Đang tải... (xem toàn văn)
Xác suất thống kê là bộ môn rất quan trọng đối với các khối kinh tế , kĩ thuật và công nghệ nó bao gồm các ước lượng, khả năng tư duy tính xác suất mà tất cả bài toán đều có. CHƯƠNG 1 NHỮNGĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT §1. ÔN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1. Nguyên lý Cộng và Nguyên lý Nhân 1)Nguyên lý Cộng.Giả sửđể một hiện tượng xảy ra, có k trường hợp lớn lọai trừ lẫn nhau. Biết rằngở m ỗi trường hợp lớn thứ j lại có n j trường hợp nhỏ. Khiđó, số trường hợp nhỏ nói chungđể hiện tượng trên xảy ra là: n = n 1 + n 2 + … + n k. 2)Nguyên lý Nhân.Giả sửđể hoàn thành một công việc ta phải tiến hành theo trình tự k bước có tác dụngđộc lập. Biết rằng: Có n 1 cách thực hiện buớc 1. Sau khi thực hiện bước 1 xong, dù bằng bất cứ cách nào, luôn luôn có một số lượng khôngđổi n 2 cáchđể thực hiện bước 2. ...................................................................... Cuối cùng, sau khi thực hiện xong bước thứ k1, dù bằng bất cứ cách nào, luôn luôn có một số lượng khôngđổi n k cáchđể thực hiện bước thứ k. Khiđó, số cáchđể hòan thành công việcđã cho là: n = n 1n 2… n k. Chú ý. Các bước có tác dụngđộc lập nghĩa là nếu hai cách tiến hành có lệch nhauở ít nhất một bước nàođó thì chúng sẽ cho kết quả khác nhau. 1.2. Chỉnh hợp 1)Định nghĩa. Mộtchỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự g ồm k phần tử phân biệtđược rút ra từ n phần tửđã cho. Ví dụ. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: Xaùc suaát Thoáng keâ – Chöông 1 Traàn Ngoïc Hoäi 2 (x,y); (y,x); (x,z);(z,x); (y,z); (z,y). 2) Công thức tính chỉnh hợp. GọiA n k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có công thức: ( ) .( 1)...( 1) = − − + = − k n n A n n n k n k Ví dụ. 20 6 20 27907200. 14 A= = Chú ý. Trên máy tính có phím chức năng nPr, ta tínhA 20 6 như sau: 2 0 nPr 6 = 1.3. Hoán vị 1)Định nghĩa. Mộthoán vị của n phần tử là một chỉnh hợp chập n của n phần tửđó. Ví dụ: Các hóan vị của 3 phần tử x, y, z là: (x,y,z); (x,z,y); (y,x,z);(y,z,x); (z,x,y); (z,y,x). 2) Công thức tính hoán vị. Gọi P n là số hoán vị của n phần tử. Ta có công thức: P = n n 1.4. Tổ hợp 1)Định nghĩa. Mộtt ổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự g ồm k phần tử phân biệtđược rút ra từ n phần tửđã cho. Ví du. Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. Nhận xét. Ta có thể xem một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con g ồm k phần tử của tập hợp g ồm n phần tửđó. 2) Công thức tính tổ hợp. GọiC n k là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có công thức: ( ) = − k n n C k nk Nhận xét. Từ kết quả trên ta suy ra số tập con g ồm k phần tử của tập hợp g ồm n phần tử làC n k . Ví dụ. 20 6 20 38760. 614 C= = Chú ý. Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tínhC 20 6 như sau: 2 0 nCr 6 = 3)Định lý.a)C C n n n k k− = với mọi 0≤ k≤ n; b)C C C n n n k k k + =− 1 +1 với mọi 1≤ k≤ n 4) Công thức nhị thức Newton Với x, y∈R và n là số nguyên dương ta có: 0 ( )− = + =∑ n n k k n k n k x yC xy 5) Bài tóan lựa chọn.Một lô hàng chứa N sản phẩm, trongđó có N A sản phẩm loại A và N− N Asản phẩmlọai B. Chọn ng ẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số nguyên k thỏa 0≤ k≤ N A , 0≤ n− k≤ N− N A . Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trongđó cóđúng k sản phẩm loại A. Giải. Để chọn ra n sản phẩm, trongđó cóđúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N A sản phẩm loại A. Số cách chọn là A k N C. Bước 2: Chon n− k sản phẩm loại B từ N− N A sản phẩm loại B. Số cách chọn là− − A n k C N N. Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trongđó cóđúng k sản phẩm loại A là: Xaùc suaát Thoáng keâ – Chöông 1 Traàn Ngoïc Hoäi 4 − − A A k n k C C N N N. §2.Định nghĩa xác suất 2.1. Phép thử và biến c ố 1)Phép thử là một thí nghiệmđược thực hiện trong nhữngđiều kiện xácđịnh nàođó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quảđược gọi là một biến c ố. Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến c ố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 2)Biến c ố t ất y ếu , kí hiệu làΩ (Ômêga), là biến c ố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến c ố “Xuất hiện mặt có s ố chấm không quá 6” là biến c ố tất yếu. 3)Biến c ố bất khả, kí hiệu là∅, là biến c ố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến c ố “Xuất hiện mặt có s ố chấm lớn hơn 6” là biến c ố bất khả. 4)Biến c ố ng ẫu nhiên là biến c ố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A1 , A2 , B, C,…để chỉ các biến c ố ng ẫu nhiên. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến c ố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến c ố ng ẫu nhiên. 5)Biến c ố bằng nhau: Hai biến c ố A và Bđược gọi là bằng nhau, kí hiệu là A = B, nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt. Gọi A là biến c ố “Xuất hiện mặt 1 chấm” và B là biến c ố “Xuất hiện mặt nhỏ hơn 2 chấm”. Ta có A = B. Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A j (j = 1,2,…,6) là biến c ố “Xuất hiện mặt j chấm” . 6)Biến c ố t ổngcủa hai biến c ố A và B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) là biến c ốđịnh bởi: A + B xảy ra⇔ A xảy rahoặc B xảy ra. Như vậy, trong một phép thử, biến c ố tổng A + B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến c ố A hoặc B xảy ra trong phép thửđó.
Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 1 BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội - 2012) CHƯƠNG 1 NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT §1. ƠN VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1. Ngun lý Cộng và Ngun lý Nhân 1) Ngun lý Cộng. Giả sử để một hiện tượng xảy ra, có k trường hợp lớn lọai trừ lẫn nhau. Biết rằng ở mỗi trường hợp lớn thứ j lại có n j trường hợp nhỏ. Khi đó, số trường hợp nhỏ nói chung để hiện tượng trên xảy ra là: n = n 1 + n 2 + … + n k . 2) Ngun lý Nhân. Giả sử để hồn thành một cơng việc ta phải tiến hành theo trình tự k bước có tác dụng độc lập. Biết rằng: - Có n 1 cách thực hiện buớc 1. - Sau khi thực hiện bước 1 xong, dù bằng bất cứ cách nào, ln ln có một số lượng khơng đổi n 2 cách để thực hiện bước 2. - - Cuối cùng, sau khi thực hiện xong bước thứ k-1, dù bằng bất cứ cách nào, ln ln có một số lượng khơng đổi n k cách để thực hiện bước thứ k. Khi đó, số cách để hòan thành cơng việc đã cho là: n = n 1 n 2 … n k . Chú ý. Các bước có tác dụng độc lập nghĩa là nếu hai cách tiến hành có lệch nhau ở ít nhất một bước nào đó thì chúng sẽ cho kết quả khác nhau. 1.2. Chỉnh hợp 1) Định nghĩa. Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho. Ví dụ. Các chỉnh hợp chập 2 c ủa 3 phần tử x, y, z là: Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 2 (x,y); (y,x); (x,z); (z,x); (y,z); (z,y). 2) Cơng thức tính chỉnh hợp. Gọi k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có cơng thức: () ! .( 1) ( 1) ! =− −+= − k n n Ann nk nk Ví dụ. 6 20 20! 27907200. 14! ==A Chú ý. Trên máy tính có phím chức năng nPr, ta tính 6 20 A như sau: 20 nPr 6 = 1.3. Hốn vị 1) Định nghĩa. Một hốn vị của n phần tử là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Ví dụ: Các hóan vị của 3 phần tử x, y, z là: (x,y,z); (x,z,y); (y,x,z); (y,z,x); (z,x,y); (z,y,x). 2) Cơng thức tính hốn vị. Gọi P n là số hốn vị của n phần tử. Ta có cơng thức: n P= n! 1.4. Tổ hợp 1) Định nghĩa. Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm khơng có thứ tự gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho. Ví du. Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là: {x,y}; {x,z}; {y,z}. Nhận xét. Ta có thể xem một tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con gồm k phần tử c ủa tập hợp gồm n phần tử đó. 2) Cơng thức tính tổ hợp. Gọi k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có cơng thức: () ! !! = − k n n C kn k Nhận xét. Từ kết quả trên ta suy ra số tập con gồm k phần tử của tập hợp gồm n phần tử là k n C . Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 3 Ví dụ. 6 20 20! 38760. 6!14! ==C Chú ý. Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính 6 20 C như sau: 20 nCr 6 = 3) Định lý. a) nk k nn CC − = với mọi 0 ≤ k ≤ n; b) 1 1 kk k nn n CC C − + += với mọi 1 ≤ k ≤ n 4) Cơng thức nhị thức Newton Với x, y ∈ R và n là số ngun dương ta có: 0 () − = += ∑ n nkknk n k xy Cx y 5) Bài tóan lựa chọn. Một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong đó có N A sản phẩm loại A và N−N A sản phẩm lọai B. Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N). Với mỗi số ngun k thỏa 0 ≤ k ≤ N A , 0 ≤ n−k ≤ N−N A . Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A. Giải. Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước: Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ N A sản phẩm loại A. Số cách chọn là A k N C . Bước 2: Chon n−k sản phẩm loại B từ N−N A sản phẩm loại B. Số cách chọn là − − A nk NN C . Theo ngun lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A là: Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 4 − − AA knk NNN CC . §2. Định nghĩa xác suất 2.1. Phép thử và biến cố 1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác định nào đó. Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là một biến cố. Ví dụ. Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Các biến cố có thể xảy ra là: Xu ất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,… 2) Biến cố tất yếu, kí hiệu là Ω (Ơmêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm khơng q 6” là biến cố tất yếu. 3) Biến cố bất khả, kí hiệu là ∅, là biến c ố khơng bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn 6” là biến cố bất khả. 4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể khơng xảy ra khi thực hiện phép thử. Ta thường dùng các kí tự A, A 1 , A 2 , B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên. Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một biến cố ngẫu nhiên. 5) Biến cố bằng nhau: Hai biến cố A và B được gọi là bằng nhau, kí hiệu là A = B, nếu A xảy ra khi và chỉ khi B xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt. Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” và B là biến cố “Xuấ t hiện mặt nhỏ hơn 2 chấm”. Ta có A = B. Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi A j (j = 1,2,…,6) là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” . 6) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A∪ B) là biến cố định bởi: A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra. Như vậy, trong một phép thử, biến cố tổng A + B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra trong phép thử đó. Minh họa: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 5 Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n như sau: A 1 + A 2 +…+ A n xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm khơng q 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có: A = A 1 + A 2 B = A 2 + A 4 + A 6 7) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi: AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra. Như vậy, trong một phép thử, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B cùng xảy ra trong phép thử đó. Minh họa: Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n như sau: A 1 A 2 …A n xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A 1 , A 2 ,…, A n đều xảy ra. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau: A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5. C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5. Ta có: AB = A 6 và ABC = ∅. 8) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và khơng thể phân tích dưới dạng tổng của hai biến cố ngẫu nhiên khác. Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các ngun tử nhỏ nhất khơng thể phân chia đươc nữa. Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta g ọi những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A. Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi khơng có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến cố bất khả. Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 6 Ví dụ. Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, có tất cả 6 biến cố sơ cấp là A j (j = 1,2,…,6). Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ, ta có: A = A 1 + A 3 + A 5 . Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A 1 , A 3 , A 5 . 9) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = ∅, nghĩa là A và B khơng bao giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử. Minh họa: Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố : A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt 1 chấm. C : Xuất hiện mặt có số khơng q 2. Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì khơng (AC = A 2 ). 10) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A , là biến cố định bởi A xảy ra ⇔ A khơng xảy ra Minh họa: Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω , nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra trong phép thử. Ví dụ. Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố: A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn. B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ. Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A. 11) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố có khả năng xảy ra như nhau khi thực hiện phép thử. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 7 Ví dụ. Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp A j (j = 1, 2,…, 6) là đồng khả năng. 2.2. Định nghĩa cổ điển của xác suất 1) Định nghĩa. Giả sử khi tiến hành phép thử, có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó có m A biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. Tỉ số n m A được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A). Như vậy, S P(A) = ố biến cố sơ cấp thuận lợi cho A Tổng số biến cố sơ cấp co ùthe å xảy ra Ví dụ. Tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Khi đó có tất cả 6 bcsc đồng khả năng có thể xảy ra là A 1 , A 2 , , A 6 (mặt 1, 2, , 6). Xét các biến cố sau: A: Xuất hiện mặt có số chấm chẵn; B: Xuất hiện mặt có số chấm ≥ 5; C: Xuất hiện mặt có số chấm ≤ 4; D: Xuất hiện mặt có số chấm < 1; E: Xuất hiện mặt có số chấm < 10 Ta có A = A 2 + A 4 + A 6 nên P(A) = 3/6 = 0,5; B = A 5 + A 6 nên P(B) = 2/6 = 1/3; C = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 nên P(C) = 4/6 = 2/3; D bất khả nên P(D) = 0/6 = 0. E tất yếu nên P(E) = 6/6 = 1 2) Cơng thức xác suất lựa chọn Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dó có N A sản phẩm loại A, còn lại là loại B. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0< n < N). Với mỗi 0 ≤ k ≤ N A thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − N A , xác suất để trong n sản phẩm chọn ra có đúng k sản phẩm loại A là: AA knk NNN n n N (k) CC p C − − = Chứng minh. Ta xem mỗi cách chọn là một biến cố sơ cấp. Khi đó có tất cả n N C biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra. Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 8 Gọi A là biến cố có đúng k sản phẩm loại A trong n sản phẩm chọn ra. Theo kết quả của Bài tốn lựa chọn, ta có số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là AA knk NNN CC − − . Từ đây, theo định nghĩa, ta có xác suất của biến cố A là: AA knk NNN n N P(A) CC C − − = . Ví dụ. Một lơ hàng chứa 20 sản phẩm gồm 12 sản phẩm tốt và 8 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 5 sản phẩm. Tính xác suất để được 3 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Giải. Áp dụng Cơng thức xác suất lưa chọn với N = 20, N A = 12, n = 5, k = 3, ta có xác suất cần tìm là: 32 12 8 5 5 20 220.28 p (3) 0, 3973. 15504 CC C === Trên máy tính có phím chức năng nCr ta bấm: 1 2 nCr 3 8 nCr 2 : 2 0 nCr 5 = × 3) Hạn chế của định nghĩa cổ điển Định nghĩa cổ điển như trên chỉ áp dụng đuợc khi tổng số biến cố sơ cấp có thể xảy ra là hữu hạn. Hơn nữa, các biến cố đó đều phải đồng khả năng. Các điều kiện này khơng dễ có trong thực tế. Vì vậy người ta còn đưa ra định nghĩa xác suất bằng thống kê như sau: 2.3. Định nghĩa xác suất bằng thống kê 1) Định nghĩa. Giả sử khi tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau, biến cố A xảy ra m A lần. Tỉ số n m A được gọi là tần suất xuất hiện của biến cố A. Thực nghiệm thống kê chứng minh được rằng khi số phép thử n khá lớn, tần suất của biến cố A ln dao động quanh một giá trị khơng đổi p (0 ≤ p ≤ 1). Giá trị p đó được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu P(A). Như vậy, P(A) = n m A n ∞→ lim Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 9 2) Ví dụ. a) Trong thống kê dân số ở một địa phương, người ta tổng kết được xác suất để một em bé sơ sinh là trai (hay gái) xấp xỉ bằng 1/2. b) Khi tung một đồng xu đồng chất 2 mặt nhiều lần, người ta thấy rằng xác suất xuất hiện mặt sấp = Xác suất xuất hiện mặt ngữa = 1/2. 2.4. Định nghĩa xác suất bằng hình học 1) Biến cố tất yế u Ω được biểu diễn bởi các điểm bên trong một đường cong khép kín: 2) Mỗi điểm trong Ω biểu diễn một biến cố sơ cấp. 3) Mỗi tập con A của Ω biểu diễn một biến cố. Ta hình dung như sau: Dùng đầu bút chấm ngẫu nhiên vào một điểm bên trong Ω, nếu chấm trúng điểm nào thì xem như biến cố sơ cấp đó xảy ra, nếu điểm đó thuộc A thì biến cố A xảy ra. Với cách nhìn đó, khả năng một biến cố A xảy ra tùy thuộc vào độ lớn của diện tích của A so với diện tích của Ω. Từ đây, ta định nghĩa xác suất của A như sau: S(A) P(A) , S( ) = Ω trong đó S(A), S(Ω) lần lượt là diện tích của A và của Ω. 2.5. Tính chất của xác suất Định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa xác suất bằng thống kê là tương thích nhau, ngồi ra người ta còn định nghĩa xác suất bằng tiên đề, nhưng định nghĩa này mang đậm tính tốn học nên chúng tơi khơng đề cập đến trong tài liệu này. Chúng ta thấy rằng dù được định nghĩa b ằng phương pháp nào thì xác suất cũng có các tính chất sau: 1) Với mọi biến cố A ta có 0 ≤ P(A) ≤ 1. 2) P(Ω) = 1. 3) P(∅) = 0. 2.6. Ý nghĩa của xác suất Từ các định nghĩa của xác suất ta thấy xác suất chính là một số đo mức độ thường xun xảy ra của một biến cố trong phép thử. Nói nơm na là xác suất đo khả năng khách quan để biến cố xảy ra. Giả s ử biến cố A có xác suất P(A) = p. Ta có: Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 10 1) Khi tiến hành n phép thử với n đủ lớn, ta có thể kết luận số lần biến cố A xảy ra là m lần với m/n ≈ p. Điều này khơng đúng nếu n khơng đủ lớn. 2) Khi tiến hành rất nhiều thí nghiệm, mỗi thí nghiệm gồm n phép thử, số lần trung bình để biến cố A xảy ra trong một thí nghiệm là np lần. §3. Cơng thức cộng xác suất 3.1. Cơng thức cộng xác suất thứ nhấ t Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta có P(A + B) = P(A) + P(B) Mở rộng: Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có: P(A 1 + A 2 + …+ A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +…+ P(A n ). 3.2. Hệ quả. Với A là một biến cố bất kỳ, ta có P(A) 1 P(A)=− 3.3. Cơng thức cộng xác suất thứ hai Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) 3.4. Nhận xét. a) Cơng thức cộng xác suất thứ nhất là trường hợp đặc biệt của Cơng thức cộng xác suất thứ hai vì với A, B là hai biến cố xung khắc ta có AB = Φ nên P(AB) = 0 và cơng thức thứ hai cho ta: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = P(A) + P(B). b) Hệ quả 3.2 được suy trực tiếp từ cơng thức cộng xác suất thứ nhất vì với A là biến cố bất kỳ ta có hai biến cố A và A là xung khắc và A + A = Ω nên cơng thức thứ nhất cho ta: ).()()()(1 APAPAAPP + = + = Ω = Từ đó suy ra ).(1)( APAP − = c) Mở rộng tổng qt của Cơng thức cộng xác suất thứ hai khá phức tạp. Chẳng hạn, với A, B, C là ba biến cố bất kỳ, ta có: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 11 P(A+B+C) = P((A + B) + C) = P(A + B) + P(C) − P((A+B)C) = P(A) + P(B) – P(AB) + P(C) – P(AC + BC) = P(A) + P(B) – P(AB) + P(C) – P(AC) – P(BC) + P(ACBC). = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(BC) – P(AC)+ P(ABC). 3.5. Chứng minh cơng thức cộng thứ hai Giả sử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó: - Có m A biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A. - Có m B biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B. - Có m AB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố AB, nghĩa là thuận lợi cho cả A lẫn B. Khi đó số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A + B là m A + m B − m AB Minh họa: (ta phải trừ m AB vì số biến cố thuận lợi cho AB đã được tính đến hai lần, một lần trong m A và một lần trong m B ). Suy ra xác suất của A + B là A B AB A B AB mmm m mm P(A B) P(A) P(B) P(AB) nnnn +− += = + − = + − Ví dụ 1. Một lơ hàng chứa15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 4 sản phẩm. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có: a) Số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu. b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu. Giải. Gọi A j (j = 0,1,…,4) là biến cố có j sản phẩm tốt và 4 − j sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó A 0 , A 1 ,…,A 4 xung khắc từng đơi và theo cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, N A = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta có: Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 12 C CC jj j AP 4 15 4 510 )( − = Từ đó ta tính được: . 1365 210 )(; 1365 600 )( 1365 450 )(; 1365 100 )(; 1365 5 )( 43 210 == === APAP APAPAP a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu. Ta có A xảy ra khi và chỉ khi số sản phẩm tốt, xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra lần lượt là: 4, 0 hoặc 3, 1 hoặc 2, 2 . Do đó A = A 4 + A 3 + A 2 . Từ đây do tính xung khắc từng đơi của A 2 , A 3 , A 4 , cơng thức cộng thứ nhất cho ta xác suất của A là 432 210 600 450 P(A) P(A ) P(A ) P(A ) 0,9231 1365 1365 1365 =++=++= . b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra. Khi đó, biến cố đối lập B là biến cố khơng có sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên B = A 4 . Suy ra xác suất của B là 8462,0 1365 210 1)(1)(1)( 4 =−=−=−= APBPBP . Ví dụ 2. Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Tốn, 70 sinh viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai mơn Tốn và Anh văn. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp. Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Anh văn. Giải. Gọi - A là biến cố sinh viên được chọn giỏi mơn Tốn. - B là biến cố sinh viên được chọn giỏi mơn Anh văn. Khi đó - AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi c ả hai mơn Tốn và Anh văn. - A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Anh văn. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 13 Do đó theo cơng thức cộng thứ hai ta có xác suất để sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai mơn Tốn hoặc Anh văn là: .9,0 100 40 100 70 100 60 )()()()( =−+=−+=+ ABPBPAPBAP §4. Xác suất có điều kiện và Cơng thức nhân xác suất 4.1. Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Minh họa hình học: - Xác suất thơng thường S(A) P(A) . S( ) = Ω - Xác suất có điều kiện S(AB) P(A / B) . S(B) = Ví dụ. Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt. Xét các biến cố sau: a) A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn. b) B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ. c) C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4. d) D là biến cố xuat hiện mặt có số chấm lớn hơn hay b ằng 4. Khi đó - P(A/B) = 0 vì khi B đã xảy ra thì chỉ có 3 biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là xuất hiện các mặt 1, 3, 5 chấm, trong đó khơng có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho A. - P(A/C) = 2/4 = 0,5 vì khi C đã xảy ra thì chỉ có 4 biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là xuất hiện các mặt 1, 2, 3, 4 chấm, trong đó chỉ có 2 biến cố sơ cấp thuậ n lợi cho A là các mặt 2, 4 chấm. - P(A/D) = 2/3 vì khi D đã xảy ra thì chỉ có 3 biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra là xuất hiện các mặt 4, 5, 6 chấm, trong đó chỉ có 2 biến cố sơ cấp thuận lợi cho A là xuất hiện các mặt 4, 6 chấm. Nhận xét. Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5. Do đó P(A/B) < P(A); P(A/C) = P(A); P(A/D) > P(A). Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 14 Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thơng thường P(A). Đặc biệt, ta thấy xác suất để biến cố A xảy ra là 0,5 khơng phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy ra. Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo đị nh nghĩa sau: 4.2. Tính độc lập Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B khơng ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B. 4.3. Cơng thức nhân xác suất thứ nhất Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có () ()() PAB PAPB= Mở rộng. Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố độc lập từng đơi, nghĩa là với mọi 1 ≤ i ≠ j ≤ n , A i và A j độc lập, ta có: P(A 1 A 2 …A n ) = P(A 1 )P(A 2 )… P(A n ). 4.4. Cơng thức nhân xác suất thứ hai Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có ()()()()() PAB PAPB/A PBPA/B== Mở rộng. Với A 1 , A 2 , …, A n là n biến cố bất kỳ , ta có: P(A 1 A 2 …A n ) = P(A 1 )P(A 2 / A 1 )… P(A n / A 1 A 2 …A n-1 ). Chẳng hạn: P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB). P(ABCD) = P(A)P(B/A)P(C/AB) P(D/ABC), 4.5. Nhận xét. Cơng thức nhân thứ nhất là trường hợp đặc biệt của cơng thức nhân thứ hai vì khi A độc lập với B, ta có P(A/B) = P(A) và cơng thức nhân thứ hai cho ta: P(AB) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B) = P(B)P(A). Từ đó P(B/A) = P(B). Suy ra B độc lập với A và P(AB) = P(A)P(B). 4.6. Chứng minh cơng thức nhân xác suất thứ hai Giả sử có tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra, trong đó: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 15 - Có m B biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B - Có m AB biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố AB, nghĩa là thuận lợi cho cả A lẫn B. Xét trường hợp biến cố B đã xảy ra rồi. Khi đó: - Tổng số biến cố sơ cấp đồng khả năng có thể xảy ra trong trường hợp này là m B vì khơng tính đến các biến cố sơ cấp khơng thuận lợi cho B. - Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A trong hợp này là m AB vì chỉ tính các biến cố sơ cấp thuận lợi cho A trong số các biến cố thuận lợi cho B. Minh họa: Suy ra xác suất có điều kiện của A khi biết B xảy ra là . )( )( :)/( BP ABP n m n m m m BAP BAB B AB === Từ đây ta suy ra P(AB) = P(B)P(A/B). Cuối cùng, thay đổi vai trò của A và B, chú ý rằng AB = BA, ta có: P(AB) = P(BA) = P(A)P(B/A). Ví dụ. Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 15 sản phẩm, trong đó lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lơ II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi lơ 2 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấ u. b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I. Giải. Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 16 Gọi A i , B i (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 - i) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lơ I, lơ II. Khi đó - A 0 , A 1 , A 2 xung khắc từng đơi và ta có: . 105 45 )( ; 105 50 )( ; 105 10 )( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP - B 0 , B 1 , B 2 xung khắc từng đơi và ta có: . 105 28 )( ; 105 56 )( ; 105 21 )( 2 15 0 7 2 8 2 2 15 1 7 1 8 1 2 15 2 7 0 8 0 == == == C CC C CC C CC BP BP BP - A i và B j độc lập. a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu. Ta thấy A xảy ra khi và chỉ khi, số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm lấy từ lơ I, II lần lượt là: 0, 2 hoặc 1, 1 hoặc 2, 0 như trong bảng sau: B 0 B 1 B 2 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 17 A 0 0 1 2 A 1 1 2 3 A 2 2 3 4 nghĩa là: A = A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 . Do tính xung khắc từng đơi, cơng thức cộng xác suất cho ta: P(A) = P(A 0 B 2 ) + P(A 1 B 1 ) + P(A 2 B 0 ). Từ đây, do tính độc lập, cơng thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: 02 11 20 P(A) P(A )P(B ) P(A )P(B ) P(A )P(B ) 10 28 50 56 45 21 . . . 0, 3651. 105 105 105 105 105 105 =++ =++= b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A 1 /A). Theo cơng thức nhân xác suất thứ hai, ta có /A)P(A)P(A A)P(A 11 = . Suy ra P(A) A)P(A /A)P(A 1 1 = . Mặt khác A 1 A = A 1 B 1 và hai biến cố A 1 và B 1 độc lập nên theo cơng thức nhân thứ nhất ta có: .2540,0 105 56 . 105 50 )()()()( 11111 ==== BPAPBAPAAP Do đó xác suất cần tìm là: 0,6957. 0,3651 0,2540 P(A) A)P(A /A)P(A 1 1 === §5. Cơng thức xác suất đầy đủ và Cơng thức Bayes 5.1. Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi Các biến cố A 1 , A 2 ,…, A n được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi nếu hai tính chất sau được thỏa: 1) A 1 + A 2 +… + A n = Ω; 2) ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, A i A j = ∅, Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 18 nghĩa là các biến cố A 1 , A 2 ,…, A n xung khắc từng đơi và nhất thiết phải có một và chỉ một biến cố A j nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ. Minh họa: Nhận xét. - Với A là một biến cố bất kỳ, ta có AA, là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi. - Với A 1 , A 2 ,…, A n là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi ta có P(A 1 ) + P(A 2 ) + … + P(A n ) = 1. Ví dụ. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng; hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi. Xét các biến cố sau: - A i (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I. - B j (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II. Khi đó ta có các hệ sau đây đều là đầy đủ, xung khắc từng đơi: a) A 0 , A 1 , A 2 . b) B 0 , B 1 , B 2 . c) A 0 B 0 , A 0 B 1 , A 0 B 2 , A 1 B 0 , A 1 B 1 , A 1 B 2 , A 2 B 0 , A 2 B 1 , A 2 B 2 . d) A 0 B 0 , A 0 B 1 + A 1 B 0 , A 0 B 2 + A 1 B 1 + A 2 B 0 , A 1 B 2 + A 2 B 1 , A 2 B 2 . 5.2. Cơng thức xác suất đầy đủ Cho A 1 , A 2 ,…, A n là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi. Khi đó, với A là một biến cố bất kỳ, ta có: n jj j1 P(A) P(A )P(A/A ) = = ∑ 5.3. Cơng thức Bayes Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n: Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 19 kk kk k n jj j1 P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A ) P(A /A) P(A) P(A )P(A/A ) = == ∑ 5.4. Chứng minh Cơng thức xác suất đầy đủ và Cơng thức Bayes Vì A 1 , A 2 ,…, A n là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đơi nên ta có: Ω = A 1 + A 2 +… + A n . Suy ra A = AΩ = A(A 1 + A 2 +… + A n ) = AA 1 + AA 2 +… + AA n . Minh họa: Chu ý rằng do tính xung khắc từng đơi của A 1 , A 2 , …, A n , ta suy ra các biến cố AA 1 , AA 2 ,… , AA n cũng xung khắc từng đơi và cơng thức cộng xác suất cho ta: P(A) = P(AA 1 + AA 2 +… + AA n ) = P(AA 1 ) + P(AA 2 )+… + P(AA n ). Mặt khác, theo cơng thức nhân xác suất ta có P(AA j ) = P(A j )P(A/A j ) với j = 1,2,…,n, nên P(A) = P(A 1 )P(A/A 1 ) + P(A 2 )P(A/A 2 ) + …+ P(A n )P(A/A n ). Ta đã chứng minh cơng thức xác suất đầy đủ. Cuối cùng, theo cơng thức nhân xác suất ta có với mỗi 1 ≤ k≤ n, P(AA k ) = P(A)P(A k /A) = P(A k )P(A/A k ) nên Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 20 P(A) ))P(A/AP(A /A)P(A kk k = . Bây giờ chỉ cần dùng cơng thức xác suất đầy đủ ta có: ∑ = = n 1j jj kk k ))P(A/AP(A ))P(A/AP(A /A)P(A Cơng thức Bayes được chứng minh. Ví dụ.Có hai lơ hàng, mỗi lơ chứa 15 sản phẩm, trong đó lơ I gồm 10 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu; lơ II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ lơ I 2 sản phẩm bỏ sang lơ II, sau đó từ lơ II lấy ra 2 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lơ II có 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấ u. b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ I. Giải. Gọi - A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lơ II. - A j (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 - j) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lơ I. Khi đó A 0 , A 1 , A 2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi và ta có: . 105 45 )( ; 105 50 )( ; 105 10 )( 2 15 0 5 2 10 2 2 15 1 5 1 10 1 2 15 2 5 0 10 0 == == == C CC C CC C CC AP AP AP a) u cầu của bài tốn là tính xác suất P(A). Theo Cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A 0 ) P(A/A 0 ) + P(A 1 ) P(A/A 1 ) + P(A 2 ) P(A/A 2 ). Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com [...]... biến cố A hoặc xảy ra với xác suất p khơng đổi, hoặc khơng xảy ra với xác suất q = 1 – p Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Cơng thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là: k Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội ra với xác suất p = 60% = 0,6 và A khơng xảy ra với xác suất q = 1 – p = 0,4 Do... 0,851 b) 0,1667 b) 0,1307 b) 0,0508 b) 0,4235 c) 0,4318 * - 31 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 2 Trần Ngọc Hội Xác suất Thống kê – Chương 2 Trần Ngọc Hội BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ Ngồi ra các biến cố A1 = “X = x1”, A2 = “X = x2”, , An = “X = xn” tạo thành một hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi (GV: Trần Ngọc Hội - 2012) Ví dụ... 2475; M(Y) = 4,5; D(Y) = 18,25 b) Khơng độc lập c) 3,7 * - 37 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 3 Trần Ngọc Hội BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội – 2012) CHƯƠNG 3 Xác suất Thống kê – Chương 3 Trần Ngọc Hội (I = 1, 2, 3, 4, 5) Nếu ta tiến hành chọn ngẫu nhiên n = 5 sản phẩm để quan sát và được kết quả: Sản phẩm thứ nhất... purchase at www.fineprint.com 26 j Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1.1: a) Xếp ngẫu nhiên 3 người A, B, C ngồi vào một bàn dài có 10 chỗ ngồi Tính xác suất để hai người A và B ngồi cạnh nhau b) Giải bài tốn tương tự như trong câu a) nhưng đối với bàn tròn Bài 1.2: Bỏ ngẫu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ khác nhau Tính xác suất để a) cả 5 lá thư đến đúng... www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội Bài 1.7: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng Hãy tìm xác suất để bi trắng... phẩm bỏ vào lơ I, sau đó từ lơ I lấy ra 2 sản phẩm 30 Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội a) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I b) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I, trong đó sp tốt có trong lơ I từ trước c) Giả sử đã lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lơ I Tính xác suất đã lấy được 2sp tốt, 1sp xấu từ lơ II ĐÁP SỐ BÀI TẬP CHƯƠNG 1 1.1: a) 0,2 1.2: a) 1/120 1.3: a) 1/105... www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 3) Thảy n lần một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Khi đó ta có thể tính xác suất để trong n lần thảy, mặt 3 chấm xuất hiện đúng k lần theo cơng thức Bernoulli (với p =1/6) 4) Thảy n lần một đồng xu đồng chất 2 mặt Khi đó ta có thể tính xác suất để trong n lần thảy, mặt sấp xuất hiện đúng k lần theo cơng thức Bernoulli (với p = 1/2) Xác suất Thống kê – Chương... ra với xác suất p khơng đổi và khơng xảy ra với xác suất q = 1 − p Dùng tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần 3) Cơng thức Cộng và Nhân xác suất: • Cơng thức Cộng xác suất: - Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đơi, ta có: P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An) - Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) • Cơng thức Nhân xác suất: ... bắn 10 viên đạn vào một mục tiêu Xác suất để 1 viên đạn bắn ra trúng mục tiêu là 0,8 Biết rằng: Nếu có 10 viên trúng thì mục tiêu chắc chắn bị diệt Nếu có từ 2 đến 9 viên trúng thì mục tiêu bị diệt vơi xác suất 80% Nếu có 1 viên trúng thì mục tiêu bị diệt với xác suất 20% a) Tính xác suất để mục tiêu bị diệt b) Giả sử mục tiêu đã bị diệt Tính xác suất có 10 viên trúng Bài 1.22: Một máy sản xuất sản... np k q n − k ) k Chú ý Ta phải tìm xác suất p trong phân phối nhị thức X ∼ B(n,p) Sau đó, tùy theo p nhỏ hay lớn, mà ta xấp xỉ X bằng phân phối Poisson hay phân phối chuẩn 8 Luật phân phối của ĐLNN hai chiều rời rạc BÀI TẬP CHƯƠNG 2 Bài 2.1: Cho ĐLNN X có luật phân phối xác suất như sau: X 0 1 2 3 P 0,15 0,45 0,3 0,1 a) Tìm Mod(X), M(X), D(X), σ(X) 30 Xác suất Thống kê – Chương 2 Trần Ngọc Hội b) Tính . Xác suất Thống kê – Chương 1 Trần Ngọc Hội 1 BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội - 2012) CHƯƠNG 1 NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT §1. ƠN. ABPBPAPBAP §4. Xác suất có điều kiện và Cơng thức nhân xác suất 4.1. Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra, kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến. www.fineprint.com Xác suất Thống kê – Chương 2 Trần Ngọc Hội 1 BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (GV: Trần Ngọc Hội - 2012) CHƯƠNG 2 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT §1. Khái