1 phần 1: hệ phơng trình i. Củng cố lý thuyết A. Hệ phơng trình dạng chuẩn đã biết cách giải 1. Hệ phơng trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn ''' axbyc axbyc += += 2. Hệ phơng trình trong đó có 1 Phơng trình dạng tuyến tính bậc nhất 2 ẩn (1) (,)(,)(2) axbyc fxygxy += = Từ phơng trình (1) tính x theo y thay vào (2) tìm đợc y tìm đợc nghiệm (x,y) của Hệ phơng trình 3. Hệ phơng trình 2 0(1) (,)(,)(2) axbxc fxygxy ++= = Từ phơng trình (1) tính x, thay vào phơng trình (2) tìm (x,y) của Hệ phơng trình. 4. Hệ phơng trình dạng , xyS xyP += = x, y là 2 nghiệm của phơng trình: X 2 - SX + P = 0 (4) SP 5. Dạng hệ phơng trình đối xứng a. Hệ phơng trình đối xứng loại 1. Dạng (,)0 (,)0 fxy gxy = = với (,)(,) (,)(,) fxyfxy gxygyx = = Nghĩa là trong từng phơng trình, khi ta thay đổi vai trò của x và y thì phơng trình không thay đổi Phơng pháp Đặt () , SxyI Pxy == = Ta đợc hệ: (,)0() (,)0 FSPII GSP = = Giải hệ này tìm đợc S và P x, y là 2 nghiệm của phơng trình t 2 - St + P = 0 Chú ý: hệ (I) có nghiệm Hệ (II) có nghiệm thoả mãn 2 0 SP = b. Hệ đối xứng loại 2 Là hệ phơng trình nếu đổi vị trí 2 ẩn trong hệ thì phơng trình này trở thành phơng trình kia. 2 Dạng (,)0 (,)0 fxy fyx = = Phơng pháp * Trừ theo vế của 2 phơng trình ta đợc phơng trình dạng tích. * nếu (x 0 , y 0 ) là nghiệm của hệ thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ. ii. các dạng bài tập và phơng pháp giải chúng Phơng pháp chung để giải hệ phơng trình là ngời làm Toán cố gắng đa hệ phơng trình về dạng chuẩn để giải chúng. A. Phơng pháp biến đổi đồng nhất. Loại 1 : Trong hệ có một phơng trình bậc nhất với ẩn x,y ta tìm cách rút y theo x hoặc ngợc lại (Dạng 2 phần lý thuyết). Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình 2 2 48 2 xyy xyx = =+ Lời giải Nếu xy 4 ta có hệ 2 22 48(1) 2(2)2 xyy xyxx = = + Từ (2) x khác 0 và 2 2 x y x + = Thay vào phơng trình (1) 2 + x 2 - 4 = 8 - 2 2 2 x x + Hay x 4 - 3x 2 + 2 = 0 (x 2 - 2)(x 2 - 1) = 0 Mà 22 22 xx = Hệ có 2 nghiệm: (x,y) là ( ) ( ) 2;8;2;8 Nếu xy < 4 ta suy ra x 2 < 2 Và ta có: 2 2 48 2 xyy xyx = = + 2 2 22 2 4282(2)0 x xx x + == 2 2 x = (loại) Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm nh trên. Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình Lời giải 3 Ta thấy x = 0 không thoả mãn phơng trình (2) Với x khác 0 22 2 (1)(1)341(1) 1(2) xyxyxx xyxx + + + = + + + = từ (2) y + 1 = 2 1 x x thay vào (1) ta có phơng trình: ()() ()() () () ()() ()() 22 22 22 32 11 341 121131 1221131 0 12201 2 xx xxxx xx xxxx xxxxxx x xxxx x +=+ = += = +== = Hệ phơng trình có 2 nghiệm (x;y) là (1;-1); 5 2; 2 Các bài tập tơng tự Bài 1: ( Khối A năm 2010) 2 22 (41)(3)520 42347 xxyy xyx + + = + + = Loại 2: Một phơng trình trong hệ có thể đa về dạng tích của các phơng trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 3: Giải hệ phơng trình 22 2(1) 2122(2) xyxyxy xyyxxy + + = = Lời giải Điều kiện: 1;0 xy Phơng trình (1) 22 2()0 xxyyxy += ( ) ( ) ( ) ()() 22 20 210 xxyxyyxy xyxy +++= += 210 xy = ( Do có đk có x + y > 0) 21 xy =+ Thay vào phơng trình (2) ta đợc: ( ) ()() 21222(21)2 2121 yyyyyy yyy +=+ +=+ 4 () ( ) 12202 yyy +== ( Do y 0) Với y = 2 ta có x = 2y + 1 = 5 Hệ có nghiệm (x,y) = (5,2) Các bài tập tơng tự Bài 1: ( ẹH Khoỏi A -2003) 11 xy xy 3 2yx1 = = + 9/ ( ẹH K B -2008): 4322 x2xyxy2x9 2 x2xy6x6 ++=+ +=+ , Loại 3: Một phơng trình của hệ là phơng trình bậc 2 theo một ẩn (chẳng hạn ẩn y). Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn đợc y theo x bằng cách giải phơng trình bậc 2 ẩn y. Ví dụ 4: Giải hệ phơng trình ( ) ( ) 2 22 544(1) 54168160(2) yxx yxxyxy =+ ++= Lời giải: Biến đổi phơng trình (2) về dạng: ( ) 22 '2 48516160 54 9 4 yxyxx yx x yx +++= =+ = = Với y = 5x + 4 thay vào phơng trình (1) (5x + 4) 2 = (5x+ 4)(4-x) () ()() 4 4 ,;0 5 5 0 ,0,4 xy x x xy = = = = Với y = 4 - x thay vào (1) ta đợc: ()()() 2 40 4544 04 xy xxx xy == =+ == Hệ có 3 nghiệm (x,y) là: (0;4); (4;0); (- 4 5 ; 0). ii. phơng pháp đặt ẩn phụ Điểm quan trọng nhất trong việc giải hệ là phát hiện ẩn phụ u = f(x,y) 5 v = g(x,y) có ngay trong từng phơng trình hoặc xuất hiện sau một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0 để đa hệ về dạng đơn giản hơn. Ví dụ 5: Giải hệ phơng trình 22 42242222 18 208 xyxyxyxy xyxyxyxyxy + + + = + + + = Lời giải: Dễ thấy khi x = 0 thì y = 0 Hệ phơng trình có nghiệm: (x = 0; y = 0) Khi x 0 y 0 Chia hai về của phơng trình (1) cho xy và chia hai vế của phơng trình (2) cho x 2 y 2 ta đợc hệ: 22 22 11 18 11 208 xy xy xy xy +++= +++= Đặt: 1 1 xX x yY y + = + = Ta có hệ phơng trình: 22 18 1814;4(1) 564;14(2) 212 XY XYXY XYXY XY + = + = = = = = = + = Trờng hợp thứ nhất hệ có 4 nghiệm (x,y) là: ( ) ( ) ( ) 743;23;743;23;743;23;(743;23) ++++ Trờng hợp thứ (2) hệ có thêm 4 nghiệm (x,y) là: ( ) ( ) ( ) ( ) 23;743;23;743;23;743;23;743 ++++ Kết luận hệ phơng trình có 9 nghiệm Ví dụ 6 : Giải hệ phơng trình ( ) () () 2 2 14(1) 12(2) xyyxy xyxy +++= ++= Lờigiải Ta thấy y = 0 không thoả mãn phơng trình (1) nên hệ phơng trình tơng đơng với () 2 2 1 4 1 21 x yx y x yx y = ++= = += 6 Đặt 2 1 , x u y + = 2 vyx =+ ta có hệ () 2 1;1 1 uv uv uv += == = Ta có hệ ( ) () 2 1;2 1 1 2;5 xy xy xy xy == += += == Hệ phơng trình đã cho có 2 nghiệm Ví dụ 7 : Giải hệ phơng trình () () () 22 2 3 47 1 23 xyxy xy xxy xy +++= + ++= + Đặt 1 uxy xy =++ + ( ) 2 u V= x -y ta có hệ phơng trình 22 313 3 uv uv += += Giải hệ (với lu ý 2 u ta có u = 2 ; v = 1 Ta có Hệ phơng trình 1 2 1 xy xy xy ++= + = (x = 1 ; y = 0) vậy Hệ phơng trình có nghiệm: (x,y) là (1;0) Các bài tập tơng tự Bài 1: bũ 1 khoỏi D 2006) : () 22 xxyy3(xy) 3 22 xxyy7xy += ++= , ( ) x,yR . Bài 2: (Dửù bũ 2 khoỏi B 2006) : () ( ) () ( ) 22 xyxy13 22 xyxy25 += += , ( ) x,yR . Bài 3: (Dửù bũ 1 khoỏi A 2006) : ( ) () ( ) () 2 x1yyx4y 2 x1yx2y +++= ++= , ( ) x,yR . Bài 4: (Dửù bũ 1 khoỏi A 2005) : () 22 xyxy4 xxy1y(y1)2 +++= ++++= , Bài 5: (Dửù bũ 2 khoỏi A 2005) : 2xy1xy1 3x2y4 +++= += . 7/ (Dửù bũ 2 khoỏi A 2007) : 4322 xxyxy1 32 xyxxy1 += += . 8/ ( ẹH K A -2008): () 5 232 xyxyxyxy 4 5 42 xyxy12x 4 ++++= +++= , ( ) x,yR . 7 phơng pháp hàm số loại 1: Một phơng trình trong hệ có dạng f(x) = f(y) phơng trình còn lại giúp ta giới hạn đợc x.y để trên hàm f đơn điệu. Từ đó suy ra x = y Ví dụ 8 : Giải hệ phơng trình 33 84 55(1) 1(2) xxyy xy = += Lời giải Từ phơng trình (2) 84 1;1 xy 1;1 xy xét hàm f(t) = t 3 - 5t t [-1 ; 1] Ta có f(t) = 3t 2 - 5 < 0 t [-1 ; 1] hàm f(t) x = y thay vào phơng trình (2) x 8 + x 4 -1 = 0 Đặt a = x 4 0 ta có a = 4 1515 22 yx ++ == Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thờng dẫn đến một trong 2 phơng trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn điệu Ví dụ 9 : Giải hệ phơng trình 21 2 2231 2231 y xxx yyxy ++=+ ++=+ Lời giải Đặt a = x - 1 b = y - 1 Ta đợc hệ 2 2 13 13 b a aa bb ++= ++= Trừ theo vế của 2 phơng trình trên ta đợc 22 1313(3) ab aabb+++=+++ xét hàm f(x) = 2 13 t tt +++ có f(x) = 2 2 1 3ln3 1 t tt t ++ + + và 2 1 t + > 2 tt f(x) >0 t 8 f(t) đồng biến trên R Từ phơng trình (3) a = b thay vào phơng trình (1) ta có ( ) 2 2 13(4) 130 a nn aa laaal ++= ++= Xét hàm g(a) = ( ) 2 ()13 nn galaaal =++ Có: ' 2 1 ()3130 1 nn gallaR a =<< + Nên hàm g(a) nghịch biến và do phơng trình (4) có nghiệm a = 0 nên ta có nghiệm ban đầu của hệ là (x = 1; y= 1) Các bài tập tơng tự Bài 1: ( Khối A năm 2010) 2 22 (41)(3)520 42347 xxyy xyx + + = + + = Bài 1: ( Khối A năm 2010) 33 66 33(1) 1(2) xxyy xy = + = v. phơng pháp đánh giá Với phơng pháp này cần phát hiện các biểu thức không âm trong hệ và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản. Ví dụ 10. Giải hệ phơng trình 1(1) 1(2) 1(3) xy yz zx = = = Lời giải: Dễ thấy x > 0, y > 0, z > 0 Không giảm tính tổng quát giả sử : 1 xyyzyz + Ta lại có 1110 zxyxxyzxxyzxx =++==== Do x dơng ( ) 2 51:4 x=+ Vậy hệ phơng trình có nghiệm: x = y = z= ( ) 2 51 4 + Ví dụ 11. Giải hệ phơng trình 9 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z  =  +   =  +   =  +  Lêi gi¶i : NÕu x = 0 → y = 0 → z = 0 → hÖ cã nghiÖm (x; y; z) = (0; 0; 0) NÕu x ≠ 0 → y > 0 → z > 0 → x > 0 22 2 22 2 22 2 22 12 22 12 22 1 12 xx yx xx zz xzyxzy zz yy zyxyz yy =≤= + =≤=⇒≤≤≤ + =≤=⇒=== + VËy hÖ ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm: (0; 0; 0) vµ (1; 1; 1) VÝ dô 12: Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2 32 2 2 3 2 29 2 29 xy xxy xx xy yyx yy  +=+  −+    +=+  −+  Lêi gi¶i : Céng theo vÕ 2 ph−¬ng tr×nh cña hÖ ta cã: 22 322 3 22 2929 xyxy xy xxyy +=+ −+−+ Ta cã: 322 3 22 33 29(1)82 29(1)82 xxx yxy −+=−+≥ −+=−+≥ 10 22 22 22 22 xyxy VTxyxyxy +=+ Dấu = khi 1 0 xy xy == == Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm nh trên. Ví dụ 13. Giải hệ phơng trình 3 3 34 262 yxx xyy =++ = Lời giải: Hệ đã cho tơng đơng với: ()() ()() 2 2 212(1) 2212(2) yxx xyy =+ =+ Nếu x > 2 thì từ (1) y = 2 < 0 Điều này mâu thuẫn với phơng trình (2) có x - 2 và y - 2 cùng dấu. Tơng tự với x 2 ta cũng suy ra điều mâu thuẫn. Vậy nghiệm của hệ phơng trình là x = y = 2 vi. các phơng pháp khác 1. Phơng pháp sử dụng phơng trình hệ quả Ví dụ 13: Giải hệ phơng trình 1 2 3 xy yz xz += += += Lời giải : Cộng theo vế (1), (2), (3) rồi chia cho 2 ta có phơng trình: x + y + z = 3 (4) [...]... phơng trình x3 - 4x2 + 5x - 2 = 0 (x-1) 2 (x- 2) = 0 (x, y, z) = (1; 1; 4) v các hoán vị của nó hệ phơng trình có các nghiệm: (x, y, z) (1; 1; 4), (1; 4; 1) ,(4; 1; 4) Phần iii Các b i toán liên quan 1 B i toán giải phơng trình Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta đợc b i toán giải phơng trình về giải hệ phơng trình 12 Ví dụ 15: Giải phơng trình x3 + 1 = 2 3 2 x 1 Lời giải: Đặt 3 2x 1 = y Ta có hệ phơng... lai của hệ Ví dụ 18: Giải hệ phơng trình x y = 1 y z =1 z x = 1 Theo cách giải ở ví dụ 10 ta suy ra x = y = z x, Đặt Ta có: t = y, z l nghiệm của phơng trình x x =t 1 nếu không để ý đến điều kiện t 0 5 2 x 1 = 0 t = (1 5 )2 thừa nghiệm 4 Phần ii Phơng trình 1 Phơng pháp biến đổi đồng nhất 1 3 Ví dụ 1: Giải phơng trình : x3 - x 2 - x = Lời giải Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình: ... i 2: Giải hệ phơng trình: x + y + z = 3 (Dùng phơng pháp đánh 3x2 + 5 y 2 + 7 z 2 = 15 giá) x + y + z = 22 2 2 2 B i 3: Tìm nghiệm nguyên của hệ: x + y + z = 196 (Dùng Định lý Viet mở 3 3 3 x + y + z = 2008 rộng) y + z + u = a x + z + u = b B i 4: Giải hệ phơng trình: x + y + u = c x + y + z = d B i 5: Cho a, b, c l 3 số khác 0 22 (Dùng phơng trình hệ quả) ay + xz = c Giải hệ phơng trình: cx... -1 x = 6 Tập nghiệm của phơng trình l {6 ; 8} 17 Ví dụ 6: Giải phơng trình X4 - 6x3 + 10x2 - 6x + 10 = 0 Lời giải đây l phơng trình đối xứng bậc 4 để giải phơng trình n y ta nhận xét x = 0 không l nghiệm của phơng trình nên phơng trình 1 1 2 2 x - 6x + 10 - 6 + 2 = 0 (chia 2 vế cho x ) x x 1 2 1 x + 2 6 x + + 10 = 0 x x Đặt x + 1 = t ( t 2 ) x Ta có phơng trình: Khi t = 2 ta có Khi t... Hay x = Phơng trình có nghiệm duy nhất: x = 2 3 4 Ví dụ 13 Giải phơng trình 5 27.x10 5x6 5 864 = 0 Lời giải Ta thấy x = 0 không thoả mãn phơng trình nên chia hai vế của phơng trình cho x6 ta đợc phơng trình tơng đơng: 5 27.x + 4 5 32.27 =5 x6 x4 + 2 = x6 5 5 27 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dơng ta có: 2 x4 x4 x4 1 1 x + 6 = + + + 6 + 6 3 3 3 x x x 4 Do đó x thoả mãn phơng trình thức bất... y=0 Hệ phơng trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 0; 2) Ví dụ 14: Giải hệ phơng trình 2 xy = x + y + 1 2 yz = y + z + 7 2 xz = x + z + 2 Lời giải: Viết hệ về dạng: ( 2 x 1)( 2 y 1) = 3 (1) ( 2 y 1)( 2 z 1) = 15 (2) (3) ( 2 x 1)( 2 z 1) = 5 Nhân theo vế của 3 phơng trình trên ta đợc: ( 2x 1) ( 2y 1) ( 2z 1) = 225 ( 2x 1)( 2y 1)( 2z 1) =15 ( 2x 1)( 2y 1)( 2z 1) =15 2 2 2 (4) (5) Các phơng trình. .. x 2 + 5 x + 7 = 0 phơng nghiệm 18 trình n y vô Kết luận: tập nghiệm của phơng trình l 5 + 13 5 13 ; 2 2 3 Phơng pháp đánh giá Ví dụ 8: Giải phơng trình: (x - 8) 4 + (x -6)4 = 16 (1) Lời giải: Dễ thấy x = 8 hoặc x = 6 l 2 nghiệm của phơng trình đã cho Nếu x > 8 ta có (x -6)4 > 24= 16 (x - 8)4 > 0 (x - 8)4 + (x -6)4 > 16 Vậy x > 8 không l nghiệm của phơng trình Nếu x < 6 ta có: (x - 8)4 =... 0 4 4 (x - 8) + (x -6) > 16 nên x < 6 không thoả mãn Với 6 < x < 8 phơng trình (1) viết về dạng: (x - 6)4 + (8 - x)4 = 16 Khi đó (x - 6)4 + (8 - x)4 < (x - 6 + 8 - x)4 = 16 Vậy phơng trình vô nghiệm khi: 6 < x < 8 Tóm lại tập nghiệm của phơng trình l : {6 ; 8 } Ví dụ 9 Giải phơng trình x 2 + 6 x + 13 + x 2 + 6 x + 18 = 34 x 2 6 x Lời giải: Biến đổi phơng trình về dạng: ( x + 3)2 + 4 + ( x + 3)2... 1) =15 2 2 2 (4) (5) Các phơng trình (4) v (5) l các phơng trình hệ quả ( 2x 1) =1 (1) ( 2y 1) = 3 (2) ( x; y; z) = (1;2;3) Trờng hợp thứ nhất ta có: ( 2z 1) = 5 (3) ( 2x 1) =1 2y 1) = 3 Trờng hợp thứ hai ta có: ( ( 2z 1) = 5 Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; - 1; - 2) Kết luận: Hệ phơng trình có 2 nghiệm (nh trên) 11 2 Phơng pháp sử dụng hệ thức Viet mở rộng Ta sử dụng kết quả: nếu x, y, z thoả mãn... = 0 x2 y 3xy + 2x + 6 = 0 Hệ 2 2 x y + 2 y +12 4z 0 (x2 - 6x - 2y - 15) + 2(x2y -3xy + 2z + 6) + (x2y2 + 2y + 12 - 4z) 0 (xy + x)2 - 6(xy + x) + 9 0 13 (xy + x - 3)2 0 xy + x = 3 x(y + 1) = 3 Giải các trờng hợp ta tìm đợc nghiệm nguyên của hệ l : (x= -1; y = - 4; z = 5) iv một số sai lầm khi giải 1 L m mất nghiệm của hệ phơng trình: Ví dụ 17: Giải hệ phơng trình 2x2 = y 2 x +1 2 y2 . 1: hệ phơng trình i. Củng cố lý thuyết A. Hệ phơng trình dạng chuẩn đã biết cách giải 1. Hệ phơng trình tuyến tính bậc nhất 2 ẩn ''' axbyc axbyc += += 2. Hệ phơng trình. phơng trình 3. Hệ phơng trình 2 0(1) (,)(,)(2) axbxc fxygxy ++= = Từ phơng trình (1) tính x, thay vào phơng trình (2) tìm (x,y) của Hệ phơng trình. 4. Hệ phơng trình dạng , xyS xyP += = . của phơng trình t 2 - St + P = 0 Chú ý: hệ (I) có nghiệm Hệ (II) có nghiệm thoả mãn 2 0 SP = b. Hệ đối xứng loại 2 Là hệ phơng trình nếu đổi vị trí 2 ẩn trong hệ thì phơng trình này