Mục lục Mở đầu 5 Lời cảm ơn 7 Bảng kí hiệu 8 1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Giới thiệu về copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Một vài định nghĩa và tính chất của copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Các biên Fre’chet- Hoeffding có các hàm phân phối đồng thời . . . . . . . 13 1.1.4 Các copula và các biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Sự phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.2 Sự phụ thuộc hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.3 Sự phù hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.4 Hệ số Kendall tau (τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.5 Hệ số Spearman rho (ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 1.2.6 Sự phụ thuộc đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng 34 2.1 Kỹ thuật xây dựng các copula nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Họ Farlie- Gumbel- Morgenstern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.2 Họ Marshall- Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Các Copula Elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Copula Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.2 t- copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Các Copula Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Các tổng lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2 Các định nghĩa, tính chất và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.3 Sự phụ thuộc đuôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.4 Các copula Archimede nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4 Ứng dụng của mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula trong bảo hiểm . . . . . . 68 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4 Mở đầu Trong kỷ nguyên hội nhập kinh tế, các thị trường kinh tế khác nhau có sự phụ thuộc nhất định. Nói riêng, trong một nước các ngành kinh tế khác nhau cũng có sự phụ thuộc nhất định, ví dụ: sự phụ thuộc giữa thị trường vàng và thị trường chứng khoán, thị trường chứng khoán và thị trường dầu mỏ, . . Nếu ta đo lường được sự phụ thuộc giữa các thị trường tài chính với nhau thì sẽ quản trị rủi ro tốt hơn. Như ta đã biết, nếu các thị trường có sự phụ thuộc tuyến tính với nhau thì chúng ta sử dụng hệ số tương quan tuyến tính và hiệp phương sai để tính toán. Nhưng nếu các thị trường không có sự phụ thuộc tuyến tính với nhau mà chúng có sự phụ thuộc phi tuyến thì chúng ta không thể dùng hệ số tương quan tuyến tính và hiệp phương sai để tính toán. Vậy vấn đề đặt ra là: Nếu giữa các thị trường có sự phụ thuộc phi tuyến với nhau thì chúng ta dùng công cụ nào để tính toán? Để giải quyết vấn đề này chúng ta sẽ dùng mô hình hóa sự phụ thuộc giữa các biến nhẫu nhiên bằng phương pháp copula. Copula là các hàm liên kết hoặc nối các phân phối biên duyên một chiều với các hàm phân phối nhiều chiều. Copula thường được quan tâm trong các lĩnh vực nghiên cứu về sự phụ thuộc và xây dựng các phân phối nhiều chiều. Trong lĩnh vực tài chính, copula thường được sử dụng như một công cụ quan trọng trong các bài toán nghiên cứu sự tương quan giữa các thị trường, đo lường rủi ro của các danh mục đầu tư và nhiều bài toán liên quan khác. Vì vậy, trong những năm gần đây những nghiên cứu về copula và các ứng dụng của nó được rất nhiều người quan tâm. 5 Trong luận văn này trình bày về các họ copula và mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua việc nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi giữa hai phân phối. Các kết quả này cung cấp một cơ sở cho những ai quan tâm đến mô hình hóa sự phụ thuộc trong lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Với mong muốn tìm hiểu về các vấn đề trên, luận văn nghiên cứu về đề tài: ”Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng” . Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị . Chương này trình bày những khái niệm cơ sở, tính chất của copula, sự phụ thuộc và một số ví dụ minh họa. Chương 2: Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng. Chương này trình bày việc mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua sự phụ thuộc đuôi của các phân phối copula. Phần cuối của chương này, luận văn trình bày ứng dụng của mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula với các số liệu trong thực tế. 6 Lời cảm ơn Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc và tận tình chỉ bảo của TS Trần Trọng Nguyên. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục đào tạo của nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tôi để tôi hoàn thành nhiệm vụ của mình. Hà Nội, Tháng 01 năm 2014. 7 Bảng kí hiệu R: Tập số thực R: Tập số thực mở rộng[−∞, ∞] R 2 = R ×R I = [0, 1] I 2 = I ×I I n = [0, 1] n [0, 1] = {x ∈ R |0  x  1} (0, 1) = {x ∈ R |0 < x < 1} [0, 1) = {x ∈ R |0  x < 1} (0, 1] = {x ∈ R |0 < x  1} Họ copula FGM: Họ copula Farlie- Gumbel- Morgenstern F −1 : Nghịch đảo của F t −1 : Nghịch đảo của t t υ : t- phân phối với độ tự do υ 8 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về copula, các tính chất của chúng và khái niệm sự phụ thuộc để sử dụng cho chương sau. 1.1 Copula 1.1.1 Giới thiệu về copula Giả sử R biểu thị đường thẳng thực thông thường (−∞, ∞), R biểu thị đường thẳng thực mở rộng [−∞, ∞] và R 2 biểu thị mặt phẳng mở rộng R ×R. Một hình chữ nhật trong R 2 là tích Đề các B của hai khoảng đóng B = [x 1 , x 2 ] × [y 1 , y 2 ]. Các đỉnh của hình chữ nhật B là các điểm (x 1 , y 1 ) , (x 1 , y 2 ) , (x 2 , y 2 ) , (x 2 , y 1 ). Hình vuông đơn vị I 2 là tích I ×I, ở đó I = [0, 1]. Một hàm thực n- vị trí H là một hàm mà miền xác định của DomH là một tập hợp con của R 2 và miền giá trị của RanH là một tập con của R. Định nghĩa 1.1 Cho S 1 , S 2 , , S n là các tập con không rỗng của R , trong đó R kí hiệu là đường 9 thẳng thực mở rộng [−∞; ∞]. Giả sử H là hàm thực với n biến trên miền xác định DomH = S 1 × S 2 × ×S n và cho a  b (trong đó a = (a 1 , a 2 , , a n ) , b = (b 1 , b 2 , , b n ) và a k  b k với mọi k = 1, n), giả sử B = [a, b] = [a 1 , b 1 ] × × [a n , b n ] là một n- hộp có tất cả các đỉnh trong DomH. Khi đó thể tích-H của B được cho bởi V H (B) =  sgn (c) H (c) (1.1) với tổng được thực hiện tại tất cả các đỉnh c của B , và sgn (c) được cho bởi: sgn (c) =        1, nếu c k = a k với k chẵn −1, nếu c k = a k với k lẻ (1.2) Một cách tương đương, thể tích- H của một n- hộp B = [a, b] là thứ tự thứ n khác của H trong B V H (B) = ∆ b a H (t) = ∆ b n a n ∆ b n−1 a n−1 ∆ b 1 a 1 H (t) trong đó ∆ b k a k H (t) = H (t 1 , t 2 , , t k−1 , b k , t k+1 , , t n ) − H (t 1 , t 2 , , t k−1 , a k , t k+1 , , t n ). Định nghĩa 1.2 Một hàm thực H của n biến là n tăng nếu V H (B)  0 của tất cả n- hộp B có đỉnh nằm trong miền xác định DomH hay có thể nói thể tích của nó trên hộp bất kì là không âm. Giả sử miền của một hàm thực H của n biến được cho bởi DomH = S 1 ×S 2 × ×S n ở đó mỗi S k một phần tử nhỏ nhất là a k . Chúng ta nói rằng H có đáy (ground: đáy) nếu H (t) = 0 với mọi t trong DomH sao cho t k = a k với ít nhất một k. Nếu mỗi S k là không rỗng và có một phần tử lớn nhất là b k , khi đó chúng ta nói rằng H có phân phối biên biên duyên, và phân phối biên duyên một chiều của H là hàm H k cho bởi DomH k = S k và H k (x) = H (b 1 , b 2 , , b k−1 , x, b k+1 , , b n ) (1.3) với tất cả x trong S k . Phân phối biên duyên một- chiều sẽ được gọi đơn giản là “phân phối biên duyên” với k  2 phân phối biên duyên k- chiều sẽ được gọi là “k- phân phối biên duyên”. 10 Bổ đề 1.1 Cho S 1 , S 2 , , S n là tập con khác rỗng của R , và giả sử hàm H có đáy n- tăng với miền xác định S 1 ×S 2 × ×S n . Khi đó là không giảm theo mỗi đối số, tức là nếu (t 1 , t 2 , , t k−1 , x, t k+1 , , t n ) và (t 1 , t 2 , , t k−1 , y, t k+1 , , t n ) nằm trong miền xác định DomH và x < y khi đó H (t 1 , t 2 , , t k−1 , x, t k+1 , , t n )  H (t 1 , t 2 , , t k−1 , y, t k+1 , , t n ) . Bổ đề 1.2 Cho S 1 , S 2 , , S n là tập con khác rỗng của R, và giả sử hàm H có đáy n- tăng với phân phối biên duyên và miền xác định là S 1 × S 2 × × S n . Nếu bất kì điểm x = (x 1 , x 2 , , x n ) và y = (y 1 , y 2 , , y n ) trong S 1 × S 2 × ×S n . Khi đó |H (x) − H (y)|  n  k=1 |H k (x k ) − H k (y k )|. Chứng minh: (xem Schweizer và Sklar (1983) , [10]). Định nghĩa 1.3 Hàm phân phối n- chiều là một hàm H với miền R n mà: 1. H là n- tăng 2. H (t) = 0 với tất cả t trong R n như vậy t k = −∞ với ít nhất một k và H(∞, ∞, , ∞) = 1. Do H có đáy, và DomH = R n , nên theo bổ đề 1.2 các biên duyên của một hàm phân phối n- chiều là các hàm phân phối mà chúng ta sẽ kí hiệu F 1 , F 2 , , F n . 1.1.2 Một vài định nghĩa và tính chất của copula Đầu tiên chúng ta xác định các subcopula như một lớp của các hàm n- tăng cơ sở với các biên, khi đó chúng ta xác định các copula như các subcopula với miền xác định I n . Định nghĩa 1.4 Một subcopula n- chiều là một hàm C’ với những tính chất sau: 1. DomC  = S 1 × S 2 × ×S n , với mỗi S k là một tập con của I chứa 0 và 1. 2. C  có đáy và n- tăng. 3. C  có phân phối biên duyên C  k , k = 1, 2, , n thỏa mãn C  k (u) = u với mọi u trong S k . 11 Chú ý rằng với mỗi u thuộc DomC  , 0  C  (u)  1 vì vậy C  cũng là tập con của I. Định nghĩa 1.5 Một copula n-chiều là một n-subcopula C mà miền xác định là I n . Một cách tương đương , n- copula là một hàm C từ I n tới I với những tính chất sau: 1. Với mọi u trong I n , C (u) = 0 nếu ít nhất một tọa độ của u là 0 và nếu tất cả tọa độ của u là 1 trừ u k thì C (u) = u k . 2. Với mọi a và b trong I n được xác định a  b , V C ([a, b])  0 . Chú ý rằng với bất kì n- copula C, n  3, mỗi k- biên duyên của C là k- copula, 2  k < n . Định lý sau suy ra trực tiếp từ bổ đề 1.2. Định lý 1.1 Cho C  là n- subcopula. Khi đó với mỗi u và v thuộc DomC  , |C  (v) −C  (u)|  n  k=1 |v k − u k | Vì thế C  là liên tục đều trên miền xác định của nó. Định lý 1.2 (Định lý Skalar với n- chiều) Cho H là một hàm phân phối n- chiều với các phân phối biên duyên F 1 , F 2 , , F n . Khi đó tồn tại một n- copula C sao với mọi x thuộc R n , ta có: H (x 1 , x 2 , , x n ) = C (F 1 (x 1 ) , F 2 (x 2 ) , F n (x n )) (1.4) Nếu tất cả F 1 , F 2 , , F n liên tục , khi đó C là duy nhất, nói cách khác C là xác định duy nhất trên RanF 1 ×RanF 2 × ×RanF n . Ngược lại , nếu C là n- copula và F 1 , F 2 , , F n là các hàm phân phối, thì hàm H xác định ở trên là một hàm phân phối n- chiều với các biên duyên F 1 , F 2 , , F n . Chứng minh: (xem Sklar (1996) , [13]). Định nghĩa 1.6 Cho F là một hàm phân phối. Khi đó ma trận tựa nghịch đảo của F là bất kì hàm F (−1) với miền xác định I sao cho: 1. Nếu t thuộc RanF thì F (−1) (t) là số x bất kì trong R sao cho F (x) = t, nghĩa là với tất cả t thuộc RanF , F  F (−1) (t)  = t. 12 [...]... số phụ đuôi dưới của C là hệ số sự phụ thuộc đuôi trên của C 33 Chương 2 Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng Chương này trình bày mô hình hóa sự phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên bằng phương pháp copula Vì vậy, vấn đề đầu tiên trong chương này được trình bày là kỹ thuật xây dựng, mở rộng các copula nhiều chiều từ họ copula phân phối hai chiều và các phần tiếp theo sẽ trình bày sự phụ. .. khái niệm có liên quan đến sự phụ thuộc vào các giá trị cực trị ở đầu mút Hơn nữa, sự phụ thuộc đuôi giữa hai biến ngẫu nhiên X và Y là một tính chất copula và do đó số lượng đuôi phụ thuộc là bất biến dưới các phép biến đổi tăng ngặt của X và Y Định nghĩa 1.9 Cho X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm phân phối F1 và F2 Hệ số của sự phụ thuộc đuôi trên giữa X và Y là: −1 −1 lim P Y > F2... x→∞ 1−ρ từ đó suy ra λU = 0 với ρ < 1 Do đó copula Gauss C không có sự phụ thuộc đuôi trên Hoàn toàn tự nhiên, khái niệm về sự phụ thuộc đuôi dưới có thể được định nghĩa tương tự Nếu lim C (u, u) /u = λL u→0+ (1.17) tồn tại, C có sự phụ thuộc đuôi dưới nếu λL ∈ (0, 1] và không có sự phụ thuộc đuôi dưới nếu λL = 0 Với các copula không có dạng đóng đơn một công thức thay thế với λL là hữu ích hơn Xét cặp... độ dưới biên của các copula và chúng ta đã biết W và M là các hàm phân phối hai chiều của các véc tơ ngẫu nhiên (U, 1 − U ) và (U, U ) tương ứng tại U đều ( 0, 1).Trong trường hợp này chúng ta nói rằng W mô tả đầy đủ sự phụ thuộc âm và M mô tả đầy đủ sự phụ thuộc dương Định lý 1.8 Cho (X, Y ) có một trong các copula W hoặc M Khi đó tồn tại hai hàm đơn điệu α, β : R → R và một biến ngẫu nhiên có giá... = W n (u) 3và u bất kì trong I n , có một n -copula C (mà phụ thuộc vào u) Định lý 1.4 Với bất kì n chẳng hạn C (u) = W n (u) Chứng minh:(xem Nelsen (1999) , [9]) Định nghĩa 1.7 Nếu C1 và C2 là các copula, chúng ta nói rằng C1 nhỏ hơn C2 (hoặc C2 lớn hơn C1 ) và viết C1 C2 ) (hoặc C2 C1 (u1 , u2 , , un ) C1 ) nếu C2 (u1 , u2 , , un ) với mọi u1 , u2 , , un thuộc I 14 1.1.4 Các copula và các biến ngẫu... lầm và không nên xem đó là phép đo sự phụ thuộc chính tắc Chúng ta bắt đầu bằng cách trình bày tương quan tuyến tính và sau đó chúng ta tiếp tục với một số phép đo dựa trên sự phụ thuộc copula 1.2.1 Tương quan tuyến tính Định nghĩa 1.8 Cho X và Y là hai giá trị thực các biến ngẫu nhiên với phương sai hữu hạn Mối tương quan tuyến tính giữa X và Y là: ρl (X, Y ) = √ Cov(X,Y ) √ V ar(X) V ar(Y ) Với Cov... Do đó với θ > 1, Cθ có sự phụ thuộc đuôi trên Với các copula không có dạng đóng đơn, chẳng hạn như họ Gauss của các copula với các copula hai biến được cho bởi Cρ (u, v) = Φ−1 (u) Φ−1 (u) −∞ −∞ √1 2π 1−ρ2 2 2 −2ρst+t exp − s 2(1−ρ2 ) dsdt tại −1 < ρ < 1 và Φ là đơn biến có hàm phân phối mẫu chuẩn chuẩn tắc, một công thức thay thế với λU hữu ích Xét một cặp biến ngẫu nhiên (U, V ) trên (0, 1) với copula. .. Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với các hàm phân phối F1 , , Fn tương ứng và hàm phân phối đồng thời H Khi đó (X1 , , Xn ) có duy nhất một copula C, với C được cho bởi (1.4) Định lý 1.5 Cho X1 , X2 , , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục với copula C Khi đó X1 , X2 , , Xn là các biến độc lập nếu và chỉ nếu C = Πn Một tính chất đẹp của các copula là phép biến đổi đơn điệu ngặt của các biến copula. .. tục với các hàm phân phối đồng thời H1 và H2 tương ứng, với các biên chung F (của X1 và X2 ) và G ( của Y1 và Y2 ) Giả sử C1 và C2 kí hiệu của các copula (X1 , Y1 ) và (X2 , Y2 ) tương ứng, sao cho H1 (x, y) = C1 (F (x) , G (y)) và H2 (x, y) = C2 (F (x) , G (y)) Cho Q là kí hiệu giữa xác suất của sự tương thích và sự không tương thích của (X1 , Y1 ) và (X2 , Y2 ), nghĩa là cho Q = P [(X1 − X2 ) (Y1... thường các copula hai biến không có sự mở rộng nhiều chiều tự nhiên và nếu có thì kết quả phụ thuộc cấu trúc hoàn toàn là giới hạn 2.1.1 Họ Farlie- Gumbel- Morgenstern Một tính chất toán học tốt của một họ copula có thể là biểu thức copula được cho dưới dạng bậc của đa thức trong các đối số u và v Xét các copula có dạng: C (u, u) = a (v) u2 + b (v) u + c (v) với một vài hàm a, b và c Điều kiện biên của các . họa. Chương 2: Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng. Chương này trình bày việc mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua sự phụ thuộc đuôi của các phân phối copula. Phần. hóa sự phụ thuộc trong lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Với mong muốn tìm hiểu về các vấn đề trên, luận văn nghiên cứu về đề tài: Mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula và ứng dụng . các họ copula và mô hình hóa sự phụ thuộc với các copula thông qua việc nghiên cứu sự phụ thuộc đuôi giữa hai phân phối. Các kết quả này cung cấp một cơ sở cho những ai quan tâm đến mô hình hóa