Hớng dẫn chấm Câu ý Nội dung cần đạt Điểm I a - Giả sử số cần tìm là abcd = x 2 theo bài ra ta có: y 2 =(a+1) (b+1)(c+1)(d+1) - Ta có y 2 - x 2 = 1111 (y+x)(y-x) = 1111 - Ta xác định đợc x , y là số có 2 chữ số (vì nếu x , y có 3 chữ số thì khi bình phơng không thể là số có 4 chữ số ) và x , y cũng không thể là số có 1 chữ số . - 1111= 11.101 = 1. 1111 - Ta có (y+x)(y-x)= 11.101 = =+ 11 101 xy yx giải hệ x=45 ,y= 56 - Vậy số cần tìm là x 2 = 45 2 = 2025 - Thử lại y 2 = 56 2 = 3136 2 đ b - Lu ý dấu hiệu bài toán khi cho 2 số là số chính phơng và số này hơn số kia bởi một giá trị nào đó . Hãy sử dụng Hiệu bình phơng 2 số . - Xuất hiện phơng trình tích - Đa các ẩn về một vế và phân tích ra thừa số - Phân tích vế còn lại ra thừa số nguyên tố - Lập luận đi đến các hệ phơng trình 0,5đ II - Vì a,b,c có vai trò nh nhau nên ta có thể giả sử a b c khi đó ab + bc + ca 3bc - Suy ra abc< 3bc suy ra a <3 vậy a =2 ( Vì a nguyên tố ) - Với a = 2 ta có 2bc< 2b + 2c + bc - Suy ra bc < 2(b+c) 4c suy ra b< 4 vậy b = 2 hoặc b = 3 - Nếu b = 2 thì c là số nguyên tố bất kỳ c =p - Nếu b = 3 thì c = 3 hoặc c = 5 . - Vậy ta có các cặp (a;b;c) cần tìm là : ( 2;2;p) , (2;3;3) , (2;3;5) và các hoán vị của chúng 2,5đ III E A C B B C A - Từ B kẻ đờng thảng // với AA Cắt CA tại E . Ta có AB = AE = c - Do BE//AA nên ta có BE cb b x cb b EC AC BE x . + = + == - Trong tam giác ABE có BE < AB + AE = 2c - do đó x< cb bc + 2 ) 11 ( 2 11 cbx +> ( 1) - Tơng tự có ) 11 ( 2 11 cay +> và ) 11 ( 2 11 baz +> (2) - Vậy từ (1) và (2) ta có cbazyx 111111 ++>++ 2đ IV a) - Giả sử = b 2 4ac = m 2 ( m Z) - Ta có 4a. abc = 4a(100a + 10b + C) = (400a 2 + 40ab+ 4ac) = (20a+b) 2 (b 2 4ac) = (20a+b) 2 m 2 = (20a+b+m)(20a+b-m) Vậy (20a+b+m) Chia hết abc hoặc (20a+b-m) chia hết abc (20a+b+m) abc (I) vì m 2 = b 2 4ac nên b> m Ta có abc = 100a + 10b + c > 20a+2b > 20a+b+ m (II) Từ (I) và (II) suy ra vô lý . Vậy không là số chính phơng nên không có nghiệm hữu tỷ 2,5đ b) - Muốn chứng minh phơng trình bậc 2 ax 2 +bx + c = 0 ( a 0 Có nghiệm nguyên ( Hữu tỷ ) ta chứng minh là số chính phơng hay là bình phơng của một số hữu tỷ (Và ngợc lại ) 0,5đ . Vậy số cần tìm là x 2 = 45 2 = 2025 - Thử lại y 2 = 56 2 = 3136 2 đ b - Lu ý dấu hiệu bài toán khi cho 2 số là số chính phơng và số này hơn số kia bởi một giá trị nào đó . Hãy sử dụng Hiệu. = 3 hoặc c = 5 . - Vậy ta có các cặp (a;b;c) cần tìm là : ( 2;2;p) , (2;3;3) , (2;3;5) và các hoán vị của chúng 2,5đ III E A C B B C A - Từ B kẻ đờng thảng // với AA Cắt CA tại E . Ta có