1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ. THANH HOÁ NĂM 2013 PHẦN 1: MỞ ĐẦU II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ. 1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số  Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số. Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) 1 1 x f x x − = + Một số học sinh trình bày như sau: +) Tập xác định: { } \ 1D = ¡ +) Ta có: ( ) ( ) 2 2 0, 1 f x x D x ′ = > ∀ ∈ + +) Bảng biến thiên: +) Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ;1 1;−∞ ∪ +∞ Phân tích: Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán. Chú ý rằng: nếu hàm số ( ) y f x= đồng biến trên tập D thì với mọi 1 2 ,x x D∈ ta có ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f x f x< ⇒ < . Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy 1 2x D= − ∈ và 2 2x D= ∈ thì 1 2 x x< nhưng ( ) 1 3f x = và ( ) 2 1 3 f x = Lời giải đúng: Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ) ;1−∞ và ( ) 1;+∞ .  Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai. Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) 2 1 4f x x x= − + − Một số học sinh trình bày như sau: +) Tập xác định: [ ] 2;2D = − 2 +) Ta có: ( ) 2 1 4 x f x x ′ = − − Cho ( ) 2 2 2 2 0 1 0 4 4 2 4 x f x x x x x x x ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ = ± − +) Bảng biến thiên +) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; 2)- và nghịch biến trên các khoảng ( 2; 2)- - và ( 2;2) . Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn [ ] 2;2− giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây - 2 không phải là điểm tới hạn của hàm số. Mặt khác , đạo hàm không xác định tại 2x = ± Lời giải đúng là: +) Tập xác định: [ ] 2;2D = − +) Ta có: ( ) 2 1 4 x f x x ′ = − − Đạo hàm không xác định tại 2x = ± Cho ( ) 2 2 2 2 0 0 1 0 4 2 4 4 x x f x x x x x x x ≥  ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇒ =  − = −  +) Bảng biến thiên +) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng ) 2; 2  −  và nghịch biến trên nửa khoảng ( 2;2   3 2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng. Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản). Chứng minh rằng: tan x x> , với 0; 2 x π   ∈  ÷   Một số học sinh trình bày như sau: +) Xét hàm số ( ) tanf x x x= − , với 0; 2 x π   ∈  ÷   . +) Ta có: ( ) 2 2 1 1 tan 0, 0; cos 2 f x x x x π   ′ = − = > ∀ ∈  ÷   , suy ra hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng 0; 2 π    ÷   . +) Từ ( ) ( ) 0 0x f x f> ⇒ > hay tan 0 tan , 0; 2 x x x x x π   − > ⇔ > ∀ ∈  ÷   Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau khi kết luận ( ) f x đồng biến trên khoảng 0; 2 π    ÷   thì vì sao từ ( ) ( ) 0 0x f x f> ⇒ > ? Sai lầm ở đây là 0 0; 2 π   ∉  ÷   . Nhớ rằng: nếu ( ) f x đồng biến trên đoạn [ ] ;a b (tức là ( ) f x liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( ) , ;f x x a b ′ > ∀ ∈ ) thì [ ] ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , ; :x x a b x x f x f x∀ ∈ > ⇒ > Lời giải đúng là: +) Xét hàm số ( ) tanf x x x= − , với 0; 2 x π   ∈ ÷    . +) Ta có: ( ) 2 2 1 1 tan 0, 0; cos 2 f x x x x π   ′ = − = ≥ ∀ ∈ ÷    , dấu “=” chỉ sảy ra tại 0x = suy ra hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng 0; 2 π   ÷    . +) Khi đó 0; 2 x π   ∀ ∈  ÷   thì ( ) ( ) 0 0x f x f> ⇒ > hay tan 0 tanx x x x − > ⇔ >  Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến. Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với , 1x x∀ ∈ > −¡ thì 1 . x x e e > − . 4 Một số học sinh trình bày như sau: Xét các hàm số ( ) f x x= và ( ) x g x e= là các hàm đồng biến trên ¡ . Suy ra hàm số ( ) x h x xe= là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên ¡ . Vì vậy , từ ( ) ( ) 1 1x h x h> − ⇒ > − hay 1 x xe e > − . Phân tích: Lời giải trên sai lầm ở chỗ: tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương (!). Lời giải đúng là: +) Xét hàm số ( ) x f x xe= trên [ ) 1;− +∞ +) Ta có ( ) ( ) [ ) 1 0, 1; x x x f x e xe x e x ′ = + = + ≥ ∀ ∈ − +∞ , dấu "=" xảy ra chỉ tại 1x = − . Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ ) 1;− +∞ . +) Từ ( ) ( ) 1 1x f x f> − ⇒ > − hay 1 . x x e e > − . 3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm. Ví dụ minh họa 5: Tính đạo hàm của hàm số ( ) ( ) 2 1 x f x x= + . Một số học sinh trình bày như sau: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 x x f x x x x x x − − ′ ′ = + + = + . Phân tích: Lời giải trên đã vận dụng công thức ( ) 1 u u u α α α − ′ ′ = . Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ α là một hằng số. Lời giải đúng là: +) Điều kiện: 1 2 0 x x  > −    ≠  khi đó ( ) 0f x > +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 ln ln 2 1 x f x x f x x x= + ⇔ = + +) Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ln ln 2 1 ln 2 1 2 1 f x x f x x x x f x x ′ ′ ′ = + ⇔ = + +        + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 ln 2 1 2 2 1 x x f x x x x x − ′ ⇔ = + + + +  Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm. 5 Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức ( ) 1 u u u α α α − ′ ′ = , α ∈¡ , nhưng quên rằng nếu như α không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi u nhận giá trị dương. Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số ( ) 3 2 y f x x= = có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 1x = − . Một số học sinh trình bày như sau: +) Với 1x = − thì ( ) ( ) 2 3 1 1 1y f= − = − = +) Ta có ( ) ( ) 2 1 3 2 3 3 2 3 f x x x f x x − ′ = = ⇒ = +) Hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) ( ) ( ) 1 1 2 6 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 k f − −   ′ = − = − = − =   +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( ) 2 1 1 3 y x− = + hay 2 5 3 3 y x= + . Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết ( ) 2 3 2 3 f x x x= = và ( ) 1 3 1 − − là không đúng (!). Lời giải đúng là: +) Với 1x = − thì ( ) ( ) 2 3 1 1 1y f= − = − = +) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 2 3 3 4 2 2 3 2 3 3 x f x x f x x f x f x x f x x x ′ ′ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = =        +) Hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) 3 2 2 1 3 3 1 k f ′ = − = = − − +) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ( ) 2 1 1 3 y x− = − + hay 2 1 3 3 y x= − + . 4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số  Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Quy tắc:  ( ) ( ) 0, ;f x x a b ′ > ∀ ∈ ⇒ hàm số đồng biến trên khoảng ( ) ;a b .  ( ) ( ) 0, ;f x x a b ′ < ∀ ∈ ⇒ hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) ;a b . Điều ngược lại nói chung là không đúng (!). Ví dụ minh họa 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số ( ) 3 2 1f x x mx x= − + − đồng biến trên ¡ . 6 Một số học sinh trình bày như sau: +) Tập xác định: D = ¡ . +) Ta có : ( ) 2 3 2 1f x x mx ′ = − + . +) Hàm số đồng biến trên ( ) 0 0, 0 a f x x >  ′ ⇔ > ∀ ∈ ⇔  ′ ∆ <  ¡ ¡ hay 2 3 0 3 0m >   − <  3 3m⇒ − < < Phân tích: Chẳng hạn, hàm số ( ) 3 f x x= đồng biến trên ¡ , nhưng ( ) 2 3 0,f x x x ′ = ≥ ∀ ∈¡ , dấu "=" xảy ra chỉ tại 0x = . Nhớ rằng: nếu hàm số ( ) y f x= xác định trên khoảng ( ) ;a b , ( ) ( ) 0, ;f x x a b ′ ≥ ∀ ∈ và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng ( ) ;a b thì hàm số ( ) y f x= đồng biến trên khoảng ( ) ;a b . Lời giải đúng là: +) Tập xác định: D = ¡ . +) Ta có : ( ) 2 3 2 1f x x mx ′ = − + . +) Hàm số đồng biến trên ( ) 0 0, 0 a f x x >  ′ ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔  ′ ∆ ≤  ¡ ¡ hay 2 3 0 3 0m >   − ≤  3 3m⇒ − ≤ ≤  Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần. Quy tắc:  ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x x f x ′ =  ⇒  ′′ >   là điểm cực tiểu  ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x x f x ′ =  ⇒  ′′ <   là điểm cực đại Điều ngược lại nói chung là không đúng (!). Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số ( ) 4 y f x mx= = . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại 0x = ? Một số học sinh trình bày như sau: +) Ta có: ( ) 3 4f x mx ′ = và ( ) 2 12f x mx ′′ = +) Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại 0x = là: ( ) ( ) 0 0 4 .0 0 0 0 12 .0 0 f m f m ′ = =   ⇔   ′′ < <    hệ vô nghiệm 7 +) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại 0x = . Phân tích: Chẳng hạn, với 1m = − , hàm số có dạng ( ) 4 y f x x= = − . Ta có: ( ) 3 4 0 0y f x x x ′ ′ = = − = ⇔ = Bảng biến thiên: Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0. Vậy lời giải trên sai ở đâu ? Nhớ rằng, nếu 0 x thỏa mãn ( ) ( ) 0 0 0 0 0 f x x f x ′ =  ⇒  ′′ <   là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu 0 x là điểm cực đại thì vẫn có thể ( ) 0 0f x ′′ = Lí do là điều kiện ( ) 0 0f x ′′ < chỉ là điều kiện đủ để hàm số ( ) ( ) g x f x ′ = nghịch biến trong lân cận ( ) 0 0 ; , 0x h x h h− + > , khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0, ; 0, ; f x f x x x h x x f x f x x x x h ′ ′ > = ∀ ∈ −  ⇒  ′ ′ < = ∀ ∈ +   là điểm cực đại của hàm số. Lời giải đúng là: +) Ta có: ( ) 3 4f x mx ′ = +) Nếu 0m = thì ( ) 0f x ′ = . Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng ( ) 0y f x= = nên không cực trị. +) Nếu 0m ≠ thì ( ) 3 4 0 0f x mx x ′ = = ⇔ =  Với 0m > ta có bảng biến thiên:  Với 0m < ta có bảng biến thiên: 8 +) Vậy với 0m < thì hàm số đạt cực đại tại 0x = Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số ( ) 4 3 1y f x x mx= = + + . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại 0x = . Một số học sinh trình bày như sau: +) Tập xác định: D = ¡ +) Ta có: ( ) 3 2 4 3f x x mx ′ = + và ( ) 2 12 6f x x mx ′ = + +) Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là: ( ) ( ) 3 2 2 0 0 4.0 3 .0 0 0 0 12.0 6 .0 0 f m f m ′ =  + =  ⇔   ′′ > + >    hệ trên vô nghiệm m. +) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại 0x = . Phân tích: Chẳng hạn , với 0m = , hàm số có dạng ( ) 4 1y f x x= = + Ta có ( ) 3 4 0 0f x x x ′ = = ⇔ = Bảng biến thiên: Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 0x = . Lời giải đúng là: +) Tập xác định: D = ¡ +) Ta có: ( ) ( ) 3 2 2 4 3 4 3f x x mx x x m ′ = + = + +) Cho ( ) ( ) 2 0 0 4 3 0 3 4 x f x x x m m x =   ′ = ⇔ + = ⇔  = −  trong đó 0x = là nghiệm bội bậc chẵn 9  Nếu 0m = thì 0x = trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến thiên:  Với 0m < thì 3 0 4 m < − nên ta có bảng biến thiên:  Với 0m > thì 3 0 4 m > − nên ta có bảng biến thiên: +) Vậy với 0m = thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x = 5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số  Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D. Ví dụ minh họa 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 2 2 1 1 cos 2 cos 1 cos cos f x x x x x   = + + + −  ÷   . Một số học sinh trình bày như sau: 10 [...]... x cos 2 x +) Ta được hàm số: g ( t ) = t 2 + 2t − 3 = ( t + 1) − 4 ≥ −4, ∀t ∈ ¡ 2 +) Vậy min g ( t ) = −4 khi t = −1 hay min f ( x ) = −4 khi cos x + 1 = −1 cos x Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ nhất của hàm f ( x ) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g ( t ) , ∀t ∈ ¡ 1 = −1 (!) Có thể thấy ngay khi t = −1 thì không tồn tại giá trị của x để cos x + cos... "=" xảy ra khi và chỉ khi cos x = 1 2 1  1  2 2 = t2 − 2 +) Mặt khác  cos x + ÷ = t ⇒ cos x + cos x  cos 2 x  2 +) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g ( t ) = t + 2t − 3 với t ≥ 2 +) Ta có g ′ ( t ) = 2t + 2 = 0 ⇔ t = −1 +) Bảng biến thiên: +) Vậy min g ( t ) = −3 khi t = −2 hay min f ( x ) = −3 khi cos x + 1 = −2 cos x ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ 6 Sai lầm khi viết phương... đơn điệu của các hàm số sau: a y = 2x + 3 1− x b y = x2 + x + 1 x +1 c y = cos x − sin x Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị: y = x 2 + 2mx − 3 x−m Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau: a y = ( 7 − x ) 3 x + 5 b y = cos x − sin x c y = sin 2 x Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại x = 1 : 2  y = x 3 − mx 2 +  m − ÷x + 5 3  Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau... = −3 khi cos x + 1 = −2 cos x ⇔ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ ¢ 6 Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Ví dụ minh họa 11: 3 2 Cho hàm số y = f ( x ) = − x + 3x , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A ( −1; 4 ) 11 Một số học sinh trình bày như sau: 2 +) Ta có: f ′ ( x ) = −3x + 6 x +) Vì điểm A ( −1; 4 ) ∈ ( C ) nên suy ra phương... nhất của các hàm số sau: 3 2 a y = x + 3x − 72 x + 90 trên đoạn [ −5;5] b y = 2sin x + sin 2 x  trên đoạn 0; 3π   2   Bài tập 7: Cho hàm số y = ( x + 1) ( 2 − x ) , có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( 2;0 ) Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 ( ) x2 x −x 2 , ∀x ∈ ¡ b e − e ≥ 2 ln x + 1 + x , ∀x ≥ 0 2 1 1 Bài tập 9: Cho hàm số... tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên là kẻ từ A Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà không nhận A làm tiếp điểm Lời giải đúng là: +) Phương trình đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( −1; 4 ) và có hệ số góc k là: y = k ( x + 1) + 4 +) Điều kiện để đường thẳng ( d ) là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có nghiệm: − x 3 + 3x 2 = k ( x + 1) + 4  −3 x 2 + 6 x = k  x... b e − e ≥ 2 ln x + 1 + x , ∀x ≥ 0 2 1 1 Bài tập 9: Cho hàm số y = x 3 − ( m − 1) x 2 + ( m − 3) x + 4 (m là tham số) Xác 3 2 9 định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = −3x + tại 3 điểm phân biệt 2 a e x + cos x ≥ 2 + x − Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình: x 2 − 2 x = m ( x − 1) có 4 nghiệm thực phân biệt 13 . NGHIỆM NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ. THANH HOÁ NĂM 2013 PHẦN 1: MỞ ĐẦU II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ. 1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số . Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức  Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm. hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ ) 1;− +∞ . +) Từ ( ) ( ) 1 1x f x f> − ⇒ > − hay 1 . x x e e > − . 3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm  Sai lầm khi vận dụng