Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình lượng giác và cách giải không mẫu mực
Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ở hầu hết các sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ở ngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường gặp. I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạng một vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm) và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất: 00022BABA Bài 1. Giải phương trình: 02sin4tan32sin4tan322 xxxx GIẢI Znmnxmxxxxxxxxxxxxxxx,26621sin33tan01sin201tan30)1sin2()1tan3(01sin4sin41tan32tan302sin4tan32sin4tan3222222 Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 2 ĐS kx 26 )( Zk II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trình )()( xgxf , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R: ),(,)( baxAxf và ),(,)( baxAxg thì khi đó: AxgAxfxgxf)()()()( Nếu ta chỉ có Axf )( và Axg )(, ),( bax thì kết luận phương trình vô ngiệm. Bài 2. Giải phương trình: 0cos25 xx GIẢI xxxx5225cos0cos Vì 1cos1 x nên 11102 xx mà 1,1,0cos1,1,0cos2,21,15 xxxx Do 02x và 0cos5 x nên phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: 1cossin19961996 xx (1) GIẢI (1) xxxx2219961996cossincossin )cos1(cos)1(sinsin1994219942xxxx (2) Ta thấy xxxxx,0)1(sinsin1sin0sin1994219942 Mà xxxxx,0)cos1(cos0cos10cos1994219942 Do đó (2)),(221cos0cos1sin0sin0)cos1(cos0)1(sinsin1994219942Znmnxnxmxmxxxxxxxxx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 3 Vậy nghiệm của phương trình là: )(2Zkkx ĐS )(2Zkkx Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóng những phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây: 1sin1sin1sin1sin1sin.sinbxaxbxaxbxax 1sin1sin1sin1sin1sin.sinbxaxbxaxbxax Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: 1cos.sin1cos.sin1cos.cos1cos.cosbxaxbxaxbxaxbxax III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNG MINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo dạng và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm một nghiệm của phương trình, sau đó chứng tỏ nghiệm này là duy nhất bằng một trong những cách thông sụng sau: Dùng tính chất đại số Áp dụng tính đơn điệu của hàm số Phương trình 0)( xf có 1 nghiệm ),( bax và hàm f đơn điệu trong ),( ba thì 0)( xf có nghiệm duy nhất là x. Phương trình )()( xgxf có 1 nghiệm ),( bax , )(xf tăng (giảm) trong ),( ba, )(xg giảm (tăng) trong ),( ba thì phương trình )()( xgxf có nghiệm x là duy nhất. Bài 4. Giải phương trình: 21cos2xx với 0x Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 4 GIẢI Ta thấy ngay phương trình có 1 nghiệm 0x. Đặt 12cos)(2xxxf là biểu thức của hàm số có đạo hàm 0,0sin)(' xxxxf (vì xxx ,sin) Hàm f luôn đơn điệu tăng trong ,0 0)( xf có 1 nghiệm duy nhất trong ,0 Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất 0x. B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài 1: Giải phương trình: 02sin2cos22 xxxx (1) GIẢI Ta có (1) 01sin2sincoscos2222 xxxxxx 1sincos01sin0cos0)1(sin)cos(22xxxxxxxxx Phương trình vô nghiệm. Bài 2: Giải phương trình: 1cossin154 xx GIẢI Ta có: 1cossin154 xx xxxx22154cossincossin )cos1(cos)1(sinsin13222xxxx (1) Vì xxx ,0)1(sinsin22 Và xxx ,0)cos1(cos132 Do đó (1) 0)cos1(cos0)1(sinsin13222xxxx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 5 1cos0cos1sin0sinxxxx ),(222Znmnxnxmxmx ĐS kx 2 hay kx 2, )( Zk C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THI Bài 3: Giải các phương trình: 1. 41)4(cossin44xx (1) 2. , .)4,3,2(sincos)cot41(tan nxxxxnnn GIẢI 1. Ta có: (1) 414)22cos(14)2cos1(22xx 1)2sin1()2cos1(22 xx 22)42cos(12sin2cosxxx )(4Zkkxkx 2.Với điều kiện 2kx ta có xtan và xcot luôn cùng dấu nên: 1cot41tan1cot41tan2cot41tancot41tan nxxxxxxxx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 6 Dấu "=" xảy ra 21tan41tancot41tan2 xxxx Với 2n: phương trình 1cot41tan2 xx có nghiệm cho bởi: )(21arctan21tan Zkkxx Với 2, nZn thì: 1sincossincos22 xxxxnn Dấu bằng xảy ra ),(1222222Zmkmnkhikxhaykxmnkhikx (đều không thoả mãn điều kiện 2kx của phương trình) Vậy với Znn ,2 thì phương trình vô nghiệm. ĐS )(21arctan Zkkx Bài 4: Giải phương trình: 113cos13cos1cos1cos xxxx (1) GIẢI Điều kiện: 03cos0cosxx Khi đó (1) 13cos3coscoscos22 xxxx Vì 410)21(41222 aaaaa Do đó 41coscos2 xx và 413cos3cos2 xx 213cos3cos21coscos22 xxvàxx Dấu bằng xảy ra xxxxxxx213cos21cos413cos3cos41coscos22 Vậy phương trình (1) vô nghiệm. D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 7 Bài 1: Giải phương trình: xxx433sin2cossin HƯỚNG DẪN xxxxxxxxxxx,1sin2,1cossin,coscos,sinsin4332323 Vậy phương trình tương đương: 1sin21cossin433xxx ĐS )(22Zkkx Bài 2: Giải phương trình: 02tansin xxx với 20 x HƯỚNG DẪN Dễ thấy phương trình có 1 nghiệm 0x Đặt xxxxf 2tansin)( liên tục trên 2;0 Có đạo hàm: 2;0,0cos)1cos)(cos1(cos)('22xxxxxxf do 01coscos2511cos02512xxx f đơn điệu tăng trên 2;0 Bài 3: Giải phương trình: xxx 3sin52cos4cos2 ĐS )(22Zkkx Bài 4: Giải phương trình: xxxx sincossincos44 ĐS )( Zkkx Bài 5: Giải phương trình: 01sin22 xyx Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 8 ĐS kyx221 hay kyx221 )( Zk Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math 08-11 Nguyễn Văn Tuấn Anh 9 . PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theo đặc thù của phương. những phương trình ta thấy dạng rất bình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫu mực thường