong mi hỡnh 67, 68, 69 SGK 114 cú nhng tam giỏc no bng nhau? Vỡ sao? B Bi mi: Hot ng c thy v trũ GV a bi lờn mn hỡnh GV hng dn hc sinh v hỡnh trờn mn hỡnh ( Dựng com pa) -V on thng AB - V hai cung trũn tõm A v B... ghi bảng D Hng dn v nh: - Xem li cỏch trỡnh by mt bi tp hỡnh hc - Lm tip cõu 3, 4,5 ca bi tp 18 vo v - Trỡnh by bi 20 vo v C KT QU - Trong chng trỡnh ging dy hc k I va qua tụi ó hng dn cho hc sinh lp 7 A theo chuyờn ny Kt qu cho thy cỏc em cú nhng tin b rừ rt v k nng v hỡnh, kh nng phõn tớch hỡnh v, ý tng tỡm hng gii v k nng trỡnh by bi Mt s em ó tỡm tũi khai thỏc bi toỏn tng i tt Qua ú kớch thớch . GT của bài toán…, B là vấn đề cần chứng minh. VD5: ( Bài 19- sgktoán 7- / 114) Cho hình vẽ sau. Chứng minh rằng · · ) ) a ADE BDE b DAE DBE ∆ = ∆ = * Giải: Đối với bài tập này, sau khi xác định. hướng cho học sinh phương pháp vẽ ngay từ năm học lớp 7 để học sinh làm quen và có phương pháp vẽ thêm hình cho phù hợp. VD7: (Bài 38. SGK toán 7- 124) Trên hình vẽ bên có AB // CD, AD // BC. Hãy. 61.SBT toán 7- 105) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy ( B và C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng. a, ∆ BAD = ∆ ACE b, DE = BD