Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi c huyên đề: vành đa thức và ứng dụng lời nói đầu Mt trng hp c bit ca cu trỳc vnh, ú l vnh a thc. õy cng l cu trỳc m rng ca tp a thc m ta ó hc ph thụng. Ngoi ra ta cũn nghiờn cu cỏc bi toỏn liờn quan nh l a thc trờn vnh s nguyờn Z, a thc trờn trng s thc R, T ú tỡm hiu v a thc. Rt nhiu ng dng v bi tp ó c hc trong chng trỡnh ph thụng. V hụm nay, vi s hng dn ca cụ Lờ Th Hng Hi. Nhúm chỳng em ó hon thnh chuyờn nh v vnh a thc v mt s ng dng trong gii toỏn ph thụng. Do mt hn ch v thi gian nờn vn cũn nhiu thiu sút, mong cụ giỏo v cỏc bn gúp ý, chnh sa thờm. Xin chõn thnh cm n Phn 1: Vnh a thc mt n 1.Vnh a thc mt n Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 1 a i A vi mi i N i + j= k a i b j , k = 0, 1, 2, . Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi Cho a thc thụng thng: f(x) = a 0 + a 1 x ++ a n x n g(x) = b 0 + b 1 x ++ b m x m , trong ú a i, b j R, gi s m n Phộp cng v phộp nhõn a thc l: f(x) + g(x) = (a 0 + a 1 x ++ a n x n ) + (b 0 + b 1 x ++ b m x m ) = a 0 + b 0 ++(a n + b m ) x n + b n+1 x n+1 ++ b m x m . f(x).g(x) = (a 0 + a 1 x ++ a n x n ) (b 0 + b 1 x ++ b m x m ) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x ++ (a 0 b k + a 1 b k-1 ++ a k b 0 )x k ++ a n b m x n+m . õy chỳng ta hóy nh ngha a thc mt cỏch tng quỏt hn v chớnh xỏc hn. Gi s A l mt vnh giao hoỏn, cú n v kớ hiu l 1. Gi P l tp hp cỏc dóy (a 0 , a 1 ,, a n ,), trong ú cỏc , v bng 0 tt c tr mt s hu hn. Nh vậy P là một bộ phận của luỹ thừa đề các A N . Ta định nghĩa các phép toán trong P nh sau: (1) (a 0 , a 1 , .,a n , .) + (b 0 , b 1 , .,b n , .) = (a 0 + b 0 , a 1 +b 1 , .,a n +b n ,.) (2) (a 0 , a 1 , .,a n , .) (b 0 , b 1 , .,b n , .) = (c 0 , c 1 , .,c n ,.), Vi C k = a 0 b k + a 1 b k-1 ++ a k b 0 = Vỡ cỏc a i v b i bng 0 tt c tr mt s hu hn nờn cỏc a i + b i v c i cng bng 0 tt c tr mt s hu hn, cho nờn (1) v (2) cho ta hai phộp toỏn trong P. Ta hóy chng minh P l mt vnh giao hoỏn, cú n v. Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 2 ∑ i + j= k a i b j ∑ i + j= k c j ∑ h + k= m ∑ i+j= k b j c j ∑ h + i+j= m a h (b i c j ) ∑ h + i+j= m (a h b i )c j ∑ j+l = m ∑ h + i= l a h b i ∑ i + j= k a i (b j + c j ) = ∑ i + j= k a i b j a i c j + ∑ i + j= k x = (0, 1, 0,…,0,…) … Giáo viên hướng dẫn: Lê Hồng Hải Trước hết, hiển nhiên phép cộng là giao hoán và kết hợp. Phần tử không là dãy (0, 0, …, 0, …), phần tử đối của dãy (a 0 , a 1 , ….,a n , ….) là dãy (-a 0 , -a 1 , ….,-a n , ….). Vậy A là giao hoán, nên = b j a i Do đó phép nhân là giao hoán. Do phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng, nên với mọi m = 0, 1, 2, … ta có thể viết a h ( ) = = = ( ) Từ đó ta có phép nhân trong P là kết hợp. Dãy (1, 0, …, 0, …) là phần tử đơn vị của P. Vậy P là một vị nhóm nhân giao hoán. Cuối cùng luật phân phối trong A cho phép ta viết với mọi k = 0, 1, 2, …, ta suy ra từ đó luật phân phối trong P. Bây giờ ta hãy xét dãy Ta có theo quy tắc nhân (2) X 2 = (0, 0, 1, 0, 0,…,0,…) X 3 = (0, 0, 0, 1, 0,…,0,…) Chuyên đề: VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 3 x n = ( , 1, 0,…,0…) x o = (1, 0,0,…,0,…) = 1 Giáo viên hướng dẫn: Lê Hồng Hải Ta quy ước viết Mặt khác ta xét ánh xạ: A → P a (a, 0,…, 0, …) Ánh xạ này hiển nhiên là một đơn cấu (vành). Do đó từ giờ ta đồng nhất phần tử a A với dãy (a, 0,…, 0, …) P, và vì vậy A là một vành con của vành P. Vì mỗi phần tử của P là một dãy (a 0 , a 1 , ….,a n , ….) trong đó các a i bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của P có dạng (a 0 , a 1 , ….,a n , 0, ….) trong đó a 0 , …, a n A không nhất thiết khác 0. Việc đồng nhất a với (a, 0, …, 0, …) và việc đưa vào dãy x cho phép ta viết (a 0 , ….,a n , 0, …) = (a 0 , 0, …) + (0, a 1 , 0, …) + …+ (0, …, a n , 0, …) = (a 0 , 0, …) + (a 1 , 0, …) (0, 1, 0, …) + …+ (a n , 0, …) , 1, 0, …) = a 0 + a 1 x + … + a n x n = a 0 x 0 + a 1 x + … + a n x n . Người ta thường kí hiệu các phần tử của P viết dưới dạng a 0 x 0 + a 1 x + … + a n x n b ằng f(x), g(x)… Định nghĩa 1. Chuyên đề: VÀNH ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG Trang 4 Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x trên A, và kí hiệu là A [x]. Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A. Trong một đa thức f(x) = a 0 x 0 + a 1 x + + a n x n các a i , i = 0, 1, , n gọi là các hệ tử của đa thức. Các a i x i gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt a 0 x 0 = a 0 gọi là hạng tử tự do. Đa thức có dạng ax n (a R) đợc gọi là một đơn thức. 2. Bậc của một đa thức: Xét một dãy (a 0 , a 1 , .,a n , .) thuộc vành P. Vì các a i bằng 0 tất cả trừ một số hữu hạn nên nếu (a 0 , a 1 , .,a n, .) (0, 0, , 0, ) thì bao giờ cũng có một chỉ số n sao cho a n 0 và a i = 0, i > n . Theo nh trên ta viết (a 0 , a 1 , .,a n, .) = a 0 x 0 + a 1 x + + a n x n = f(x) trong đó nếu a n 0 thì số n đợc gọi là bậc của đa thức f(x), và kí hiệu deg(f) = n . Đa thức với các hệ tử đều bằng 0 gọi là đa thức không. Đa thức bậc 0 là một phần tử của vành A và nó còn đợc gọi là đa thức hằng. Chú ý rằng ta không định nghĩa bậc của đa thức 0. Định nghĩa 2. Bậc của đa thức khác 0 f(x) = a 0 x 0 + + a n-1 x n-1 + a n x n với a n 0, n 0, là n. Hệ tử a n gọi là hệ tử cao nhất của f(x). Định lí 1. Giả sử f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0. Nếu bậc f(x) khác bậc g(x), thì ta có f(x) + g(x) 0 và bậc (f(x) + g(x)) = max (bậc f(x), bậc g(x)). Nếu bậc f(x) = bậc g(x), và nếu thêm nữa f(x) + g(x) 0, thì ta có Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 5 n f(x)= a i x i , g (x)= m b i x i , với a n , b m 0 , m = n + k, k > 0 n m f(x)+ g(x) = (a i + b i )x i + b i x i i = 0 i = n+1 f(x).g(x) = a 0 b 0 + + (a 0 b k + a 1 b k1 + a k b 0 )x k + + a n b m x n+m f(x).g(x) = a 0 b 0 + + (a 0 b k + a k b 0 )x k + + a m b n x n+m Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi bậc (f(x) + g(x)) max (bậc f(x), bậc g(x)). Nếu f(x).g(x) 0, thì ta có bậc (f(x).g(x)) bậc f(x) + bậc g(x). Chứng minh: Giả sử Khi đó Và Chú ý rằng, nếu A là vành nguyên thì a n b m 0. Từ đó, suy ra các khẳng định đã nêu trong định lí. Định lí 2. Nếu A là một miền nguyên f(x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành A[x], thì f(x) g(x) 0 và bậc (f(x) g(x) = bậc f(x) + bậc g(x). Chứng minh: Giả sử f(x), g(x) A[x] là hai đa thức khác 0 f(x) = a 0 + + a m x m (a m 0) g(x) = b 0 + + b n x n (b n 0) theo quy tắc nhân đa thức, ta có Vì A là miền nguyên và a m , b n 0 nên a n b m 0 (A không có ớc của 0), do đó f(x).g(x) 0 và bậc (f(x)g(x)) = m + n = bậc f(x) + bậc g(x). (đpcm) Hệ quả. Nếu A là miền nguyên, thì A[x] cũng là miền nguyên. 3. Phép chia với d. Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 6 Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi Trong mục 2 ta đã thấy nếu A là một miền nguyên thì A[x] cũng là một miền nguyên. Ta tự đặt câu hỏi: nếu A là một trờng thì A[x] có phải là một trờng không? Câu hỏi đợc trả lời ngay tức khắc, A[x] không phải là một trờng vì đa thức x chẳng hạn không có nghịch đảo. Tuy vậy trong trờng hợp này A[x] là một miền nguyên đặc biệt, nó là một vành ơclit, nghĩa là một vành trong đó có phép chia với d. Định lí 3 (phép chia ơclit). Giả sử A là một trờng, f(x) và g(x) 0 là hai đa thức của vành A[x]; thế thì bao giờ cũng có hai đa thức duy nhất q(x) và r(x) thuộc A [x] sao cho f(x) = g(x) q(x) + r(x), với bậc r(x) < bậc g(x) nếu r(x) 0. Các đa thức q(x) và r(x) đợc gọi tơng ứng là thơng và d trong phép chia f(x) cho g(x). Chứng minh: i) Trớc hết ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử f(x) = g(x) q(x) + r(x), với bậc r(x) < bậc g(x) nếu r(x) 0. Ta suy ra g(x) (q(x) - q(x)) + r(x) - r(x) = 0. Nếu r(x) = r(x), ta có g(x) (q(x) - q(x)) = 0, vì g(x) 0 và A[x] là một miền nguyên, nên suy ra q(x) - q(x) = 0 tức là q(x) = q(x). Giả sử r(x) r(x), vậy Bậc (r(x) - r(x)) = bậc (g(x) (q(x) - q(x))) = bậc g(x) + bậc (q(x) - q(x)) (định lí 2). Mặt khác theo giả thiết và định lí 1, ta có: bậc (r(x) - r(x)) max (bậc r(x), bậc r(x) < bậc g(x) bậc g(x) + bậc (q(x) - q(x)), điều này mâu thuẫn với đẳng thức trên. ii) Sự tồn tại. Sự tồn tại của q(x) và r(x) thì suy ra từ thuật toán dới đây. Tìm q(x) và r(x) gọi là thực hiện phép chia f(x) cho g(x). Đa thức q(x) gọi là thơng, đa thức r(x) là d của f(x) cho g(x). Việc tìm thơng và d là tức khắc nếu bậc f(x) < bậc g(x). Ta chỉ cần đặt q(x) = 0, r(x) = f(x). Trong trờng hợp trái lại ta dùng nhận xét sau đây: Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 7 Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi Nếu ta biết một đa thức h(x) sao cho f 1 (x) = f(x) g(x) h(x) có bậc thực sự bé hơn bậc của f(x) thì bài toán trở thành đơn giản hơn: tìm thơng và d của f 1 (x) cho g(x). Thật vậy, nếu f 1 (x) = g(x) q 1 (x) + r 1 (x) từ đó q(x) = h(x) + q 1 (x), r(x) = r 1 (x) Trong thực tiễn, với f(x) = a m x m + a m-1 x m-1 + + a 0 g(x) = b n x n + b n-1 x n-1 ++ b 0 , b n 0 và n m ta nhận xét rằng, lấy h(x) = b a n m x m-n , thì đa thức f 1 (x) = f(x) g(x) h(x) có bậc thực sự bé hơn bậc của f(x), hoặc f 1 (x) bằng 0. Trong trờng hợp f 1 (x) = 0, d r(x) = 0 và thơng q(x) = h(x). Nếu f 1 (x) 0 ta tiếp tục với f 1 (x), ta đợc f 2 (x) Dãy đa thức có bậc f 1 (x), f 2 (x) có bậc giảm dần. Khi ta đi đến một đa thức có bậc thực sự bé hơn bậc của g(x) thì đa thức đó chính là d r(x). Nếu một đa thức của dãy bằng 0 thì d r(x) = 0. Để nhìn thấy rõ hơn ta hãy viết ra các bớc mà ta đã thực hiện để đợc dãy f 1 (x), f 2 (x) f 1 (x) = f(x) g(x) h(x) f 2 (x) = f 1 (x) g(x) h 1 (x) . f k (x) = f k-1 (x) g(x) h k-1 (x) với = 0 hoặc bậc f k (x) < bậc g(x). Cộng vế với vế các đẳng thức đó lại, ta đợc f(x) = g(x)( h(x) + h 1 (x) + + h k-1 (x)) + f k (x), từ đó q(x) = h(x) + h 1 (x) + + h k-1 (x), r(x) = f k (x). (đpcm) Ví dụ. Trong thực tiễn để thực hiện phép chia f(x) cho g(x), ngời ta sắp đặt nh sau để lập dãy f 1 (x), f 2 (x) Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 8 Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi 1) A là trờng số hữu tỉ . - x 3 7x 2 + 2x 4 - 2x 2 + 2x - 1 - x 3 x 2 - 2 1 x 2 1 x + 4 - 8 x 2 + 2 5 x - 4 - 8 x 2 + 8x - 4 2 11 x Từ đó: - x 3 7x 2 + 2x 4 = (- 2x 2 + 2x 1) ( 2 1 x + 4) 2 11 x. 2) A là trờng các số nguyên mod 11. - 1 x 3 7 x 2 + 2 x 4 - 2 x 2 + 2 x - 1 - 1 x 3 1 x 2 - 6 x 6 x + 4 - 8 x 2 + 8 x - 4 - 8 x 2 + 8 x - 4 0 Vậy - 1 x 3 7 x 2 + 2 x 4 = (- 2 x 2 + 2 x - 1 )( 6 x + 4 ) Hệ quả. f(x) chia hết cho g(x) khi và chỉ khi d trong phép chia f(x) cho g(x) bằng 0. 4. Nghiệm của một đa thức. Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 9 Giỏo viờn hng dn: Lờ Hng Hi Định nghĩa 3. Giả sử c là một phần tử tuỳ ý của vành A, f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n là một đa thức tuỳ ý của vành A[x]; phần tử f(c) = a 0 + a 1 c + + a n c n A đợc bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f(x) tại c. Nếu f(c) = 0 thì c gọi là nghiệm của f(x). Tìm nghiệm của f(x) trong A gọi là giải phơng trình đại số bậc n a n x n ++ a 0 = 0 (a n 0) trong A. Định lí 4. Giả sử A là một trờng, c A, f(x) A[x]. D của phép chia f(x) cho x c là f(c). Chứng minh. Nếu ta chia f(x) cho x c, d hoặc bằng 0 hoặc là một đa thức bậc 0 vì bậc (x c) bằng 1. Vậy d là một phần tử r A. Ta có f(x) = (x c) q(x) + r Thay x bằng c, ta đợc f(c) = 0 . q(c) + r, Vậy r = f(c). (đpcm) Hệ quả. c là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho x c. Thực hiện phép chia f(x) = a 0 x n + a 1 x n-1 ++ a n cho x c, ta đợc các hệ tử của đa thức thơng q(x) = b 0 x n-1 + x n-2 ++ b n-1 cho bởi các công thức b 0 = a 0 , b i = a i + cb i-1 , i = 1, , n-1 và d r = a n + cb n-1 . Vì r = f(c), ta suy ra một phơng pháp (phơng pháp Hoocne) để tính f(c) bằng sơ đồ sau đây: Chuyờn : VNH A THC V NG DNG Trang 10 [...]... các c1, , cm trong (3) chính là các bi0, , b imi , i = 0, , n do đó c1 = c2 = = cm = 0 Bằng quy nạp ta chứng minh mỗi đa thức f(x1, x2, , xn) của vành A[x1, x2, , xn] có thể viết dới dạng m a (c a i da j ) x1 + + cm xa1 x n với các ci x i1 a11 a1 n (4) f(x1, x2, , xn) = c1 x1 x n m1 in mn n ai 1 A, các ai1, ain , ain, i = 1, , m, là những số tự nhiên ivà các ci x1 xn gọi là các hạng =1 a +a a . + a n x n = f(x) trong đó nếu a n 0 thì số n đợc gọi là bậc của đa thức f(x), và kí hiệu deg(f) = n . Đa thức với các hệ tử đều bằng 0 gọi là đa thức không. Đa thức bậc 0 là một phần tử