TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Lời nói ñầu Kể từ năm học 2009 kiến thức về số phức ñược ñưa vào chương trình toán 12 như một phần không thể thiếu trong những ñề thi ðại học – Cao ñẳng- Tốt nghiệp hàng năm. Bởi ñộ phức tạp của các bài toán ñược nâng dần từ năm ñầu tiên ñưa vào học tập nên chúng tôi quyết ñịnh hệ thống lại kiến thức về số phức trong chương trình ñể góp một phần trong việc ôn luyện của các em cũng như tham khảo của quý thầy cô. Trong tài liệu này, chúng tôi ñã không sắp xếp theo trình tự bài dạy trong sách giáo khoa mà sắp xếp theo trình tự của kiến thức của số phức. Mỗi kiến thức ñược chia thành các mãn về phương pháp học cũng như phương pháp dạy học ñược thuận tiện nhất có thể. Những dạng toán ñều có phương pháp giải, các ví dụ mẫu và ñi kèm với nó là các bài tập vận dụng tương tự. Ngoài phần lý thuyết, phần phương pháp giải toán chúng tôi ñã chia thành những chủ ñề dạng toán sau: Chủ ñề 1: + Tìm số phức + Tính giá trị biểu thức số phức + Tìm phần thực, phần ảo của số phức + Rút gọn biểu thức Chủ ñề 2: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức Chủ ñề 3 : + Tìm tập hợp ñiểm trong mặt phẳng phức + Biểu diễn tập hợp ñiểm lên mặt phẳng phức Chủ ñề 4 : Chứng minh ñẳng thức số phức Chủ ñề 5: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực Chủ ñề 6: ðịnh lý Vi-ét cho phương trình bậc hai trên tập số phức Chủ ñề 7: Căn bậc hai của số phức Chủ ñề 8: Giải phương trình bậc hai với hệ số phức Chủ ñề 9: Dạng lượng giác của số phức và các ứng dụng Chủ ñề 10: Trích từ các ñề thi tuyển sinh những năm gần ñây ðể thực hiện ñược tốt hơn trong việc tiếp thu kiến thức về số phức. Tác giả khuyên bạn nên ñọc và tham khảo những phần phương pháp cũng như bài tập mẫu của tài liệu, sau ñó bạn ñọc tự mình thực hiện những bài tập tự luyện dưới dạng tương tự ñể nâng cao kỹ năng giải toán của mình ñược tốt hơn. Một phần không thể thiếu ở trong chương trình ôn luyện môn toán là trích các bài toán liên quan ñến số phức từ các ñề thi liên quan của các ñề thi tuyển sinh ñại học và cao ñẳng hàng năm. Phần này giúp cho chúng ta có thể hình dung ñược cách ra ñề cũng như phương pháp học phần số phức này như thế nào. Tất nhiên theo nhận xét chủ quan của chúng tôi, các phần chúng tôi ñã giới thiệu trong phương pháp nó chưa chắc ñã xuất hiện vào những năm ñã qua nhưng cũng rất có thể xuất hiện vào những năm sắp ñến. Ngoài ra, những câu thi của những ñề thi chúng tôi giới thiệu ñầy ñủ và có hướng dẫn giải ở trong phương pháp giải toán. Tài liệu này dùng ñể giảng dạy chính của các giáo viên dạy luyện thi và các em học sinh luyện thi ñại học. Do ñó, nó ñược cập nhật theo thời gian và cũng ñang cố gắng hoàn thiện dần về nội dung và mẫu mã. Vì vậy, chúng tôi sẽ cố gắng khắc phục những lỗi có ở trong tài liệu như một việc làm cập nhật thường xuyên ñể tài liệu ñược hoàn thiện dần. Cũng chính vì lý do ñó, tài liệu còn nhiều nơi thiếu sót mong quý ñộc giả ñóng góp ý kiến. Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự ñóng góp ñó như một phần ñóng góp của quý ñộc giả vào công cuộc giáo dục cho nước nhà. Tài liệu ñược hoàn thiệu trên cơ sở của sự giảng dạy nhiều năm kinh nghiệm của thầy Nguyễn Quốc Tuấn và website Xuctu.com. Nên tất cả quý vị ñộc giả và các em học sinh còn chưa hiểu bất cứ ñiều gì. Nên truy cập vào Xuctu.com ñể xem những Video Tutorial bài giảng trực tiếp của thầy Nguyễn Quốc Tuấn Huế,tháng 4-2013 Các tác giả TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - Chương IV : Số phức A : Lý thuyết 1. ðịnh nghĩa về số phức : Số phức z có dạng z a bi = + Trong ñó ;a b ∈ℜ a : ñược gọi là phần thực của số phức b. ñược gọi là phần ảo của số phức với i 2 = -1 Tập hợp các số phức ñược ký hiệu là C Như vậy tập số thực là tập số phức khi phần ảo bằng không hay nói cách khác tập hợp các số thực là tập hợp con của tập số phức. 2. Hai số phức bằng nhau Cho hai số phức 1 1 1 z a bi = + và 2 2 2 z a b i = + Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau Ta có công thức 1 2 1 2 1 2 a a z z b b =  = ⇔  =  3. Biểu diễn số phức lên mặt phẳng toạ ñộ . Cho số phức z a bi = + . ðiểm M(a,b) trên mặt phẳng toạ ñộ ñược gọi là ñiểm biểu diễn của số phức lên mặt phẳng toạ ñộ . Trong ñó trục ox ñược gọi là trục thực (Re(z)), và trục oy ñược gọi là trục ảo (Im(z)) 4. Môñun(ñộ dài) của số phức Cho số phức z a bi = + . Môñun của số phức z a bi = + ñược ký hiệu là z tương ứng với Môñun của vector OM  với M(a,b) là ñiểm biểu diễn của số phức z a bi = + lên mặt phẳng toạ ñộ. Khi ñó 2 2 z OM a b = = +  5. Số phức liên hợp Cho số phức z a bi = + Số phức liên hợp của số phức z a bi = + ñược ký hiệu là z và z a bi = − 6. Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức 1 1 1 z a bi = + , 2 2 2 z a b i = + . Khi ñó các phép toán trên tập số phức ñược ñịnh nghĩa như sau : TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - a) Phép cộng trên tập số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i + = + + + b) Phép trừ hai số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i − = − + − c) Phép nhân hai số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . z z a a bb a b a b i = − + − d) Phép chia hai số phức Với 2 0 z ≠ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . a bi a b i z z z z a b z + − = = + B. Phương pháp giải toán Chủ ñề 1: + Tìm số phức + Tính giá trị biểu thức số phức + Tìm phần thực, phần ảo của số phức + Rút gọn biểu thức Phương pháp : * Hai số phức bằng nhau Cho hai số phức 1 1 1 z a bi = + và 2 2 2 z a b i = + Hai số phức bằng nhau khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau Ta có công thức 1 2 1 2 1 2 a a z z b b =  = ⇔  =  * Số phức liên hợp Cho số phức z a bi = + Số phức liên hợp của số phức z a bi = + ñược ký hiệu là z và z a bi = − * Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức 1 1 1 z a bi = + ; 2 2 2 z a b i = + Khi ñó các phép toán trên tập số phức ñược ñịnh nghĩa như sau a) Phép cộng trên tập số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i + = + + + b) Phép trừ hai số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z z a a b b i − = − + − c) Phép nhân hai số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 . z z a a bb a b a b i = − + − d) Phép chia hai số phức Với 2 0 z ≠ ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 . a bi a b i z z z z a b z + − = = + Bài tập 1:Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau a. ( ) ( ) 3 5 2 4 z i i = − + + b. ( ) ( ) 2 3 5 4 z i i = − − − c. ( ) ( ) 3 2 2 3 z i i = − − d. ( ) 2 5 4 z i i = − − e. ( ) 2 2 3 z i = + f. ( ) 3 2 3 z i = + g. ( ) 2 2 3 z i = − h. 3 1 3 2 2 z i   = −       i. ( ) ( ) 2 2 2 2 z i i = − − + i. ( ) ( ) 2 2 2 2 z i i = − − + Hướng dẫn giải TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - a. ( ) ( ) 3 5 2 4 z i i = − + + Ta có ( ) ( ) ( ) 3 5 2 4 3 2 ( 5 4) 5 z i i z i z i = − + + ⇔ = + + − + ⇔ = − Vậy Phần thực của số phức ( ) ( ) 3 5 2 4 z i i = − + + là 5; Phần ảo của số phức ( ) ( ) 3 5 2 4 z i i = − + + là -1 b. ( ) ( ) 2 3 5 4 z i i = − − − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 5 4 2 5 3 4 3 z i i z i z i = − − − ⇔ = − − − ⇔ = − + Vậy Phần thực của số phức ( ) ( ) 2 3 5 4 z i i = − − − là -3; Phần ảo của số phức ( ) ( ) 2 3 5 4 z i i = − − − là 1; c. ( ) ( ) 3 2 2 3 z i i = − − Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 6 9 4 6 6 6 9 4 13 z i i z i i i z i z i = − − ⇔ = − − + ⇔ = − − + ⇔ = − Vậy Phần thực của số phức ( ) ( ) 3 2 2 3 z i i = − − là 0; Phần ảo của số phức ( ) ( ) 3 2 2 3 z i i = − − là -13; d. ( ) 2 5 4 z i i = − − Ta có ( ) 2 2 5 4 8 20 20 8 z i i z i i z i = − − ⇔ = − − ⇔ = − Vậy Phần thực của số phức ( ) 2 5 4 z i i = − − là 20; Phần ảo của số phức ( ) 2 5 4 z i i = − − là -8; e. ( ) 2 2 3 z i = + Ta có ( ) 2 2 2 3 4 12 9 4 9 12 5 12 z i z i i z i z i = + ⇔ = + + ⇔ = − + ⇔ = − + Vậy Phần thực của số phức ( ) 2 2 3 z i = + là -5; Phần ảo của số phức ( ) 2 2 3 z i = + là 12; f. ( ) 3 2 3 z i = + Ta có ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 2 3 2 3.2 .3 3.2. 3 3 8 36 54 27 46 9 z i z i i i z i i z i = + ⇔ = + + + ⇔ = + − − ⇔ = − + Vậy Phần thực của số phức ( ) 3 2 3 z i = + là -46; Phần ảo của số phức ( ) 3 2 3 z i = + là 9; g. ( ) 2 2 3 z i = − Ta có ( ) 2 2 2 3 2 2 6 3 1 2 6 z i z i i z i = − ⇔ = − + ⇔ = − − Vậy Phần thực của số phức ( ) 2 2 3 z i = − là -1; Phần ảo của số phức ( ) 2 2 3 z i = − là 2 6 − ; h. 3 1 3 2 2 z i   = −       Ta có 3 2 3 1 3 2 2 1 1 3 1 3 3 3 3. . 3. . 8 4 2 2 4 8 1 3 3 9 3 3 1 8 8 8 8 z i z i i i z i i z   = +       ⇔ = + + + ⇔ = + − − ⇔ = − Vậy Phần thực của số phức 3 1 3 2 2 z i   = −       là -1; Phần ảo của số phức 3 1 3 2 2 z i   = −       là 0; TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - i. ( ) ( ) 2 2 2 2 z i i = − − + Ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 4 z i i z i i i i z i = − − + ⇔ = − + − + + ⇔ = − Vậy Phần thực của số phức ( ) ( ) 2 2 2 2 z i i = − − + là 0; Phần ảo của số phức ( ) ( ) 2 2 2 2 z i i = − − + là -4; k. ( ) ( ) ( ) 2 4 3 5 7 4 3 z i i i = + − + − Ta có : ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 5 7 4 3 6 10 12 20 28 21 52 19 z i i i z i i i i z i = + − + − ⇔ = − + − + − ⇔ = − Vậy Phần thực của số phức ( ) ( ) ( ) 2 4 3 5 7 4 3 z i i i = + − + − là 0; Phần ảo của số phức ( ) ( ) ( ) 2 4 3 5 7 4 3 z i i i = + − + − là -4; Bài tập 2:Tìm các số thực x,y sao cho a. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 5 x y i x y i − + + = + − − b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 x y y x i x y y x i + + − = − + + + + c. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x y x y i x y x y i + + − = + + + d. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 1 3 2 2 4 3 x y x y i x y x y i + + + − + = − + + − − Hướng dẫn giải a. ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 5 x y i x y i − + + = + − − Ta có hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo. Do ñó ta có 3 2 1 2 1 5 x x y y − = +   + = − +  Giải hệ phương trình này ta có 3 2 4 3 x y  =     =   Vậy hai số thực cần tìm là 3 4 ; 2 3 x y = = b. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 x y y x i x y y x i + + − = − + + + + Ta có hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo. Do ñó ta có: 3 -2 2 3 3 3 4 2 2 1 3 1 5 4 x x y x y x y y x y x x y y  = −  + = − + + =    ⇔ ⇔    − = + + − − =    =   Vậy hai số thực cần tìm là 3 5 ; 4 4 x y = − = Ta có hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo. Do ñó ta có 2 2 2 2 x y x y x y x y + = +   − = +  Giải hệ phương trình này ta có 2 2 0 0 2 2 0 0 x y x y x y x x y x y x y y + = + − + = =    ⇔ ⇔    − = + + = =    Vậy hai số thực cần tìm là 0; 0 x y = = Ta có hai số phức bằng nhau khi phần thực bằng phần thực và phần ảo bằng phần ảo. Do ñó ta có 9 2 3 1 3 2 2 5 1 11 4 3 5 3 3 4 11 x x y x y x y x y x y x y y  =  + + = − + − + = −    ⇔ ⇔    − + = − − − + = −    =   Vậy hai số thực cần tìm là 9 4 ; 11 11 x y = = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau: a. ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 4 i i i + + − + b. 1 2 3 2 i i + + c. 1 2 3 2 i i + + d. ( ) ( ) ( ) 2 1 4 3 3 2 i i i i + + + − + e. ( ) ( ) 3 4 1 2 4 3 1 2 i i i i − + + − − f. 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 i i i i + − + − + + − Hướng dẫn giải a. ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 4 i i i + + − + Ta có ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 3 4 3 2 4 12 12 10 9 i i i i i i i i + + − + = + + + − − = − b. 1 2 3 2 i i + + Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 1 2 3 2 1 2 3 2 6 4 3 2 3 2 3 2 9 4 7 4 7 4 13 13 13 i i i i i i i i i i i + − + − + − = = + + − + + = = + c. 1 2 3 2 i i + + Ta có ( ) ( ) ( )( ) 2 4 3 2 11 2 4 3 4 3 4 3 25 i i i i i i i − + + − + − − = = − − + d. ( ) ( ) ( ) 2 1 4 3 3 2 i i i i + + + − + Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 4 3 2 4 4 3 3 3 2 3 2 9 2 3 2 9 2 31 12 3 2 3 2 3 2 13 i i i i i i i i i i i i i i i i + + + − + + + − − = + + + − + − = = = + + − e. ( ) ( ) 3 4 1 2 4 3 1 2 i i i i − + + − − Học sinh tự làm . f. 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 i i i i + − + − + + − Học sinh tự làm . Bài tập 4: Tìm nghịch ñảo các hàm số sau a. 2 3 z i = − b. 1 5 3 2 i z i + = − c. ( ) 2 3 2 z i = + Hướng dẫn giải a. 2 3 z i = − Ta có ( )( ) 1 1 2 3 2 3 5 2 3 2 3 2 3 i i z i i i + + = = = − − + b. 1 5 3 2 i z i + = − Ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 2 1 5 1 1 3 2 1 5 1 5 1 5 1 5 3 2 3 2 5 3 5 2 6 i i i z i i i i i i − − − = = = + + + − − − − + = c. ( ) 2 3 2 z i = + ( ) ( ) ( )( ) 2 1 1 1 7 6 2 3 2 7 6 2 7 6 2 121 7 6 2 7 6 2 z i i i i i i = = + + − − = = + − TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - Chủ ñề 2: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức Phương pháp : Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức cũng giống giải phương trình trên tập thực với các phép toán ñịnh ghĩa trên tập số phức . Phương pháp tổng quát 0 b az b z a + = ⇔ = − Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức a. ( ) ( ) ( ) 3 2 4 5 7 3 i z i i − + + = + b. ( ) ( ) ( ) 1 3 2 5 2 i z i i z + − + = + c. ( ) ( ) 2 3 5 2 4 3 z i i i + − = − − d. ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 5 4 z i i i + + − = + e. ( ) ( ) 5 2 3 4 1 3 iz i i − = + − f. ( ) 2 3 2 3 2 2 i z i i − + = + g. ( ) ( ) ( ) 3 4 1 2 4 i z i i + = + + h. ( ) ( ) 3 2 1 2 1 3 i z i i z i − + = + + Giải a. ( ) ( ) ( ) 3 2 4 5 7 3 i z i i − + + = + Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 5 7 3 3 2 7 3 4 5 3 2 3 2 3 2 1 3 2 i z i i i z i i i z i i z z i − + + = + ⇔ − = + − + ⇔ − = − − ⇔ = ⇔ = − b. ( ) ( ) ( ) 1 3 2 5 2 i z i i z + − + = + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 1 3 2 5 2 1 3 2 2 5 1 2 2 5 2 5 2 5 1 2 1 2 1 2 1 2 2 9 10 8 9 1 4 5 i z i i z i z i z i i z i i i i z i i i i i i z + − + = + ⇔ + − + = + ⇔ − + = + + + − − ⇔ = = − + − + − − − − − − ⇔ = = + c. ( ) ( ) 2 3 5 2 4 3 z i i i + − = − − Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 5 2 4 3 5 2 2 3 4 3 3 3 4 3 4 3 12 9 4 3 15 5 z i i i z i i i z i z i i i z i i i z i + − = − − ⇔ = − − − − ⇔ = + ⇔ = + − − ⇔ = − + − ⇔ = − d. ( ) ( ) ( ) 3 2 3 1 2 5 4 z i i i + + − = + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 3 2 3 1 2 5 4 3 5 4 2 3 1 2 3 5 3 3 5 3 z i i i z i i i i z i z + + − = + ⇔ = + − + − − + ⇔ =− + ⇔ = e. ( ) ( ) 5 2 3 4 1 3 iz i i − = + − Ta có: f. ( ) 2 3 2 3 2 2 i z i i − + = + Ta có: TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 5 2 3 4 1 3 2 3 9 4 12 5 10 5 2 10 5 2 10 5 2 2 2 20 10 10 20 5 10 4 4 2 iz i i iz i i i i i i iz i z z i i i i i i i z z z − = + − ⇔ − = − + − − − − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = − − − + + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 3 2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 5 2 3 i z i i i z i i i i z z i i i i z z i − + = + ⇔ − = + + + + ⇔ = ⇔ = − − + ⇔ = ⇔ = + g. ( ) ( ) ( ) 3 4 1 2 4 i z i i + = + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 3 4 1 2 4 3 4 4 6 2 2 6 2 6 3 4 3 4 2 6 3 4 3 4 3 4 6 8 18 24 30 10 9 16 25 i z i i i z i i i i i i z i z z i i i i i i i z z + = + + ⇔ + = + + + + − ⇔ + = + ⇔ = ⇔ = + + − − + − + ⇔ = ⇔ = + h. ( ) ( ) 3 2 1 2 1 3 i z i i z i − + = + + Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2 3 2 1 2 1 3 6 3 1 2 2 3 6 3 2 2 1 3 8 5 1 3 1 3 1 3 8 5 8 5 8 5 8 5 8 5 24 15 23 19 64 25 89 i z i i z i i z i z i i z i z i i z i i i i z z i i i i i i i z z − + = + + ⇔ − + = − + + ⇔ − − − + =− + ⇔ − = − + − + − + + ⇔ = ⇔ = − − + − − + + − − ⇔ = ⇔ = + Chủ ñề 3 : + Tìm tập hợp ñiểm trong mặt phẳng phức + Biểu diễn tập hợp ñiểm lên mặt phẳng phức Phương pháp : Thông thường dựa vào những bài toán cụ thể ñể giải toán, tìm ra những tập hợp ñiểm cần tìm . Tuy nhiên ta nên lưu ý các ñiểm sau * Biểu diễn tập hợp dạng 2 2 2 x y a + = lên mặt phẳng toạ ñộ là ñường tròn tâm O bán kính bằng a. TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - * Biểu diễn tập hợp dạng 2 2 2 x y a + < lên mặt phẳng toạ ñộ là một miền trong của hình tròn tâm O bán kính bằng a, nhưng không tính ñường viền ngoài. * Biểu diễn tập hợp dạng 2 2 2 x y a + ≤ lên mặt phẳng toạ ñộ là một miền trong của hình tròn tâm O bán kính bằng a, nhưng có tính ñường viền ngoài. * Biểu diễn tập hợp dạng 2 2 2 x y a + > lên mặt phẳng toạ ñộ số phức là một miền ngoài của hình tròn tâm O bán kính bằng a, nhưng không tính ñường viền trong. * Biểu diễn tập hợp dạng 2 2 2 x y a + ≥ lên mặt phẳng toạ ñộ số phức là một miền ngoài của ñường tròn tâm O bán kính bằng a, và có tính ñường viền trong của hình tròn . * Và các dữ kiện ñề bài cho ñể biểu diễn tập số phức lên mặt phẳng cho phù hợp bài toán. Bài tập 1: Trên mặt phẳng toạ ñộ, tìm tập hợp ñiểm biểu diễn số phức z a bi = + thoả mãn ñiều kiện : 1 z ≤ và phần ảo của z a bi = + thuộc ñoạn 1 1 ; 2 2   −     [...]...  = 2  cos  − 3  + i sin  − 3          v y d ng lư ng giác c a các s ph c z = 1 − 3i là   π  π  z = 2 cos  −  + i sin  −    3    3 Do ñó : c w = 3 + i H c sinh làm hoàn toàn tương t d http://www.xuctu.com z   π  π  = 1(0 − i ) = 1 cos  −  + i sin  −   w  2    2  1 3   π   π  z = z = 1+ 3i = 2 + i  = 2 cos   + i sin   2 2    3  3 . i 2 = -1 Tập hợp các số phức ñược ký hiệu là C Như vậy tập số thực là tập số phức khi phần ảo bằng không hay nói cách khác tập hợp các số thực là tập hợp con của tập số phức. 2. Hai số phức. +  5. Số phức liên hợp Cho số phức z a bi = + Số phức liên hợp của số phức z a bi = + ñược ký hiệu là z và z a bi = − 6. Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức 1 1. ⇔  =  * Số phức liên hợp Cho số phức z a bi = + Số phức liên hợp của số phức z a bi = + ñược ký hiệu là z và z a bi = − * Các phép toán trên tập số phức Cho hai số phức 1 1 1 z