ôn tập toán 8 - hè 2010 I) Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức: 1. Kiến thức cơ bản: A(B + C) = A. B + A. C (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D 2. Bài tập áp dụng: Bài 1. Làm tính nhân: a) 3x(5x 2 - 2x - 1); b) (x 2 - 2xy + 3)(-xy); c) 1 2 x 2 y(2x 3 - 2 5 xy 2 - 1); d) 2 7 x(1,4x - 3,5y); e) 1 2 xy( 2 3 x 2 - 3 4 xy + 4 5 y 2 ); f)(1 + 2x - x 2 )5x; g) (x 2 y - xy + xy 2 + y 3 ). 3xy 2 ; h) 2 3 x 2 y(15x - 0,9y + 6); Bài 2. Đơn giản biểu thức rồi tính giá trị của chúng. a) 3(2a - 1) + 5(3 - a) với a = 3 2 . b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x) với x = 2,1. c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2 với a = -0,2. d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1) với b = 1 2 Bài 3. Thực hiện phép tính sau: a) 3y 2 (2y - 1) + y - y(1 - y + y 2 ) - y 2 + y b) 2x 2 .a - a(1 + 2x 2 ) - a - x(x + a) c) 2p. p 2 -(p 3 - 1) + (p + 3). 2p 2 - 3p 5 d) -a 2 (3a - 5) + 4a(a 2 - a). Bài 4. Đơn giản các biểu tức: a) (3b 2 ) 2 - b 3 (1- 5b); b) y(16y - 2y 3 ) - (2y 2 ) 2 ; c) (- 1 2 x) 3 - x(1 - 2x - 1 8 x 2 ); d) (0,2a 3 ) 2 - 0,01a 4 (4a 2 - 100). Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. a) x(2x + 1) - x 2 (x + 2) + (x 3 - x + 3) b) x(3x 2 - x + 5) - (2x 3 +3x - 16) - x(x 2 - x + 2) Bài 6. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây bằng 0; a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y) b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x). Bài 7. Thực hiện phép tính: a) (5x - 2y)(x 2 - xy + 1); b) (x - 1)(x + 1)(x + 2); c) 1 2 x 2 y 2 (2x + y)(2x - y); d) ( 1 2 x - 1) (2x - 3); e) (x - 7)(x - 5); f) (x - 1 2 )(x + 1 2 )(4x - 1); g) (x + 2)(1 + x - x 2 + x 3 - x 4 ) - (1 - x)(1 + x +x 2 + x 3 + x 4 ); h) (2b 2 - 2 - 5b + 6b 3 )(3 + 3b 2 - b) i) (4a - 4a 4 + 2a 7 )(6a 2 - 12 - 3a 3 ); Bài 8. Chứng minh: a) (x - 1)(x 2 - x + 1) = x 3 - 1; b) (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 )(x - y) = x 3 - y 3 ; Bài 9. Thực hiện phép nhân: a) (x + 1)(1 + x - x 2 + x 3 - x 4 ) - (x - 1)(1 + x + x 2 + x 3 + x 4 ); b) ( 2b 2 - 2 - 5b + 6b 3 )(3 + 3b 2 - b); c) (4a - 4a 4 + 2a 7 )(6a 2 - 12 - 3a 3 ); d) (2ab + 2a 2 + b 2 )(2ab 2 + 4a 3 - 4a 2 b) e) (2a 3 - 0,02a + 0,4a 5 )(0,5a 6 - 0,1a 2 + 0,03a 4 ). Bài 10. Viết các biểu thức sau dới dạng đa thức: a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a); b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b) c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b) d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x); Bài 11. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến y: a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1); b) y 4 - (y 2 - 1)(y 2 + 1); Bài 12. Tìm x, biết: a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4); b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1) c) 2x 2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1) d) (8 - 5x)(x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2) e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5)=3(x - 1)(x + 2) II) Các hằng đẳng thức đáng nhớ 1) Kiến thức cơ bản: 1. (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 . 2. (A - B) 2 = A 2 - 2.AB + B 2 . 3. A 2 - B 2 = (A - B)(A + B). 4. (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 . 5. (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 . 6. A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 - AB + B 2 ). 7. A 3 - B 3 = (A - B)(A 2 + AB + B 2 ). 2) Bài tập áp dụng: Bài 13. Tính: 1 a) (x + 2y) 2 ; b) (x - 3y)(x + 3y); c) (5 - x) 2 . d) (x - 1) 2 ; e) (3 - y) 2 f) (x - 1 2 ) 2 . Bài 14. Viết các biểu thức sau dới dạng bình phơng của một tổng: a) x 2 + 6x + 9; b) x 2 + x + 1 4 ; c) 2xy 2 + x 2 y 4 + 1. Bài 15. Rút gọn biểu thức: a) (x + y) 2 + (x - y) 2 b) 2(x - y)(x + y) +(x - y) 2 + (x + y) 2 c) (x - y + z) 2 + (z - y) 2 + 2(x - y + z)(y - z). Bài 16. ứng dụmg các hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau; a) (y - 3)(y + 3); b) (m + n)(m 2 - mn + n 2 ); c) (2 - a)(4 + 2a + a 2 ); d) (a - b - c) 2 - (a - b + c) 2 ; e) (a - x - y) 3 - (a + x - y) 3 ; f) (1 + x + x 2 )(1 - x)(1 + x)(1 - x + x 2 ); Bài 17. Hãy mở các dấu ngoặc sau: a) (4n 2 - 6mn + 9m 2 )(2n + 3m) b) (7 + 2b)(4b 2 - 4b + 49); c) (25a 2 + 10ab + 4b 2 )(5a - 2b); d)(x 2 + x + 2)(x 2 - x - 2). Bài 18. Tính giá trị biểu thức: a) x 2 - y 2 tại x = 87 với y = 13; b) x 3 - 3x 2 + 3x - 1 với x = 101; c) x 3 + 9x 2 + 27x + 27 với x = 97; d) 25x 2 - 30x + 9 với x = 2; e) 4x 2 - 28x + 49 với x = 4. Bài 19. Đơn giản các biểu thức sau và tính giá trị của chúng: a) 126 y 3 + (x - 5y)(x 2 + 25y 2 + 5xy) với x = - 5, y = -3; b) a 3 + b 3 - (a 2 - 2ab + b 2 )(a - b) với a = -4, b = 4. Bài 20. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện các phép tính sau: a) (a + 1)(a + 2)(a 2 + 4)(a - 1)(a 2 + 1)(a - 2); b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d); c) (1 - x - 2x 3 + 3x 2 )(1 - x + 2x 3 - 3x 2 ); d) (a 6 - 3a 3 + 9)(a 3 + 3); e) (a 2 - 1)(a 2 - a + 1)(a 2 + a + 1). Bài 21. Tìm x, biết: a) (2x + 1) 2 - 4(x + 2) 2 = 9; b) (x + 3) 2 - (x - 4)( x + 8) = 1 c) 3(x + 2) 2 + (2x - 1) 2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36 d)(x - 3)(x 2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1 e) (x + 1) 3 - (x - 1) 3 - 6(x - 1) 2 = -19. Bài 22. Tính nhẩm theo các hằng đẳng thức các số sau: a) 19 2 ; 28 2 ; 81 2 ; 91 2 ; b) 19. 21; 29. 31; 39. 41; c) 29 2 - 8 2 ; 56 2 - 46 2 ; 67 2 - 56 2 ; Bài 23. Chứng mih các hằng đẳng thức sau: a) a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab; b) a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ) 2 - 2a 2 b 2 c) a 6 + b 6 = (a 2 + b 2 )[(a 2 + b 2 ) 2 - 3a 2 b 2 ] d) a 6 - b 6 = (a 2 - b 2 )[(a 2 + b 2 ) 2 - a 2 b 2 ]. Các bài toán nâng cao Bài 24. Cho (a + b) 2 = 2(a 2 + b 2 ). Chứng minh rằng a = b. Bài 25. Cho a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng a = b =c. Bài 26. Cho ( a + b + c) 2 = 3(ab + bc + ca). Chứng minh rằng a = b = c. Bài 27. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn luôn có giá trị dơng với mọi giá trị của biến. a) 9x 2 - 6x +2; b) x 2 + x + 1; c) 2x 2 + 2x + 1. Bài 28. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) A = x 2 - 3x + 5; b) B = (2x -1) 2 + (x + 2) 2 ; Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 4 - x 2 + 2x; b) B = 4x - x 2 ; Bài 30. Cho x + y = 2; x 2 + y 2 = 10. Tính giá trị của biểu thức x 3 + y 3 . Bài 31. Cho x + y = a; xy = b. Tính giá trị của các biểu thức sau theo a và b: a) x 2 + y 2 ; b) x 3 + y 3 ; c) x 4 + y 4 ; d) x 5 + y 5 ; Bài 32. a) cho x + y = 1. Tính giá trị biểu thức: x 3 + y 3 + 3xy. b) cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x 3 - y 3 - 3xy. Bài 33. Cho a + b = 1. Tính giá trị của các biểu thức sau: M = a 3 + b 3 + 3ab(a 2 + b 2 ) + 6a 2 b 2 (a + b). Bài 34. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = (3x + 1) 2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5) 2 ; b) B = (3 + 1)(3 2 + 1)(3 4 + 1)(3 8 + 1)(3 18 + 1)(3 32 + 1); c) C = (a + b - c) 2 + (a - b + c) 2 - 2(b - c) 2 ; d) D = (a + b + c) 2 + (a - b - c) 2 + (b - c - a) 2 + (c - b - a) 2 ; e) E = (a + b + c + d) 2 + (a + b - c - d) 2 + (a + c - b - d) 2 + (a + d - b - c) 2 ; g) G = (a + b + c) 3 - (b + c - a) 3 - (a + c - b) 3 + (a + b - c) 3 ; h) H = (a + b) 3 + (b + c) 3 + (c + a) 3 - 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 35. Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 +(b + c) 2 + (c + a) 2 ; 2 b) (a + b + c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 = 3(a + b)(b + c)(c + a). Bài 36. Cho a + b + c = 0. chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. III. Phân tích đa thức thành nhân tử 1. Các ph ơng pháp cơ bản: 1. Phơng pháp đặt nhân tử chung: 2. Phơng pháp dung hằng đẳng thức: 3. Phơng pháp nhóm các hạng tử: 4. Phơng pháp nhóm các hạng tử: 5. Phơng pháp phối hợp nhiều phơng pháp 2. Bài tập áp dụng: Bài 37. Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x 2 - 9; b) 4x 2 - 25; c) x 6 - y 6 d) 9x 2 + 6xy + y 2 ; e) 6x - 9 - x 2 ; f) x 2 + 4y 2 + 4xy g) 25a 2 + 10a + 1; h)10ab + 0,25a 2 + 100b 2 i) 9x 2 -24xy + 16y 2 j) 9x 2 - xy + 1 36 y 2 k) (x + y) 2 - (x - y) 2 l)(3x + 1) 2 - (x + 1) 2 Bài 38. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 + 8; b) 27x 3 -0,001 c) x 6 - y 3 ; d)125x 3 - 1 e) x 3 -3x 2 + 3x -1; f) a 3 + 6a 2 + 12a + 8 Bài 39. Tính nhanh: a) 25 2 - 15 2 ; b) 87 2 + 73 2 - 27 2 - 13 2 c) 73 2 - 27 2 ; d) 37 2 - 13 2 e) 2009 2 - 9 2 Bài 40. Tìm x, biết a) x 3 - 0,25x = 0 b) x 2 - 10x = -25 c) x 2 - 36 = 0 d) x 2 - 2x = -1 e) x 3 + 3x 2 = -3x - 1 Bài 41. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x 8 - 12x 4 + 18; b) a 4 b + 6a 2 b 3 + 9b 5 ; c) -2a 6 - 8a 3 b - 8b 2 ; d) 4x + 4xy 6 + xy 12 . Bài 42.Chứng minh rằng các đa thức sau chỉ nhận những giá trị không âm a) x 2 - 2xy + y 2 + a 2 ; b) x 2 + 2xy + 2y 2 + 2y + 1; c) 9b 2 - 6b + 4c 2 + 1; d) x 2 + y 2 +2x + 6y + 10; Bài 43. Chứng minh rằng các đa thức sau không âm với bất kì giá trị nào của các chữ: a) x 2 + y 2 - 2xy + x - y + 1 b) 2x 2 + 9y 2 + 3z 2 + 6xy - 2xz + 6yz c) 8x 2 + y 2 + 11z 2 + 4xy - 12 xz - 5yz d) 5x 2 + 5y 2 + 5z 2 + 6xy - 8xz - 8yz Bài 44.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 2 - xy + x - y; b) xz + yz - 5(x + y) c) 3x 2 -3xy - 5x + 5y. d) x 2 + 4x - y 2 + 4; e) 3x 2 + 6xy + 3y 2 - 3z 2 ; f) x 2 -2xy + y 2 - z 2 + 2zt - t 2 ; g) x 2 - x - y 2 - y; h) x 2 - 2xy + y 2 - z 2 ; i) 5x - 5y + ax - ay; j) a 3 - a 2 x - ax + xy; k) 7a 2 -7ax - 9a + 9x; l) xa - xb + 3a - 3b; Bài 45.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử; a) ma - mb + na - nb -pa + pb; b) x 2 + ax 2 -y - ax +cx 2 - cy; c) ax - bx - cx + ay - by - cy; d) ax 2 + 5y - bx 2 + ay + 5x 2 - by; Bài 46.Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 + y 3 + 2x 2 -2xy + 2y 2 ; b) a 4 + ab 3 - a 3 b - b 4 ; c) a 3 - b 3 + 3a 2 + 3ab + 3b 2 ; c) x 4 + x 3 y - xy 3 - y 4 ; Bài 47.Phân tích đa thức thành nhân tử. a) 70a - 84b - 20ab - 24b 2 ; b) 12y - 9x 2 + 36 - 3x 2 y; c) 21bc 2 - 6c - 3c 3 +42b; d) 30a 3 - 18a 2 b - 72b + 120a. Bài 48.Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x 3 + 3x 2 y + x +3x 2 y + y + y 3 ; b) x 3 + y(1 - 3x 2 ) + x(3y 2 - 1) - y 3 ; c) 27x 3 + 27x 2 + 9x +1 + x + 1 3 ; d) x(x + 1) 2 + x(x - 5) - 5(x +1) 2 . Bài 49. Tìm x, biết: a) x 3 + x 2 + x + 1 = 0; b) x 3 - x 2 - x + 1 = 0; c) x 2 - 6x + 8 = 0; d) 9x 2 + 6x - 8 = 0. e) x(x - 2) + x - 2 = 0; f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0. Bài 50.Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức sau; a) x 2 - 2xy - 4z 2 + y 2 tại x = 6; y = -4; z = 45. b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4) 2 + 48 tại x = 0,5 Bài 51.Tính nhanh : a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5; b) 45 2 + 40 2 - 15 2 + 80.45. Bài 52.Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x 3 - 2x 2 + x; b) 2x 2 + 4x + 2 - 2y 2 ; c) 2xy - x 2 - y 2 + 16; d) a 4 + a 3 + a 3 b + a 2 b e) a 3 + 3a 2 + 4a + 12; f) a 3 + 4a 2 + 4a + 3; g) x 2 y + xy 2 + x 2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 + 2xyz; h) a 2 + b 2 + 2a - 2b - 2ab; i) 4a 2 - 4b 2 - 4a + 1; j) a 3 + 6a 2 + 12a + 8; k) (a + b + c) 3 - (a + b - c) 3 - ( a - b + c) 3 - (-a + b +c) 3 . Bài 53.Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 a) (2x + 3y) 2 - 4(2x + 3y); b) (x + y) 3 - x 3 - y 3 ; c) (x - y + 4) 2 - (2x + 3y - 1) 2 ; d) (a 2 + b 2 - 5) 2 - 4(ab + 2) 2 . e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b); f) 2a 2 b + 4ab 2 - a 2 c + ac 2 - 4b 2 c + 2bc 2 - 4abc; g) y(x - 2z) 2 + 8xyz + x(y - 2z) 2 - 2z(x + y) 2 ; h) x 5 - 5x 3 + 4x; i) x 3 - 11x 2 + 30x; j) 4x 4 - 21x 2 y 2 + y 4 ; k) x 3 + 4x 2 - 7x - 10; l) (x 2 + x) 2 - (x 2 + x) + 15; n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x 2 + 8x + 7)(x 2 + 8x + 15) + 15; o) (x 2 + 3x + 1)(x 2 + 3x + 2) - 6. Bài 54.Tìm x, biết. a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x 2 - 5x = 0; c) x 3 - 1 4 x = 0; d) (2x - 1) 2 - (x + 3) 2 = 0 e) x 2 (x - 3) +12 - 4x =0. Bài 55.Tính nhanh giá trị biểu thức: a) x 2 + 1 2 x + 1 16 tại x = 49,75; b) x 2 - y 2 - 2y - 1 tại x = 93 và y = 6. 3. Một số ph ơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử. a. Phơng pháp tách một số hạng thành nhiều số hạng khác. PP1: Đa thức dạng f(x) = ax 2 + bx + c. - Bớc 1: Tìm tích ac. - Bớc 2: Phân tích a.c ra tích của hai thứa số nguyên bằng mọi cách. - Bớc 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Bài tập: Bài 56. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 4x 2 - 4x - 3; b) x 2 - 4x + 3; c) x 2 + 5x + 4; d) x 2 - x - 6; e) x 2 + 8x + 7; f) x 2 - 13 x + 36; g) x 2 +3x - 18; h) x 2 - 5x - 24; i) 3x 2 - 16x + 5; j) 8x 2 + 30x + 7; k) 2x 2 - 5x - 12; l) 6x 2 - 7x - 20. PP2: Đa thức từ bậc ba trở lên ngời ta dùng phơng pháp tìm nghiệm của đa thức. a) Chú ý: nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì nó chứa thừa số x - a. Trong đó a là ớc số của a n, , với f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + + a n-1 + a n . b) Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x 3 - x 2 - 4. Lần lợt kiểm tra với x = 1, 2, 4, ta thấy f(2) = 2 3 - 2 2 - 4 = 0. Đa thức có nghiệm x =2, do đó chứa thừa số x - 2. Ta tách nh sau: Cách 1: x 3 - x 2 - 4 = x 3 - 2x 2 + x 2 - 2x + 2x - 4 = x 2 (x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x 2 + x + 2). Cách 2: x 3 - x 2 - 4 = x 3 - 8 - x 2 + 4 = (x - 2)(x 2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2) = (x - 2)(x 2 + 2x + 4 - x - 2) = (x - 2)(x 2 + x + 2). PP3: Phơng pháp đặt ẩn phụ: Khi một đa thức phức tạp, hoặc có bậc cao, ta có thể đặt ẩn phụ nhằm giảm bậc của đa thức để phân tích. Ví dụ. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) f(x) = (x 2 + x + 1)(x 2 + x + 2) - 12. b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24. HD: a) Đặt y = x 2 + x + 1, khi đó đa thức f(x) = y(y + 1) - 12 = y 2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4) Thay ngợc trở lại y = x 2 + x + 1 vào đa thức f(x) ta đợc: f(x) = (x 2 + x + 1 - 3)(x 2 + x + 1 + 4) = (x 2 + x + 5)(x 2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x 2 + x + 5) b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24 = (x 2 + 5x + 4)(x 2 + 5x + 6) - 24 = y(y + 2) - 24với y = x 2 + 5x + 4 = y 2 + 2y - 24 = (y - 4)(y + 6) Thay ngợc trở lại y = x 2 + 5x + 4 ta đợc f(x) = (x 2 + 5x + 4 - 4)(x 2 + 5x + 4 + 6) = (x 2 +5x)(x 2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x 2 + 5x + 10) PP4: Phơng pháp thêm, bớt một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu hai bình phơng. *) Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x 8 + x 4 + 1 b) x 4 + 4 HD: a) x 8 + x 4 + 1 = x 8 + 2x 4 + 1 - x 4 = (x 4 + 1) 2 - x 4 = (x 4 + x 2 +1)(x 2 - x 2 + 1) = [(x 4 + 2x 2 + 1) - x 2 ][(x 4 + 2x 2 + 1) - 3x 2 ] = [(x 2 + 1) 2 - x 2 ][(x 2 + 1) 2 - ( 3 x) 2 ] = (x 2 +1 - x)(x 2 + 1 - 3 x)(x 2 + 1 + x)(x 2 + 1 + 3 x) *) Bài tập áp dụng : Bài 57.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) f(x) = x 4 + 324 b) f(x) = x 8 + 1024; c) f(x) = x 8 + 3x 4 + 4 Các bài tập áp dụng của các dạng trên. Bài 58.Phân tích ra thừa số nguyên tố 4 a) 6x 2 - 11x + 3; b) 2x 2 + 3x - 27; c) 2x 2 - 5xy + 3y 2 ; d) 2x 2 -5xy - 3y 2 . Bài 59.Phân tích ra thừa số nguyên tố: a) x 3 + 2x - 3; b) x 3 - 7x + 6; c) x 3 + 5x 2 + 8x + 4; d) x 3 - 9x 2 + 6x + 16; e) x 3 - x 2 - 4; f) x 3 - x 2 - x - 2; g) x 3 + x 2 - x + 2; h) x 3 - 6x 2 - x + 30. Bài 60.Phân tích đa thức thành nhân tử: a) 27x 3 - 27x 2 + 18x - 4; b) 2x 3 - x 2 + 5x + 3. IV. chia đơn thức cho đơn thức, đa thức cho đơn thức: Bài 61. Làm phép tính chia: a) 100 15 : 100 12 ; b) (-79) 33 : (- 79) 32 ; c) 16 14 1 1 : 2 2 ữ ữ ; d) 21 18 3 3 : 5 5 ữ ữ . Bài 62.Chia các đơn thức: a) -21xy 5 z 3 : 7xy 2 z 3 ; b) ( 1 2 a 3 b 4 c 5 ) : 3 2 a 2 bc 5 ; c) x 2 yz : xyz; d) x 3 y 4 : x 3 y; e) 18x 2 y 2 z : 6xyz; f) 5a 3 b : (-2a 2 b); g) 27x 4 y 2 z : 9x 4 y; h) 9x 2 y 3 : (-3xy 2 ); i) ( 3 4 m 2 n 4 ) : 1 2 m 2 n 2 ; j) 5x 4 y 3 z 2 : 3xyz 2 ; k) (-7a 3 b 4 c 5 ) : (-21b 3 c 2 ); l) 3 2 (a - b) 5 : 1 2 (b - a) 2 ; n) (x + y) 2 : (x + y); m)(x - y) 5 : (y - x) 4 ; o) (x - y +z) 4 : (x - y + z) 3 ; ơ) 0,5a m b n c 3 : ( 2 3 a 2 bc); p) 1,8a n+3 b n+2 c n +1 : (-0,9a n+1 b n-1 c). Bài 63. Tính giá trị của biểu thức sau: A = (-x 2 y 5 ) 2 : (-x 2 y 5 ) tại x = 1 2 và y = -1. Bài 64. Thực hiện phép chia: a) (xy 2 - 4 3 x 2 y 3 + 6 5 x 3 y 2 ) : 2xy; b) (x 3 - 3x 2 y +5xy 2 ) : ( 1 3 x); c) ( 3 4 a 3 b 6 c 2 + 6 5 a 4 b 3 c - 9 10 a 5 b 2 c 3 ) : 3 5 a 3 bc; d) [3(a - b) 5 - 6(a - b) 4 + 21(b - a) 3 + 9(a - b) 2 ] : 3(a - b) 2 e) (u 4 - u 3 v + u 2 v 2 - uv 3 ) : (u 2 + v 2 ). Bài 66. Thực hiện phép tính: a) (7. 3 5 - 3 4 + 3 6 ) : 3 4 b) (16 3 - 64 2 ) : 8 3 ; Bài 67. Làm tính chia: a) (5x 4 - 3x 3 + x 2 ) : 3x 2 b) (5xy 2 + 9xy - x 2 y 2 ): (-xy); c) (x 3 y 3 - 1 2 x 2 y 3 - x 3 y 2 ) : 1 3 x 2 y 2 d) (24x 4 y 3 - 40x 5 y 2 - 56x 6 y 3 ) : (-24x 4 y 2 ); e) [a 3 - (4a 6 + 6a 5 - 9a 4 ) : 6a 2 ].(1,5a 2 + 2 3 a 4 ) f) [(3x 2 y - 6x 3 y 2 ) : 3xy + (3xy - 1)x] 2 : 0,5x 2 . g) [7(a - b) 5 + 5(a - b) 3 ] : (b - a) 2 h) [7(a - 3b) 3 + (a - 3b)] : (2a - 6b) i) (x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) : (2x + 2y) V . phân thức đại số: 1) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng A B , trong đó A, B là những đa thức, B là đa thức khác đa thức 0 2) Hai phân thức bằng nhau: Với hai phân thức A B và C D , ta nói A B = C D nếu A.D = B.C 3) Tính chất: Tính chất 1: . . A A M B B M = (M là đa thức khác đa thức 0). Tính chất 2: : : A A M B B M = (M là nhân tử chung khác 0). 5 4) Quy tắc đổi dấu: A A B B = . Bài tập: Bài 68.Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: a) 2 3 3 4 7 5 35 x y x y xy = ; b) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x x x x x x + = + + ; c) 2 2 3 6 9 3 9 x x x x x + = + ; d) 3 2 4 2 10 5 5 x x x x x = ; Bài 69.Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau. a) 2 2 6 3 2 1 4 1 A x x x x + = ; b) 2 4 3 7 4 7 2 3 x x x A x = + ; Bài 70.Tìm tập xác định của các phân thức sau: a) 3 5 2x + b) 2 2 3 6 9 x x x + + c) 2 3 x x x+ d) 2 2 1 3 2 x x x + + Bài 71.Tìm các giá trị của biến để các biểu thức sau bằng 0. a) 2 3 1 5 x x b) 2 2 1 x x x + c) 2 2 3 2 1 x x x + + d) 2 2 2 4 4 x x x x + Bài 72. Các phân thức sau có bằng nhau không ? a) 3 3 3 x y xy và 2 x y ; b) 2 2 x x y+ và 2 2 2 x x y+ ; Bài 73. Rút gọn các phân thức sau: a) 5 2 2 14 (2 3 ) 21 (2 3 ) xy x y x y x y ; b) 3 3 8 (3 1) 12 (1 3 ) xy x x x ; c) 2 2 20 45 (2 3) x x + ; d) 2 3 5 10 2(2 ) x xy y x ; e) 3 80 125 3( 3) ( 3)(8 4 ) x x x x x ; f) 2 2 9 ( 5) 4 4 x x x + + + ; g) 2 3 3 32 8 2 64 x x x x + + ; h) 3 4 5 5 1 x x x + ; i) 2 2 5 6 4 4 x x x x + + + + . J) 2 3 10 ( ) 15 ( ) xy x y xy x y + + ; Bài 74.Chứng minh các đẳng thức sau: a) 2 2 3 2 2 2 2 2 2 x y xy y xy y x xy y x y + + + = + ; b) 2 2 3 2 2 3 3 2 1 2 2 x xy y x x y xy y x y + + = + . Bài 75.Tính giá trị của các biểu thức sau: a) 4 4 2 2 ax a x a ax x + + với a = 3, x = 1 3 ; b) 3 2 3 6 4 x x x x x + với x = 98 c) 3 3 5 3 3 x x x x + + với x = 1 2 ; d) 4 3 2 3 2 2 x x x x với x = 1 2 ; e) 2 2 10 5 16 8 ab a b ab với a = 1 6 , b = 1 7 ; f) 7 15 8 1a a a + + với a = 0,1; g) 2 2 2 4 0,2 0,8 x y x y với x + 2y = 5; h) 2 2 9 1,5 4,5 x y x y + với 3x - 9y = 1. Bài 76. Cho 3a 2 + 3b 2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = a b a b + . Bài 77. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. a) 2 2 ( )( ) x y x y ay ax + ; b) 2 2 3 3 4 6 6 6 ax x y ay ax x y ay + + + + ; 6 Bài 78.Tính giá trị của phân thức A = 3 2 3 2 x y x y + , biết rằng 9x 2 + 4y 2 = 20xy, và 2y < 3x <0. HD Ta có A 2 = 2 2 2 2 9 4 12 20 12 8 1 9 4 12 20 12 32 4 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy + = = = + + + Do 2y < 3x < 0 3 2 0,3 2 0 0x y x y A > + < < . vậy A = 1 2 . Bài 79. Rút gọn biểu thức: P = 4 4 4 4 4 4 4 4 (1 4)(5 4)(9 4) (21 4) (3 4)(7 4)(11 4) (23 4) + + + + + + + + . HD: Xét n 4 + 4 = (n 2 + 2) 2 - 4n 2 = (n 2 +2n + 2)(n 2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] Do đó P = ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1 (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577 + + + + + + + ì ì ì = = + + + + + + + VI. Quy đồng mẫu thức. 1) Tìm mẫu thức chung của nhiều phân thức: - Phân tích các mẫu thành nhâ tử (nếu cần). - Lập tích các nhân tử bằng số và chữ: +) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu. +) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất. 2) Bài tập áp dụng Bài 80. Quy đông mẫu thức các phân thức sau. a) 2 2 7 1 5 3 , 2 6 9 x x x x x + ; b) 2 2 1 2 , 2 4 2 x x x x x x + + + ; c) 2 3 2 4 3 5 2 6 , , 1 1 1 x x x x x x x + + + ; d) 2 2 7 4 , , 5 2 8 2 x y x x y y x ; Bài 81. Quy đồng mẫu thức các phân thức: a) 3 2 2 2 , , a x b x b a axb a xb axb + + ; b) 2 2 2 2 1 2 , 4 4 2 x x a x ax a x ax + + + ; c) 2 2 2 2 , 6 2 3 4 4 a x a x x ax a x ax a + + ; d) 2 2 2 , a b a c a bc ac ab a bc ac b + + + ; e) 3 2 2 2 1 , , 27 6 9 3 9 x x x x x x x x + + + + ; f) 2 2 2 2 2 1 , , 3 2 2 5 3 2 7 6 x x x x x x x x x + + + + + . Bài 82. Cho biểu thức B = 2x 3 + 3x 2 - 29x + 30 và hai phân thức 2 2 2 , 2 7 15 3 10 x x x x x x + + + a) Chia đa thức B lần lợt cho các mẫu của hai phân thức đã cho. b) Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho. Bài 83. Cho hai phân thức: 2 2 1 2 , 4 5 2 3x x x x . Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức x 3 - 7x 2 + 7x + 15 làm mẫu thức cung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức. VII. Phép cộng các phân thức đai số. 1) Cộng hai phân thức cùng mẫu: Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu 2) Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau: - Quy đồng mẫu thức các phân thức. - Cộng hai phân thức cùng mẫu (sau khi đã quy đồng). 3) Bài tập áp dụng: Bài 84. Cộng các phân thức cùng mẫu thức: a) 3 3 3 1 2 3 2 2 4 6 6 6 x y x x y x y x y + + + ; b) 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) x x x x x x + ; c) 2 2 2 3 1 6 3 1 3 1 x x x x x x x + + + + ; d) 2 2 2 2 38 4 3 4 2 2 17 1 2 17 1 x x x x x x x x + + + + + + + . Bài 85. Cộng các phân thức khác mẫu thức: a) 2 2 5 7 11 6 12 18x y xy xy + + ; b) 3 2 3 4 2 5 3 1 15 9 5 x y x x y x y xy + + + + ; c) 2 3 3 3 3 2 2 2 1 2 4 x x x x x x + + ; d) 3 3 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x x + + + + + + ; 7 e) 2 2 4 2 2 y x x xy y xy + ; f) 2 2 1 3 14 2 4 ( 4 4)( 2) x x x x x x + + + + + ; g) 1 1 2 ( 2)(4 7)x x x + + + + ; h) 1 1 1 3 ( 3)( 2) ( 2)(4 7)x x x x x + + + + + + + ; Bài 86. Dùng quy tắc đổi dấu để tìm mẫu thức chung rồi thực hiện phép cộng. a) 2 4 2 5 6 2 2 4 x x x x + + + ; b) 2 1 3 3 2 3 2 2 2 1 2 4 x x x x x x x + + ; c) 2 2 2 1 1 6 9 6 9 9 x x x x x x + + + + ; d) 2 3 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x + + + + + ; e) 2 2 4 2 2 4 x x xy x y x y y x + + + . Bài 87. Cộng các phân thức: a) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )x y y z y z z x z x x y + + ; b) 4 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( )y x z x y x y z y z x z + + ; c) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )x x y x z y y x y z z z x z y + + ; d) 4 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( )a x c x a x a c a c x c + + ; e) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )a a b a c b b a b c c c a c b + + . Bài 88. Làm tính cộng các phân thức. a) 11 13 15 17 3 3 4 4 x x x x + + + ; b) 2 2 2 2 2 1 32 1 2 2 1 4 2 x x x x x x x x + + + + ; c) 2 2 3 1 1 2 1 1 x x x x x x + + + + ; d) 4 3 2 1 1 x x x x x + + + + ; e) 2 2 3 5 3 2 5 x x y xy y + + ; f) 1 2 3 2 6 ( 3) x x x x x + + + + + ; g) 2 3 5 25 5 25 5 x x x x x + + ; h) 4 2 2 1 1 1 x x x + + + ; i) 2 3 2 4 3 17 2 1 6 1 1 1 x x x x x x x + + + + + ; Bài 89. Cho hai biểu thức: A = 1 1 5 5 ( 5) x x x x x + + + + , B = 3 5x + Chứng tỏ rằng A = B. Bài 90. Tính giá trị của biểu thức : a) A = 3 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x + + + + với x = 10; b) B = 4 3 2 2 1 x x x x x + + + + với x = -99 Bài 91. Tìm các số a và b sao cho phân thức 2 3 5 3 2 x x x + viết đợc thành 2 2 ( 1) a b x x + + HD: Dùng một trong hai phơng pháp (hệ số bất định hoặc xét giá trị riêng) để tìm a và b sau khi quy đồng. Bài 92. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x a) x y y z z x xy yz zx + + ; b) ( )( ) ( )( ) ( )( ) y z x x y y z y z z x z x x y + + . Bài 93. Cộng các phân thức : 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )b c a ac b bc c a b ab c ac a b c bc a ab + + + + + . 8 (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1980) Bài 94. Rút gọn biểu thức : A = 2 4 8 1 1 2 4 8 1 1 1 1 1x x x x x + + + + + + + + . Bài 95. Chứng minh hằng đẳng thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 5 3 9 6 9 3 3 a ab a ab b a an ab bn a b ab a b bn a an ab + + + + + = + . VIII. Phép trừ các phân thức đại số. 1) Phân thức đối: - Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. - Công thức: A A B B = và A A B B = . 2) Phép trừ: - Quy tắc: Muốn trừ phân thức A B cho phân thức C D , ta cộng A B với phân thức đối của C D - Công thức: A C A C B D B D = + 3) Bài tập áp dụng: Bài 96. Làm tính trừ các phân thức: a) 3 2 7 4 2 2 x x xy xy ; b) 3 3 3 5 5 15 4 4 x x x y x y + ; c) 4 7 3 6 2 2 2 2 x x x x + + + + ; d) 2 2 9 5 5 7 2( 1)( 3) 2( 1)( 3) x x x x x x + + + ; e) 2 2 2 2 2 xy x x y y x ; f) 2 2 2 2 5 5x y y x x y xy + ; g) 5 5 10 10 x x x x + ; h) 2 2 9 3 9 3 x x x x + + ; i) 2 3 6 2 6 2 6 x x x x + + ; j) 4 2 2 2 3 2 1 1 x x x x + + ; k) 2 1 1 2 (1 ) 3 3 9 x x x x x x x + + ; l) 2 2 3 1 1 3 ( 1) 1 1 x x x x x + + + + ; n) 2 2 2 5 4 3 3 2 6 9 x x x x + ; m) 2 2 2 3 2 6 3 2 2 1 1 2 1 x x x x x x x + + + + . Bài 97. Rút gọn các biểu thức : a) 2 3 2 3 5 1 1 3 1 1 1 x x x x x x x + + + + ; b) 2 2 3 1 2 1 1 1 x x x x + + + + ; c) 2 7 36 6 6 x x x x x + + + . Bài 98. Thực hiện phép tính: a) 1 2 3 ( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 1)x x x x x x + ; b) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) A a a b a c b b a b c a c c b = + . Bài 99. Tính giá trị của các biểu thức: a) A = 2 2 3 1 2 1 1 1 x x x x + + + + với x = 99; b) B = 2 2 1 1 2 2 4 2 4 2 1 4 x x x x x + + + với x = 1 4 . Bài 100. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào các biến x, y, z. ( )( ) ( )( ) ( )( ) x z x y y z x y y z x z y z x y x z + + + . Bài 101. Thực hiện phép tính : a) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) A a b a c b a b c c a c b = + + ; 9 b) 1 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) B a a b a c b b a b c c c a c b = + + ; c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) bc ac ab C a b a c b a b c c a c b = + + ; d) 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c D a b a c b a b c c a c b = + + ; Bài 102. Cho 3y - x = 6. Tính giá trị của biểu thức : A = 2 3 2 6 x x y y x + . HD : A = 3 6 2 ( 6) 3 1 4 2 6 y x x y x + + = + = . Bài 103. Tìm x, y, z biết : 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 x y z x y z+ + + + = . HD: Từ 2 2 2 2 2 2 2 3 4 5 x y z x y z+ + + + = suy ra : 2 2 2 2 2 2 0 2 5 3 5 4 5 x x y y z z + + = ữ ữ ữ 2 2 2 3 2 1 0 0. 10 15 20 x y z x y z + + = = = = Bài 104. Tìm x, y biết: 2 2 2 2 1 1 4x y x y + + + = . HD Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 2 0 0x y x y x y x y x y x y + + + = + + + = + = ữ ữ ữ ữ ữ ữ 2 2 1 1 1 1 x x x y y y = = = = Có bốn đáp số nh sau: x 1 1 -1 -1 y 1 -1 1 -1 Bài 105. Cho biết : 1 1 1 2 a b c + + = (1), 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = (2). Chứng minh rằng a + b + c = abc. HD Từ (1) suy ra : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab ac bc + + + + + = ữ Do (2) nên : 1 1 1 1 1 a b c a b c abc ab ac bc abc + + + + = = + + = Bài 106. Cho 0 x y z a b c + + = (1) , 2 a b c x y z + + = (2). Tính giá trị biểu thức: 2 2 2 2 2 2 a b c x y z + + . HD Từ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0 (3) Từ (2) suy ra : 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c ab ac bc x y z xy xz yz + + + + + = ữ Do đó : 2 2 2 2 2 2 4 2 4 a b c abz acy bcx x y z xyz + + + + = = Bài 107. Cho (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 và a, b, c khác 0. CMR: 3 3 3 1 1 1 3 a b c abc + + = . HD Từ giả thiết suy ra : ab + bc + ca = 0. Do đó : 1 1 1 0 0 ab bc ca abc a b c + + = + + = 10 [...]... = 0 thì x3 + y3 + z3 = 3xyz a b c b c a Bài 1 08 Cho + + = + + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau b c a a b c HD Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a 2 (c b) a (c 2 b 2 ) + bc(c b) = 0 (c b)(a 2 ac ab + bc) = 0 (c b)(a b)(a c) = 0 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0 Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau Bài... 0 Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau Bài 109 Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị nguyên : 3 2 5 a) A = 2 x 6 x + x 8 ; (ĐS : A = 2 x 2 + 1 x { 2; 2; 4 ;8} ) x 3 x3 4 3 2 3 x { 0; 2} ) b) B = x 2 x2 3 x + 8 x 1 ; (ĐS : B = x 2 4 + ( x 1) 2 x 2x +1 4 3 2 2 c) C = x + 3x +22 x + 6 x 2 (ĐS : C = x 2 + 3 x 2 x { 0} x +2 x +2 Bài tập tổng hợp: 3 2 Bài . c a b ab c ac a b c bc a ab + + + + + . 8 (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1 980 ) Bài 94. Rút gọn biểu thức : A = 2 4 8 1 1 2 4 8 1 1 1 1 1x x x x x + + + + + + + + . Bài 95. Chứng. 3 3 8 (3 1) 12 (1 3 ) xy x x x ; c) 2 2 20 45 (2 3) x x + ; d) 2 3 5 10 2(2 ) x xy y x ; e) 3 80 125 3( 3) ( 3) (8 4 ) x x x x x ; f) 2 2 9 ( 5) 4 4 x x x + + + ; g) 2 3 3 32 8 2 64 x. 3x 2 = -3x - 1 Bài 41. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2x 8 - 12x 4 + 18; b) a 4 b + 6a 2 b 3 + 9b 5 ; c) -2a 6 - 8a 3 b - 8b 2 ; d) 4x + 4xy 6 + xy 12 . Bài 42.Chứng minh rằng các đa