Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Đường cong đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Đường cong affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Đường cong xạ ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Kết thức, biệt thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Các tính chất của kết thức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Biệt thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Định lý Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Đối ngẫu trong P 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng 24 2.1 Một số định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Cấu hình năm điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Cấu hình bốn điểm và một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Cấu hình ba điểm và hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Cấu hình p điểm (p < 3) và 5 − p đường thẳng . . . . . . . . . . . . 34 3 Các đường conic vớ i cấu hình điểm - đường thẳng - đường conic 41 3.1 Mặt Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 3.2 Phép nổ của mặt Veronese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Vành Chow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4 Cấu hình p điểm, l đường thẳng và 5 −p − l đường conic . . . . . 50 Kết luận 54 2 Lời nói đầu Điểm, đường thẳng và đường conic là các đối tượng cơ bản trong mặt phẳng. Bài toán cổ điển do Jakob Steiner đưa ra vào năm 1848 : "Trong mặt phẳng ch o năm đường conic, có bao nh iêu đường conic tiếp xúc với tất cả năm đường conic đã cho". Một bài toán tổng quát hơn: "Có bao nhiêu đường conic trong mặt phẳng đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với 5 − p − l đường conic". Các vấn đề đó yêu cầu về mặt số lượng của các đối tượng hình học có chung các tính chất nhất định, hình học đại số gọi đó là vấn đ ề đếm. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề đếm liên quan đến các đường conic trong mặt phẳng. Lu ậ n văn đọc hiểu và trình bày lại bài toán trên dựa theo tài liệu tham khảo [1]. Các kết quả được trình bày và các kỹ thuật không phải là mới, nhưng chúng tôi cố gắng trình bày một cách chi tiết để hiểu hơn về một vấn đề cổ điển của hình học đạ i số, cụ thể chúng tôi dùng đến kết thức, biệt thức , định lý Bézout, vành Chow. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phần mềm Maple, cụ thể dùng tính kết thức, biệt thức và cơ sở Gr¨obner đưa ra nhiều ví dụ minh họa và bổ sung chi tiết các chứng minh không được trình bày trong [1]. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia th à nh ba chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị, trình bày một số kiến thức cơ bản của Hình học đại số mà được sử dụng trong các chương sau. Chương 2: Trên cở sở lý thuyết về kết thức, biệt thức, số giao và đối ngẫu 3 của mặt phẳng xạ ạnh, trả lời câu hỏi "Có bao nhiêu đường conic trong mặt phẳng đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng". Chương 3: Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sâu hơn vấn đề đếm của các siêu mặt, từ đó đưa ra kết qua tổng quát cho trường hợp "Có bao nhiêu đường conic trong mặt phẳng đi qua p điểm, tiếp xú c với l đ ường thẳng và tiếp xúc với 5 −p − l đường conic". Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Phó Đức Tài - Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN. Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi liên tục tron g thời gian tôi là học viên cao học, để tôi có thể hoàn thành bả n luận văn này và có thêm những hiểu biết mới. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy - cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN đã có những ý kiến đóng góp quý báu, sự giúp đỡ tận tình, tôi cũng xin cảm ơn tới tất cả các quý Phòng, Ban, Trung tâm Trường ĐHKHTN-ĐHQGHN đã giúp tôi hoàn thiện các thủ tục trong suốt thời gian tôi theo học tại trường. Hà Nội, năm 2014 Tác giả Trần Quang Trung 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày lại các kiến thức cơ bản về đường cong đại số, kết thức, biệt thức, định lí Bézout, đối ngẫu của P 2 . Tài liệu tham khảo ch ính là [4] và [5]. 1.1 Đường cong đại số Trong phần này chúng ta sẽ phát biểu các định nghĩa trên trường K tổng quát. 1.1.1 Đường cong affine Giả sử P (x, y) là một đa thức hai biến, khác h ằ ng số, với các hệ số thuộc K. Ta nói P (x, y) không có thành phần bội nếu không tồn tại khai triển P (x, y) = (Q(x, y)) 2 R(x, y), trong đó Q(x, y), R(x, y) là các đa thức và Q(x, y) khác hằng số. Định nghĩa 1.1. (Đường cong affine). Giả sử P(x, y) là một đa thức hai biến, khác hằ ng số, với các hệ số thuộc K và không có thành ph ầ n bội. Khi đó đường cong affine trong K 2 định nghĩa bởi P (x, y) là C = {(x, y) ∈ K 2 : P(x, y) = 0}. Bậc d của đường cong C định nghĩa bởi P (x, y) là bậc của đa thức P. 5 Định nghĩa 1.2. Một điểm (a, b) ∈ C được gọi là một điểm kỳ dị của C nếu ∂P ∂x (a, b) = 0 = ∂P ∂y (a, b). Nếu C không có điểm kì dị thì C được gọi là trơn. Định nghĩa 1.3. Một đường cong C định nghĩa bởi đa thứ c P (x, y) đ ược gọi là bất khả qui nếu P là bất khả qui, tức là P chỉ có các nhân tử là hằng số và vô hướng nhân với nó. 1.1.2 Đường cong xạ ảnh Định nghĩa 1. 4. (Không gian xạ ảnh). Tập hợp các không gian con một chiều của không gian vectơ K n+1 được gọi là không gian xạ ảnh n− chiều, ký hiệu là KP n . Khi n = 1 ta có đường th ẳ ng xạ ảnh KP 1 và k hi n = 2 ta có mặt phẳng xạ ảnh KP 2 . Khô ng gian xạ ảnh thực ký hiệu là RP n , không gian xạ ảnh phức ký hiệu là P n . Định nghĩa 1.5. (Đường cong xạ ảnh). Giả sử P (x, y, z) là một đa thức thuần nhất ba biến, khác hằng số, với các hệ số trên K. Khi đ ó đường cong xạ ảnh ˜ C định nghĩa bởi P (x, y, z) là ˜ C = {[x, y, z] ∈ KP 2 : P(x, y, z) = 0} Bậc của đường co ng xạ ảnh ˜ C định nghĩa bởi P (x, y, z) là bậc củ a đa thức P. Định nghĩa 1.6. Điểm [a, b, c] của đường co ng x ạ ảnh ˜ C trong KP 2 định nghĩa bởi một đa thức thuần nhất P (x, y, z) được gọi là điểm kì dị nếu ∂P ∂x (a, b, c) = ∂P ∂y (a, b, c) = ∂P ∂z (a, b, c) = 0. Nếu ˜ C kh ô ng có điểm kì dị thì ˜ C được gọi là trơn. Nhận xét 1.1. Đường cong affine và đường cong xạ ảnh mặc dù khác nhau, nhưng chúng có quan hệ gắn bó với nhau. Từ đường cong affine C chúng ta có 6 thể thu được đường cong xạ ảnh ˜ C bằng cách thêm các điểm ở vô cùn g , thật vậy ta có thể đồng nhất KP 2 với tập con mở U = {[x, y, z] ∈ KP 2 : z = 0} , trong KP 2 thông qua đồng phôi φ : U → K 2 xác định bởi φ([x, y, z]) = ( x z , y z ), với ánh x ạ ngược (x, y) → [x, y, 1]. Phần bù của U trong KP 2 là đường thẳn g xạ ảnh định nghĩa bởi z = 0 mà ta có thể đồng nhất vớ i KP 1 qua ánh xạ [x, y, 0] → (x, y). Như vậy KP 2 là hợp rời của một bản sao của K 2 và một bản sao của KP 1 mà được xem như tại vô cùng. 1.2 Kết thức, biệt thức 1.2.1 Kết thức Định nghĩa 1. 7. Giả sử K là một trường tùy ý, cho hai đa thức f, g là các phần tử của K[x] có các bậc tương ứng là n, m: f(x) = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n , a 0 = 0, n > 0, g(x) = b 0 x m + b 1 x m−1 + . . . + b m , b 0 = 0, m > 0. Khi đó kết thức của f và g theo biến x, được ký hiệu là Res x (f, g) là định thức của ma trận (n + m) × (n + m) : 7 Res x (f, g) = det                a 0 a 1 a 0 a 2 a 1 . . . . . . a 2 . . . a 0 a n . . . . . . a 1 a n a 2 . . . . . . a n    m cột b 0 b 1 b 0 b 2 b 1 . . . . . . b 2 . . . b 0 b m . . . . . . b 1 b m b 2 . . . . . . b m    n cột                , ở đó các chỗ trống được lấp đầy bởi các số không. Nếu P (x, y, z) = a 0 (y, z)x n + a 1 (y, z)x n−1 + . . . + a n (y, z), và Q(x, y, z) = b 0 (y, z)x m + b 1 (y, z)x m−1 + . . . + b m (y, z), là các đ a thức ba biến x, y, z thì kết thức Res x (P, Q) được định nghĩa giống như Res x (f, g) nhưng thay a i (y, z) và b i (y, z) cho a i và b j với 0 ≤ i ≤ n và 0 ≤ j ≤ m. Chú ý Res x (P, Q) là đa thức với biến y và z, khi cho y = b và z = c nó nhận giá trị bằng kết thức của hai đa thức P (x, b, c) và Q(x, b, c) theo x, với giả thiết a 0 (y, z) và b 0 (y, z) khác không. Ví dụ 1.1. (i) Cho f(x) = 2x 3 − 3 x 2 + 1, g(x) = x 2 − 2 x + 5, Res x (f, g) = det     2 0 1 0 0 −3 2 −2 1 0 0 −3 5 −2 1 1 0 0 5 −2 0 1 0 0 5     = 400. (ii) Khi các đa thức f và g có chứa cả biến x và y, mà cần phải tính kết thức của f và g theo biến x, chúng ta có thể xem f và g là các đa thức theo biến x, có các hệ số phụ thuộc vào biến y và tính kết thức của f và g theo định nghĩa như trên. Chẳng hạn, với f = xy + 2 và g = x 2 + 3xy + y − 1, Res x (f, g) = det  y 0 1 2 y 3y 0 2 y − 1  = y 3 − 7 y 2 + 2. 8 Nhận xét 1.2. Res x (f, g) là một đa thức nguyên th eo các hệ số của f và g có nghĩa là có đa thức Res n,m ∈ Z[a 0 , . . . , a n , b 0 , . . . , b m ] sao cho: Res x (f, g) = Res n,m (a 0 , . . . , a n , b 0 , . . . , b m ). Như vậy nếu kí hiệu (a) = (a 0 , a 1 , . . . , a n ), (b) = (b 0 , b 1 , . . . , b m ) thì chúng ta c ó thể kí hiệu R(a, b) thay cho Res x (f, g). Do R(a, b) là đa thức với hệ số nguyên theo bộ các biến (a), (b). Nếu z là biến thì R(za, b) = z m R(a, b) và R(a, zb) = z n R(a, b). Điều đó là hiển nhiên bởi nếu ta đưa z ra khỏi m cột đầu (n cột cuối tư ơng ứng) của định thức. Vậy R(a, b) là đẳng cấ p bậc m theo bộ thứ nh ấ t của các biến và đẳ ng cấp bậc n theo bộ thứ hai của các biến. Ngoài ra khi biểu diễn dưới dạng tổng các đơn thức, kết thức R(a, b) hay Res x (f, g) chứa đơn thức a m 0 b n 0 với hệ số 1. 1.2.2 Các tính chất của kết thức. Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của kết thức. Mệnh đề 1.1. (Các tính chất cơ bản) Cho f, g là các đa thức khác hằng số trong K[x], n = degf, m = degg. Khi đó ta có các tính chất sau: (i) Res x (f, g) = (−1) nm Res x (g, f). (ii) Nếu a ∈ K thì Res x (x − a, f (x)) = f(a). (iii) Nếu a là một phần tử khác không của K thì Res x (a, f) = a n . (iv) Có các đa thức A, B ∈ K[x] thoả mãn: Res x (f, g) = Af + Bg. Trường hợp đặc biệt f và g có nghiệm chung trong K khi và chỉ khi Res x (f, g) = 0, trong đó K là trường đóng đại số của K. Chứng minh. Các tính chất (i), (ii), (iii) là hiển nhiên. Chúng ta đi chứ ng minh tính chất (iv). Để chứng minh được tính chất này ta sẽ chuyển nó thành bài toán tương đương: Đó là tìm các đa thức  A,  B ∈ K[t] thỏa mãn:  Af +  Bg = 1. (1.1) 9 Trước tiên mệnh đề là đúng nếu Res x (f, g) = 0. Kh i đó ta chọn A = B = 0. Giả sử rằng: Res x (f, g) = 0. f = a 0 x n + a 1 x n−1 + . . . + a n , a 0 = 0, n > 0, g = b 0 x m + b 1 x m−1 + . . . + b m , b 0 = 0, m > 0,  A = c 0 x m−1 + . . . + c m−1 ,  B = d 0 x n−1 + . . . + d n−1 , ở đó các hệ số c 0 , . . . , c m−1 , d 0 , . . . , d n−1 là chưa biết trong K. Thế các đ a th ức f, g,  A,  B vào trong phương trình (1.1) và so sánh các hệ số theo các lũy thừa của x, khi đó chúng ta nhận được một hệ các phương trình tuyến tính với các ẩn chưa biết c i , d j (i = 1, m −1, j = 1, n −1), và các hệ số a i , b j (i = 1, n, j = 1, m) trong K. a 0 c 0 + +b 0 d 0 = 0, (hệ số của x n+m−1 ) a 1 c 0 + a 0 c 1 + +b 1 d 0 + b 0 d 1 = 0, (hệ số của x n+m−2 ) . . . . . . a n c m−1 + +b m d n−1 = 1.(hệ số của x 0 ) (1.2) Ma trận các hệ số có định thức khác không, Res x (f, g) = det             a 0 a 1 a 0 a 2 a 1 . . . . . . a 2 . . . a 0 a n . . . . . . a 1 a n a 2 . . . . . . a n b 0 b 1 b 0 b 2 b 1 . . . . . . b 2 . . . b 0 b m . . . . . . b 1 b m b 2 . . . . . . b m             = 0. Vậy hệ phương trình (1.2) có nghiệm duy nhấ t trong K[x]. Chúng ta có th ể sử dụng quy tắc Cramer để tìm công thức nghiệm duy nhất. Quy tắc Cramer ch o chúng ta nghiệm chưa biết thứ i là tỉ lệ của hai định thức, trong đó mẫu số là định thức của ma trận hệ s ố và tử số là định thức của ma trận mà ma trận đó được tạo ra bằng cách thay cột thứ i của ma trận hệ số bởi cột của các hệ số tự do ở vế phải của hệ ph ương trình. Từ đó ta su y ra được công thức của c i 10 [...]... điểm trong RP5 Định nghĩa 2.2 Với mỗi điểm p ∈ R2 , tập hợp các đường conic trong R2 đi qua điểm p tương ứng một tập con Hp ⊂ RP5 Mỗi đường thẳng l ∈ R2 , tập hợp các đường conic trong R2 tiếp xúc với l tương ứng một tập con Hl ⊂ RP5 , và với mỗi đường conic không suy biến Q, tập hợp các đường conic trong R2 tiếp xúc với Q tương ứng một tập con HQ ⊂ RP5 Ví dụ 2.2 (i) Cho điểm p(1, 2) ∈ R2 Một đường. .. C và D và các tiếp tuyến của C và D tại các điểm đó là phân biệt Các kết quả này là các trường hợp của định lý mang tên nhà toán học Bézout, nhà toán học người Pháp Để có thể chứng minh kết quả tổng quát về số giao điểm của C và D trước hết ta đưa vào khái niệm số giao Ip (C, D) của C và D tại điểm p của hai đường cong Chúng ta sẽ định nghĩa bội giao qua kết thức của hai đa thức P (x, y, z) và Q(x,... y, z) và Q(x, y, z) giữ nguyên bậc đối với biến x với các hệ số trong vành K[y, z] Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử P (1, 0, 0) = 1 = Q(1, 0, 0) Khi đó coi P và Q như là các đa thức có bậc n và m theo x với các hệ số trong vành K[y, z] của các đa thức theo y và z Vành K[y, z] nằm trong trường K(y, z) của các hàm hữu tỷ theo y và z , tức là các hàm có dạng f (y, z) , g(y, z) trong. .. đó không có bốn đường nào cùng đi qua một điểm Khi đó các đường conic tiếp xúc với năm đường thẳng đó tương ứng là các đường conic đối ngẫu sẽ đi qua năm điểm đối ngẫu của năm đường thẳng Mà chúng ta đã biết chỉ có một 35 đường conic đi qua năm điểm phân biệt trong đó không có bốn điểm nào thẳng hàng, vì vậy chỉ có một đường conic tiếp xúc với cả năm đường thẳng trong đó không có bốn đường thẳng nào... p tương ứng một cách tự nhiên với một đường ˘ thẳng trong P2 , ký hiệu là p ˘ Nhận xét 1.4 Về mặt hình học chúng ta thấy sự liên kết của một đường thẳng ˘ trong P2 với một điểm trong P2 và ngược lại Chúng ta sẽ thấy rằng nếu p là một điểm của P2 nằm trên đường thẳng L trong P2 , thì p là một đường thẳng ˘ ˘ ˘ trong P2 chứa điểm L 23 Chương 2 Các đường conic với cấu hình điểm - đường thẳng Trong chương... Ví dụ 2.1 (i) Đường tròn: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 (ii) Elip: x2 a2 + y2 b2 = 1 Trong các ví dụ về đường conic trên, đa thức định nghĩa các đường conic là bất khả qui Khi đó đường conic được gọi là không suy biến Nếu đa thức định nghĩa đường conic có nhân tử là tích của hai đa thức tuyến tính, thì đường conic là hợp của hai đường thẳng Khi đó đường conic được gọi là suy biến Khi mà hai đường thẳng là... có thể thấy qua hình Hình 2.2: Hai đường conic đi qua bốn điểm A, B, C, D và tiếp xúc với đường thẳng l 2.4 Cấu hình ba điểm và hai đường thẳng Trong mục này chúng ta sẽ đi tìm hiểu xem có bao nhiêu đường conic đi qua ba điểm và tiếp xúc với hai đường thẳng Cho ba điểm và hai đường thẳng trong mặt phẳng Tương ứng với ba điểm ta sẽ có ba siêu phẳng, tương ứng với hai đường thẳng ta sẽ có hai siêu mặt... phẳng Hp và các siêu mặt Hl , với mỗi một điểm giao sẽ cho tương ứng với một đường conic ta cần tìm Trong các mục tiếp theo của chương này chúng tôi sẽ đi đếm số đường conic đi qua p điểm và tiếp xúc với 5 − p đường thẳng cho trước 26 2.2 Cấu hình năm điểm Trong phần này chúng ta sẽ tìm hiểu xem có bao nhiêu đường conic đi qua năm điểm Giả sử năm điểm trong R2 là p1 , p2 , p3 , p4 và p5 , trong đó... trong trường hợp này do p < 3, do vậy có ít nhất 3 đường conic, để xác định xem khi nào 3 đường conic là cắt hoành không còn đơn giản như trong các trường hợp trên Vì vậy, để trả lời cho câu hỏi: "Có bao nhiêu đường conic đi qua p điểm và l đường thẳng trong đó p < 3 và l = 5 − p?" trong mục này chúng ta sẽ sử dụng đối ngẫu của mặt phẳng xạ ảnh Như đã nêu trong phần (1.4) cho mặt phẳng xạ ảnh phức P2 thì... B, C] ∈ P2 ˘ tương ứng với đường thẳng p : X0 A + Y0 B + Z0 C = 0 thuộc P2 , với mỗi đường ˘ thẳng l : AX + BY + CZ = 0 thuộc P2 tương ứng với một điểm ˘ = [A, B, C] thuộc l 34 ˘ P2 Bây giờ ta sẽ xác định phương trình của đường conic đối ngẫu trong P2 Định nghĩa 2.4 Giả sử Q là một đường conic trong P2 Khi đó đường cong đối ˘ ˘ ngẫu Q của Q trong P2 là tập hợp của tất cả các đường thẳng tiếp xúc . đường thẳng và đường conic là các đối tượng cơ bản trong mặt phẳng. Bài toán cổ điển do Jakob Steiner đưa ra vào năm 1848 : " ;Trong mặt phẳng ch o năm đường conic, có bao nh iêu đường conic tiếp. năm đường conic đã cho". Một bài toán tổng quát hơn: "Có bao nhiêu đường conic trong mặt phẳng đi qua p điểm, tiếp xúc với l đường thẳng và tiếp xúc với 5 − p − l đường conic& quot;. Các. 1.1. Đường cong affine và đường cong xạ ảnh mặc dù khác nhau, nhưng chúng có quan hệ gắn bó với nhau. Từ đường cong affine C chúng ta có 6 thể thu được đường cong xạ ảnh ˜ C bằng cách thêm các