Chương trình học trực tuyến trên Xuctu.com Thầy giáo: Nguyễn Quốc Tuấn Email: quoctuansp@gmail.com Đại số và giải tích 11-Chương 4: Giới hạn Phần I. Giới hạn của dãy số A. Lý thuyết: Ta cần nhớ 4 giới hạn quan trọng sau: 1. 1 lim 0 n = 2. 1 lim 0 k n = 3. lim 0 n q = ( 0 1 q < < ) 4. ( ) lim C C C const = = B. Bài tập Bài tập mẫu: Tìm các giới hạn sau: a. 3 3 2 7 1 lim 4 3 2 n n n n − + − + b. 7 6 8 3 2 3 8 2 lim 5 2 n n n n n − + + + c. 5 2 3 2 4 lim 4 3 n n n n − + + + + Hướng dẫn giải a. ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3 3 7 1 7 1 7 1 lim 1 lim 1 lim lim 1 7 1 1 0 0 1 lim lim 3 2 3 2 3 2 4 3 2 4 0 0 4 4 lim 4 lim 4 lim lim n n n n n n n n n n n n n n n n       − + − + − +       − + − +       = = = = = − + − +       − + − + − +             b. 7 6 2 8 8 3 2 5 6 3 8 2 3 8 2 0 0 0 0 lim lim 0 1 2 5 2 5 0 0 5 5 n n n n n n n n n n − + − + − + = = = = + + + + + + c. 5 4 5 2 3 4 5 2 4 3 3 2 4 lim lim 1 4 3 4 3 n n n n n n n n n − + + − + + = = − ∝ + + + + * Rút ra kết luận cho giới hạn của dãy số phân số dạng ( ) ( ) n A n u B n = TH1: Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn của dạy số bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu TH 2: Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng 0 TH 3: Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng cộng hoặc trừ vô cùng. Bài tập 2: Tính các giới hạn sau: a. 2 2 2 3 lim 3 2 1 n n n n + + + − + b. 3 2 3 2 lim 1 3 4 n n n n n + + + + + c. 3 7 2 3 2 1 lim 3 7 n n n n − + + + + a. 2 2 2 2 2 3 1 1 2 3 2 lim lim 2 3 1 2 3 2 1 2 n n n n n n n n + + + + + + = = = − − − + − + b. 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2 1 2 3 2 1 3 lim lim lim 3 1 3 4 1 3 4 1 4 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n   + + + + + +   + + +   = = = =   + + + + + +     c. 3 3 7 6 7 2 2 3 3 3 2 1 3 3 2 1 lim lim 1 3 7 3 7 n n n n n n n n n n n − + + − + + = = − ∝ + + + + Bài tập 3: Tính các giới hạn sau: a. ( ) 2 lim 3 2 1 3 n n n+ + + b. ( ) 2 lim 3 n n n + + − c. ( ) 3 3 2 lim 1 n n n + + − a. ( ) 2 2 2 1 lim 3 2 1 3 lim 3 3n n n n n n   + + + = + + + = + ∝       b. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 3 3 1 lim 3 lim lim 2 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n n + + − + + + + + + − = = = + + + + + + c. ( ) ( ) 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 3 33 2 3 2 2 1 1 1 lim 1 lim 1 1 1 1 lim 3 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n   + + − + + + + + +     + + − = + + + + + + + = = + + + + + + Bài tập 4: Tính các giới hạn sau: a. 2 4.3 lim 5 7.3 n n n + − b. 3.2 5.7 lim 4 3.5 n n n n − + c. 1 2 2 3 7 2.3 lim 4 2.9 n n n n + + + + − a. 2 2 4 4 2 4.3 4 3 3 lim lim lim 5 5 7.3 7 1 7 5. 7 3 3 n n n n n n n n   + +   +   = = = − −   − −     b. 2 3. 5 3.2 5.7 7 lim lim 4 3.5 4 5 3. 7 7 n n n n n n n   −   −   = = − ∝ +     +         c. 1 2 2 2 3 7 7. 18 7 2.3 7.7 18.3 7.7 18.9 9 lim lim lim lim 9 4 2.9 64.4 2.9 64.4 2.9 4 64. 2 9 n n n n n n n n n n n n n n + + +   +   + + +   = = = − − − −   −     Bài tập tương tự Bài tập 1: Tính cách giới hạn sau a. 8 2 6 8 4 12 1 lim 5 6 n n n n n + − + − b. 5 4 6 5 3 2 7 lim 6 2 3 n n n n n − + − + + c. 2 12 3 9 4 3 lim 7 8 n n n n + − + + Bài tập 2: Tính các giới hạn sau a. 3 4 2 1 lim 2 3 n n − + + b. 3 2 3 4 2 lim 2 3 1 n n n n − + + + c. 2 2 1 lim 3 2 12 n n n n n + + − + Bài tập 3: Tính các giới hạn sau: a. ( ) 2 lim 4 2 2 n n n + + − b. ( ) lim 7 n n n + + + c. ( ) 2 lim 2 2 n n n − + + Bài tập 4: Tính các giới hạn sau: a. 2 5 lim 4 6.5 n n n + − b. 3.2 4 lim 4.3 5.4 n n n + − c. 3 5.7 lim 4.5 5.6 n n n − + Giới hạn hàm số 1. 2 1 5 lim 1 x x x → + + 2. 2 3 2 15 lim 3 x x x x → + − − 3. 2 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x →− + + − 4. 3 2 1 1 lim 1 x x x x x → − + − − 5. 4 2 16 lim 2 x x x → − − 6. ( ) 6 5 2 1 4 5 lim 1 x x x x x → − + − 7. ( ) 9 2 1 9 8 lim 1 x x x x → − + − 8. 7 5 1 1 lim 1 x x x → − − 9. ( ) 3 3 0 2 2 lim h x h x h → + − 10. 2 3 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x x x → − + − + − 11. ( ) 2 2 2 3 2 lim 2 x x x x → − + − 12. 3 2 2 8 lim 4 x x x → − − 13. 2 2 3 5 1 lim 2 x x x x →+∞ − + − 14. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 7 2 lim 2 1 x x x x →+∞ − + + 15 4 3 3 1 lim 1 x x x x →+∞ − + − 16. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 5 3 lim 2 1 1 x x x x x →+∞ + + − + Dạng nhân thêm lượng liên hiệp Tìm các giới hạn sau 1. 2 0 1 1 lim x x x x x → + − + + 2. 2 2 lim 4 1 3 x x x x → − + + − 3. 0 1 1 lim x x x → − − 4. 2 1 1 lim 3 2 x x x → − + − 5. 2 2 0 1 2 1 lim 1 4 1 x x x x x → + − + + − + 6. 2 1 1 lim 1 x x x x x → − + − + 7. 2 lim 1 x x x x →+∞ − + 8. ( ) 2 lim 4 x x x x →+∞ − − 9. 2 2 2 1 4 lim 1 x x x x x x →+∞ + + − − + 10. ( ) 2 lim 3 x x x x →+∞ − + + 11. ( ) ( ) 2 lim 5 x x x x →+∞ + − 12. 2 1 lim x x x x →+∞ + + 13. ( ) lim x x x x →+∞ − − 14. ( ) 4 2 2 lim 3 2 x x x x →+∞ − + − 15. 2 1 2 3 1 lim 1 x x x x → − + − 16. sin lim sin x x x x x →+∞ − + 17. x 0 1 2 1 lim 3 4 2 x x x → − + + − − 18. 3 x 1 3 2 lim 1 x x x → − − − 19. x 1 2 1 lim 1 x x x → − − − 20. x 0 2 1 4 lim x x x → + − − 21. 2 2 1 lim 3 1 x x x →+∞ + + 22. ( ) 2 2 x 1 2 lim 1 x x →+∞ − − 23. 2 2 x 1 2 3 lim 2 1 x x x x → + − − − 24. x 1 1 2 lim 1 x x x → + − − 25. ( ) x 0 1 1 lim 1 x x x →   −     +   26. x 4 8 lim 4 x x x → − − 27. ( ) 2 x lim 1 x x →+∞ + − 28. cos lim cos x x x x x →+∞ − + 29. ( ) 2 x 0 1 1 lim x x → + − 30. ( ) 3 x 0 1 1 lim x x → + − 31. ( ) 5 x 0 1 1 lim x x → + − 32. ( ) 11 x 0 1 1 lim x x → + − 33. 3 x 0 1 1 lim 3 x x → − − 34. 3 2 x 1 1 lim 3 2 x x →− + + − 35. 3 x 0 2 1 8 lim x x x → + − − 36. 3 x 1 1 2 lim 1 x x → + − − 37. 3 x 1 3 3 5 lim 1 x x x → + − + − 38. ( ) 3 3 2 2 x lim 3 2 x x x x →+∞ + − − 39. ( ) 3 2 3 x lim 3 x x x →+∞ + − 40. ( )( )( ) 3 x lim 1 2 3 x x x x →+∞   + + + −   Tính liên tục của hàm số Xét tính liên tục của các hàm số 1. ( ) 2 1 1 5 5 1 x khi x f x x x khi x −  >  =   + ≤  tại 1 x = 2. ( ) 2 2 2 1 1 1 1 x x khi x f x x x x khi x  + − >  = −   + + ≤  tại 1 x = 3. ( ) 2 2 2 3 1 5 6 5 1 3 3 3 9 x khi x f x x khi x x khi x x  + ≤    = − < ≤   −  < −   tại 1 x = và 3 x = 4. Xác định m để hàm số ( ) f x liên tục tại 1 x = ( ) 2 2 1 1 1 1 mx khi x f x x khi x x + ≥   =  − <  −  5. Xác định m để hàm số liên tục tại 2 x = ( ) 1 2 4 2 2 2 2 mx khi x f x x khi x x  + ≤   =  + −  >  −  6. Xác định m để hàm số liên tục tại 0 x = ( ) 2 0 1 1 0 mx khi x f x x khi x x ≤   =  + − >   7. ( ) 2 16 4 4 8 4 x khi x f x x khi x  − ≠  = −   =  tại 0 4 x = 8. ( ) sin 1 1 1 x khi x f x x khi x π π  ≠  = −   − =  tại 0 1 x = 9. Xác đ ị nh a đ ể hàm s ố liên t ụ c v ớ i v ớ i m ọ i x. Vẽ đồ thị hàm số khi đó. ( ) 2 2 3 2 ax khi x f x khi x  ≤ =  >  10. Xác định a để hàm số liên tục tại 0 0 x = ( ) 1 1 0 1 4 0 2 x x khi x x f x x a khi x x  − − + > ≥ −   =  −  + ≥  +  11. Xác định a để hàm số liên tục tại 0 0 x = ( ) 2 0 cos cos2 0 a khi x f x x x khi x x =   = −  ≠   12. Tìm các đi ể m gián đo ạ n c ủ a hàm s ố ( ) 2 1 1 1 1 3 x khi x f x khi x x x + ≤   =  >  −  13. Tìm các đi ể m gián đo ạ n c ủ a hàm s ố ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 khi x f x x khi x x x − =   = −  ≠  − +  14. Xác đ ị nh a đ ể hàm s ố liên t ụ c trên R ( ) 3 2 1 2 4 3 2 2 2 2 ax khi x f x x khi x x  + ≤   =  + −  >  −  15. Xác định k để hàm số liên tục tại 0 2 x = ( ) 2 2 2 1 2 x khi x f x x kx khi x  − ≥  =  + + <   16. Xác định a để hàm số liên tục tại 0 3 x π = ( ) sin 3 1 2cos 3 tan 6 3 x khi x f x x a khi x π π π π    −       ≠ =  −   + =  17. Xét tính liên tục của hàm số tại 0 0 x = ( ) sin 0 1 0 x khi x x f x khi x  ≠  =   =  18. Xét tính liên tục của hàm số tại 0 0 x = ( ) 4 1 sin 0 0 0 x khi x f x x khi x  ≠  =   =  19. Xét tính liên tục của hàm số khi 0 2 x = ( ) 2 2 2 5 2 3 1 2 x khi x f x khi x x khi x  <  = =   − >  20. Xác đ ị nh a, b đ ể hàm s ố liên t ụ c trên R ( ) 1 3 3 5 3 5 khi x f x ax b khi x khi x ≤   = + < ≤   >  21. Xét tính liên tục của hàm số khi 0 0 x = ( ) 0 sin 1 0 2 1 x khi x x f x x khi x x  <   =  +  ≥  +  22. Cho hàm số ( ) f x xác định trên R, sao cho ( ) ( ) 3 f x f x = và hàm số ( ) f x liên tục tại 0 0 x = . Biết rằng ( ) 0 2011 f = . Tìm ( ) f x Dựa vào tính liên tục xác định nghiệm của phương trình 1. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ít nhất một nghiệm 3 3 2 2 0 x x − − = 2. Chứng minh rằng phương trình sau đây có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( ) 1;1 − 3. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m( với m là tham số ) : cos cos2 0 x m x + = 4. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m( với m là tham số ) : ( ) ( ) 3 1 2 2 3 0 m x x x − + + + = 5. Ch ứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với bất kỳ giá trị nào của m( với m là tham số ) : ( ) 2 4 1 2 2 0 m m x x + + + − = 6. Ch ứng minh rằng phương trình 3 3 1 0 x x − + = có 3 nghiệm phân biệt 7. Chứng minh rằng phương trình 4 2 0 x x − − = có nghi ệm 0 x thu ộc khoảng ( ) 1;2 và 7 0 x 8 > 8. Ch ứng minh rằng phương trình 3 2 6 1 0 x x − + = có ba nghi ệm phân biệt trong khoảng ( ) 2;2 − 9. Ch ứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình sau đây có nghiệm . nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng 0 TH 3: Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn của dãy số bằng cộng hoặc trừ vô cùng. Bài tập 2: Tính các giới hạn sau: a. 2 2 2 3 lim 3. − + + Bài tập 2: Tính các giới hạn sau a. 3 4 2 1 lim 2 3 n n − + + b. 3 2 3 4 2 lim 2 3 1 n n n n − + + + c. 2 2 1 lim 3 2 12 n n n n n + + − + Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:. Email: quoctuansp@gmail.com Đại số và giải tích 11-Chương 4: Giới hạn Phần I. Giới hạn của dãy số A. Lý thuyết: Ta cần nhớ 4 giới hạn quan trọng sau: 1. 1 lim 0 n = 2. 1 lim 0 k n = 3.