MƠN TỐN ĐỀ TẶNG KÈM SỐ Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số có đồ thị  C  y  x  3x  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi hàm số Tìm hai điểm thuộc đồ thị  C  cho tiếp tuyến  C  A, B độ dài A B  Câu 2: (1 điểm) A B song song với       cos  x    cos  x    s in x       Giải phương trình:   s in x  Câu 3: (1 điểm) ln Tính tích phân:  I  2e e e 3x 2x dx 4e   x x Câu 4: (1 điểm) y 1 y Giải hệ phương trình: C x 1  Cx y 1  Cx Câu 5: (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ  x 1 t x2 y 1 z 1  d1 :  y   t , d :   2   z 1 cho khoảng cách từ d1 H thuộc Tính thể tích khối chóp AB ABC S ABC AD d1, d tam giác cạnh H A  2 H B d2 a O xy Chân đường cao hạ từ Góc tạo , cho hình thang d1 : x  y  ABCD SC BD S SA, BC A theo D a d2 lên mặt phẳng o CD , d2 : x  y  , 60 có đáy lớn có phương trình góc tạo hai đường thẳng B C A B Viết phương trình đường thẳng tích hình thang 24 điểm B có hồnh độ dương Câu 8: (1 điểm) Giải phương trình:  x   và mặt phẳng  A B C  vuông , đường thẳng o d1 đến  P  khoảng cách hai đường thẳng có phương trình có phương trình: Viết phương trình mặt phẳng  P  song song với cho Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ đường thẳng , cho hai đường thẳng đến  P  gấp lần khoảng cách từ Câu 6: (1 điểm) Cho hình chóp S A B C có đáy  A B C  điểm O xyz BC biết diện 2x 1  x  x  2 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Câu 9: (1 điểm) Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn biểu thức: P  x y z  y  33 z x xy  yz  zx  z  m ax  x , y , z  Tìm giá trị nhỏ z x y HẾT HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Tập xác định: Ta có: D  x  y   x  x; y '    x  y ''  x  6; y ''    0; y ''( )  Suy hàm số đạt cực đại x  đạt cực tiểu    ;  ( ;   ) , hàm số đồng biến khoảng  0;  Tính giới hạn: x  Hàm số đồng biến khoảng lim y    ; lim    x   x   Bảng biến thiên: x  + y'   +  y  -3 Đồ thị: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Gọi tọa độ A, B A  a ; a  a   , B  b ; b  3b   Vì tiếp tuyến  C  A Mà a  Ta có: AB nên ta có: b a  ba  b  2  3    b  a    b  a   b  a   3ab     2   b  a    b  a   b  a   ab      a b  0, a  b   b  a    b  a   3ab  b  a    b  a   b  a    a  b a  2 a  a 1   b  a    b  3b  a  a với song song với nên ta có: B y '  a   y '  b   a  a  3b  b  2 2 2   b  a  1     a b     2 2    a  1   a  a          a  1  24  a  1  40  a  1 Ta có: AB    a  1   a  1 2   a  1  24  a  1  40  a  1  32   a  1  10  a  1    a     a  1 Với a  3, ta có hai điểm Với a  1 , A  3;1  , B   1;   ta có hai điểm A   1;   , B  3;1  Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Vậy hai điểm cần tìm là:  3;1  ;   1;   Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị ( C ) Tìm tất giá trị với  C  phân biệt có hệ số góc tuyến cắt trục Đáp số: cho tồn tiếp tuyến , đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tương ứng A, B (C m ) Tìm O A  O B cho 9  k   ; 1 2  Cho hàm số có hồnh độ Đáp số: O x, O y k k có đồ thị y  x  mx  m 1 x  1 cắt đường tròn  C  :  x    để tiếp tuyến đồ thị  C m  điểm m  y  3  M theo dây cung có độ dài nhỏ m  Câu 2: Phương trình cho tương đương với: 2x     2x  cos 2x  cos   2x  4  s in x    cos x cos    s in x      s in x  s in x      cos x   s in  s in x  2 s in x      x 4 s in x     x   k 2    ,k   x  5  k 2   Vậy nghiệm phương trình là: 5  x    k 2 ;  k 2 , k  6    Nhận xét: Đây dạng phương trình lượng giác dễ, cần phép biến đổi đơn giản để đưa phương trình bậc hai theo biến Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải phương trình: cos x  cos x  cos x  cos x  2 2  Đáp số: x   8  k ; Giải phương trình: Đáp số:   k ;  2  k , k     s in x c o s x  c o s x s in x  s in x  k  k x  ;  ,k      Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Câu 3: Đặt t  4e Đổi cận: 3x  3e  t 2x  4e 3x  3e 2x  td t   e 3x  6e 2x  dx x  0 t 1 x  ln  t  Khi ta có: I  Vậy td t  t 1 t  ln t   ln   1 dt    t 1 1 3   I   ln Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: ln Tính tích phân:  I  2x dx e 2 x I  ln  e Tính tích phân: I  I  5    x ln x  d x  x  ln x   Đáp số: e 1 x ln Đáp số: e  2e ln x 3 e Tính tích phân: I   x   x   ln x Đáp số: x   ln x  dx I  e   ln Câu 4: Điều kiện:   0  0 0  C x 1  x, y     y 1  y 1 x  x  y 1  y 1 x  y  x 1 y 1 y Ta có: x, y   Cx y 1  Cx y y 1 ( x  1) ! (x)!   C x 1 Cx       y !( x   y ) ! ( y  1) !( x  y  1) !       y 1 y 1 (x)! (x)! Cx Cx 1       ( y  1) !( x  y  1) ! ( y  1) !( x  y  1) !    ( x  1)( y  1)  ( x  y )( x  y  1)    ( x  y )( x  y  1)  y ( y  1) x 1  3y  ( x  1)( y  1)  y ( y  1)       ( x  y )( x  y  1)  y ( y  1)  ( x  y )( x  y  1)  y ( y  1) Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 x  3y 1  x  3y 1 x  3y 1 x           (3 y   y )(3 y   y  1)  y ( y  1) 3y  9y  y  y  Vậy nghiệm hệ là:  x ; y    8;  Nhận xét: Các phương trình, bất phương trình tổ hợp thường khơng khó để giải Chúng ta cần sử dụng công thức xác định biểu thức chỉnh hợp, tổ hợp hay hốn vị để rút gọn tìm mối quan hệ đơn giản biến Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải bất phương trình: 2 Đáp số: A2 x  A x  x C x  10 x   3;  y 1 A x 1  y A x 1 y Giải hệ phương trình: y 1  y 1 Ax 10  Cx Đáp số:  x ; y    ;  Câu 5: Đường thẳng d1 có vectơ phương u   1;  1;  Đường thẳng d2 có vectơ phương u   1;  2;  Gọi n d1 d2 nên ta có: Suy phương trình  P  có dạng d  d1,  P   d d d2,P Mà qua A  1; 2;1  B  2;1;   vectơ pháp tuyến  P  Vì  P  song song với Ta có: qua   d  A, P    B, P   d  d1,  P    d  d ,  P   n   u1 , u     2;  2;     2x  2y  z  m  7 m 5 m  m  3   m  5  m   7 m  5 m     17 m   m  2 5  m    Vậy có mặt phẳng thỏa mãn là: 2x  2y  z   2x  2y  z  17  Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong không gian với hệ tọa độ O x y z , cho hai đường thẳng d1 : x2  y2 thẳng  z3 ,d2 : x 1  y2 1  z 1 d1, d có phương trình Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường d1, d Đáp số: x  y  z   Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Tốn THPT Quốc Gia 2015 Trong khơng gian với hệ tọa độ điểm A  1;1;   , B 1;1;  , C  1; 2; 2 P : x  y  2z 1  qua A O xyz , cho ba  mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng Q  , vng góc với mặt phẳng  P  , cắt đường thẳng B C I cho IB  IC Đáp số: x  y  z   x  y  z   Câu 6: Vì SH   A B C  nên hình chiếu HC SC lên mặt phẳng  A B C  Góc tạo Xét tam giác HC  HB mặt phẳng  A B C  SC BHC  HC o , ta có:  H B H C c o s SC H  60 o  7a a  HC  a  S H  H C ta n S C H   a 21 Suy ra: V S ABC  S H S A B C  Gọi E trung điểm Ta có: A D // B C  d  S A , B C Kẻ   d a 21 a a  3 12 BC D đỉnh thứ tư hình bình hành  BC ,  SAD   d HF  AE  a  Suy ra: HF d  3 Trong tam giác vuông ABCD  H ,  SAD  H F  AD , H K  SF  H K   SAD   d  H ,  SAD   H K Ta có: HK HS  SA, BC  SH F  HK  , ta có: H F H S HF  d   HS  H , SAD   a a 42 12 42 Nhắc lại kiến thức phương pháp:  Định lý hàm số cosin: BC  AB  AC  A B A C cos B A C  Góc tạo đường thẳng mặt phẳng góc tạo đường thẳng hình chiếu đường thẳng mặt phẳng Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Cho hình chóp ABC  BAD  90 o BA  BC  a , vng góc với đáy Gọi khoảng cách từ G o Đáp số: d  a hình thang có Cạnh bên , góc tạo trọng tâm tam giác G 30 SA  a , ABCD AD  2a , đáy S ABC D SA  S A D  SC Tính SAB đến mặt phẳng  S C D  Cho hình lăng trụ A B C A ' B ' C ' có đáy A B C tam giác vuông cân A , cạnh huyển B C  a , cạnh bên A A '  a , biết A ' cách đỉnh A , B , C Gọi M , N trung điểm A A ', A C Tính thể tích khối chóp Đáp án: V  a 14 ;d  khoảng cách từ C 'MNB 3a 994 16 C' đến mặt phẳng  M N B  suy tọa độ D  0;  71 Câu 7: Ta có: D giao điểm Vectơ pháp tuyến Suy ra: AD cos A D B  d1, d , BD là: D n1   3;   ; n   1;    AD B  45  AD  AB o Lại có:  B C , A B   Ta có: S ABCD   Giả sử tọa độ Ta có: 45 BD  o nên  AB có dạng B  5b BC D  45  BC D o  CD  AD B  2b; b    24  vuông cân AB B  CD  AB  24  AB   BD  2 với b  10  b  (vì b  ) Vậy tọa độ điểm Đường thẳng B BC x  y  10   10 10 B ;  5  qua B     vng góc với d2 nên phương trình đường thẳng BC là: Nhận xét: Đối với toán tọa độ mặt phẳng tứ giác đặc biệt, cần tập trung khai thác tính chất hình học phẳng túy tứ giác để giải toán hạn chế số biến cần gọi Khi giải tốn khơng u cầu phải có hình vẽ, nhiên dễ dàng có hình vẽ minh họa “rõ ràng xác” Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ O x y , cho hình thang cân A B C D ( A B // C D , A B  C D ) Biết tọa độ đỉnh A, D phương trình A  0;  , D   2;   d :x y4  giao điểm I AC BD nằm đường thẳng có Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình thang biết góc Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 A ID  o  Đáp số: B 2 2;2   ,C 2  2;2  Trong mặt phẳng với hệ toạ độ A  0;   , B  4;  đáy AB Tìm tọa độ hai điểm CD O xy  B   2;2  , cho đường tròn C,D   ,C  ; 2  (C ) : x  y  x  y  2 hai điểm cho đường trịn  C  nội tiếp hình thang ABCD có 1   1 1  C  ; ,D  ;    2   Đáp số: Câu 8: Định hướng: Phương trình cho hồn tồn giải cách nâng lũy thừa để đưa phương trình bậc x Tuy nhiên, việc nhẩm nghiệm ta thấy x  nghiệm phương trình, nên ta thử dùng phương pháp nhân lượng liên hợp để xử lý toán Lời giải: Dễ thấy x   không nghiệm phương trình Xét x   , phương trình cho tương đương với: x  x3 2x 1   x3 2x 1 1  x 2x  x3 x  x3 2x 1 1       x   2x 1 1 x3 (* ) Ta giải phương trình  *  : *   2x 1 1  2x  2x 1  2x  5  x     x  5   2 2 x   x  20 x  25  Vậy phương trình có nghiệm:  13 x  0;   13  Nhận xét: Phương pháp nhân lượng liên hợp phương pháp mạnh để giải phương trình vơ tỷ Để giải tốn phương pháp này, ta phải nhẩm nghiệm (có thể nghiệm nhất) phương trình Nhắc lại kiến thức phương pháp: Phương pháp nhân lượng liên hợp: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Giả sử phương trình có biểu thức có dạng Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm P x  P x  P a P a  P x  x  a P x P x đa thức nghiệm phương trình Ta sử dụng đẳng thức: để làm xuất đại lượng P a với xa tử số Một điều cần ý sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp ta phải xét điều kiện để đảm bảo mẫu số biểu thức liên hợp khác Một số đẳng thức hay dùng: a b  a b   a b   a b  a b a b 3 a  ab  b 2 a b n a n 1  a n2 b n  ab n2 b n 1 Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: Giải phương trình: Đáp số: x  x 1  x  16  x  25  x  225 x  15  3 x  x 82 2 x  1 Giải phương trình: Đáp số: x9  Giải phương trình: Đáp số: x  x 1  x3  x3 x 1  x  x 6 5 x  Câu 9: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: x y  z 1 Giả sử x  y Thật vậy, Ta có:   P  2  y  z  x (* )  y  z xz x  y y xz x  y y  z  z x x  y y  z z x yz  x  zx  y z  x  y  x  y  z  x  zx  y  y z y  xz  yz xz  z 1   33  z  x  x y y  Ta chứng minh: Tương tự ta có: Suy ra: x   yz xy  yz  xz yz x  zx  y  z  x y 1 xz xy  yz  xz  yz xy  yz  xz xz  yz xy  yz  xz Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 (* ) 1 yz  xy xy  yz  xz 1 10 Đặt t  z ,t  x y suy ra: P  f (t )  t Khảo sát hàm ta nhận được: Giá trị nhỏ  3t  m in f ( t )  f (1)  4, đạt P x  z; y  Nhận xét: Bài toán tốn đẹp khó Sẽ khó khăn đến bất đẳng thức (* ) Sau sử dụng kết bất đẳng thức (* ) cơng việc khảo sát hàm số cuối trở nên đơn giản Các tập câu hỏi tương tự để tự luyện: (Khối B – 2014) Cho a , b , c số thực không âm thỏa mãn:  a  b  c biểu thức: a P  bc b  c a  Đặt t  P  c a b 2(a  b) a bc ,t   c 2a  b a a  b Xét hàm: (Khối D – 2014) Cho P  x 2y x  3y   x, y y  2x y  3x   1 f (t )  Đặt P  x y x  y 1  t  x  y,  t   c 2a a b c ; b c a  2b a bc c a  b a b 1 t ta nhận được:  2t m in P   a  0; b  c  số thực thỏa mãn  x, y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  x  y  1 Hướng dẫn: Sử dụng đánh giá Suy ra:  b c  Tìm giá trị lớn c Hướng dẫn: Sử dụng đánh giá: Suy ra:  x  x  2; y  3y   x  y  1 , xét hàm f (t )  t t 1   t  1 Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 nhận m in P  f (3 )  11 ...  y2 1  z 1 d1, d có phương trình Viết phương trình mặt phẳng cách hai đường d1, d Đáp số: x  y  z   Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Trong không gian với hệ tọa độ điểm... tương tự để tự luyện: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 Cho hình chóp ABC  BAD  90 o BA  BC  a , vng góc với đáy Gọi khoảng cách từ G o Đáp số: d  a hình thang có Cạnh bên ,... y  -3 Đồ thị: Tuyệt Đỉnh Luyện Đề Toán THPT Quốc Gia 2015 2 Gọi tọa độ A, B A  a ; a  a   , B  b ; b  3b   Vì tiếp tuyến  C  A Mà a  Ta có: AB nên ta có: b a  ba  b  2  3