ÔN TẬP TOÁN 12 I.Các công thức đạo hàm: 1) ( ) 0'=c (C là hằng số). 2) ( ) 1 .' − = αα α xx 3) )0( 1 ' 1 2 ≠−=       x x x 4) ( ) 0 2 1 )'( >= x x x 5) ( ) xx cos'sin = 6) ( ) xx sin'cos −= 7) ( ) 2 cos 1 ' x tgx = 8) ( ) 2 sin 1 'cot x gx −= 9) ( ) xx ee =' 10) ( ) xaa xx ln.'= 11) ( ) x x 1 'ln = 12) ( ) ax x a ln 1 'log = 1) ( ) uxu ' 1− = αα α 2) )0( ' ' 1 2 ≠−=       x u u u 3) ( ) 0 2 ' )'( >= x u u u 4) ( ) uuu cos'.'sin = 5) ( ) '.sin'cos uuu −= 6) ( ) 2 cos ' ' u u tgu = 7) ( ) 2 sin ' 'cot u u gu −= 8) ( ) '.' uee uu = 9) ( ) '.ln.' uxaa uu = 10) ( ) au u u a ln ' 'log = II/Các quy tắc tính đạo hàm: 1) ''')'( wvuwvu ±±=±± 2) (k.u)’ =k.u’ 3) (u.v)’ =u’.v + u.v’ 4) 2 '.'. ' v vuvu v u − =       (v 0≠ ) 5) 2 ' ' 1 v v v − =       (v 0≠ ) 6) xu uyy x '.'' = 7) 2 ' )( dcx cbda dcx bax + − =         + + *Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Một điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) ).(:)( xfyC =∈ Ta có f’(x 0 )=k:là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm M 0 . III/ Nguyên hàm: 2 1) Định nghĩa:F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên (a;b) F’(x) =f(x) , ).,( bax∈∀ 2) Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp 1) ∫ += cxdx 2) ∫ + + = + c x dxx 1 1 α α α 3) ∫ += cxdx x ln 1 4) ∫ += cxdxx sin.cos 5) ∫ +−= cxdxx cos.sin 6) ∫ += ctgxdx x . cos 1 2 7) ∫ +−= cgxdx x cot. sin 1 2 8) ∫ += cedxe xx 9) ∫ += c a a dxa x x ln 1) ∫ + + + =+ + c bax a dxbax 1 )( 1 )( 1 α α 2) ∫ ++= + cbax a dx bax ln 11 3) ∫ ++=+ cbax a dxbax )sin( 1 )cos( 4) ∫ ++−=+ cbax a dxbax )cos( 1 )sin( 5) ∫ +−= + cxg a dx bax cot 1 )(sin 1 2 ∫ ++= + cbaxtg a dx bax )( 1 )(cos 1 2 6) 7) ∫ += ++ ce a dxe baxbax 1 8) ∫ += + + c a a m dxa nmx nmx ln 1 3)Các phương pháp tích phân: Dạng 1: Tích phân của tích , thương phải đưa về tích phân của 1 tổng hoặc 1 hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. *Chú ý: n m n m aa = Dạng 2:Phương pháp tính tích phân từng phần: a/ Loại 1 : Có dạng: A= ∫               + b a bax x dx e x x e xP cos sin ).( Trong đó P(x) là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u=P(x) dxxPdu ).('=⇒ dv = =⇒               + Vdx e x x e bax x cos sin 2 Áp dụng công thức tính tích phân từng phần A= [ ] ∫ − b a b a duvvu b/Loại 2:có dạng : B= ∫ + b a dxbaxxP ).ln().( Phương pháp : Đặt u = ln(ax+b) => du = dx bax a + dv = P(x)dx => V = Áp dụng công thức B = [ ] ∫ − b a b a duvvu Dạng 3:Phương pháp đổi biến số để tính tích phân: A= ( ) [ ] dxxxf b a ).'.(. ϕϕ ∫ Phương pháp : Đặt t = dxxdtx ).(').( ϕϕ ==> Đổi cận:    ==>= ==>= )( )( atax btbx ϕ ϕ Do đó A = )(b ϕ F(t).dt= [ ] )( )( )( b a tF ϕ ϕ Dạng 4:Các dạng đặc biệt cơ bản: a/Loại 1: I= ∫ + a xa dx 0 22 Phương pháp:Đặt x=a.tgt       <<− 22 ππ t => dx= dtttgadt x a )1( cos 2 2 += . Đổi cận: b/Loại 2: J= dxxa a . 0 22 ∫ − Phương pháp: Đặt x=asint       ≤≤− 22 ππ t => dx = acost.dt Đổi cận. Dạng 5: I = ∫ ++ b a cbxax dx 2 Nếu ))((:0 21 2 xxxxacbxax −−=++>∆ 2 Do đó :       − − −− = ++ 21211 2 11 )( 11 xxxxxxa cbxax Nếu         ∆ −       + = ++ =∆ 2 2 2 4 2 11 :0 a a b xa cbxax Để tính I= ∫ b a         ∆ −       + 2 2 42 1 aa b xa Phương pháp : Đặt x+ tgt aa b 22 ∆ = (làm giống dạng 4) *Dùng phương pháp đồng nhất thức để tính tích phân hàm số hữu tỉ: 1)Trường hợp 1:Mẫu số có nghiệm đơn cx C bx B ax A cxbxax xP − + − + − = −−− ))()(( )( . 2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm cbxax CBx ax A cbxaxax xP ++ + + − = ++− 22 ))(( )( 3)Trường hợp 3: Mẫu số có nghiệm bội bx E bx D bx C ax B ax A bxax xP − + − + − + − + − = −− 23232 )()( )( )()()( )( VD:Tính các tích phân sau: A= ∫ +− 3 2 2 123 xx dx B= ∫ +− 3 2 2 96xx dx C= ∫ ++ 3 2 2 1xx dx Dạng 6: A= ∫∫ dxxhaydxx nn cos sin Nếu n chẵn : Áp dụng công thức Sin 2 a= 2 2cos1 a− Cos 2 a= 2 2cos1 a+ Nếu n lẽ: A= xx n sin sin 1 ∫ − Đặt t= cosx (biến đổi sinx thành cosx) Dạng 7: A= dxxgBhaydxxtg mm .cot. ∫∫ = Đặt tg 2 x làm thừa số 2 Thay tg 2 x = 1 cos 1 2 − x 2 4.Các công thức lượng giác biến đổi tích thành tổng 1) Cos 2 a= 2 2cos1 a+ 2) Sin 2 a= 2 2cos1 a− 3) 2sina.cosa = sin2a 4) Cosa.cosb = ( ) [ ] )cos(cos 2 1 baba −++ 5) Sina.sinb = ( ) [ ] )cos(cos 2 1 baba −−+− 6) Sina.cosb = ( ) [ ] )sin(sin 2 1 baba −++ *Các công thức lượng giác cần nhớ: 1) Sin 2 a+cos 2 a = 1 2) 1+tg 2 a = a 2 cos 1 3) 1+cotg 2 a = a 2 sin 1 4) Cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a -1 = 1- 2sin 2 a 5) Tg2a = atg tga 2 1 2 − 6) Sin 3a = 3sina – 4sin 3 a 7) Cos 3a = 4cos 3 a – 3cosa *Các giá trị lựơng giác của góc đặc biệt: 2 IV: Diện tích hình phẳng. 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi )(:)( xfyc = và hai đường thẳng x=a; x=b Phương pháp: + dthp cần tìm là: )(.)( badxxfS b a <= ∫ + Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:  Nếu phương trình f(x) = o vô nghiệm. Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [a;b] thì ∫ = b a dxxfS ).(  Nếu f(x) = 0 có nghiệm thuộc [a;b]. Giả sử βα == xx ; thì ∫∫∫ ∫∫ ∫ ++= ++= b a b a dxxfdxxfdxxfS dxxfdxxfdxxfS β β α α β α β α .)(.)(.)( )()()( 2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi )(:)( xfyc = và trục hoành Phương pháp: • Hđgđ của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình : f(x) = 0    = = ⇔ bx ax ∫ ∫ == b a b a dxxfdxxfS ).(.)( 0 1 1 2 1 2/3 1/2 2/2 2 3 2 2 sin cos 3 1 2/ π π -1 -1 2 3 π cost 2 3) Diện tích hình phẳng giởi hạn bởi 2 đường (C 1 ): y=f(x) và (C 2 ): y=g(x) và 2 đường x=a; x=b Phương pháp: • Dthp cần tìm là: ∫ −= b a dxxgxfS )()( • Hđgđ của 2 đường (C 1 ) và (C 2 ) là nghiệm của phương trình. • f(x) – g(x) = 0 • Lập luận giống phần số 1 V) Thể tích vật thể 1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox và y=f(x) liên tục trên [a;b]. Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích: [ ] ∫ = b a dxxfV 2 )( π 2) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục oy và x=g(y) liên tục trên [a;b]. Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: [ ] ∫ = b a dyygV 2 )( π VI) Đại số tổ hợp 1) Giai thừa n! = 1.2.3.4… n 2) Ngắt giai thừa n!=(n-3)!(n-2).(n-1).n 7!=1.2.3.4.5.6.7 7!=5!.6.7 K!K=(K+1)! Qui ước: 0!=1 1!=1 3) Số hoán vị của n phần tử P n ! = n! Nnn ∈≥ ,1 4) Số chỉnh hợp chập K của n phần tử nk kn n A k n ≤≤ − = 1 )!( ! , Nn ∈ 5) Số tổ hợp chập K của n phần tử Nnnk knk n C k n ∈≤≤ − = ;0 )!(! ! * Tính chất của Tổ Hợp: • 1 0 == n nn CC • nC n = 10 • kn n k n CC − = • 1 1 1 + + + =+ k n k n k n CCC 6) Nhị thức Newtơn 2 nn n kknk n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ −−− )( 222110 Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a+b) x là. ), ,1,( 1 nokbaCT kknk nk == − + 7) Khai triển theo tam giác Pascal n = 3: 1 3 3 1 n = 4: 1 4 6 4 1 n = 5: 1 5 10 10 5 1 n = 6: 1 6 15 20 15 6 1 n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1 VII) Các vấn đề có liên quan đến bài toán Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số Phương pháp: 1) Tập xác định 2) Tính y ’    =⇒= =⇒= ⇔= yx yx y 0 ' 3) Tìm giới hạn và tiệm cận (nếu là hàm số hữu tỷ) 4) Bảng biến thiên 5) Tính y ’’ . Lập bảng xét dấu y ’’ . 6) Điểm đặc biệt. 7) Vẽ đồ thị. Vấn đề 2: Biện luận phương trình f(x,m)=0 (1) bằng đồ thị (C) Phương pháp: • Chuyển m sang 1vế để đưa về dạng : f(x)=m • Đặt y=f(x) có đồ thị (C) • y=m là đường thẳng d cùng phương với trục ox • Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và d • Dựa vào đồ thị kết luận. Vấn đề 3: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường (C 1 ): y = f(x)và (C 2 ): y = g(x) Phương pháp: + Hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 )là nghiệm của phương trình: )1(0)()()()( =−⇔= xgxfxgxf + Biện luận: • Nếu (1) có n nghiệm =>(C 1 ) và (C 2 ) có n điểm chung (Hay n giao điểm) • Nếu (1) vô nghiệm => (C 1 ) và (C 2 ) không có điểm chung (Hay không có giao điểm) Chú ý: Nếu pt (1) có dạng ax + b = 0 chỉ khi biện luận phải xét 2 trường hợp. 1) Nếu a=0 2) Nếu 0≠a Nếu pt (1) có dạng ax 2 + bx + c = 0 xét 2 trường hợp 1) Nếu a=0 2) Nếu 0 ≠ a . Tính ∆ . Xét dấu ∆ . Dựa vào ∆ lập luận Nếu pt (1): ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Ta đưa về dạng : 2 0)''')(( 2 =++− cxbxax α    =++ = ⇔ )2( 0''' 2 cxbxa x α Thế ∆= TínhptXétmTìmvàox .)2(.).1( α Đưa vào ∆ biện luận theo m để tìm số nghiệm của (1) => Số giao điểm của 2 đường (C 1 ) và (C 2 ) . Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x) 1) Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) Phương pháp: + Tính y’ => y’(x 0 ) + phương trình tiếp tuyến với (C). Tại M 0 có dạng: y – y 0 = y’(x 0 ).(x-x 0 ) 2) Trường hợp 2: Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b (d) Phương pháp: + Gọi M 0 (x 0 ,y 0 ) là tiếp điểm. + Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M 0 có dạng y – y 0 = y’(x 0 ).(x-x 0 ). + Vì tiếp tuyến song song với d nên: y’(x 0 ).= a (1) + Giải (1) tìm x 0 => y 0 + Kết luận * Chú ý: Biết tiếp tuyến vuông góc. Vuông góc với đường thẳng d: y=ax + b thì a xy axy 1 )(' 1).(' 0 0 −= −= ⇔ 3) Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ,y A ) Phương pháp: + Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k có phương trình: y - y A = k(x – x A ) <=> y = kx – kx A + y A . + ∆ tiếp xúc với đường cong (C) <=> Hệ phương trình sau có nghiệm ( ) )2()(' )1)( kxf ykxkxxf AA = +−= + Thế (1) vào giải tìm x + Thế x vừa tìm được vào (2). Suy ra k. + Kết luận. Vấn đề 5: Tìm m để Hàm số có cực đại và cực tiểu. 1) Trường hợp 1: Hàm số ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. Phương pháp. + Tập xác định : D = R + Tính y’. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt    >∆ ≠ ⇔ 0 0a 2 . Bản 2       >= ≠ > ⇔= 0 1 0 loglog 21 21 αα αα a a aa  Nếu a>1 0loglog 2121 >≥⇔≥ αααα aa  Nếu 0<a<1 2121 loglog xxaxx aa <<⇔≥ - Cách Giải:  Đưa về cùnng cơ số  Đưa về pt. ) 2 sin 1 'cot x gx −= 9) ( ) xx ee =' 10) ( ) xaa xx ln.'= 11) ( ) x x 1 'ln = 12) ( ) ax x a ln 1 'log = 1) ( ) uxu ' 1− = αα α 2) )0( ' ' 1 2 ≠−=       x u u u 3). ∫ ++ b a cbxax dx 2 Nếu ))((:0 21 2 xxxxacbxax −−=++>∆ 2 Do đó :       − − −− = ++ 2121 1 2 11 )( 11 xxxxxxa cbxax Nếu         ∆ −       + = ++ =∆ 2 2 2 4 2 11 :0 a a b xa cbxax Để