Đang tải... (xem toàn văn)
Hình học là một môn học có tính trừu tượng cao, có những dạng toán khó trong đó kể đến dạng toán Quỹ tích
I. Đặt vấn đề. I. Đặt vấn đề. 1. Cơ sở lý luận. ở trờng THCS, Hình học là một môn học có tính trừu tợng cao, có những dạng toán khó trong đó phải kể đến dạng toán "Quỹ tích". Chính vì thế bên cạnh trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản cần phải hình thành cho các em những cách thức sơ khai cần thiết để tiếp cận và từng bớc giải loại toán này. Là ngời dạy học chắc ai cũng biết V.I.Lênin khẳng định: "Con đờng nhận thức là đi từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng". Cái trực quan mà Lênin nói ở đây không phải là trực quan thông thờng mà phải là "trực quan sinh động". 2. Cơ sở thực tiễn. Hiện nay, ở các trờng (nhất là các trờng ở nông thôn) tỉ lệ học sinh học kém toán rất cao. Trong đó phần lớn các em ngại học phân môn Hình học đặc biệt là dạng toán quỹ tích. Dạng toán này đợc đa vào các lớp cuối cấp THCS với thời lợng không nhiều lắm. Nhng nó lại có mặt khá nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các các cấp. Toán quỹ tích không những khó học đối với học sinh mà còn khó dạy đối với giáo viên vì các dụng cụ trực quan hỗ trợ giảng dạy hầu nh không có mà các dụng cụ thủ công tự tạo của giáo viên thì lại thiếu chính xác, thiếu thẫm mỹ, thao tác khó khăn, thậm chí nhiều khi mâu thuẫn với lý thuyết làm mất lòng tin của học sinh. Do đó mà nhiều khi các em ngộ nhận trong giải toán. Qua khảo sát thực tế ở trờng tôi giảng dạy bằng hai bài toán sau đây: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đờng phân giác trong. Tìm quỹ tích điểm I khi A thay đổi. Bài 2: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. P là một điểm chuyển động trên đờng tròn. Gọi M là một điểm thuộc đoạn AP sao cho AM = k.AP (với k >0). Tìm quỹ tích điểm M. Kết quả thu đợc: Tổng số Số HS chỉ ra đợc quỹ tích ở bài 1 Số HS chỉ ra đợc quỹ tích ở bài 2 Lớp 9/ 3 39 5 (13%) 1 (2,5%) Lớp 9/ 4 40 4 (10%) 0 Nhìn vào kết quả điều tra trên chắc bất cứ giáo viên dạy toán nào cũng trăn trở: tại sao HS lại không giải đợc toán quỹ tích. Chỉ thị 40- CT của Ban bí th có yêu cầu: "Tích cực áp dụng một cách sáng tạo các phơng pháp tiên tiến hiện đại, ứng dụng công nghệ thông tin vào hoạt động dạy học". Hiện tại, một số trờng THCS trong huyện đã đợc trang bị phòng máy vi tính nhng hiệu quả sử dụng cha cao. Chủ yếu các trờng thờng dùng để đánh văn bản hay rải rác dạy tin học văn phòng cho học sinh. Cha thấy trờng nào sử dụng 1 công nghệ thông tin nói chung và máy tính nói riêng nh một đồ dùng dạy học. Trớc đây trong lúc dạy nghề tin học lớp 9, tôi đã thử giới thiệu một số bài toán quỹ tích và dựng hình cơ bản bằng phần mềm The Geometer's Sketchpad. Sau khi xem các em rất thích và hiểu bài toán rất nhanh. Gần đây tôi đợc tiếp xúc với phần mềm dạy học Violet của ngời việt có giao diện thân thiện, mang tính s phạm cao và tơng đối dễ sử dụng. Trong bộ phần mềm này có môđun lập trình mô phỏng cho phép trình bày các bài toán quỹ tích cũng nh dựng hình giúp giáo viên dễ dàng trong quá trình giảng dạy và mang lại những hiệu quả không ngờ tới. Chính vì thế tôi mạo muội trao đổi với các thầy cô và các bạn đồng nghiệp sáng kiến nhỏ: "Trực quan hoá một số bài toán quỹ tích là đờng tròn bằng lập trình mô phỏng nhằm phát triển t duy trừu tợng". 3. Giới hạn đề tài. Đề tài này chỉ giới thiệu cách mô phỏng trực quan một số bài toán quỹ tích là đờng tròn (đặc biệt là bài: "Cung chứa góc" - Hình học 9 - Tiết 46, Bài 6) bằng cách dùng ngôn ngữ Violet Script nhằm hình thành cho học sinh những kiến thức và kỹ năng cơ bản khi làm toán quỹ tích. Nói cách khác là tạo cho học sinh những "lối mòn" trên con đờng nhận thức để các em có thêm tự tin giải toán khi không có thầy cô bên cạnh. Để bài viết đợc gọn hơn, tôi xin nêu cách hớng dẫn tìm ra quỹ tích và mô phỏng quỹ tích chứ không trình bày lời giải chi tiết. 2 II. Giải quyết vấn đề. II. Giải quyết vấn đề. 1. Kiến thức cơ bản. 1.1. Quỹ tích là gì? Quỹ tích là tập hợp những điểm có một số tính chất chung nào đó và chỉ những điểm có tính chất đó mà thôi. 1.2. Cách giải bài toán quỹ tích: Khi giải bài toán quỹ tích ta thờng phải chứng minh cả hai phần: phần thuận và phần đảo. Phần thuận: Những điểm có tính chất T thì nằm trên hình H. (Nếu bài toán quỹ tích có xét giới hạn thì ở phần này có thêm phần Giới hạn quỹ tích). Phần đảo: Những điểm nằm trên hình H thì có tính chất T. 1.3. Hai yếu tố chính trong bài toán quỹ tích: Trong bài toán quỹ tích có hai loại yếu tố chính đó là: yếu tố cố định và yếu tố chuyển động. Việc tìm ra mối liên hệ giữa hai loại yếu tố này là khâu cốt yếu để giải bài toán quỹ tích. 2. Một số bài toán minh hoạ. Bài toán quỹ tích "cung chứa góc". Cho đoạn thẳng AB và góc (0 0 < < 90 0 ). Tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoã mãn = . Trớc hết GV cho HS làm bài toán cụ thể sau: Bài toán 1: Cho đoạn thẳng AB cố định, tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M nằm trong mặt phẳng sao cho = 90 0 . Cách làm: Đầu tiên GV hớng dẫn học sinh vẽ một số vị trí của điểm M. Chẳng hạn: M 1 , M 2 , M 3 . nh bên. Ta đợc hình vẽ nh sau: Sau đó đặt câu hỏi: C1: Em có nhận xét gì về các vị trí của điểm M (chúng thẳng hàng hay không)? TL: Chúng không thẳng hàng. C2: Các vị trí của M có thể nằm trên đờng thẳng hay đờng tròn? 3 AMB AMB a) TL: M có thể nằm trên đờng tròn. C3: M cách đều điểm nào? GV có thể gợi ý (nếu HS không trả lời đợc): M có cách đều trung điểm O của AB không? Rồi yêu cầu học sinh nối O với các vị trí của M. C4: So sánh các đoạn thẳng vừa vẽ? TL: Chúng bằng nhau vì đều bằng một nữa cạnh huyền AB. Vậy điểm M nằm trên đờng nào? TL: M nằm trên đờng tròn 2 ; AB O (Đờng tròn đờng kính AB). Không những 3 điểm nói trên mà mọi điểm M thoả mãn = 90 0 đều thuộc đờng tròn đờng kính AB. Sau đó GV cho HS xem mô phỏng quỹ tích vừa tìm đợc để ghi nhớ lâu hơn (trên máy hình ảnh sẽ sinh động hơn). 4 AMB Hình 1 b) c) d) e) g) a) b) c) Khi M A hoặc M B thì góc AMB là góc tạo bởi đờng thẳng vuông góc với AB lần lợt tại A hoặc B. *Lu ý: trong bài toán trên nếu yêu cầu tìm quỹ tích những điểm M sao cho tam giác AMB vuông tại M thì phải trừ hai điểm A và B (vì khi M A hoặc M B thì không tồn tại tam giác AMB). Sau khi học sinh nắm đợc quỹ tích ở bài toán trên thì GV cho HS quan sát sự mô phỏng trên máy (nh một số hình chụp đợc dới đây) 5 d) e) f) Hình 2 a) b) c) d) e) f) C1: Theo quan sát, em có nhận xét gì về quỹ đạo chuyển động của điểm M? TL: Điểm M chuyển động trên hai cung tròn. GV hớng dẫn HS chứng minh nhận định trên. * Phần thuận: (Trớc hết, xét một nữa mặt phẳng bờ là đờng thẳng AB). GV (nói đồng thời trình diễn trên máy): Giả sử M thoã mãn = và nằm trong nữa mặt phẳng đang xét. Hãy chứng minh cung tròn đi qua ba điểm A, M, B là cố định (không phụ thuộc vào M). 6 AMB Trên nữa mặt phẳng bờ là đư ờng thẳng AB không chứa điểm M kẻ tia tiếp tuyến Ax của Đ.Tròn đi qua 3 điểm A, M, B Khi đó BAx = do đó tia Ax cố định Tâm O phải nằm trên đư ờng thẳng Ay vuông góc với Ax tại A Vậy O cố định, không phụ thuộc vào M Hình 3 g) h) i) a) b) y x Chú ý: GV cần giải thích cho học sinh là tia Ay luôn cắt d (vì 0 0 < < 90 0 nên Ax không thể trùng với đờng thẳng AB do đó Ay không vuông góc với AB). Vậy M thuộc cung tròn AmB cố định. * Phần đảo: Lấy bất kì điểm M' thuộc cung AmB. Ta cần chứng minh = . (Phần này do HS tự chứng minh - sử dụng kiến thức về góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung). GV (nói và mô phỏng trên máy): trên nữa mặt phẳng đối của mặt phẳng đang xét, ta còn có cung Am'B đối xứng với cung AmB cũng có tính chất nh cung AmB. Mỗi cung nh thế đợc gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn AB. * Kết luận: 7 AM'B Hình 4 c) d) e) Hình 5 m m' a) b) y Mặt khác O phải nằm trên đường trung trực d của AB Hình 4 c) d) e) n m y x y x x O cố định vì Ay và d cố định. Với đoạn thẳng AB và góc (0 0 < < 90 0 ) cho trớc thì quỹ tích các điểm M thoã mãn = là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB. Sau khi giải xong GV nêu một số chú ý: Hai cung chứa góc nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. Hai điểm A, B đợc coi là thuộc quỹ tích. Khi = 90 0 thì hai cung nói trên là hai nữa đờng tròn (Bài toán 1). ở hình 4e) AmB là cung chứa góc thì AnB là cung chứa góc 180-. GV hớng dẫn dựng cung chứa góc trên đoạn AB theo các bớc dới đây: (Phần này cũng đợc mô phỏng trên máy) Bài toán 2: Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn. P là một điểm bất kì trên đờng tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P chuyển động trên đờng tròn. 8 AMB Hình 6 a) b) c) d) e) f) Dựng tia Ax sao cho = . ABx Dựng đường thẳng Ay Ax Dựng đường trung trực d của AB Gọi O là giao điểm của Ay và d Dựng cung tròn tâm O bán kính OA (hoặc OB) M2 M3 M1 O A P P P Tơng tự bài toán 1, ở bài này GV cũng cho HS vẽ trớc một số vị trí của điểm M. Chẳng hạn: M 1 , M 2 , M 3 . nh hình dới đây: Sau đó cho HS nhận xét về các vị trí của M. TL: M có thể nằm trên đ- ờng tròn nào đó (vì chúng - M 1 , M 2 , M 3 không thẳng hàng). Bây giờ yêu cầu HS chỉ ra các yếu tố cố định và yếu tố chuyển động và sự liên hệ giữa chúng. TL: -Yếu tố cố định: Đ- ờng tròn (O; R) cố định nên O cố định và R không đổi; điểm A cố định. -Yếu tố chuyển động: P chuyển động nên trung điểm M của AO cũng chuyển động. Do M là trung điểm của AP nên ta nghĩ đến đờng trung bình của tam giác AOP. Gọi N là trung điểm của AO - N cố định. Do MN là đờng trung bình của tam giác AOP nên ROPNM 2 1 2 1 == (không đổi) Vậy M nằm trên đờng tròn 2 ; R N Lời giải: . Sau khi giải xong GV cho HS xem lại mô phỏng quỹ tích trên máy: 9 Hình 7 Hình 8 Bài toán 2': Cho đờng tròn (O; R) và một điểm A nằm trong đờng tròn. P là một điểm bất kì trên đờng tròn. Tìm quỹ tích trung điểm M của AP khi P chuyển động trên đờng tròn. (Cách làm bài toán này hoàn toàn tơng tự bài toán 2 ở trên) I. Đặt vấn đề 1 1. Cơ sở lý luận 1 2. Cơ sở thực tiễn .1 3. Giới hạn đề tài 2 II. Giải quyết vấn đề 3 1. Kiến thức cơ bản 3 1.1. Quỹ tích là gì? .3 1.2. Cách giải bài toán quỹ tích: 3 1.3. Hai yếu tố chính trong bài toán quỹ tích: .3 2. Một số bài toán minh hoạ 3 Mục lục .10 2. Đề tài này có kèm theo một đĩa CD - Trình bày trên nền của phần mềm tạo bài giảng Violet. Mục lục Mục lục I. Đặt vấn đề 1 1. Cơ sở lý luận 1 2. Cơ sở thực tiễn .1 3. Giới hạn đề tài 2 10 [...]...II Giải quyết vấn đề 3 1 Kiến thức cơ bản 3 1.1 Quỹ tích là gì? 3 1.2 Cách giải bài toán quỹ tích: 3 1.3 Hai yếu tố chính trong bài toán quỹ tích: .3 2 Một số bài toán minh hoạ 3 Bài toán 1: 3 Bài toán 2': .10 Mục lục 10 11 . bài toán quỹ tích. 2. Một số bài toán minh hoạ. Bài toán quỹ tích "cung chứa góc". Cho đoạn thẳng AB và góc (0 0 < < 90 0 ). Tìm quỹ tích. bất cứ giáo viên dạy toán nào cũng trăn trở: tại sao HS lại không giải đợc toán quỹ tích. Chỉ thị 40- CT của Ban bí th có yêu cầu: " ;Tích cực áp dụng