PHƯƠNG PHÁP TÌM BÀI TOAN PHỤ - CHỨNG MINH BĐT A- PHƯƠNG PHÁP TÌM BDT PHỤ: Ví dụ 1: Chứng minh ∀ a, b, c >0 ta có : * Áp dụng B Đ T (a + b) 2 ≥ 4ab ⇔ 4 ba ba ab + ≤ + ( 1) * hoặc sử dụng BDT Cô-Si • Đặt tình huống ta không nhìn ra BDT (1) thì sao? Tôi xin mạo dạn đưa ra cách tìm BDT phụ để giải BDT đã cho. • Xét: (1a) Cộng theo vế, ta được: ))(( cbayx ac ca cb bc ba ab +++≤ + + + + + So sánh với BDT đã cho xyyx −=⇒=+⇒ 2 1 2 1 thay vào BDT ( 1a) : 0 )(2 )( 0 )(2 2)( )( 0 2 1 ) 2 1 ( ≤         + −−⇔ ≤ + −+ +−⇔ ≤ + −+−⇔ −+≤ + ba b xba ba abbab bax ba ab bbxax bxax ba ab Đẳng thức xảy ra      = + − =− ⇔ 0 )(2 0 ba b x ba      = + = = ⇔ 4 1 )(2 bb b x ba 4 1 4 1 2 1 =−=⇒ y sthuynhtruongancld@yahoo.com.vn www.toibietlabanbiet.com 2 cba ac ca cb bc ba ab ++ ≤ + + + + + 1 aycx ac ca cybx bc bc byax ba ab +≤ + +≤ + +≤ + Vậy ta có BDT phụ : 4 4 1 4 1 ba ba ab ba ba ab + ≤ + ⇔ +≤ + • Xin lưu ý “ phương pháp này tôi may mắn đọc được từ một tác giả khác mà tôi không biết tên”.Tuy nhiên tác giả đưa ra cách tìm BDT phụ bằng cách thử một vài giá trị đặc biệt của a và b, từ đó chọn đúng giá trị x và y.Rất tiếc tác giả không nêu ra ví dụ thử.Tôi đã tâm đắc phương pháp độc đáo của tác giả nhưng khi thử thì không may mắn,khó xác định giá trị x,y.Rất mong tác giả tiếp tục chia sẻ những kĩ năng- kiến thức cho mọi người cùng tham khảo- học tập. Ví dụ 2: Chứng minh ∀ a, b, c >0 ta có : • Nhiều tác giả đưa ra BDT phụ: 4 3 2 ba ba a − ≥ + • Bây giờ tiếp tục với cách trên,ta xét: byax ba a +≥ + 2 và ( x + y = 2 1 ) xy −=⇒ 2 1 0 )(2 2 )( 0 )(2 ))(()( )( 0 )(2 )( 0 )(2 2 )( 0 2 1 ) 2 1 ( 222 22 2 2 ≤         + + −−⇔ ≤ + +−+− −−⇔ ≤ + −+− +−⇔ ≤ + −+ +−⇔ ≤ + −+−⇔ −+≥ + ba ba xba ba bababaa bax ba abaab bax ba abab bax ba a bbxax xbax ba a sthuynhtruongancld@yahoo.com.vn www.toibietlabanbiet.com 2 222 cba ac c cb b ba a ++ ≥ + + + + + 2 Đẳng thức xảy ra khi      = + + − =− 0 )(2 2 0 ba ba x ba      = = ⇔ a a x ba 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 − =−=⇒=⇔ yx Vậy ta được BDT phụ: 4 3 2 ba ba a − ≥ + Ví dụ 3: Chứng minh ∀ a, b, c >0 ta có : Ta xét: byax aab ba +≤ + − 2 33 7 41 và ( x + y =5) xy −=⇒ 5 0 7 641( )( 0 7 35)(5 )( 0 7 ))(()(35)(5 )( 0 7 535355 )( 0 7 41355 )( 0 7 41 5 )5( 7 2 22 2 222 2 32222 2 333322 2 3322 2 33 2 3 ≥         + ++ −−⇔ ≥         + +++++ −−⇔ ≥ + ++−+−+− −−⇔ ≥ + +−−−+ +−⇔ ≥ + +−+ +−⇔ ≥ + − −+−⇔ −+≤ + aab baba xba aab babaabaa xba aab babababaabaa bax aab baaabaab bax aab babaab bax aab ba bbxax xbax aab a Đẳng thức xảy ra khi      = + ++ − =− 0 7 )641( 0 22 222 aa aaa x ba      == = ⇔ 6 8 48 2 2 a a x ba 1656 −=−=⇒=⇔ yx sthuynhtruongancld@yahoo.com.vn www.toibietlabanbiet.com )(5 77 41 7 41 2 333 2 33 cba cca c bbc cb aab ba ++≤ + + + − + + − 3 Vậy ta được BDT phụ: ba aab ba −≤ + − 6 7 41 2 33 * Chúng ta dễ dàng chứng minh các BDT phụ trên. B- BÀI TẬP: 1) với a,b,c >0 ( BDT phụ: 3 2 22 3 ba baba a − ≥ ++ ) 2) cba a c c b b a ++≥++ 222 Với a,b,c >0 (Ta có BDT phụ: ba b a −≥ 2 2 ) 3) cba ca ac bc cb ab ba ++≥ + + + + + 222 333333 với a, b, c > 0 (Ta có BDT phụ: 22 33 ba ab ba + ≥ + ) 4) )(4 6 29 6 29 6 29 2 33 2 33 2 33 cba cac ac bcb cb aba ba ++≤ + − + + − + + − (Ta có BDT phụ ba aba ba −≤ + − 5 6 29 2 33 ) 5)Đề thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn -Thanh Hóa năm 2000 – 2001 Cho a,b,c,d > 0 và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng: 2 1 2222 ≥ + + + + + + + da d cd c bc b ab a ( Ta có bài toán phụ: 4 3 2 ba ab a − ≥ + ) 6) Kỳ thi chọn HSG tỉnh Thanh Hóa lớp 9 năm 2008 – 2009 Cho a,b,c >0. và a + b + c = 1 Chứng minh: 3 5 19 5 19 5 19 2 33 2 33 2 33 ≤ + − + + − + + − aac ca ccb bc bba ab ( Ta có BDT phụ: ab bba ab −≤ + − 4 5 19 2 33 ) ** Tuy nhiên cách làm này chỉ áp dụng cho những bài toán chỉ có 1 cặp số (a , b) trong cùng một phân thức, mà không áp dụng cho 3 số (a,b,c) ,4 số (a,b,c,d) …trở lên. Hy vọng các đọc giả chia sẻ những kiến thức và đóng góp ý kiến về pp tìm BDT phụ này. Xin cảm ơn tác giả “người đã đưa ra pp này” sthuynhtruongancld@yahoo.com.vn www.toibietlabanbiet.com 4 3 22 3 22 3 2 3 cba acac c cbcb b baba a ++ ≥ ++ + ++ + ++ đã giúp tôi tìm thấy cho mình một kĩ năng chứng minh BDT cho một dạng bài toán loại này. sthuynhtruongancld@yahoo.com.vn www.toibietlabanbiet.com 5 . PHƯƠNG PHÁP TÌM BÀI TOAN PHỤ - CHỨNG MINH BĐT A- PHƯƠNG PHÁP TÌM BDT PHỤ: Ví dụ 1: Chứng minh ∀ a, b, c >0 ta có : * Áp dụng B. BDT phụ : 4 4 1 4 1 ba ba ab ba ba ab + ≤ + ⇔ +≤ + • Xin lưu ý “ phương pháp này tôi may mắn đọc được từ một tác giả khác mà tôi không biết tên”.Tuy nhiên tác giả đưa ra cách tìm BDT phụ. )(5 77 41 7 41 2 333 2 33 cba cca c bbc cb aab ba ++≤ + + + − + + − 3 Vậy ta được BDT phụ: ba aab ba −≤ + − 6 7 41 2 33 * Chúng ta dễ dàng chứng minh các BDT phụ trên. B- BÀI TẬP: 1) với a,b,c >0 ( BDT phụ: 3 2 22 3 ba baba a − ≥ ++ ) 2)