-1- PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Hiện nay, nghiệp giáo dục đào tạo đổi trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng cơng nghiệp hố đại hoá đất nước Hướng đổi giáo dục đào tạo đào tạo người động, sáng tạo, chủ động học tập, dễ thích ứng với sống lao động Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững nội dung kiến thức, giáo viên phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trình học tập Từ nhu cầu nhận thức hình thành động thúc đẩy trình học tập tự giác, tích cực tự lực học tập để chiếm lĩnh tri thức Những thành đạt tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ mà kiến thức trở thành “tài sản riêng” em Học sinh nắm vững, nhớ lâu mà biết vận dụng tốt tri thức đạt để giải vấn đề nảy sinh học tập, thực tế sống lao động mai sau Đồng thời, học sinh có phương pháp học lớp học phương pháp tự học để đáp ứng đổi thường xuyên khoa học cơng nghệ ngày Trong q trình dạy học tốn nói chung q trình dạy học giải tốn hình học nói riêng, người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: Sau tìm lời giải tốn, dù đơn giản hay phức tạp, cần tiếp tục suy nghĩ, tìm rồi, lại tiếp tục tìm tìm mối liên hệ vấn đề, tìm kết thú vị Trong trình tìm kiếm lời giải, học sinh phải biết cách đưa hình quen thuộc để vận dụng trực tiếp kiến thức biết Ngồi việc phải vẽ hình xác, tổng quát theo kiện toán (tránh vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt, học sinh dễ ngộ nhận hình) biện pháp có hiệu sử dụng yếu tố phụ chứng minh hình học thơng qua vẽ hình phụ Việc vẽ hình phụ đa dạng, khơng theo khn mẫu định đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt, sở suy luận hợp lý Vì vậy, cần thiết bồi dưỡng cho học sinh phát triển lực Đã giảng dạy toán dạy toán lớp 8, chúng tơi tích cực, tự bồi dưỡng hướng dẫn em học sinh bồi dưỡng Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -2- kiến thức nâng cao, quan tâm đến việc khai thác toán Ở không muốn đề cập tới dạng tập, hệ thống câu hỏi gợi mở Mà muốn nêu lên số cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn hình học lớp 8, thơng qua việc vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố phụ để chứng minh Với lí trên, chúng tơi xin trình bày đề tài “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào giải vấn đề II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 8, lớp THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Duy Vinh – Duy Xuyên – Quảng Nam Phạm vi nghiên cứu: Chương trình hình học lớp 8, lớp THCS Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -3- PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Đặc điểm lứa tuổi học sinh THCS muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tìm hiểu q trình nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn, điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy, giáo Hình thành phát triển tư tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh trình lâu dài *Tư tích cực, độc lập sáng tạo học sinh thể số mặt sau: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tư tưởng rập khn, máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác - Có óc hồi nghi, ln đặt câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Cơ sở nào? Liệu có mối liên hệ khác khơng? - Tính độc lập cịn thể chỗ biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác vấn đề từ vấn đề quen biết *Khai thác, phát triển kết tốn nói chung có nhiều hướng như: - Nhìn lại tồn bước giải Rút phương pháp giải loại tốn - Rút kinh nghiệm giải tốn - Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có tốn, đề xuất tốn - Biết tìm mối quan hệ đại lượng để tìm hướng giải II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ Qua trình công tác giảng dạy, thấy: - Đa số học sinh, sau tìm lời giải cho tốn em hài lịng dừng lại, mà khơng tìm lời giải khác, khơng khai thác thêm tốn, khơng sáng tạo thêm nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân để tìm hướng giải ngắn gọn Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -4- - Học sinh cịn học vẹt, làm việc rập khn, máy móc Từ dẫn đến làm tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân - Học sinh yếu tốn nói chung yếu hình học, đặc biệt yếu giải tốn chứng minh hình học nói riêng chủ yếu kiến thức cịn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư q trình học tập, khơng có liên hệ, khơng có khai thác triệt để Đa số học sinh sử dụng sách giải, tập bạn học sinh để giải vấn đề tập nhà - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Học không đôi với hành, làm cho thân học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân khơng phát huy hết - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo tốn tiết dạy nói riêng cơng tác dạy học nói chung Một số giáo viên chưa hệ thống phương pháp cho học sinh để có sở giải tốn chứng minh - Việc chuyên sâu vấn đề đó, liên hệ toán với nhau, phát triển toán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao tư cho em học sinh, giúp học sinh có hứng thú học tốn - Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy thân thấy học sinh có lỗ hổng từ tiếp cận với tập chứng minh hình lớp nói chung, việc vận dụng yếu tố trung gian học sinh lúng túng, chưa nhận biết biết cần vận dụng vào chứng minh tốn hình - Khi thăm dị khảo sát chất lượng học tập mơn Tốn học sinh khối lớp năm học 2008 - 2009 giải tốn có vận dụng yếu tố trung gian chứng minh có kết sau: Qua điều tra thử nghiệm với học sinh học lớp thấy số học sinh vận dụng yếu tố trung gian vẽ hình phụ chứng minh hình học có 12 em học sinh đạt loại giỏi chiếm tỉ lệ 31.5 % 12 em học sinh đạt loại trung bình chiếm tỉ lệ 31.6%, số cịn lại khơng biết cách giải giải khơng hoàn Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -5- chỉnh Qua gần gủi tìm hiểu em cho biết: Các em rập khn, máy móc vấn đề thầy cô nêu lớp, nhiều học cách thụ động chưa biết cách tư để tạo cho sáng tạo cách giải tốn đó, chưa tâm việc giải tập khơng có phương pháp giải tốn hình học tốn chứng minh Trước thực trạng địi hỏi phải có giải pháp phương pháp dạy học cho phù hợp III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Qua toán mà học sinh giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết tốn Bằng hình thức như: - Kiểm tra kết quả, xem xét lại cách lập luận - Nghiên cứu, tìm tịi, với việc tập trung giải vấn đề như: Liệu tốn cịn có cách giải khác hay khơng? Có thể thay đổi kiện cho để đề xuất tốn khơng? Bài tốn cho có liên quan với tốn khác không? Trong đề tài này, xin minh họa cách khai thác, phát triển từ kết tốn quen thuộc để tìm hướng giải Nhằm giúp học sinh thấy hay, đẹp, thú vị học tốn nói chung học hình học nói riêng Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo học tốn; giúp học sinh thêm u thích, nâng cao chất lượng, kết học tập mơn tốn IV NỘI DUNG CỤ THỂ : Từ kết tốn đơn giản ban đầu, chịu khó suy xét tiếp ta khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển toán, tạo chuỗi toán hay thú vị khác Sau ví dụ minh hoạ: Thực chất phương pháp dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi hướng vẽ hình phụ để từ giả thiết suy luận đến yếu tố trung gian để suy kết luận Dạng 1: Chứng minh đoạn thẳng ( Hai đại lượng nhau) Bài tập1.1: Cho ∆ ABC, kẻ đường phân giác góc B C cắt I CMR: I thuộc đường phân giác góc A Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -6- Phân tích tìm lời giải: Ở để chứng minh I thuộc đường phân giác, ta có hai hướng giải sau: · · - Chứng minh: BAI = CAI - Chứng minh: Điểm I cách hai cạnh AB AC - Vậy với điều kiện ta cần thể điều ? · · - Để cm: BAI = CAI ta quy chứng minh tam giác nhau?(yếu tố khó khăn) - Chứng minh: Điểm I cách hai cạnh AB AC - Điểm I có đặc điểm gì? So với cạnh góc B, góc C ? - Từ đặc điểm ta cần thể điều gì? ( kẻ đường vng góc IM, IN, IP) - Nhận xét độ dài đoạn thẳng này? Từ rút kết luận điểm I so với cạnh góc BAC A Lời giải: Vì I thuộc đường phân giác góc B nên IM = IN (1) I Vì I thuộc đường phân giác góc C nên IM = IP (2) B Từ (1) (2) suy ra: IN = IP P N Kẻ IM ⊥ BC; IN ⊥AB; IP ⊥ AC M C => I thuộc đường phân giác góc A Bài tập 1.2: Cho ∆ ABC vuông A, kẻ đường phân giác góc B C cắt I Gọi N P chân đường vng góc hạ từ I xuống AB, AC CMR:AN = AP Phân tích tìm lời giải: Ở để chứng minh: AN = AP ta cần có hướng giải nào? A P N I B M C - Cm: Hai tam giác chứa hai đoạn thẳng AN, AP - Chứng minh: ANIP hình vng Với sở ta cần chứng minh I thuộc phân giác góc A Như ta khai thác tương tự tập 1.1 - Chứng minh: Điểm I cách hai cạnh AB AC Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -7- Bài tập 1.3: Cho ∆ ABC, kẻ đường phân giác góc BD CE cắt I, · BAC = 600 CMR: ID = IE Phân tích tìm lời giải: Ở để chứng minh ID = IE ta cần chứng minh điều gì? - Để cm: ID = IE thông thường, ta quy chứng minh tam giác nhau? (yếu tố khó khăn) Vì yếu tố đặt đoạn thẳng trung gian - Với yếu tố đề cho ta có kết gì? · · - Ta tính BIC không? ( BIC = 1200 ) · - Như CID = ? Ta liên tưởng từ kết này? · - Kẻ phân giác IF BIC chứng minh ID = IE (sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng trung gian IF) A Lời giải: µ µ B + C 1800 − µ A · µ µ Xét ∆ IBC có DIC = B1 + C1 = = = 600 E · Kẻ IF cho CIF=600 ∆ IDC= ∆ IFC (g - c - g ) => ID = IF (1) B ∆ IEB= ∆ IFB (g - c - g ) => IE = IF (2) Tương tự: D I F Từ (1) (2) =>ID = IE C Bài tập 1.4 ˆ Bài 54 trang 96/sgk Toán 8: Cho xOy =900; A nằm góc xOy; A B đối xứng qua Ox; A C đối xứng qua Oy Chứng minh B C đối xứng qua O Phân tích tìm lời giải: - GV: Để chứng minh B C đối xứng qua O ta cần chứng minh điều ? (OB= OC; O ∈ BC) - Ở ta xét chứng minh OB =OC - H: Để chứng minh OB = OC ta cần chứng minh điều ? ( chứng minh hai tam giác dài) o ( Yếu tố trung gian đặt đoạn thẳng OA) o GV gợi ý yếu tố phụ cần kẻ đoạn thẳng OA Lời giải: Ta có C A đối xứng qua Oy Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -8⇒ Oy đường trung trực AC ⇒ OC = OA (1) y E Ta có B A đối xứng qua Ox C ⇒ Ox đường trung trực AB ⇒ OB = OA (2) Từ (1)&(2) ⇒ OB = OC Chứng minh tiếp tục để O trung điểm BC O A Bài tập 1.5 x K B Bài tập 4/Đề thi tuyển 10 – Quảng Nam (2010 – 2011) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ bán kính OC vng góc AB Gọi K điểm nằm B C Tia AK cắt đường trịn (O) M a/ Tính · ACB , · AMC b/ Vẽ CI vng góc với AM ( I ∈ AM ) Chứng minh AOIC tứ giác nội tiếp C c/ Chứng minh hệ thức: AI.AK = AO.AB · d/ Nếu K trung điểm CB Tính tg MAB D A Phân tích tìm lời giải: M I K O B - Ở ta xét câu b câu c - H: Để chứng minh tứ giác AOIC nội tiếp ta cần chứng minh điều gì? Cách 1: A, O, I, C cách điểm cho trước ( yếu tố trung gian điểm D, DA = DO = DI = DC = AC ) Cách 2: Sử dụng quỹ tích cung chứa góc Lời giải: Cách 1: Gọi D trung điểm AC AIC vuông I nên DI = DA = DC = AC (1) AOC vuông O nên DO = DA = DC = AC (2) Từ (1) & (2) => A, O, I, C thuộc đường tròn (D) đường kính AC Suy ra: AOIC nội tiếp Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực nào? - H: Nhận định tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian AC2 ) Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” -9- Lời giải: Áp dụng hệ thức cạnh đường cao cho ACK vng C, đường cao CI ta có: AI.AK = AC2 (1) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao cho ACB vuông C, đường cao CO ta có: AO.AB = AC2 (2) Từ (1) & ( 2) => AI.AK = AO.AB Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng gấp đôi Bài tập 2.1 Định lý đường trung bình tam giác : Đường trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh Cách 1: Phân tích tìm lời giải: - Với u cầu đó, ta tìm đoạn thẳng BC khơng ? - Ta tăng gấp đôi đoạn thẳng DE để đoạn thẳng BC không ? ( Xác định điểm trung gian F ) - Để chứng minh DF // BC; DF = BC ta cần chứng minh điều gì? ( BD // CF; A BD = CF) - Cm: ∆ ADE = ∆ CFE D Lời giải: - Trên tia DE xác định điểm F cho ED = EF - ∆ ADE = ∆ CFE (c – g – c ) E B F C - => CF = AD chứng minh CF // AD - Mà D ∈ AB => BD // CF; BD = CF - => DF // BC; DF = BC - Từ suy ra: DE // BC; DE = BC Cách 2: Phân tích tìm lời giải: - Củng với yêu cầu ta khai thác theo khía cạnh làm giảm ( Định lý học trước) - Với u cầu đó, ta tìm đoạn thẳng DE không ? Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 10 - - Ta đoạn thẳng BC đoạn thẳng DE không ? ( Kẻ EF//AB; xác định điểm trung gian F ) - Để chứng minh EF // BD; EF = BD ta cần chứng minh điều gì? ( DE // BF; DE = BF) - Vậy với DE = FC ta cần chứng minh điều gì? ( hai tam giác chứa hai cạnh nhau) A Cm: ∆ ADE = ∆ EFC - E D Lời giải: Kẻ EF//AB (F ∈ BC) B C F Ta cm: ∆ ADE = ∆ EFC => EF = AD = BD; DE = FC (1) Do EF // BD; EF = BD =>DE // BF; DE = BF (2) Từ (1)&(2) => DE // BC; DE = 1/2BC Bài tập 2.2: Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vuông ABDE BCKF Chứng minh trung tuyến BM tam giác ABC nửa đoạn thẳng DF F Phân tích tìm lời giải: D - Với u cầu ta có hai hướng giải o Thứ nhất: Ta tăng BM gấp đơi B K E o Thứ hai: Ta giảm DF nửa A M C - Cách thứ nhất: Ta tăng BM gấp đơi - Giáo viên gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ( sử dụng yếu tố phụ điểm N) - Khi ta thử tìm cách chứng minh BN = DF ( sử dụng đoạn thẳng trung gian BN) - Nối NC, NA (nét đứt biểu yếu tố vẽ thêm) - Hình bình hành ABCN chứng minh cặp tam giác ∆BDF = ∆CNB (c.g.c) - Từ cho ta lời giải BN = DF hay BM = DF Lời giải: Lấy N đối xứng với B qua N Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 12 - Lời giải: A D - Gọi O trung điểm BC E - BDC vuông D, OB = OC => OD = BC (1) B C O - BEC vuông E, OB = OC => OE = BC (2) Từ (1) & (2) => OD = OE = OB = OC = BC => B,C, D, E thuộc đường tròn (O; BC ) µ µ Bài tập 2.4: Cho tứ giác ABCD, có B = D = 900 CMR: A, B,C, D thuộc đường tròn B A C O D Tương tự tập 2.3 ta xác định yếu tố phụ điểm O, OD, OB ( O trung điểm AC) Dạng 3: Chứng minh các góc ( Hai đại lượng nhau) Bài tập 3.1 Bài tập 28/79 sgkToán 9: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Tiếp tuyến tai A đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) điểm thứ hai P Tia PB cắt đường tròn (O’) Q Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếp tuyến P đường trịn (O) Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh hai đường thẳng AQ // Px ta cần chứng minh điều gì? - Sử dụng dấu hiệu để chứng minh hai đường thẳng song song? A · (· AQB = xPB ) Q O O' B P x Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 13 - - H: Hãy xác định khái niệm tính chất góc nêu? 1 » ( · AQB = sđ » ; xPB = sđ PB ) AB · 2 - H: Hai góc khơng? Sử dụng đại lượng trung gian nào? · ( Yếu tố trung gian là: PAB ; sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng AB) Lời giải: Nối AB · · » Xét (O) ta có: xPB = PAB = sđ PB (1) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến chắn cung PB) · Xét (O’) ta có: · AQB = PAB = sđ » (2) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến AB chắn cung AB) · Từ (1) & (2) => · AQB = xPB => AQ //Px ( Vì hai góc vị trí so le nhau) Bài tập 3.2 Bài tập 27/79 sgk Tốn 9: Cho hai đường trịn (O) đường kính A B Lấy điểm P khác A B đường tròn Gọi T giao điểm AP với tiếp tuyến B đường tròn (O) P T · · Chứng minh: APO = PBT Phân tích tìm lời giải: A · · - H: Để chứng minh: APO = PBT ta cần chứng minh điều ? O - H: Hãy xác định khái niệm tính chất góc nêu? · · » ( APO =? PBT = sđ PB ) - H: Hai góc không? Sử dụng đại lượng trung gian nào? · ( Yếu tố trung gian là: PAB ; sử dụng yếu tố phụ đoạn thẳng OP) Lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” B - 14 · · OAP cân (OA = OP; bán kính) => APO = OAP (1) · · » Xét (O) ta có: PAB = PBT = sđ PB (2) ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến chắn cung PB) · · Từ (1) & (2) => APO = PBT Dạng 4: Chứng minh hai góc ( Góc gấp đơi góc kia) Bài tập 4.1: Bài tập 16/76 Sbt Toán Cho đường trịn (O) hai đường kính AB CD vng góc với Lấy điểm M cung AC vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) M Tiếp tuyến cắt CD · · S Chứng minh rằng: MSD = 2.MBA A M S D O C B Phân tích tìm lời giải: · · - H: Để chứng minh: MSD = 2.MBA ta cần chứng minh điều ? - H: Hãy xác định khái niệm tính chất góc nêu? ( Bài sử dụng góc nội tiếp góc tâm) · 2.MBA =? ( · AOM ) H: Hai góc khơng? Sử dụng đại lượng trung gian nào? ( Yếu tố trung gian là: · AOM ) Lời giải: · · Xét (O) ta có: 2.MBA = AOM ( hệ góc nội tiếp) · · AOM = MSD · (cùng phụ MOS ) · · => MSD = 2.MBA Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 15 - Dạng 5: Quan hệ góc hình học (Sử dụng góc ngồi tam giác) Bài tập 5.1 Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đường · · · cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC Phân tích tìm lời giải: · · · - H: Để chứng minh: OAH = ACB - ABC ta cần xét khái niệm góc trên? · - H: Vậy ABC có đặc điểm nào? Có thể quan hệ với góc nào? - GV hướng dẫn kẻ phụ đoạn thẳng OI ⊥ AC (I ∈AC) · · · - Từ u cầu tốn ta có: ACB = ABC + OAH ta cần chứng minh điều gì? ( · · · ACB = OAH + AOI ) · · · - Mà OAH + AOI = ? ( sử dụng yếu tố trung gian OMH ) A Cách giải 1: Lời giải: I O · · Ta có: OMH = ACB M B (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) C H » · · AOM = ABC (cùng sđ AC ) · · · Trong ∆OAM thì: OMH = AOM + OAH (Góc ngồi tam giác) A · · · Hay ACB = ABC + OAH · · · Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) O B H C Phân tích tìm lời giải: · · · - H: Để chứng minh: OAH = ACB - ABC ta cần xét khái niệm góc trên? · · - H: Vậy ABC có đặc điểm nào? Có thể quan hệ với góc nào? ( CAD ) - GV hướng dẫn kẻ phụ tia tiếp tuyến AD (D ∈BC) · · · - Từ yêu cầu toán ta có: ACB = ABC + OAH ta cần chứng minh điều gì? ( · · · ACB = OAH + CAD ) Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” D - 16 · · · · · - Mà ACB =? CAD + CDA ( sử dụng yếu tố trung gian CAD + CDA ) Cách giải 2: Lời giải: · · » Ta có: ABC = CAD (1) (Cùng chắn AC ) · · OAH = ADC (2) (góc có cặp cạnh tương ứng vng góc) Cộng vế (1) (2) · · · · Ta được: ABC + OAH = CAD + ADC · · · Mà CAD + ADC = ACB (góc ngồi tam giác) · · · ⇒ ABC + OAH = ACB · · · Vậy: OAH = ACB - ABC (Đpcm) Dạng 6: Chứng minh dựa vào quan hệ đại lượng trung gian Bài tập 6.1 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) Đường trịn đường kính BC cắt AB AC E F Chứng minh OA vng góc EF Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh OA ⊥ EF ta cần chứng minh điều gì? - H: Đoạn thẳng OA vng góc với đoạn thẳng nào? ( GV hướng dẫn kẻ phụ thêm tia tiếp tuyến Ax ) · - H: Như ta cần chứng minh điều gì? ( EF // Ax; xAE = · AEF ) · - H: Hai góc xAE = · AEF nào? Sử dụng phương pháp nào? ( Sử dụng yếu A tố trung gian · ACB ) Lời giải: Kẻ tia tiếp tuyến Ax đường tròn (O) · Xét (O) có: xAB = · ACB (cùng chắn cung AB) x F E O B · Xét đường tròn đường kính BC có: · EF = · A ACB (cùng bù với BEF ) · => xAB = ·AEF => Ax // EF ( Vì hai góc vị trí so le nhau) Mà OA ⊥ Ax ( Ax tiếp tuyến (O) Suy : OA ⊥ EF Phân tích tìm lời giải: Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” C - 17 - - H: Để chứng minh OA ⊥ EF ta cần chứng minh điều gì? · - GV hướng dẫn học sinh tính tổng số đo: · AEF + OAE = ? - H: Góc 900 ? ( GV hướng dẫn kẻ thêm đường kính AD, nối BD) - H: Quan hệ góc cần tính với góc có hình? ( Sử dụng yếu tố trung A gian · ADB ) F Lời giải: E O Kẻ đường kính AD đường trịn (O) Xét đường trịn (O) có: · ACB = · ADB (cùng chắn cung AB) C B D · Xét đường tròn đường kính BC có: · EF = · A ACB (cùng bù với BEF ) => · EF = · A ADB Xét đường trịn (O) có: · ABD = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) · · => · AEF + OAE = · ADB + OAE = 900 Suy : OA ⊥ EF Như ta khai thác tốn theo cách khác Bài tập 6.2 Cho tam giác ABC Kẻ đường cao BF, CE ( F∈AC; E∈AB) Chứng minh OA vng góc EF Bài tập giải tương tự Bài tập 6.3 Bài 4/ Đề thi học sinh giỏi Toán (2008 – 2009) Cho hình vng ABCD M trung điểm AD BM cắt đường chéo AC H Đường thẳng qua A vng góc với BM cắt đường chéo BD N a/ Chứng minh HN ⊥ CD b/ Tính tỉ số: DN AC A M B E H O N D C Phân tích tìm lời giải: Ở ta xét câu a - H: Để chứng minh HN ⊥ DC ta cần chứng minh điều gì? Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 18 - - H: Quan hệ đường thẳng ta xét nào? ( DC // AB) - H: Theo yêu cầu tốn ta cần chứng minh điều gì? ( Sử dụng yếu tố trung gian AB ) - H: Nhận định điểm H tam giác ABN ( H trực tâm) Lời giải: Ta chứng minh H trực tâm tam giác ABN => NH ⊥ AB Mà AB // CD Suy : HN ⊥ CD Dạng 7: Chứng minh hai đoạn thẳng dựa vào hai tỉ lệ mẫu hay mẫu Bài tập 7.1: Cho hình thang ABCD ( AB// CD) Gọi O giao điểm AC BD Qua O kẻ đường thẳng song song AB, cắt AD M, cắt AC N CMR: OM = ON A B M N O D C Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh hai đoạn thẳng ta cần phải chứng minh điều ? GV gợi ý: Lời giải: Xét ADC có OM //DC, theo hệ định lý Talet ta có: OM OA = (1) DC AC Xét BDC có ON //DC, theo hệ định lý Talet ta có: ON OB = (2) DC BD Mà AB//CD, theo định lý Talet ta có: OA OB = (3) AC BD Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 19 - Từ (1); (2) & (3) => OM ON = => OM = ON ( Đpcm) DC DC Bài tập 7.2: Bài ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Hạ AH ⊥ Oy, BK ⊥ Ox ( H ∈ Oy, K ∈ Ox ) Tia phân giác Ot góc xOy cắt BK P Đường thẳng vng góc với OP O cắt đường thẳng AH C Đường thẳng HK cắt OC Q Chứng minh: b/ HQ = HK x Phân tích tìm lời giải: - H: Để chứng minh HQ = HK ta cần chứng minh điều gì? K A t P O z H B Q Lời giải: C · Ta có Ot phân giác xOy OC ⊥ Ot nên OC phân giác ·yOz => OQ phân giác ·yOz Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác OHK ta có: Lại có OHA  OKB (g – g) nên : Từ (1) & (2) => OH OA = = OK OB QH OH = QK OK (1) (2) QH = nên suy H trung điểm QK hay HQ = HK QK Dạng 8: Chứng minh hai tỉ lệ dựa vào tỉ lệ trung gian Bài tâp 8.1: Cho ∆ ABC, kẻ đường phân giác A cắt BC D, kẻ đường phân giác A cắt BC E CMR: A C D B DB EB = DC EC x E Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” y - 20 - - H: Để chứng minh hai tỉ lệ: DB EB = ta cần chứng minh điều gì? DC EC - GV gợi ý: Bài tập 8.2: Bài ( HSG khối 8/ 2008 – 2009) Cho góc nhọn xOy Trên Ox lấy điểm A, Oy lấy điểm B cho OA = OB Hạ AH ⊥ Oy, BK ⊥ Ox ( H ∈ Oy, K ∈ Ox ) Tia phân giác Ot góc xOy cắt BK P Đường thẳng vng góc với OP O cắt đường thẳng AH C Đường thẳng HK cắt OC Q Chứng minh: a/ PK CH = PB CA x Phân tích tìm lời giải: - H: Để K PK CH = ta cần chứng minh điều gì? PB CA A t P O z H B Q C Lời giải: PK OK · = Xét OKB có Ot phân giác xOy , theo tính chất tia phân giác ta có: (1) PB OB · Ta có Ot phân giác xOy OC ⊥ Ot nên OC phân giác ·yOz Xét OHA có OC phân giác ·yOz , theo tính chất tia phân giác ta có: CH OH = (2) CA OA Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” y - 21 - Lại có OKB  OHA (g – g) nên : Từ (1), (2) & (3) => OK OB OK OH = = => (3) OH OA OB OA PK CH = PB CA Việc tìm hiểu nhiều cách giải khác cho toán có vai trị to lớn việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, phát triển trí thơng minh óc sáng tạo cho học sinh Sở dĩ cố gắng tìm cách giải khác toán học sinh có dịp suy nghĩ đến nhiều khía cạnh khác tốn, hiểu sâu mối quan hệ cho phải tìm Đồng thời, việc tìm nhiều cách giải khác giúp học sinh có dịp so sánh cách giải đó, chọn cách hay tích luỹ nhiều kinh nghiệm để giải tốn Ngồi ra, với tốn khó chưa biết cách giải, học sinh biết dù khó tốn có nhiều cách giải khác em cố gắng tìm lời giải hơn, tức tính tị mị, ham hiểu biết khơi dậy học sinh V KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trong trình dạy học hình học, chúng tơi áp dụng đề tài không để dạy bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi mà linh hoạt dạy cho học sinh đại trà Đặc biệt học sinh lớp 8, tốn chứng minh địi hỏi tư cao Do đó, lúc đầu nhiều em cịn “ngại” học hình nói chung “sợ” toán chứng minh Hầu học sinh có ý thức làm tìm lời giải dừng lại không suy nghĩ thêm sau có kết tốn, thỏa mãn với Các em chưa thấy tác dụng mạnh việc nhìn lại tốn nhiều góc độ, nhiều khía cạnh khác củng cố kiến thức mình, rèn cho thói quen suy nghĩ tích cực, phát triển tư sáng tạo, tính kiên trì, độc lập; đức tính tốt cần thiết người học toán Song, qua thời gian kiên trì, linh hoạt áp dụng đề tài dạy học sinh theo ý tưởng trên, đến nay, hầu hết em tham gia, hưởng ứng cách tích cực, chủ động, vận dụng kiến thức thành thạo làm số dạng có liên quan từ dễ đến khó Quan trọng hơn, em khơng cịn cảm thấy hình học đáng ngại, đáng sợ Do đó, học tốn nói chung học hình học nói riêng em nhiệt tình, chủ động, tích cực hơn, có nhiều phát thể tìm tịi, sáng tạo bước đầu tích cực Thực tế, sử dụng vào giảng dạy cho khối 8, nhiều năm học liền gần kết cho thấy học sinh có ý thức thi đua học tập, Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 22 - hào hứng phát biểu suy nghĩ, tìm tịi, phát cách giải khác, tốn mới, Và tơi thấy tinh thần học tập em sôi nổi, phấn khởi hơn, khả tự nghiên cứu toán học em phát huy cách tích cực, kết học tập mơn tốn, hình học có nhiều tiến Các em nắm vững kiến thức SGK, em cịn có cố gắng việc tìm hiểu giải tốn nâng cao, tốn khó, bước đầu có thói quen tốt: biết chịu khó, tích cực tìm tịi khai thác, phát triển toán cho trước Cụ thể : Trong thực tế giảng dạy học sinh khối 8, khối việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn tuyển sinh lớp 10, với cách làm mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực sáng tạo toán cho học sinh.Trong năm nhà trường giao trọng trách dạy bồi dưỡng lớp thu kết khả quan có thành tích tốt học sinh giải ba cấp huyện, học sinh đạt giải khuyết khích cấp huyện Trong năm gần (2008 – 2009; 2009 – 2010) số học sinh thi tuyển vào lớp 10 đạt tỉ lệ cao toàn huyện VI NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG: Để chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao người giáo viên cần nắm vững kiến thức dạy, kiến thức chương trình phải tốn thời gian tìm tịi suy nghĩ tạo tình dấn dắt học sinh để em học tập cách tự học Trong trình giảng dạy thực hành kiểm nghiệm giáo viên phải biết tích luỹ rút nhiều điều bổ ích cho Bên cạnh cần phải thường xun kiểm tra nắm bắt thông tin qua việc học tập kinh nghiệm đồng nghiệp, tham gia nghiêm túc việc tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu chuyên đề để bổ sung cách hợp lí chắn việc nâng cao chất lượng học sinh qua mơn nói chung mơn Tốn nói riêng việc làm - Giáo viên phải nắm vững kiến thức, phương pháp có liên quan đến yếu tố trung gian nhiều - Trong phương pháp, dạng tập phải rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, tư sáng tạo, kỹ phân tích áp dụng Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 23 - - Kiểm tra, đánh giá học sinh thông qua lớp, buổi phụ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi, thông qua kiểm tra thường xuyên, định kỳ - Phân chia dạng thường gặp tuỳ theo mức độ đối tượng học sinh Đầu tư nghiên cứu vận dụng phương pháp cho phù hợp đối tượng - Đầu tư hệ thống SGK, tài liệu tham khảo - Thường xuyên cập nhật thông tin Thư viện đề thi đề kiểm tra Wed - Việc khai thác, phát triển từ toán quen thuộc biết, giúp cho học sinh định hướng tìm lời giải tốn hình học vấn đề quan trọng thiếu công tác dạy học tốn nói chung dạy học hình học nói riêng Phong trào thi viết sáng kiến kinh nghiệm trường học phong trào có tác dụng tốt, có ý nghĩa, đặc biệt xu thời đại cần sáng tạo, chủ động, tích cực lĩnh vực cơng tác Vì vậy, chúng tơi mạnh dạn mong muốn Phịng giáo dục đào tạo cấp trì phong trào này, khích lệ động viên tập thể, cá nhân có sáng kiến hữu hiệu, tích cực, có hình thức phổ biến, trao đổi sáng kiến hay tới đông đảo giáo viên Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 24 - PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN: Việc khai thác, phát triển toán cho trước góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh học mơn Tốn - việc bồi dưỡng học sinh giỏi Qua trình giảng dạy nghiên cứu, thân tơi nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy tốn đánh giá cao tầm quan trọng việc khai thác, phát triển từ toán mà học sinh giải Mở rộng, phát triển thêm toán khác (đơn giản thường phức tạp hơn) nhằm phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, độc lập, tích cực suy nghĩ cho người dạy người học - Trong trình giảng dạy học tập tốn, việc khai thác, tìm hiểu sâu thêm kết toán quan trọng có ích Nó khơng giúp nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái qt hố, đặc biệt hố, tổng qt hố tốn, từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho em học sinh, giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách lôgic, khoa học, tạo hứng thú khoa học u thích mơn tốn Sau thời gian kiên trì, nghiêm túc nỗ lực thực với giúp đỡ đồng nghiệp, tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” Tôi mong muốn học hỏi, trao đổi thêm tất đồng nghiệp bạn đọc quan tâm vấn đề Đồng thời, hi vọng đề tài đóng góp phần nhỏ việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho cơng tác giảng dạy tốn học tốn, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn nhà trường Bước đầu, đề tài thu nhiều kết tích cực, tạo thói quen tốt cho nhiều học sinh tính kiên trì, độc lập suy nghĩ có khả sáng tạo học toán, tự thấy phong phú, thú vị tốn học Các em ham thích với mơn tốn Mặc dù vậy, với khn khổ đề tài chưa phải cho tất đối tượng học sinh Tuy cố gắng kinh nghiệm hạn chế nên nội dung sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi nhiều khiếm Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 25 - khuyết Chúng mong trao đổi, bảo đóng góp ý kiến bổ sung thầy giáo, cô giáo để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO: - SGK Toán 8, - NXBGD - SBT Toán 8, – NXBGD - Sách giáo khoa - Toán nâng cao phát triển tốn ( Vũ Hữu Bình ) - Một số vấn đề phát triển hình học (Vũ Hữu Bình ) - Giáo trình thực hành giải tốn ( Đặng Đình Lăng) - Vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học (Nguyễn Đức Tấn) - Các chun đề mơn tốn (Trương Cơng Thành) - Tốn nâng cao chuyên đề ( Vũ Dương Thuỵ) - Các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên THCS chu kì I, II, III - Một số tạp chí Tốn tuổi thơ - Một số tạp chí Thế giới ta - Toán học Tuổi trẻ ( 2) - NXBGD - 160 tập chứng minh hình học vẽ thêm đường phụ & chứng minh hình học lý thú (NSƯT Minh Trân – NXB TP HCM) - Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” - 26 - MỤC LỤC PHẦN THỨ NHẤT MỞ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trang II/ ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Trang PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Trang II/ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA VẤN ĐỀ Trang III/ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN: Trang IV/ NỘI DUNG CỤ THỂ : Trang V/ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Trang 21 VI/ NHỮNG KIẾN NGHỊ KHI ÁP DỤNG: Trang 22 PHẦN THỨ BA KẾT LUẬN: Trang 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO: Trang 25 MỤC LỤC Trang 26 Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân “Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” ... có vận dụng yếu tố trung gian chứng minh có kết sau: Qua điều tra thử nghiệm với học sinh học lớp tơi thấy số học sinh vận dụng yếu tố trung gian vẽ hình phụ chứng minh hình học có 12 em học sinh... dụng yếu tố phụ để chứng minh Với lí trên, chúng tơi xin trình bày đề tài ? ?Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh hình học khối 8, 9” hy vọng góp phần vào giải vấn đề II ĐỐI TƯỢNG VÀ... Để chứng minh AI.AK = AO.AB ta thực nào? - H: Nhận định tích AI.AK =? Và AO.AB =? ( Yếu tố trung gian AC2 ) Giáo viên: Lê Đức Mai – Trần Thị Vân ? ?Vẽ thêm hình phụ sử dụng yếu tố trung chứng minh