LÊ NGUYÊN THẠCH TUYỂN CHỌN 100 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TẬP 3(31-40) THANH HÓA, THÁNG 09 - 2014 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh thân mến! Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học là một quá trình hết sức quan trọng. Cuốn sách Tuyển tập “100 ĐỀ TOÁN LUYỆN THI VÀO ĐẠI HỌC” do thầy tổng hợp và biên soạn từ nhiều đề thi thử Đại học trong cả nước với nhiều đề thi hay để giúp các em hệ thống lại kiến thức và chuyên đề đã được học, rèn luyện kĩ năng giải toán tạo nền tảng kiến thức tốt nhất cho kỳ thi Đại học sắp tới. Nội dung sách được viết trên tinh thần đổi mới ,cách giải trình bày chi tiết, rõ ràng phù hợp theo quan điểm ra đề và chấm thi của Bộ Giáo dục và Đào tạo rất phù hợp để các em tự ôn luyện. Toán là môn khoa học trừu tượng với phạm vi ứng dụng rộng rãi trong mọi hoạt động của con người. Để học toán tốt trước hết rất cần sự tỉ mỉ, cần cù, nỗ lực phấn đấu. Bên cạnh đó phương pháp học cũng rất quan trọng, nên đi từ cái dễ và cơ bản tới cái khó hơn với một tư duy logic. Tiếp xúc một bài toán không chỉ dừng lại ở cách giải thông thường mà nên suy nghĩ, áp dụng nhiều hướng và cách giải khác nhau. Sau mỗi bài toán nên rút ra cho mình những điểm chú ý quan trọng. Cuối cùng thầy chúc tất cả các em luôn có được SỨC KHỎE, NIỀM VUI, SỰ ĐAM MÊ, và THÀNH CÔNG trong các kỳ thi sắp tới! Thanh hóa.Tháng 9 năm 2014 Tác giả ĐỀ SỐ 31 Câu 1.(2,0 điểm). Cho hàm số 2 4 ( ) 1 x y C x − = + . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M. Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tanx 4 x x π   − = −  ÷   . 2. Giải bất phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1x x x x+ + > + − Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân: 2 3 1 ln 2 ln e x x I dx x + = ∫ . Câu 4.(1,0 điểm): 1. Cho tập { } 0;1;2;3;4;5A = , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiêu gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3. 2. Tính tổng: 1 3 5 2013 2014 2014 2014 2014 A C C C C= − + − + Câu 5.(1,0 điểm) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + 9 = 0. Câu 6.(1,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng ∆: x y z1 1 2 1 2 + − = = − . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng ∆ tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất. Câu 7.(1,0 điểm). Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và mp(A’BC). Tính tan α và thể tích chóp A’.BCC’B’. Câu 8.(1,0 điểm) :Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 xy x y x y x y x y  + + =  +   + = −  Câu 9: (1,0 điểm) Cho 0, 0, 1x y x y > > + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 x y T x y = + − − LỜI GIẢI Câu 1: Cho hàm số 2 4 ( ) 1 x y C x − = + . 1(1,0điểm).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 4 ( ) 1 x y C x − = + . -Tập xác định: R\{-1} - ( ) 1 lim 1 x y x ± → − = ∞ → = − m là tiệm cận đứng - lim 2 2 x y y →±∞ = → = là tiệm cận ngang -Sự biến thiên: ( ) 2 6 ' 0 1 1 y x x = > ∀ ≠ − + . Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của hàm số. -Bảng biến thiên -Đồ thị 2.(0,5 điểm). Tìm cặp điểm đối xứng….(1,0 điểm) Gọi ( ) 2 4 ; 1 1 a M a C a a −   ∈ ≠ −  ÷ +   Tiếp tuyến tại M có phương trình: ( ) ( ) 2 6 2 4 1 1 a y x a a a − = − + + + Giao điểm với tiệm cận đứng 1x = − là 2 10 1; 1 a A a −   −  ÷ +   Giao điểm với tiệm cận ngang 2y = là ( ) 2 1;2B a + Giao hai tiệm cận I(-1; 2) ( ) ( ) 12 1 1 ; 2 1 . .24 12 1 2 2 IAB IA IB a S IA AB dvdt a = = + ⇒ = = = + Suy ra đpcm Câu 2.(1,0 điểm): 1.(0,5 điểm) Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tanx 4 x x π   − = −  ÷   Đk: cos 0x ≠ (*) 2 2 2 sinx 2sin 2sin tanx 1 cos 2 2sin 4 2 cos x x x x x π π     − = − ⇔ − − = −  ÷  ÷     ( ) 2 cos sin2 .cos 2sin .cos sinx cos sinx sin2 cos sinx 0x x x x x x x x ⇔ − − + ⇔ + − + = cos 0 sinx cos tanx 1 4 4 2 sin 2 1 2 2 2 4 x x x k x k x x l x l π π π π π π π π ≠  = − → = − ⇔ = − +  ⇔ → = +   = ⇔ = + ⇔ = +   (tm(*))… 2.(0,5 điểm): Giải bất phương trình ( ) ( ) 2 2 1 5 3 1 3 5 log log 1 log log 1 (1)x x x x+ + > + − Đk: 0x > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 3 5 5 2 2 2 2 3 1 5 5 5 1 log log 1 log log 1 0 log log 1 .log 1 0 log 1 1 x x x x x x x x x x ⇔ + − + + + <   ⇔ + − + + < ⇔ + + <  ÷   ( ) 2 5 0 log 1 1x x⇔ < + + < *) ( ) 2 5 0 log 1 0x x x< + + ⇔ > *) ( ) 2 2 2 5 12 log 1 1 1 5 1 5 5 x x x x x x x+ + < ⇔ + + < ⇔ + < − ⇔ ⇔ < Vậy BPT có nghiệm 12 0; 5 x   ∈  ÷   Câu 3. (1,0 điểm):Tính tích phân : 2 3 1 ln 2 ln e x x I dx x + = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 2 2 3 3 1 1 1 4 2 3 4 4 3 3 1 ln 2 ln 1 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2 3 2 ln 1 3 . 3 2 2 4 8 e e e e x x I dx x xd x x d x x x + = = + = + + +   = = −   ∫ ∫ ∫ Câu 4.(1,0 điểm) : 1.(0,5 điểm) -Gọi số cần tìm là ( ) 0abcde a ≠ -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a. Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: 2 5 A cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách. Suy ra có 2 3 5 4 A A số -Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0. Xếp 3 có 4 cách 3 vị trí còn lại có 3 4 A cách . Suy ra có 3 4 4.A số Vậy số các số cần tìm là: 2 3 5 4 A A - 3 4 4.A = 384 2.(0,5 điểm) Tính tổng: 1 3 5 2013 2014 2014 2014 2014 A C C C C= − + − + Ta có: ( ) 2014 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 2013 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1 i C i C i C i C i C i C i C i+ = + + + + + + + 1 1 2 3 4 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 C C i C C i C C i C= + − − + − + − ( ) ( ) 1 2 2014 1 3 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 C C C C C C i B Ai= − + − + − − + = + ( ) 2014 2014 2014 1007 1 1 1 2 2 . cos .sin 4 4 2 2 i i i π π       + = + = +  ÷    ÷       ( ) 1007 1007 1007 2014 2014 2 . cos .sin 2 . 0 2 . 4 4 i i i π π   = + = − = −  ÷   Vậy 1007 2A = − Câu 5.(1,0 điểm) : Gọi ( ) ;I a b là tâm đường tròn ta có hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 1 (1) 3 9 ; 2 5 2 10 a b a b IA IB a b IA d I a b  − + − = − + − =   ⇔   − + = ∆  − + − =   ( ) 1 2 3a b ⇔ = − thế vào (2) ta có 2 12 20 0 2 10b b b b− + = ⇔ = ∨ = *) với ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1; 10 : 1 2 10b a R C x y = ⇒ = = ⇒ − + − = *)với ( ) ( ) ( ) 2 2 10 17; 250 : 17 10 250b a R C x y= ⇒ = = ⇒ − + − = Phương trình tham số của ∆: = − +   = −   =  x t y t z t 1 2 1 2 . Điểm C thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm C có dạng − + −C t t t( 1 2 ;1 ;2 ) . AC ( 2 2t; 4 t;2t);AB (2; 2;6)= − + − − = − uuur uuur     = − − − − ⇒ = − +     AC AB t t t AC AB t t 2 , ( 24 2 ;12 8 ;12 2 ) , 2 18 36 216 uuur uuur uuur uuur Diện tích ∆ABC là   = = − +   S AC A B t t 2 1 , 18 36 216 2 uuur uuur = t 2 18( 1) 198− + ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t 1 = hay C(1; 0; 2). Đường thẳng BC đi qua đi qua B và nhận BC ( 2; 3; 4)= − − − uuur làm vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc là x 3 y 3 z 6 2 3 4 − − − = = − − − . Câu 7.(1,0 điểm) Gọi O là tâm đáy suy ra ( ) 'A O ABC ⊥ và góc · 'AIA α = *)Tính tan α ' tan A O OI α = với 1 1 3 3 3 3 2 6 a a OI AI= = = 2 2 2 2 2 2 2 3 ' ' 3 3 a b a A O A A AO b − = − = − = 2 2 2 3 tan b a a α − ⇒ = *)Tính '. ' 'A BCC B V ( ) '. ' ' . ' ' ' '. 2 2 2 2 2 1 ' . ' . 3 2 3 1 3 3 . . . 3 2 2 6 3 A BCC B ABC A B C A ABC ABC ABC V V V A O S A O S b a a a b a a dvtt = − = − − − = = Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 0 2 xy x y x y dk x y x y x y  + + =  + + >   + = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 1 0 2 2 0 xy x y xy x y xy x y xy x y x y ⇔ + − + − = ⇔ + − + + − + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 1 1 2 0x y x y xy x y x y x y x y xy ⇔ + + − − + − = ⇔ + − + + + − =    ( ) ( ) 2 2 1 3 0 4 x y x y x y + = ⇔  + + + =   Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0. Thế (3) vào (2) ta được 2 1x y − = Giải hệ 2 1 1; 0 2; 3 1 x y x y x y x y + = = =   ⇒   = − = − =   Hệ phương trình có nghiệm là (1;0) và (-2;3) Câu 9.(1,0 điểm): Đặt 2 2 cos ; sin 0; 2 x a y a a π   = = ⇒ ∈  ÷   khi đó ( ) ( ) 2 2 3 3 sin cos 1 sin .cos cos sin cos sin sin cos sina.cos sin .cos a a a a a a a a T a a a a a + − + = + = = Đặt 2 1 sin cos 2 sin sin .cos 4 2 t t a a a a a π −   = + = + ⇒ =  ÷   Với 0 1 2 2 a t π < < ⇒ < ≤ . Khi đó ( ) 3 2 3 1 t t T f t t − − = = − ; ( ) ( ) ( ( ) ( ) 4 2 2 3 ' 0 1; 2 2 2 1 t f t t f t f t − −  = < ∀ ∈ ⇒ ≥ =  − Vậy ( ( ) ( ) 1; 2 min 2 2 t f t f  ∈  = = khi 1 2 x y = = . Hay min 2T = khi 1 2 x y = = . ĐỀ SỐ 32 Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I. Câu 2.(1,0 điểm) 1. Giải phương trình 2sin 2x 1 4sin x 6 π   − + =  ÷   2. Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y 3 3 x y x y log x log y 1  + = −   − =   Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 x x I dx x 1 + = + ∫ Câu 4.(1,0 điểm): 1. Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau. 2. Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − Câu 5.(1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 (C): x 5 y 20− + = và đường thẳng d : x y 3 0+ + = .Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng nhau qua trục Oy. Câu.6(1,0 điểm):Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng x 1 y 2 z d : 1 1 2 − + = = − và hai điểm A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất. Câu 7.(1,0 điểm):Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’= AB= a. Tính phần thể tích chung của hai khối chóp A.BB’C’C và A’.BB’C’C. Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình : 2 2 4 2 2 2 3 15 0 2 4 5 0 x y x y x y x y  + + − =   + − − − =   Câu 9.(1,0 điểm):Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ( ) ( ) ( ) 3 3 3 a b c c a b b c a P 3c 3b 3a + − + − + − = + + LỜI GIẢI Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số 2 y 2x(1 x )= − 1. (1,0 điểm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2 y 2x(1 x )= − Tập xác định: D = ¡ Giới hạn: lim ; lim →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ x x y y Sự biến thiên: 2 y' 2(1 3x ),= − 1 1 y' 0 x ;x 3 3 = ⇔ = = − Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 1 ; 3 3   −  ÷   ; nghịch biến trên khoảng 1 1 ; ; ; 3 3     −∞ − +∞  ÷  ÷     . Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại CT 1 4 3 x ;y 9 3 = − = − , đạt cực đại tại CD 1 4 3 x ;y 9 3 = = . Bảng biến thiên: x -∞ 1 3 − 1 3 +∞ y' - 0 + 0 - y +∞ 4 3 9 − 4 3 9 -∞ • Đồ thị: 2.(1,0 điểm) Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hoành ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C) sao cho tam giác IAB vuông tại I. Ta có A(-1,0), B(1,0). Tam giác IAB vuông tại I nên I thuộc đường tròn tâm O( gốc tọa độ) với bán kính bằng 1. Tọa độ I là nghiệm của hệ: 2 2 2 y 2x(1 x )(1) x y 1(2)  = −   + =   Thay (1) vào (2) ta được: 2 3 2 6 4 2 x (2x 2x ) 1 4x 8x 5x 1 0+ − = ↔ − + − = 2 2 x 1(loai vì I A,B) 1 1 x y 1 2 2 x 2  = ≠  ↔ → = ± → = ±  =   Do 2 2 x 1 1 x 0≤ → − ≥ nên x,y cùng dấu. Vậy chỉ có hai điểm I thỏa đề là 1 1 1 1 ; ; ; 2 2 2 2     − −  ÷  ÷     Câu 2. (1,0 điểm) 1. (0,5 điểm) Giải phương trình 2sin 2x 1 4sin x 6 π   − + =  ÷   (1) (1) 2 sin2x cos sin cos 2x 1 4sin x 3 sin2x cos 2x 1 4sin x 6 6 π π   ⇔ − + = ⇔ − + =  ÷   ( ) 2 2 2 3sin xcos x (1 2sin x) 1 4sin x 0 2 3sin xcos x 2sin x 4sin x 0 2sin x 3cos x sin x 2 0 ⇔ − − + − = ⇔ + − = ⇔ + − = * 3 1 3 cos x sin x 2 cos x sin x 1 sin x 1 x k2 2 2 3 6 π π   + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = + π  ÷   * sin x 0 x k= ⇔ = π Vậy nghiệm của phương trình là: x k2 6 π = + π ; x k ; k Z= π ∈ 2.(0,5 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) x y 3 3 x y x y (1) log x log y 1(2)  + = −   − =   ĐK: x 0; y 0,x y> > > 3 x (2) log 1 x 3y y → = → = ( ) ( ) ( ) 3y y 3y 3y y y y 3y 2y y 6 y 2y y 5y 2y 1 4y 2y 4 .y 2 .y do y 0 4 .y 2 2 .y 2 2 .y 1→ = ↔ = > → = → = → = ( ) y 5 2 5 2 2 5 1 2 .y 1do y 0 nên2 .y 1 y 2 → = > = → = 2 3 2 y x 8 8 = → = . So sánh điều kiện ta được nghiệm của hệ là: 3 2 2 ; 8 8    ÷   Câu 3.(1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 1 2 3 0 x x I dx x 1 + = + ∫ ( ) dx x xx A ∫ + + = 1 0 3 2 1 = ( ) ( ) dx x xxx ∫ + +−++ 1 0 3 2 1 112 = ( ) ( ) ( ) dx x xx ∫ + +−+ 1 0 3 2 1 11 = = ( ) dx x x ∫ + + − 1 0 2 1 1 1 1 Đặt ( ) 2 1 1 1 1 + =⇒ + −= x dx dt x t Khi x=0 thì t=0,x=1 thì t= 1 2 1 1 2 2 0 0 2 1 | 3 3 2 A tdt t t= = = ∫ Câu 4.(1,0 điểm) 1.(0,5 điểm). Trong một lớp học có 3 tổ: tổ I có 3 bạn, tổ II có 4 bạn, tổ III có 5 bạn. Hỏi có bao.nhiêu cách sắp các bạn của cả 3 tổ đứng thành hàng ngang sao cho các bạn tổ I đứng cạnh nhau, các bạn tổ III đứng cạnh nhau nhưng không có hai bạn nào của tổ I và III đứng cạnh nhau. Sắp 4 bạn tổ II đứng thành hàng ngang có 4!= 24 cách sắp. Giữa 4 bạn tổ II có 5 “vách ngăn”. “Buộc” 3 bạn tổ I thành nhóm I, “buộc” 5 bạn tổ III thành nhóm III. Sắp nhóm I và nhóm II vào 5 vách ngăn có 2 5 A 20= cách sắp. Vậy số cách sắp thỏa đề là: 2 5 4!.A .3!.5! 345600= cách sắp. 2.(0,5 điểm). Chứng minh rằng số phức 1 z 1 z − + là số ảo nếu và chỉ nếu z 1 và z 1.= ≠ − Giả sử z = a + bi, a,b thuộc R .Lúc đó ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b 2bi 1 z 1 z 1 a b − − − − = + + + Ta có số phức 1 z 1 z − + là ảo nếu và chỉ nếu ( ) ( ) 2 2 2 2 1 a b z 1 và 0 1 a b − − ≠ − = + + ( ) 2 2 2 2 1 a b 0 a b 1⇔ − − = ⇔ + = 2 z 1 z 1⇔ = ⇔ = Câu 5.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( ) 2 2 (C): x 5 y 20− + = và đường thẳng d : x y 3 0+ + = .Tìm các điểm M thuộc (C) và N thuộc d sao cho hai điểm M,N đối xứng nhau qua trục Oy. Gọi d’ là đường thẳng đối xứng với d qua Oy, d’: - x + y + 3 = 0 Tọa độ giao điểm của d’ với (C) là nghiệm của hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 x 5 y 20 M 7;4 , M 1, 2 x y 3 0  − + =  ⇒ −  − + + =   Suy ra N 1 (-7,4) thuộc d đối xứng với M 1 (7,4) thuộc (C) qua Oy. Và Suy ra N 2 (-1,-2) thuộc d đối xứng với M 2 (1,-2) thuộc (C) qua Oy. Câu 6.(1,0 điểm) Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng x 1 y 2 z d : 1 1 2 − + = = − và hai điểm A(1;4;2) và B(-1;2;4). Viết phương trình đường thẳng d’ qua A, cắt d và khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d’ đạt giá trị lớn nhất. [...]... b) + 3b 3 ( b + c − a) + 3 3a Cho a, b, c là 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( a + b − c) ( c + a − b) + ( b + c − a ) + 3c 3b 3a 3 3 3 1 ( a + b − c )3 c , và 3 3c 3 ( a + b − c )3 c 1 ( a + b − c )3 4c 1 + + ≥ a + b − c (1) ⇒ ≥ a + b − − (1) ta được: 3c 3 3 3c 3 3 3 (b + c − a ) 4a 1 ≥b+c− − (2) Tương tự: 3a 3 3 (c + a − b )3 4b 1 ≥c+a− − (3) 3b 3 3 Cộng... 3i ) 1.(0,5 điểm) Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức ( 1 − 3i ) là nghiệm của phương trình z 2 + 8bz + 64c = 0 ( ) 3 Ta có 1 + 3i = 1 + 3 3i + 3. 3i 2 + 3 3i 3 = −8 ( 1 − 3i ) ( 1+ i) 2 3 = 1 − 3 3i + 3. 3i 2 − 3 3i 3 = −8 = 2i 12 6 ( 2 − i) (1+ i) 6 ( 1 + 3i ) Do đó ( 1 − 3i ) 12 ( 2 − i ) ( −8) 4 ( 2 − i ) = 6 2 3 6 ( 1 + i ) ( −8) ( 2i ) =− 8( 2 − i) = 8 ( 1 + 2i ) = 8 + 16i i Theo giả thi t... ;   Câu 9.(1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 2 1 1 1 + 3+ 3+ 2 + 2 + 2 3 2 2 x y z x − xy + y y − yz + z z − zx + x 2 1 1 3 1 1 3 1 1 3 Ta có x 3 + y 3 + 1 ≥ xy ; y 3 + z 3 + 1 ≥ yz ; z 3 + x 3 + 1 ≥ zx 2 2 2 3 3 3 + 3 + 3 +3 + + Suy ra 3 xy yz zx x y z 3 3 3 1 1 1 P +3 + + + 2 + 2 + 2 Suy ra 2 2 xy yz zx x − xy + y y − yz + z z − zx + x 2... triển P(x) = (x - 2 )2015 thành dạng P = a0 + a1 x + a2 x 2 + + a2015 x 2015 Tính hệ số a2011 và tính S = a1+2a2+3a3+…+2015a2015 Ta có P ( x ) = ( x − 2 ) 2015 2015 i = ∑ C2015 x i ( −2 ) i=0 2015 −i = a0 + a1 x + + a2015 x 2015 4 ( −2 ) = 16C2015 = 2015. 2014.2012. 134 2 2014 = a1 + 2a2 x + + 2015a2015 x 2014 Ta có P / ( x ) = 2015 ( x − 2 ) Do đó a2011 = C 2011 2015 4 Cho x=1 ta có S =2015 2.(0,5 điểm)... điểm): Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số: y = x 3 -3x 2 +3 (C) Tập xác định: ¡ Các giới hạn tại vô cực  3 lim y = lim ( x 3 − 3 x 2 + 3) = lim x 3 1 − + x →+∞ x →+∞  x  3 lim y = lim ( x 3 − 3 x 2 + 3) = lim x 3 1 − + x →−∞ x →−∞ x →−∞  x x →+∞ 3 ÷ = +∞ x3  3 ÷ = −∞ x3  Chiều biến thi n x = 0 y ' = 3x 2 − 6 x; y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 6 x = 0 ⇔  x = 2 x > 2 y'> 0 ⇔  ; y'< 0 ⇔ 0 < x < 2... theo Vi et 4k + 2 3k + 3 ; x1 x2 = ta có: x1 + x2 = (2) k k Ta xétuuur trường hợp sau: hai uuu r TH1 MB = 3. MA ⇔ x2 − 3x1 = −6 , kết hợp với (2) ta được: 5k + 1 3k + 3 5k + 1 3k + 3 3k + 3 , x2 = ; = ⇔ k = −1 2k 2k 2k 2k k +) k = −1 ⇒ (d ) : y = − x + 2 uuu r uuu r TH2 MB = 3. MA ⇔ x2 = −3x1 + 12 , kết hợp với (2) ta được x1 = 4k − 1 3 4k − 1 3 3k + 3 3± 5 , x2 = ; = ⇔k = k k k k k 2 3 5 Phương trình...  v = − 35  x + y = − 35   3  3  Hệ b) vô nghiệm Hệ phương trình có 3 nghiệm (0, 0); ( 2, 4); (4, 2) Câu 9 (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn: ab + bc + ca ≤ 3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = Ta có: ab + bc + ca ≤ 3abc ⇔ a 3 + b3 + c 3 a+b+c 1 1 1 + + 3 a b c 1 1 1 suy ra x > 0, y > 0, z > 0, 0 < x + y + z ≤ 3 (1) a b c a 3 + b3 + c 3 3abc 3 ≥ = , (... VABC.A ' B' C ' = SABC AA ' = Ta có V = VA '.BB'C 'C − VA '.OB' C 'O ' VA.A 'B'C' = Mà a3 3 12 VA '.BB'C'C = a3 3 4 a3 3 6 VA.A ' B'C' AO AO ' = =4 VA.A ' OO ' AB' AC ' 3 4 Nên suy ra VA.A 'OO ' = VA '.OB' C'O ' = VA.A ' B'C ' = Vậy V = a3 3 16 a 3 3 a 3 3 5a 3 3 − = 6 16 48 Câu 8.(1,0 điểm):  x 2 y + 2 x 2 + 3 y − 15 = 0 ( x 2 − 1)( y − 2) + 4( x 2 − 1) + 4( y − 2) = 5   ⇔ 2 Giải hệ phương trình:... 11− k −i 2 Từ giả thi t z 2 − 2 z + 4 = 0 ta có ( z − 1) 2 = 3 ⇔ z = 1 ± 3i π π (cos + i sin )7 (1 + i )7 1 4 4 = *) Với z = 1 − 3i ta có: w = 7 −π −π 7 ( 3 − i) 8 2 (cos 6 + i sin 7π 7π + i sin 1 4 4 = 1 1 − i = − 3 + 1 + 3 − 1 i = − 7π − 7π 8 − 3 + i 32 32 8 2 cos + i sin 6 6 6 ) cos −π −π 7 7 (cos + i sin )  3 − 3i  (1 − i ) 7 1 4 4 *) Với z = 1+ 3i ta có w =  3 + 3i  = ( 3 + i ) 7 = 8 2 ... nghiệm: x = 12 12 6 18 3 3 2 (0,5 điểm) Giải bất phương trình 2 3x + 1 ≥ 8 − 3 1 − 5 x ( x ∈ ¡ ) 1 5 Đk: x ≤ , Đặt t = 3 3x + 1 ⇒ x = t 3 −1 , 3 t3 −1 ⇔ 24 − 15t 3 ≥ 8 − 2t 3 t ≥ 4 t ≥ 4 t ≥ 4    ⇔  t < 4 ⇔  t < 4 ⇔  t < 4   ( t + 2 ) ( 15t 2 − 26t + 20 ) ≤ 0  15t 3 + 4t 2 − 32 t + 40 ≤ 0  24 − 15t 3 ≥ 64 − 32 t + 4t 2     Thay vào bất phương trình đó cho: 2t ≥ 8 − 3 1 − 5 t ≥ 4 t . ) 12 6 6 1 3 2 1 3 1 i i i i + − − + là nghiệm của phương trình 2 8 64 0.z bz c + + = . Ta có ( ) 3 2 3 1 3 1 3 3 3. 3 3 3 8i i i i + = + + + = − ( ) 3 2 3 1 3 1 3 3 3. 3 3 3 8i i i i −. 1 3 ta được: 3 ( ) 1 3 3 3 + − + + ≥ + − a b c c a b c c (1). 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ⇒ ≥ + − − a b c c a b c (1) Tương tự: 3 ( ) 4 1 3 3 3 + − ≥ + − − b c a a b c a (2) 3 ( ) 4 1 3 3 3 +. LÊ NGUYÊN THẠCH TUYỂN CHỌN 100 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN TẬP 3( 31-40) THANH HÓA, THÁNG 09 - 2014 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh thân mến! Luyện giải bộ đề trước kỳ thi tuyển sinh Đại học