Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 1 PHẦN I: ðẠI SỐ CHỦ ðỀ 1: CĂN THỨC – BIẾN ðỔI CĂN THỨC . Dạng 1: Tìm ñiều kiện ñể biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x ñể các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ðKXð của các biểu thức sau). 3x16x 14) x2x 1 )7 x5 3x 3x 1 13) x7 3x 6) 65xx 1 12) 27x x3 5) 35x2x 11) 12x 4) 73xx 10) 147x 1 3) 2x 9) 2x5 2) 3x 8) 13x 1) 2 2 2 2 2 2 ++− − − + − − + +− + − +−− +− − −− +− Dạng 2: Biến ñổi ñơn giản căn thức. Bài 1: ðưa một thừa số vào trong dấu căn. 22 x 7 x e) ; x25 x 5)(x d) ; 5 2 x c) 0);x (víi x 2 x b) ; 3 5 5 3 a) − −> Bài 2: Thực hiện phép tính. 33 3; 3 33 3152631526 h) ;2142021420 g) 725725 f) ;10:)4503200550(15 c) 26112611 e) ;0,4)32)(10238( b) ;526526 d) ;877)714228( a) −−+−++ −−+−+ −−+−+− −+++⋅+− Bài 3: Thực hiện phép tính. 1027 1528625 c) 57 1 :) 31 515 21 714 b) 6 1 ) 3 216 28 632 ( a) + −+− −− − + − − ⋅− − − Bài 4: Thực hiện phép tính. 62126,5126,5 e) 77474 d) 25353 c) 535)(3535)(3 b) 1546)10)(15(4 ) +−++ ++−−−−−+ −+++−−−+a Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 2 53 53 53 53 d) 65 625 65 625 c) 113 3 113 3 b) 1247 1 1247 1 a) + − + − + + − + − + +− − −+++ − +− Bài 6: Rút gọn biểu thức: 10099 1 43 1 32 1 21 1 c) 34710485354b) 4813526a) + ++ + + + + + +−+++−+ Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: 4 3y6xy3x yx 2 e) )4a4a(15a 12a 1 d) ; 4a a42a8aa c) 1.a vµ 0a víi, 1a aa 1 1a aa 1 b) b.a vµ 0b 0,a víi, ba 1 : ab abba a) 22 22 24 ++ ⋅ − +−⋅ − − −+− ≠>         − − −         + + + ≠>> − + Bài 8: Tính giá trị của biểu thức ( )( ) a.)y)(1x(1xybiÕt , x1yy1xE e) 1.x2x9x2x16biÕt , x2x9x2x16D d) 3;3yy3xxbiÕt , yxC c) ;1)54(1)54(x víi812xxB b) 549 1 y; 25 1 x khi2y,y3xxA a) 2222 2222 22 33 3 2 =++++++= =+−−+−+−++−= =+++++= −−+=−+= + = − =+−= Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán. Bài 1: Cho biểu thức 21x 3x P −− − = a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ). c) Tính giá trị nhỏ nhất của P. Bài 2: Xét biểu thức 1. a a2a 1aa aa A 2 + + − +− + = a) Rút gọn A. Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 3 b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A . c) Tìm a ñể A = 2. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài 3: Cho biểu thức x1 x 2x2 1 2x2 1 C − + + − − = a) Rút gọn biểu thức C. b) Tính giá trị của C với 9 4 x = . c) Tính giá trị của x ñể . 3 1 C = Bài 4: Cho biểu thức 222222 baa b : ba a 1 ba a M −−         − +− − = a) Rút gọn M. b) Tính giá trị M nếu . 2 3 b a = c) Tìm ñiều kiện của a, b ñể M < 1. Bài 5: Xét biểu thức . 2 x)(1 1x2x 2x 1x 2x P 2 − ⋅         ++ + − − − = a) Rút gọn P. b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0. c) Tìm giá trị lơn nhất của P. Bài 6: Xét biểu thức . x3 1x2 2x 3x 6x5x 9x2 Q − + − − + − +− − = a) Rút gọn Q. b) Tìm các giá trị của x ñể Q < 1. c) Tìm các giá trị nguyên của x ñể giá trị tương ứng của Q cũng là số nguyên. Bài 7: Xét biểu thức ( ) yx xyyx : yx yx yx yx H 2 33 + +−         − − − − − = a) Rút gọn H. b) Chứng minh H ≥ 0. c) So sánh H với H . Bài 8: Xét biểu thức . 1aaaa a2 1a 1 : 1a a 1A         −−+ − −         + += a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị của a sao cho A > 1. c) Tính các giá trị của A nếu 200622007a −= . Bài 9: Xét biểu thức . x1 2x 2x 1x 2xx 39x3x M − − + + + − −+ −+ = a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x ñể giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên. Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 4 Bài 10: Xét biểu thức . 3x 3x2 x1 2x3 3x2x 11x15 P + + − − − + −+ − = a) Rút gọn P. b) Tìm các giá trị của x sao cho . 2 1 P = c) So sánh P với 3 2 . Chủ ñề 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – ðỊNH LÝ VI-ÉT. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai. Bài 1: Giải các phương trình 1) x 2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x 2 – 8x + 3 = 0 ; 3) 3x 2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x 2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x 2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x 2 – 2x – 2 = 0 ; 7) x 2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x 2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 9) x 2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: 1) 3x 2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x 2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x 2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x 2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ; 5) 3x 2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x 2 + 24x + 19 = 0 ; 7) ( 3 + 1)x 2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x 2 – 11x + 30 = 0 ; 9) x 2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x 2 – 10x + 21 = 0. Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 1) x 2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x 2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x 2 – (2m – 3)x + m 2 – 3m = 0 ; 4) x 2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x 2 – (2m + 3)x + m 2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x 2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x 2 – 2mx – m 2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x 2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax 2 + (ab + 1)x + b = 0. Bài 2: a) Chứng minh rằng với a, b , c là các số thực thì phương trình sau luôn có nghiệm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 b) Chứng minh rằng với ba số thức a, b , c phân biệt thì phương trình sau có hai nghiệm phân biết: x) (Èn 0 c x 1 b x 1 a x 1 = − + − + − c) Chứng minh rằng phương trình: c 2 x 2 + (a 2 – b 2 – c 2 )x + b 2 = 0 vô nghiệm với a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. d) Chứng minh rằng phương trình bậc hai: (a + b) 2 x 2 – (a – b)(a 2 – b 2 )x – 2ab(a 2 + b 2 ) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài 3: a) Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau ñây có nghiệm: ax 2 + 2bx + c = 0 (1) bx 2 + 2cx + a = 0 (2) cx 2 + 2ax + b = 0 (3) Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 5 b) Cho bốn phương trình (ẩn x) sau: x 2 + 2ax + 4b 2 = 0 (1) x 2 - 2bx + 4a 2 = 0 (2) x 2 - 4ax + b 2 = 0 (3) x 2 + 4bx + a 2 = 0 (4) Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm. c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau): (3) 0 c b 1 x b a ba2a cx (2) 0 ba 1 x ac ac2c bx (1) 0 ac 1 x cb cb2b ax 2 2 2 = + + + + − = + + + + − = + + + + − với a, b, c là các số dương cho trước. Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 4: a) Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0. Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình ñã cho có hai nghiệm. b) Chứng minh rằng phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai ñiều kiện sau ñược thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < 0 ; 5a + 3b + 2c = 0. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức ñối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước. Bài 1: Gọi x 1 ; x 2 là các nghiệm của phương trình: x 2 – 3x – 7 = 0. Tính: ( )( ) 4 2 4 1 3 2 3 1 1221 21 21 2 2 2 1 xxF ;xxE ;x3xx3xD ; 1x 1 1x 1 C ;xxB ;xxA +=+= ++= − + − = −=+= Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là 1x 1 vµ 1x 1 21 −− . Bài 2: Gọi x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình: 5x 2 – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: . x4xx4x 3xx5x3x C ; x 1 x 1 1x x x x 1x x x x B ;x3x2xx3x2xA 2 2 1 2 21 2 221 2 1 2 211 2 1 2 2 1 2 1 2 21 3 22 2 1 3 1 + ++ =         −− + ++ + += −+−= Bài 3: Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 6 a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x 2 + 7x + 4 = 0. Không giải phương trình hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là 1p q vµ 1q p −− . b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là 2610 1 vµ 7210 1 +− . Bài 4: Cho phương trình x 2 – 2(m -1)x – m = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 với mọi m. b) Với m ≠ 0, lập phương trình ẩn y thoả mãn 1 22 2 11 x 1 xy vµ x 1 xy +=+= . Bài 5: Không giải phương trình 3x 2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: ( )( ) 2 2 1 1 21 1 2 2 1 1221 x 2x x 2x D ;xxC ; 1x x 1x x B ;2x3x2x3xA + + + =−= − + − =−−= Bài 6: Cho phương trình 2x 2 – 4x – 10 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Không giải phương trình hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn: y 1 = 2x 1 – x 2 ; y 2 = 2x 2 – x 1 Bài 7: Cho phương trình 2x 2 – 3x – 1 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn:        = =    += += 1 2 2 2 2 2 1 1 22 11 x x y x x y b) 2xy 2xy a) Bài 8: Cho phương trình x 2 + x – 1 = 0 có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Hãy thiết lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn:      =+++ +=+        +=+ +=+ 0.5x5xyy xxyy b) ; 3x3x y y y y x x x x yy a) 21 2 2 2 1 2 2 2 121 21 1 2 2 1 1 2 2 1 21 Bài 9: Cho phương trình 2x 2 + 4ax – a = 0 (a tham số, a ≠ 0) có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Hãy lập phương trình ẩn y có hai nghiệm y 1 ; y 2 thoả mãn: 21 2121 21 xx y 1 y 1 vµ x 1 x 1 yy +=++=+ Dạng 4: Tìm ñiều kiện của tham số ñể phương trình có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm. Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x 2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). Xác ñịnh m ñể phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho phương trình (2m – 1)x 2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m ñể phương trình có nghiệm. Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 7 a) Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2mx + m – 4 = 0. - Tìm ñiều kiện của m ñể phương trình có nghiệm. - Tìm ñiều kiện của m ñể phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép ñó. b) Cho phương trình: (a – 3)x 2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bài 2: a) Cho phương trình: ( ) 06mm 1 x x12m2 1 2x x 4x 2 224 2 =−−+ + − − + + . Xác ñịnh m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm. b) Cho phương trình: (m 2 + m – 2)(x 2 + 4) 2 – 4(2m + 1)x(x 2 + 4) + 16x 2 = 0. Xác ñịnh m ñể phương trình có ít nhất một nghiệm. Dạng 5: Xác ñịnh tham số ñể các nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 thoả mãn ñiều kiện cho trước. Bài 1: Cho phương trình: x 2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xác ñịnh m ñể phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép ñó. 2) Xác ñịnh m ñể phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 3) Với ñiều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 4) Với ñiều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm). 5) ðịnh m ñể phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp ñôi nghiệm kia. 6) ðịnh m ñể phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn 2x 1 – x 2 = - 2. 7) ðịnh m ñể phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 sao cho A = 2x 1 2 + 2x 2 2 – x 1 x 2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: ðịnh m ñể phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ñã chỉ ra: a) (m + 1)x 2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x 1 + 1)(4x 2 + 1) = 18 b) mx 2 – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x 1 2 + x 2 2 ) = 5x 1 x 2 c) (m – 1)x 2 – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x 1 2 + x 2 2 ) = 5x 1 2 x 2 2 d) x 2 – (2m + 1)x + m 2 + 2 = 0 ; 3x 1 x 2 – 5(x 1 + x 2 ) + 7 = 0. Bài 3: ðịnh m ñể phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ñã chỉ ra: a) x 2 + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x 1 – 3x 2 = 1 b) x 2 – 4mx + 4m 2 – m = 0 ; x 1 = 3x 2 c) mx 2 + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x 1 + x 2 + 1 = 0 d) x 2 – (3m – 1)x + 2m 2 – m = 0 ; x 1 = x 2 2 e) x 2 + (2m – 8)x + 8m 3 = 0 ; x 1 = x 2 2 f) x 2 – 4x + m 2 + 3m = 0 ; x 1 2 + x 2 = 6. Bài 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x 2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm ñiều kiện của m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 sao cho nghiệm này gấp ñôi nghiệm kia. b) Chư phương trình bậc hai: x 2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 sao cho biểu thức )xx2(1xx 3x2x R 21 2 2 2 1 21 +++ + = ñạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ñó. c) ðịnh m ñể hiệu hai nghiệm của phương trình sau ñây bằng 2. mx 2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bài 5: Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 8 Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ñôi nghiệm kia là 9ac = 2b 2 . Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là : kb 2 = (k + 1) 2 .ac Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số. Bài 1: a) Cho phương trình x 2 – (2m – 3)x + m 2 – 3m = 0. Xác ñịnh m ñể phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn 1 < x 1 < x 2 < 6. b) Cho phương trình 2x 2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. Xác ñịnh m ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thoả mãn: - 1 < x 1 < x 2 < 1. Bài 2: Cho f(x) = x 2 – 2(m + 2)x + 6m + 1. a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m. b) ðặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ ñó tìm ñiều kiện ñối với m ñể phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2. Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x 2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0. a) Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép. b) Xác ñịnh a ñể phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn – 1. Bài 4: Cho phương trình: x 2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0. a) Tìm giá trị của m ñể phương trình có một nghiệm nhỏ hơn 1 và một nghiệm lớn hơn 1. b) Tìm giá trị của m ñể phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2. Bài 5: Tìm m ñể phương trình: x 2 – mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x 1 ≤ - 2 ≤ x 2 . Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số. Bài 1: a) Cho phương trình: x 2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m. b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x 2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. c) Cho phương trình: 8x 2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. ðịnh m ñể phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 . Tìm hệ thức giữa hai nghiệm ñộc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm ñối với hai số – 1 và 1. Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1) 2 x 2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Bài 3: Cho phương trình: x 2 – 2mx – m 2 – 1 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không phụ thuộc vào m. c) Tìm m ñể phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thoả mãn: 2 5 x x x x 1 2 2 1 −=+ . Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x 2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải và biện luận phương trình theo m. b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 : - Tìm một hệ thức giữa x 1 ; x 2 ñộc lập với m. - Tìm m sao cho |x 1 – x 2 | ≥ 2. Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x 2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x 1 ; x 2 thì: 4x 1 x 2 – 3(x 1 + x 2 ) + 2 = 0. Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 9 Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ: 1/ ðịnh giá trị của tham số ñể phương trình này có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình kia: Xét hai phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (1) a’x 2 + b’x + c’ = 0 (2) trong ñó các hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m. ðịnh m ñể sao cho phương trình (2) có một nghiệm bằng k (k ≠ 0) lần một nghiệm của phương trình (1), ta có thể làm như sau: i) Giả sử x 0 là nghiệm của phương trình (1) thì kx 0 là một nghiệm của phương trình (2), suy ra hệ phương trình: (*) 0c'kxb'xka' 0cbxax 0 2 0 2 0 2 0      =++ =++ Giải hệ phương trình trên bằng phương pháp thế hoặc cộng ñại số ñể tìm m. ii) Thay các giá trị m vừa tìm ñược vào hai phương trình (1) và (2) ñể kiểm tra lại. 2/ ðịnh giá trị của tham số m ñể hai phương trình bậc hai tương ñương với nhau. Xét hai phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (3) a’x 2 + b’x + c’ = 0 (a’ ≠ 0) (4) Hai phương trình (3) và (4) tương ñương với nhau khi và chỉ khi hai phương trình có cùng 1 tập nghiệm (kể cả tập nghiệm là rỗng). Do ñó, muỗn xác ñịnh giá trị của tham số ñể hai phương trình bậc hai tương ñương với nhau ta xét hai trường hợp sau: i) Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:      <∆ <∆ 0 0 )4( )3( Giải hệ trên ta tịm ñược giá trị của tham số. ii) Trường hợp cả hai phương trình ñều có nghiệm, ta giải hệ sau:        = = ≥ ≥ (4)(3) (4)(3) (4) (3) PP SS 0∆ 0∆ Chú ý: Bằng cách ñặt y = x 2 hệ phương trình (*) có thể ñưa về hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn như sau:    −=+ −=+ c'ya'xb' caybx ðể giải quyết tiếp bài toán, ta làm như sau: - Tìm ñiều kiện ñể hệ có nghiệm rồi tính nghiệm (x ; y) theo m. - Tìm m thoả mãn y = x 2 . - Kiểm tra lại kết quả. - Bài 1: Tìm m ñể hai phương trình sau có nghiệm chung: 2x 2 – (3m + 2)x + 12 = 0 Nguyễn Ngọc Hùng – http://NgocHung.name.vn 10 4x 2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 2: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung ñó: a) 2x 2 + (3m + 1)x – 9 = 0; 6x 2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x 2 + mx – 1 = 0; mx 2 – x + 2 = 0. c) x 2 – mx + 2m + 1 = 0; mx 2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bài 3: Xét các phương trình sau: ax 2 + bx + c = 0 (1) cx 2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là ñiều kiện cần và ñủ ñể hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhất. Bài 4: Cho hai phương trình: x 2 – 2mx + 4m = 0 (1) x 2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1). Bài 5: Cho hai phương trình: x 2 + x + a = 0 x 2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a ñể cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương ñương. Bài 6: Cho hai phương trình: x 2 + mx + 2 = 0 (1) x 2 + 2x + m = 0 (2) a) ðịnh m ñể hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. b) ðịnh m ñể hai phương trình tương ñương. c) Xác ñịnh m ñể phương trình (x 2 + mx + 2)(x 2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 7: Cho các phương trình: x 2 – 5x + k = 0 (1) x 2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác ñịnh k ñể một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phương trình (1). Chủ ñề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và ñưa ñược về dạng cơ bản Bài 1: Giải các hệ phương trình    =− =−    =− =+    =+ =+−    =+ =+    =− =−    =+ =− 1815y10x 96y4x 6) ; 142y3x 35y2x 5) ; 142y5x 024y3x 4) 106y4x 53y2x 3) ; 53y6x 32y4x 2) ; 5y2x 42y3x 1) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: [...]... 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b) 10x4 – 77x3 + 105 x2 – 77x + 10 = 0 c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0 Bài t p v nhà: Gi i các phương trình sau: 1 3 1 1 a) + 2 = 2(x − 1) x − 1 4 2x + 2 x−2 c) −x = 4 x−4 1  1   d) 4 x 2 + 2  − 16 x +  + 23 = 0 x x    21 f) 2 − x 2 + 4x − 6 = 0 x − 4x + 10 x 2 48 x 4 h) − 2 − 10 −  = 0 3 x 3 x k) x 2 − 3x... 1 - = ( công vi c ) 3 3 1 2 Năng su t c a ngư i th hai khi làm m t mình là 2 = (Công vi c ) y y 10 Mà th i gian ngư i th hai hoàn thành công vi c còn l i là (gi ) nên ta có pt 3 1 2 10 y 10 : = hay = (2) 3 y 3 6 3 M t gi ngư i th nh t làm ñư c T (1) và (2) ta có h pt : 1 1+1=12 x y  x=30 ⇒ y=20 y 10    6= 3  V y theo d ñ nh ngư i th nh t làm xong công vi c h t 30gi và ngư i th hai h t 20... hpt :  + = x z 63 4   504 5 1 1 1   y + z = 56  z = 5 = 100 4   G i ngư i A m t mình làm xong công vi c trong x (gi ), x > 0 thì m i gi làm ñư c 1 1 1 12 + + = ( công vi c ) x y z 504 504 V y c ba ngưòi cùng làm s hoàn thành cong vi c trong = 42 (gi ) 12 N u c ba ngư i cùng làm yhì m i gi làm ñư c Bài t p 10: ( 258 /96 – nâng cao và chuyên ñ ) Hai ñ i công nhân cùng làm chung m t công vi c Th... b m t mình ( x > 0 , y > 0 ) 18 Nguy n Ng c Hùng – http://NgocHung.name.vn 1 x + Ta có h pt   2 + x  1 1 3 3 1 = x + y = 2 y 6  x = 10  ⇔ ⇔ 3 2  y = 15 2 + 3 = 2 = x y 5 y 5  x = 10 , y = 15 tho mãn ñk c a n V y vòi th nh t ch y m t mình m t 10 gi , vòi th hai ch y m t mình m t 15 gi Bài t p 8 ( 199/24 - 500 BT ch n l c ) Hai ngư i d ñ nh làm m t công vi c trong 12 gi thì xong H... – 3x + 2)2 = 0 4 a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0 a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0 a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 5 6 2 c) x – 4x – 10 - 3 e) (x + 2)(x − 6) = 0 x + 5 − x + x (5 − x ) = 5... năng su t g p ñôi , nên ngư i th hai ñã làm xong công vi c còn l i trong 3gi 20phút H i n u m i ngư i th làm m t mình v i năng su t d ñ nh ban ñ u thì m t bao lâu m i xong công vi c nói trên ? ( ð thi chuyên toán vòng 1 t nh Khánh hoà năm 2000 – 2001 ) Gi i: G i x , y l n lư t là th i gian ngư i th th nh t và ngư i th th hai làm xong công vi c v i năng su t d ñ nh ban ñ u 1 (công vi c ) x 1 M t gi... (a)  x = 6  1 4 1 2 2 4 x − 14 x − 60 = 0 2 x − 7 x − 30 = 0 =  +   y = 10 ⇔ x x+ 4 5 ⇔  ⇔ ⇔  x = −2,5 ⇔  x = −2,5 y = x + 4 y = x + 4 y = x + 4 y = x + 4  (b)    y = 1,5  H (a) tho mãn ñk c a n H (b) b lo i vì x < 0 V y Vòi ñ u ch y m t mình ñ y b trong 6 h Vòi sau ch y m t mình ñ y b trong 10 h Bài t p 2: Hai ngư i th cùng làm m t công vi c N u làm riêng r , m i ngư i... n ñư ng ) 2x 1 M i ngày ñ i 2 làm ñư c ( ño n ñư ng ) 2( x + 30) 1 M i ngày c hai ñ i làm ñư c ( ño n ñư ng ) 72 1 1 1 V y ta có pt : + = 2 x 2( x + 30) 72 M i ngày ñ i 1 làm ñư c x2 -42x – 108 0 = 0 / / = 212 + 108 0 = 1521 => = 39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không tho mãn ñk c a n V y ñ i 1 làm trong 60 ngày , ñ i 2 làm trong 90 ngày Bài 5: Hai ñ i công nhân tr ng r ng ph i hoàn thành... i trong trư ng này là b ng nhau nên ta có pt: 40 90 (x + 2) = (x - 2) x+2 x−2 Hay x1 = 5x2 – 52x + 20 = 0 / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 26 + 24 26 − 24 2 = 10 ; x2 = = 5 5 5 x2 < 2 , không tho mãn ñk c a n V y theo k ho ch m i ñ i ph i làm vi c 10 ngày Bài 6:(197/24 – 500 BT ch n l c ) Hai ngư i th cùng làm m t công vi c trong 16 gi thì xong N u ngư i th nh t làm trong 3 gi và ngư i th hai làm trong... 1) + xy = 17 x 2 − 3xy + y 2 = −1  4)  2 3x − xy + 3y 2 = 13   x 2 + 1 y 2 + 1 = 10 6)  (x + y )(xy − 1) = 3 x + xy + y = 2 + 3 2  7)  2 x + y 2 = 6  x 2 + xy + y 2 = 19(x − y )2  8)  2 x − xy + y 2 = 7(x − y )  (x − y )2 − (x − y ) = 6  9)  2 5 x + y 2 = 5xy  ( ) ( )( ) x y + y x = 30  10)  x x + y y = 35  D ng 2: H ñ i x ng lo i II x 3 + 1 = 2y  y3 + 1 = 2 x  Ví d . thành công việc còn lại là 3 10 (giờ) nên ta có pt 3 1 : y 2 = 3 10 hay 6 y = 3 10 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ pt :      1 x + 1 y = 1 12 y 6 = 10 3 ⇒      x=30 y=20 . xét hai trường hợp sau: i) Trường hợp cả hai phương trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:      <∆ <∆ 0 0 )4( )3( Giải hệ trên ta tịm ñược giá trị của tham số. ii) Trường hợp cả hai phương.    = = ⇔        =+ =+ ⇔        =+ =+ 15 10 5 232 2 133 5 232 6 111 y x yx yx yx yx x = 10 , y = 15 thoả mãn ñk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một mình mất