Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là bài tập lớn môn phương pháp phần tử hữu hạn. Nội dung gồm có: 1. Cơ sở lý thuyết cho bài toán khung phẳng. 2. Các bước tính toán cho một khung phẳng cụ thể: Rời rạc hóa khung Thiết lập các phương trình trong hệ tọa độ địa phương Lắp ghép Khử điều kiện biên để tìm các chuyển vị Xác định phản lực, nội lực, ứng suất Xác định tần số dao động và mode dao động 3.Kết quả tính toán
Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 1 I. bi: Cho khung chu lc nh hỡnh v sau: Hỡnh 1. Bit: E = 210 GPa, A = 4x10 -2 m 2 , I = 4x10 -4 m 4 . Yờu cu: - Kho sỏt bin dng, phn lc, ni lc, ng sut phỏt sinh trong kt cu ca h. - Tớnh tn s dao ng v vộc t mode ca h. II. C s lý thuyt: Cỏc phn t khung phng c thit k nhm chng li bin dng un v bin dng dc trc. Nh vy, s t hp ca phn t dm v phn t thanh bin dng dc trc cú th c s dng phõn tớch bi toỏn khung phng m ú ngi ta gi s rng: cỏc nh hng chng un v bin dng dc trc l c lp vi nhau. Tuy nhiờn, gi thuyt ny ch ỳng trong khuụn kh lý thuyt chuyn v bộ. Hỡnh 2 - Phn t khung phng. Xột phn t khung phng c mụ t nh hỡnh 2. Nu gi 1 2 3 4 5 6 T d d d d d d d v 1 2 3 2 2 2 T u u v u v ln lt l cỏc vộc t chuyn v nỳt ca phn t trong h ta a phng v ton cc. Gi s mụ men quỏn tớnh v ti trng phõn b u l hng s trờn phn t, cỏc ti trng tp trung nu cú ch tỏc dng ti nỳt, lỳc ú trong h ta a phng cỏc phng trỡnh phn t s l: Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 2 3 2 3 2 1 2 2 2 3 4 5 2 6 32 0 0 0 0 12 6 12 6 0 /2 /2 4 6 2 0 /12 /2 00 /2 12 6 /12 4 s t t s t t EA EA LL EI EI EI EI d q L L L L L d q L EI EI EI d q L L L L d q L EA L d q L EI EI d q L LL EI sym L (1)k d r (Lu ý rng ti phõn b q s , q t c quy c l dng khi cựng chiu vi cỏc trc a phng). Mi quan h gia cỏc bc t do trong h ta a phng v h ta ton cc: 1 1 2 1 3 1 4 2 5 2 6 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 (2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 xx xx xx xx d u lm d v ml d d T d d u lm d v ml d 22 2 1 2 1 2 1 2 1 cos ; sin ; ( ) ( ) (3) xx x x y y l m L x x y y LL Trong ú l gúc c o theo chiu ngc kim ng h t trc x ton cc n trc s a phng; (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ); L l ta ca nỳt v chiu di ca phn t trong h ta ton cc. T (2) ta cú: (4) T l d T d Kt hp (1), (2) v (4) ta cú: (5) (6) TT k T d r T k T d T r Trong ú T Tr l vộc t ti trng nỳt chuyn t h ta a phng n ton cc. Vy trong h ton cc phng trỡnh phn t cú th vit di dng: (7)k d r Trong ú: ; (8) TT k T k T r T r Sau khi thc hin lp ghộp, kh cỏc iu kin biờn, gii h phng trỡnh ton cc ta tỡm c cỏc chuyn v nỳt. Cỏc chuyn v nỳt ny c chuyn v h ta Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 3 a phng cho mi phn t nh quan h (2). T ú cỏc kt qu trờn phn t cú th tớnh toỏn nh sau: Hỡnh 3 - Ni lc trong phn t khung phng. Chuyn v dc trc: 1 4 ( ) ; 0 (9) d s L s u s s L d LL u s L s N LL Chuyn v ngang: 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 2 2 2 3 2 5 6 2 3 2 3 2 ( ) 1 , 0 (10) d d s s s s s s s s v s s s L d L L L L L L L L d 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 1 v s s s s s s s s Ns L L L L L L L L Lu ý: vic tỡm li gii chớnh xỏc cho bi toỏn khung cú tit din u trờn cú ti phõn b u cng c thc hin vi ý tng tng t nh phan tớch bi toỏn dm. Lc dc: () ( ) ; 0 (11) d u s f s EA s L ds Lc ct: () ( ) ; 0 (12) d M s V s s L ds Mụ men: 2 2 () ( ) ; 0 (13) d v s M s EI s L ds Ma trn khi lng ca phn t cho bi toỏn n hi tng quỏt c xỏc nh theo cụng thc sau: (14) T V m N N dV Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 4 Trong h ta a phng phn t khung phng l s kt hp gia phn t dm v phn t thanh bin dng dc trc. Bõy gi chỳng ta i xỏc nh ma trn khi lng ca phn t dm v phn t thanh bin dng dc trc. Xỏc nh ma trn khi lng ca phn t thanh bin dng dc trc: Hỡnh 4 - Phn t thanh. Cho phn t thanh cú hai nỳt nh hỡnh v 4, chiu di L = x 2 x 1 , n gin ta gi s tit din mt ct ngang ca thanh l A v nú khụng i sut chiu di L. Cỏc hm ni suy: 2 2 1 1 12 1 2 2 1 ; x x x x x x x x NN x x L x x L Vy ma trn khi lng ca phn t thanh mt chiu cú th c tớnh toỏn theo cụng thc sau: 2 1 2 21 1 21 (15) 12 6 x T Vx xx x x x x AL L m N N dV A dx xx LL L Xỏc nh ma trn khi lng ca phn t dm: Hỡnh 5 - Phn t dm. Cho phn t dm hai nỳt nh hỡnh 5. Cỏc hm ni suy: 1 3 2 3 2 2 3 3 2 1 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 ( ) 1, , , T v s s s s s s s s v s s N d v L L L L L L L L Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 5 p dng cụng thc (14) ta cú: 32 32 32 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 2 3 2 23 0 23 32 2 22 2 23 1 2 2 3 2 3 2 1, , , 32 156 22 54 13 4 13 3 156 22 420 4 T V L m N N dV ss LL ss s s s s s s s s s LL A s ds L L L L L L L L ss LL ss LL LL L L L AL L sym L (16) Vy ma trn khi lng ca phn t khung trong h ta a phng cú dng nh sau: 22 0 2 140 0 0 70 0 0 156 22 0 54 13 4 0 13 3 (17) 140 0 0 420 156 22 4 L TT V LL L L L AL m N N dV A N N ds L sym L V ma trn khi lng ca phn t khung trong h ta ton cc: (18) T m T m T [T] l ma trn chuyn trc cú dng nh cụng thc (2) v [T] T l ma trn chuyn trớ ca ma trn [T]. Tn s dao ng ca h c xỏc nh theo cụng thc sau: 2 det([ ]- [ ]) 0 (19) n km Vộc t mode dao ng ( dng dao ng t nhiờn hay dng dao ng riờng ) c xỏc nh theo cụng thc: 2 ([ ]- [ ]) 0 (20) nn km Trong cụng thc (19), (20) [k] v [m] ln lt l ma trn cng v ma trn khi lng ca h khung m ta tỡm c trờn. Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 6 III. Cỏc bc tớnh toỏn: 1) Ri rc húa h khung: Chia h khung lm 4 phn t, mi phn t cú hai nỳt v c ỏnh s nh hỡnh v 6. Hỡnh 6. Thụng tin v phn t: S hiu phn t (1) (2) (3) (4) Nỳt u 1 2 3 4 Nỳt cui 3 5 4 5 Thụng tin v nỳt: S hiu nỳt 1 2 3 4 5 Ta x (m) 0 15 0 5 15 Ta y (m) 0 0 10 10 10 Trong phn t khung phng mi nỳt cú ba bc t do v c ỏnh s nh hỡnh v 7. 10 m5 m 10 m Bµi tËp m«n ph-¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n GVHD: PGS.TS NguyÔn Hoµi S¬n HV: TrÇn Nguyªn Ph-¬ng – MSHV: 1480813 – Líp XDC14B Trang 7 Hình 7. Các ràng buộc: tất cả các bậc tự do tại nút 1 và nút 2 đều bằng không do hai nút này bị ngàm. Thông tin về tải trọng: Nút Bậc tự do Giá trị 3 7 2 kN 4 11 -4 kN 2) Xây dựng và lắp ghép các phương trình phần tử: E = 210 GPa = 21x10 7 kN/m 2 , A = 4x10 -2 m 2 , I = 4x10 -4 m 4 . a) Các phương trình cho phần tử 1: L = 10 m, EI = 84000 kN/m 2 , EA = 8400000 kN, 1 00 l r . Phần tử Node Tọa độ x Tọa độ y (1) 1 0 0 3 0 10 Các cosin chỉ phương: 21 21 00 cos 0 10 10 0 sin 1 10 x x xx l L yy m L Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 8 Cỏc phng trỡnh ca phn t 1 trong h ta a phng: 1 1 1 1 2 3 7 8 9 840000 0 0 840000 0 0 0 1008 5040 0 1008 5040 0 33600 0 5040 16800 0 840000 0 0 0 1008 5040 0 33600 0 l l l r d k d d d d d d sym Ma trn chuyn trc [T 1 ]: 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 T Ma trn chuyn v ca ma trn [T 1 ]: 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 T T Ma trn cng ca phn t 1 trong h ta ton cc: 1 1 1 1 1008 0 -5040 -1008 0 -5040 0 840000 0 0 -840000 0 -5040 0 33600 5040 0 16800 -1008 0 5040 1008 0 5040 0 -840000 0 0 840000 0 -5040 0 16800 5040 0 33600 T l k T k T Cỏc phng trỡnh ca phn t 1 trong h ton cc: 1 1 1 3 3 3 1008 0 -5040 -1008 0 -5040 0 0 840000 0 0 -840000 0 0 -5040 0 33600 5040 0 16800 0 . -1008 0 5040 1008 0 5040 0 0 -840000 0 0 840000 0 0 -5040 0 16800 5040 0 33600 0 u v u v Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 9 Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 1: 1008 0 5040 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 5040 0 33600 0 0 0 5040 0 16800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 1008 0 5040 0 0 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 840000 0 0 0 0 0 0 0 5040 0 16800 0 0 k 0 5040 0 33600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0r b) Cỏc phng trỡnh cho phn t 2: L = 10 m, EI = 84000 kN/m 2 , EA = 8400000 kN, 2 00 l r . Phn t Node Ta x Ta y (2) 2 15 0 5 15 10 Cỏc cosin ch phng: 21 21 15 15 cos 0 10 10 0 sin 1 10 x x xx l L yy m L Cỏc phng trỡnh ca phn t 2 trong h ta a phng: 2 2 2 4 5 6 13 14 15 840000 0 0 840000 0 0 0 1008 5040 0 1008 5040 0 33600 0 5040 16800 0 840000 0 0 0 1008 5040 0 33600 0 l l l r d k d d d d d d sym Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 10 Ma trn chuyn trc [T 2 ]: 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 T Ma trn chuyn v ca [T 2 ]: 2 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 T T Ma trn cng ca phn t 2 trong h ta ton cc: 2 2 2 2 1008 0 -5040 -1008 0 -5040 0 840000 0 0 -840000 0 -5040 0 33600 5040 0 16800 -1008 0 5040 1008 0 5040 0 -840000 0 0 840000 0 -5040 0 16800 5040 0 33600 T l k T k T Cỏc phng trỡnh ca phn t 2 trong h ton cc: 2 2 2 5 5 5 1008 0 -5040 -1008 0 -5040 0 0 840000 0 0 -840000 0 0 -5040 0 33600 5040 0 16800 0 . -1008 0 5040 1008 0 5040 0 0 -840000 0 0 840000 0 0 -5040 0 16800 5040 0 33600 0 u v u v [...]... -6,68E-11 Trang 33 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Biu lc dc, lc ct, mụmen: (hỡnh trờn l kt qu trong FEM, hỡnh di l kt qu trong SAP) HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 34 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 35 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS... [kk,mm,ff]=feasmbl1 _khung( kk,k,mm,m,ff,f,index); % assemble each element matrix into system matrix HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 29 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn end % % apply constraints and solve % [kk,mm,ff]=feaplycskhung(kk,mm,ff,bcdof,bcval); % apply the boundary conditions %% Static analysis fsol=kk\ff; % solve the matrix equation... (kN ) 0.401 0 0.966 1.159 0 1.634 0 0.52 0 0 1.04 0 0 2.229 1.634 0 2.971 0.966 HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 24 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Ma trn khi lng ca h khung khi lp ghộp phn t 1: 0 1.634 1.159 0 1.04 0 1.634 0 2.971 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.401 0 0.966 0.52 0 m 0 0 2.229 0.966 0 0 0 0 0 0 0 0... 67200 0 10080 33600 d12 0 840000 0 0 d13 0 2016 10080 d14 0 67200 d15 0 sym kl4 HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B d 4 l r 4 l Trang 13 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Ma trn chuyn trc [T4]: 1 0 0 T 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Ma trn chuyn v ca [T4]: 1 0 0 T T 4 ... 4 0 0 0 840000 0 0 u5 0 840000 0 2016 10080 0 2016 10080 v5 0 0 10080 33600 0 10080 67200 5 0 HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 14 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Cỏc ma trn ton cc sau khi lp ghộp phn t 4: 0 -5040 0 0 0 -1008 0 -5040 0 0 0 0 0 0 1008 0 840000 0 0 0 0 0 -840000 0 0 0 0 0 0 0 -5040 0 33600 0... 840000 0 0 841008 0 5040 0 0 0 0 2016 10080 0 842016 10080 0 0 0 0 10080 33600 5040 10080 100800 r 2 0 0 0 4 0 0 0 0 HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 15 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn 4) Gii h phng trỡnh ton cc tỡm giỏ tr ca nỳt: Ta cú phng trỡnh: k d r d k r 1 Vi [k]-1 l ma trn nghch o ca ma trn [k] v bng: 0.6620 0.0004 ... 1: L = 10 m, EI = 84000 kN/m2, EA = 8400000 kN Chuyn v nỳt trong h ton cc: d 0 0 0 0.0014710761 0.0000025083 0.0002146931 HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 16 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Chuyn v nỳt trong h ta a phng: 0 1 0 d T .d 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0.0014710761... 0.400791384s 3.807384 2 ds Lc ct: V (s) d M (s) 0.400791384 ds b) Phn t 2: L = 10 m, EI = 84000 kN/m2, EA = 8400000 kN HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 17 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Chuyn v nỳt trong h ton cc: d 0 0 0 0.0014682204 0.0000022536 0.0000236592 Chuyn v nỳt trong h ta a phng: 0 1 0 d T .d 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0... un: d 2 v( s ) M (s) EI 84000(1.903818x105 s 9.2825x105 ) 1.59920712s 7.7973 2 ds Lc ct: V (s) d M ( s) 1.59920712 ds HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 18 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn c) Phn t 3: L = 5 m, 2EI = 168000 kN/m2, EA = 8400000 kN Chuyn v nỳt trong h ton cc: d 0.0014710761 0.0000025083 0.0002146931 GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn 0.0014701242 0.0007997707... 0.0007997707 0.0000519555 Mụmen un: M ( s) 2EI d 2 v( s ) 168000(1.254156 x105 s 1.193668 x106 ) 2.10698208s 0.200536224 ds 2 HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 Lớp XDC14B Trang 19 Bài tập môn ph-ơng pháp phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn Lc ct: V ( s) d M ( s) 2.10698208 ds d) Phn t 4: L = 10 m, 2EI = 168000 kN/m2, EA = 8400000 kN, Chuyn v nỳt trong h ton cc: d 0.0014701242 0.0007997707 . Bài t p môn ph-ơng ph p phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 L p XDC14B Trang 3 a phng cho mi phn t nh quan h (2). T ú cỏc kt qu trờn phn t. Bài t p môn ph-ơng ph p phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 L p XDC14B Trang 9 Cỏc ma trn ton cc sau khi lp gh p phn t 1: 1008. Bài t p môn ph-ơng ph p phần tử hữu hạn GVHD: PGS.TS Nguyễn Hoài Sơn HV: Trần Nguyên Ph-ơng MSHV: 1480813 L p XDC14B Trang 11 Cỏc ma trn ton cc sau khi lp gh p phn t 2: 1008