Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 24 1 x y x    có đồ thị ()C . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2. Tìm trên   C hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN , biết     3; 0 , 1; 1MN   . Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình: 33 1 1 sin 2 cos 2 sin 4 2 x x x   Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân:   2 0 co s 1 sin 2 x x I dx ex     Câu 4: (1 điểm) Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0. Hỏi xác suất Việt thắng chung cuộc là bao nhiêu? Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho mặt phẳng   : 2 5 0P x y z    và điểm   2;3; 4A  , đường thẳng 3 1 3 : 2 1 1 x y z d     . Gọi  là đường thẳng nằm trên   P đi qua giao điểm của d và   P , đồng thời vuông góc với d . Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất. Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp tứ giác .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, 4AD a , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 6a . Tìm cosin của góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   SC D khi thể tích khối chóp .S ABCD là lớn nhất. Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy , cho đường tròn 22 ( ) : 2 2 8 0C x y x y     và đường thẳng : 2 2 0d x y   . Lập phương trình các tiếp tuyến của đường tròn   C , biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng d một góc 45 o . Câu 8: (1 điểm) Giải hệ phương trình: 22 22 3 3 3 0 xy x xy xy y xy              ĐỀ TẶNG KÈM SỐ 9 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Câu 9: (1 điểm) Cho ,,x y z là các số thực thuộc đoạn   0; 2 . Chứng minh bất đẳng thức:   24x y z xy yz zx      HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: 1. Tập xác định: \ { 1}D  . Ta có: 2 0, ( 1) 6 y x D x       Suy ra hàm số không có cực trị và hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)  và ( 1; )  Ta có: lim lim 2 xx y        nên hàm số có tiệm cận ngang 2y  . 11 lim ; lim xx y         nên hàm số có tiệm cận đứng 1x  . Bảng biến thiên: x  -1  'y  ||  y  2 2  Đồ thị: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 3 2. Phương trình đường thẳng MN là: 2 3 0xy   . Phương trình đường thẳng d vuông góc với MN có dạng: 2y x m Phương trình hoành độ giao điểm của   C và d là:   2 24 2 2 4 0 1 (*) 1 x x m x m x m x x            Đường thẳng d cắt   C tại 2 điểm phân biệt ,AB 2 8 32 0mm      Khi đó phương trình   * có 2 nghiệm 12 ,xx , ta có: 12 2 m xx   Tọa độ ,AB là     1 1 2 2 ; 2 , ; 2A x x m B x x m Tọa độ trung điểm I của AB là: 12 12 ; 2 xx I x x m      hay ; 42 mm I     ,AB đối xứng nhau qua 4M N I M N m     Với 4m  , ta có tọa độ ,AB là     0; 4 , 2; 0AB Nhận xét: Bài toán này thuộc lớp các bài toán liên quan đến sự tương giao của đồ thị. Trong dạng bài này, chúng ta thường sử dụng các kỹ thuật liên quan đến dấu của tam thức bậc hai và sử dụng định lý Viète về mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đa thức (đã được đề cập đến ở đề số 5). Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho hàm số 2 1 x y x   có đồ thị ()C . Tìm trên đồ thị   C hai điểm ,BC thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A với   2; 0A . Đáp số:     1;1 , 3; 3BC Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 4 2. Cho hàm số 1 2 x y x    có đồ thị ()C . Tìm trên đồ thị   C các điểm ,AB sao cho độ dài đoạn AB bằng 4 và đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng yx . Đáp số:     1 2 ; 2 2 , 1 2 ; 2 2AB      Câu 2: Phương trình đã cho tương đương với:     1 1 sin 2 cos 2 1 sin 2 cos 2 sin 4 2 x x x x x      11 1 sin 4 sin 2 cos 2 1 sin 4 0 22 x x x x                     1 1 sin 4 sin 2 co s 2 1 0 2 x x x         1 1 sin 4 0 2 sin 2 co s 2 1 0 x xx          sin 2 cos 2 1xx      2 cos 2 1 4 3 4 co s 2 co s 44 2 x xk xk xk                                . Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải phương trình: 2 1 sin 2 1 tan 2 cos 2 x x x   . Đáp số: , 2 k xk   . 2. Giải phương trình: 1 tan sin 2 co s 2 2 2 cos 0 co s x x x x x         . Đáp số: 42 , k xk     . Câu 3: Ta có: 2 0 cos sin sin cos x xx Id e x x        Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 5 2 0 cos sin sin cos . 2 sin cos sin cos 0 xx x x x x d e x x x x e         22 00 sin 1 sin xx xdx xd ee          2 0 sin 1 sin 2 0 xx x dx ee      22 00 22 1 co s 1 1 co s xx xd x xd ee ee                22 00 22 1 cos 1 1 sin cos 1 2 0 x x x x xdx dx e e e ee              Từ đó suy ra: 2 2 11 21 2 e II e         Nhận xét: Kỹ thuật áp dụng liên tiếp phương pháp tích phân từng phần để làm xuất hiện lại biểu thức cần tính tích phân là một kỹ thuật tương đối quen thuộc. Nó thường được áp dụng khi biểu thức cần tính tích phân có chứa hàm sin x (hoặc co s x ) và hàm số mũ. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Tính tích phân: 66 4 4 sin cos 201 5 1 x xx I d x        Đáp số: 32 I   2. Tính tích phân: 4 6 6 sin 2015 1 x xd x I        Đáp số: 4 7 3 64 I    3. Tính tích phân:   4 0 ln 1 tanI x d x    Đáp số: ln 2 8 I   Câu 4: *) Trường hợp 1: Trận đấu có 3 ván. Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 6 Xác suất để Việt thắng cả 3 ván là: 3 1 0, 4 0, 0 64P  *) Trường hợp 2: Trận đấu có 4 ván. Suy ra: trong 3 ván đầu tiên sẽ có 1 ván Việt thua. Xác suất để Việt thắng 3 trong 4 ván là: 13 23 .0, 6.0, 4 0,11 52PC *) Trường hợp 2: Trận đấu có 5 ván. Suy ra: trong 4 ván đầu tiên sẽ có 2 ván Việt thua. Xác suất để Việt thắng 3 trong 5 ván là: 2 2 3 34 .0, 6 .0 , 4 0 ,1 38 24PC Vậy xác suất để Việt thắng chung cuộc là: 1 2 3 0, 31744P P P P    Nhận xét: Đây là dạng bài tính xác suất mang tính thực tế cao. Trong dạng bài này, chúng ta cần xác định được tất cả các tình huống có thể xảy ra và tính toán xác suất cho từng tình huống đó. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Một bài kiểm tra có 10 câu hỏi trắc nghiệm 4 phương án, trong đó chỉ có 1 đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng sẽ được 5 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm. Một học sinh trả lời ngẫu nhiên tất cả các câu hỏi. Tính xác suất để học sinh đó được không quá 10 điểm. Đáp số: 10 9 2 8 3 7 1 2 3 10 10 10 3 1 3 1 3 1 3 203 391 . . . . . . 0, 7 759 4 4 4 4 4 4 4 262144 P C C C                                           . 2. Việt và Nam thi đấu với nhau một trận cầu lông, ai thắng trước 3 ván sẽ giành chiến thắng chung cuộc. Biết Việt chơi kém hơn mình nên Nam quyết định ván đầu tiên chắc chắn sẽ để cho Việt thắng. Xác suất để Nam thắng mỗi ván là 0,6; xác suất xảy ra 1 ván hòa là 0. Hỏi xác suất Việt thắng chung cuộc là bao nhiêu? Đáp số: 0, 5248P  . Câu 5: Gọi I là giao điểm của d và   P , tọa độ I có dạng   2 3; 1; 3I t t t   Vì   IP nên ta có:     2 3 2 1 3 5 0 1t t t t         , hay tọa độ I là   1; 0; 4I  Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là   2;1;1 d u  Mặt phẳng   P có vectơ pháp tuyến là   1; 2; 1n  Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng  . Ta có:   1 , 1;1;1 3 d u u n      Suy ra phương trình đường thẳng  là: 14 1 1 1 x y z   Vì M thuộc  nên tọa độ M có dạng     1 ; ; 4 1 ; 3;M s s s AM s s s       Nhận thấy AM ngắn nhất     4 . 0 1 3 0 3 A M AM u s s s s              Vậy tọa độ điểm M cần tìm là: 7 4 1 6 ;; 3 3 3 M     Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7 Nhận xét: Dễ dàng nhận ra rằng đánh giá AM ngắn nhất AM  là đánh giá quan trọng nhất của bài toán. Các tính toán còn lại trong lời giải đều khá cơ bản và dựa vào đánh giá trên. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho hai điểm     1;5; 0 , 3; 3; 6AB và đường thẳng 11 : 2 1 2 x y z     . Tìm tọa độ điểm M trên  sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Đáp số:   1;0; 2M . 2. Trong không gian với hệ tọa độ O xyz , cho đường thẳng : 1 1 1 x y z d  và hai điểm     0; 0; 3 , 0; 3; 3AB . Tìm điểm M trên d sao cho biểu thức MA M B đạt giá trị nhỏ nhất. Đáp số: 333 ;; 222 M    . Câu 6: Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Do 6SA S B SC SD a    nên suy ra   SO ABCD . Từ đó suy ra: OA O B O C O D ABC D    là hình chữ nhật. Giả sử AB b , khi đó: 22 22 16 16 2 ab B D a b O A      Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 88 42 a b a b S O SA O A SO       Từ đó: 2 2 3 22 . 1 1 8 2 8 . . . .4 . . . 8 3 3 2 3 3 S A B C D a b a a V A B A D S O a b b a b       Dấu bằng xảy ra khi 2ba . Chọn hệ trục tọa độ O xyz sao cho   0; 0; 0O ,   0; 0;Sa ,   2 ; ; 0B a a ,   2 ; ;0C a a ,   2 ; ;0D a a . Khi đó ta có:       2 ; ; , 2 ; ; , 2 ; ;SB a a a SC a a a SD a a a         Suy ra:     2 2 2 2 , 0; 4 ; 4 , , 2 ; 0; 4SB SC a a S C SD a a            Suy ra vectơ pháp tuyến của   SBC là   1 0;1; 1n  , vectơ pháp tuyến của   SC D là   2 1; 0; 2n  . Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng   SBC và   SC D . Ta có:   1.0 0.1 2 .1 2 cos 2 . 5 1 0      Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 8 1. Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện ,2A B a A D A F a   , đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng BF . Gọi ,HK là đường vuông góc chung của ,AC BF . Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABHK . Đáp số:   63 6 a r   . 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC vuông cân tại B , 2BA BC a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáu   ABC là trung điểm E của AB và 2SE a . Gọi ,IJ lần lượt là trung điểm của ,EC SC , M là điểm di động trên tia đối tia BA sao cho , 90 o EC M   và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC . Tính thể tích khối tứ diện EH IJ theo ,a  và tìm  để thể tích đó lớn nhất. Đáp án: 3 5 sin 2 ; 4 5 8 o a V    . Câu 7: Đường tròn 22 ( ) : 2 2 8 0C x y x y     có tâm (1;1)I và bán kính 10R  . Gọi   ;n a b là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến  cần tìm ( 22 0ab ) Ta có:     22 2 11 , 45 co s , 22 5. o ab dd ab                  2 22 3 2 2 5 3 3 0 3 ab a b a b a b a b ba               Với 3ab , phương trình  có dạng: : 3 0x y c    . Mặt khác ta có:   6 4 , 10 14 10 c c d I R c            Với 3ab , phương trình  có dạng: : 3 0x y c    . Mặt khác ta có:   8 2 , 10 12 10 c c d I R c            Vậy ta có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: 1 2 3 : 3 6 0, : 3 14 0, : 3 8 0x y x y x y            và 4 : 3 1 2 0xy    . Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho đường tròn 22 ( ) : 6 2 5 0C x y x y     và đường thẳng : 3 3 0d x y   . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn   C , biết tiếp tuyến không đi qua gốc tọa độ và hợp với đường thẳng d một góc 45 o . Đáp số: 2 10 0xy   hoặc 2 10 0xy   2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O xy , cho đường tròn 22 ( ) : 2 0C x y x . Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn   C , biết tiếp tuyến này hợp với trục tung một góc bằng 30 o . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 9 Đáp số: Có 4 tiếp tuyến thỏa mãn là: 12 : 3 2 3 0; : 3 2 3 0x y x y          ; 3 : 3 2 3 0xy     và 4 : 3 2 3 0xy     Câu 8: Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng số phức. Nhân phương trình thứ hai với i và cộng với phương trình thứ nhất ta được:   2 2 2 2 33 3 3 3 x y xi yi x yi x yi x yi i x y x y              Đặt 22 1 x yi z x yi z x y       Phương trình trên trở thành: 3 3 i z z   2 3 3 0z z i     2 1 zi zi       Với 2zi , ta có: 2; 1xy , thỏa mãn. Với 1zi , ta có: 1; 1xy   , thỏa mãn. Vậy hệ có nghiệm         ; 2;1 , 1; 1xy Nhận xét: Hệ phương trình trên là một hệ tương đối lạ và khó. Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Giải hệ phương trình: 22 22 3 10 1 10 3 2 xy x xy xy y xy              Đáp số: Hệ phương trình vô nghiệm. 2. Giải hệ phương trình: 22 22 2 2 2 0 xy x xy xy y xy              Đáp số:         ; 0;1 , 2; 1xy Câu 9: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:     2 2 4 0y z x y z yz       Xét       2 2 4f x y z x y z yz       với   0; 2x  Ta có: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 10         0 2 4 2 2 0f y z yz y z           20f yz   Từ đó suy ra:   0fx với mọi   0; 2x  Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi: 0; 2x y z   Nhận xét: Bài toán trên sử dụng phương pháp phần tử cực biên (dựa vào tính chất đồ thị của hàm số). Các bài tập và câu hỏi tương tự để tự luyện: 1. Cho ,,x y z là các số thực không âm thỏa mãn 1x y z   . Chứng minh bất đẳng thức: 7 2 27 xy yz zx xyz    Hướng dẫn: Xét hàm     7 12 27 f yz x x yz xyz     với   2 1 0 4 x yz   2. Cho , , ,a b c d là các số thực thuộc đoạn   0;1 . Chứng minh bất đẳng thức:         1 1 1 1 1a b c d a b c d         Hướng dẫn: Xét hàm           1 1 1 1 1f a a b c d a b c d          Ta có:             1 0; 0 1 1 1 1f b c d f b c d b c d g b             Lại có:     1 0; g 0 0g c d cd     Suy ra     0, 0;1g b b   , từ đó suy ra điều phải chứng minh. . Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 1 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 24 1 x y x    có đồ thị ()C . 1 Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 7 Nhận xét: Dễ dàng nhận ra rằng đánh giá AM ngắn nhất AM  là đánh giá quan trọng nhất của bài toán. Các tính toán còn lại trong lời giải đều khá. Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 6 Xác suất để Việt thắng cả 3 ván là: 3 1 0, 4 0, 0 64P  *) Trường hợp 2: Trận đấu có 4 ván. Suy ra: trong 3 ván đầu tiên sẽ có 1 ván Việt thua.