Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH t r an g 1 KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. ðịnh nghĩa số phức ( dạng đại số ) : z a bi = + . Trong đó : - , a b ∈ ℝ . - a là phần thực. Kí hiệu : ( ) Re z . - b là phần ảo. Kí hiệu : ( ) Im z . - i là đơ n v ị ả o, 2 1 i = − . 2. Tính chất. - z là s ố th ự c ⇔ ph ầ n ả o c ủ a z b ằ ng 0 ( ) 0 b = . - z là s ố ả o ⇔ ph ầ n th ự c c ủ a z b ằ ng 0 ( ) 0 a = . 3. Hai số phức bằng nhau : ( ) ' ' ' , , ', ' . ' a a a bi a b i a b a b b b =  + = + ⇔ ∈  =  ℝ 4. Phép cộng hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' a bi a b i a a b b i + + + = + + + . 5. Phép trừ hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' a bi a b i a a b b i + − + = − + − . 6. Phép nhân hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i + + = + + + = − + + . 7. Phép chia hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 . a bi c di ac bd bc ad i a bi ac bd bc ad i c di c di c di c d c d c d + − + + − + + − = = = + + + − + + + . 8. Số phức liên hợp : Cho số phức z a bi = + , số phức liên hợp của z là z a bi = − . 9. Mơđun của số phức : z a bi = + , suy ra mơđun của số phức z là 2 2 z a b = + . 10. Các tính chất : ● 2 z z a + = ● 2 . z z z = ● 00,0 =⇔=∈∀≥ zzCzz ● . ' ' z z z z = ● ' ' z z z z + ≤ + ● ' ' z z z z   =     ● ' ' z z z z = 11. Căn bậc hai của số phức : Cho số phức z a bi = + . Tìm căn bậc hai. - Gọi x yi ω = + là căn bậc hai của số phức z a bi = + . - Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 z x yi a bi x y xyi a bi ω ⇔ = ⇔ + = + ⇔ − + = + CHUYÊN ĐỀ. SỐ PHỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH t r an g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a b x x y a xy b b y x  + + =   − =  ⇔ ⇔   =   =   Tính chất : ● 0 z = có đ úng m ộ t c ă n b ậ c hai là 0 ω = . ● 0 a > có hai c ă n b ậ c hai là a ± . ● 0 a < coa hai c ă n b ậ c hai là i a ± . 12. Giải phương trình bậc hai trên tập số phức : Cho ph ươ ng trình b ậ c hai : 2 0 Az Bz C + + = . Trong đ ó : , , A B C là các s ố ph ứ c cho tr ướ c, 0 A ≠ . Tính 2 4 B AC ∆ = − . + 0 ∆ ≠ . Ph ươ ng trình có hai nghi ệ m phân bi ệ t : 2 B z A δ − ± = , δ là một căn bậc hai của ∆ . + 0 ∆ = . Phương trình có một nghiệm kép là : 2 B z A − = . Tính chất : (ðịnh lý Viet cho phương trình bậc hai). Cho phương trình bậc hai : 2 0 Az Bz C + + = . Trong đó : , , A B C là các số phức cho trước, 0 A ≠ . Gọi 1 2 , z z là hai nghiệm của phương trình, khi đó : 1 2 B z z A − + = và 1 2 . C z z A = . DẠNG 1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC. Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, số phức liên hợp, mơđun của các số phức sau : 1) 1 i 1 2i z 1 2i 1 i + + = − − − 2) ( )( ) ( ) 3 2 1 i 1 2i z 3 2i 4 2i + − = − − + 3) ( ) ( ) 3 2 4 i z 2 3i 1 i − = + − + Bài 2. Cho số phức : 1 3 z i 2 2 = − + . Tính : 2 z z 1 + + . Bài 3. Cho s ố ph ứ c : z 1 i 3 = + . Tính : ( ) 2 2 z z + . Bài 4. Cho số phức : ( )( ) 2 z 1 2i 2 i = − + . Tính giá trị biểu thức : A z.z = . Bài 5. Cho số phức : z 1 3i = + . Tìm số nghịch đảo của số phức : 2 ω z z.z = + . Bài 6. Tìm ph ầ n th ự c và ph ầ n ả o c ủ a s ố ph ứ c : z i ω z i + = − , trong đó : z 1 2i = − . Bài 7. Cho số phức z thỏa mãn : ( ) 2 1 3i z 1 i − = − . Tìm mơđun của số phức : z iz + . Bài 8. Tìm phần ảo của số phức z biết : ( ) ( ) 2 z 2 i 1 2i = + − . Bài 9. Tìm số phức z sao cho : ( ) ( ) A z 2 z i = − + là số thực. Bài 10. Cho z, z là hai số phức liên hợp thỏa mãn điều kiện 2 z z là số thực và z z 2 3 − = . Tính z . Biờn son : GV HUNH C KHNH t r an g 3 DAẽNG 2. PHệễNG TRèNH BAC HAI VAỉ ệNG DUẽNG. Bi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau trong tp s phc : 1) 2 z z 3 1 0 + = 2) 4 2 z 2z 3 0 + = . 3) ( ) 2 z 8 1 i z 63 16i 0 + = 4) ( ) ( ) 2 2 1 i z 4 2 i z 5 3i 0 + = . Bi 2. Gi 1 2 z , z l hai nghim phc ca phng trỡnh : ( ) 2 z 1 i 2 z 2 3i 0 + + = . Khụng gi i ph ng trỡnh hóy tớnh giỏ tr c a cỏc bi u th c sau : 1) 2 2 1 2 A z z = + 2) 3 3 1 2 B z z = + 3) 4 4 1 2 C z z = + 4) 3 3 1 2 1 2 D z z z z = + 5) 1 2 2 1 z z E z z = + 6) 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 F z z z z z z = + + + . Bi 3. Gi 1 2 z , z l hai nghim phc ca phng trỡnh: 2 z 2z 10 0 + + = . Tớnh giỏ tr ca biu thc 2 2 1 2 A z z = + v 2 2 1 2 2 2 1 2 z z B z z + = + . Bi 4. G i 1 2 z , z l hai nghi m ph c c a ph ng trỡnh : 2 z 2z 10 0 + + = . Tớnh cỏc bi u th c. 1) 1 2 z z + 2) 2 2 1 2 z z + 3) 4 4 1 2 z z + . Bi 5. Trờn tp s phc, tỡm B ủ phng trỡnh bc hai 2 z Bz i 0 + + = cú tng bỡnh phng hai nghim bng 4i . Bi 6. Trờn tp s phc, tỡm tham s m ủ mi phng trỡnh sau ủõy cú hai nghim 1 2 z , z tha món ủiu kin ủó ch ra : 1) 2 z mz m 1 0 + + = , vi 2 2 1 2 1 2 z z z z 1 + = + 2) 2 z 3mz 5i 0 + = , vi 3 3 1 2 z z 18 + = . Bi 7. Cho s phc z tha món : 2 z 6z 13 0 + = . Tớnh 6 z z i + + . Bi 8. Tỡm cỏc s thc B, C ủ phng trỡnh : 2 z Bz C 0 + + = nhn z 1 i = + lm nghim. Tỡm nghim cũn li ca phng trỡnh. Bi 9. Tỡm B ủ phng trỡnh : ( ) ( ) 2 1 i z 2 3 2i z 12 Bi 0 + = cú m t nghi m ph c l z 1 i = + . Tỡm nghi m cũn l i. Bi 10. Cho s ph c z l m t nghi m c a ph ng trỡnh : 2 z z 1 0 + + = . Rỳt g n bi u th c 2 2 2 2 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 P z z z z z z z z = + + + + + + + . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH t r an g 4 DAÏNG 3. GIAÛI PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH. Bài 1. Tìm số phức z biết rằng : 1) z 2z 6 2i + = + 2) 3z 9 2iz 11i + = + 3) z 2z 2 4i + = − 4) 2 z z 0 + = 5) ( ) 1 2 i z 3 i iz 0 2i     − + + + =       6) ( ) ( ) ( ) 2 1 i 2 i z 8 i 1 2i z + − = + + + . 7) 4 z i 1 z i +   =   −   8) 2 i 1 3i z 1 i 2 i + − + = − + 9) 3 z 18 26i = + . Bài 2. Tìm số phức z biết rằng : 1) z 1 1 z i z 3i 1 z i  − =  −   −  =  +  2) z 12 5 z 8i 3 z 4 1 z 8  − =  −   −  =  −  3) [ ) z 2i z z i z 1  − =   − = −   4) 2 2 2 z i z z 2i z z 4.  − = − +   − =   Bài 3. Gi ả i ph ươ ng trình sau trên t ậ p s ố ph ứ c : 1) 4 3 2 z z 6z 8z 16 0 − + − − = 2) 4 3 2 1 z z z z 1 0 2 − + + + = 3) 4 3 2 z 2z z 2z 1 0 + − + + = 4) 4 3 2 z 2z z 2z 1 0 − − − + = 5) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 z 1 2 z 2 2 z 1 2 z 1 0 − + + + − + + = 6) 4 3 2 z 4z 6z 4z 15 0 − + − − = 7) ( ) 4 2 z 6 1 i z 5 6i 0 + + + + = 8) ( ) ( ) 2 2 2 z z 4 z z 12 0 + + + − = 9) 4 z 1 0 − = 10) 4 z 1 0 + = 11) 5 z 1 0 − = 12) 6 5 4 3 2 z z 13z 14z 13z z 1 0. + − − − + + = Bài 4. 1) Tìm các s ố th ự c a, b sao cho : ( ) ( ) 4 2 2 2 z 4z 16z 16 z 2z 4 z az b − − − = − − + + ∀ z ∈ C. 2) Gi ả i ph ươ ng trình : 4 2 z 4z 16z 16 0 − − − = . Bài 5*. Gi ả i ph ươ ng trình : ( ) 3 2 2z 5z 3z 3 2z 1 i 0 − + + + + = , biết phương trình có nghiệm thực. Bài 6*. Giải phương trình : ( ) ( ) 3 2 z 1 2i z 1 i z 2i 0 − − + − − = , biết phương trình có nghiệm thuần ảo. Bài 7. Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức : Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH t r an g 5 1) 1 2 1 2 2 2 1 2 z z z z 8 z z 1 − − =   + = −  2) 1 2 2 2 1 2 z z 4 i z z 5 2i + = +   + = −  3) 1 2 2 2 1 2 z .z 5 5i z z 5 2i = − −   + = − +  4) 2 1 2 2 2 1 z z 1 0 z z 1 0  − + =   − + =   5) 1 2 1 2 2 2 z z 3i z z 3 2i − =   + = − −  6) ( ) ( ) 1 2 3 3 2 2 z z 3 1 i z z 9 1 i . + = +   + = − +   Bài 8. Cho 1 2 z , z C ∈ , sao cho : 1 2 1 1 z z 3; z z 1 + = = = . Tính : 1 2 z z − . DẠNG 4. TÌM SỐ PHỨC THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 1. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : 1) z 1 1 z i − = − và z 3i 1 z i − = + 2) ( ) z 2 i 10 − + = và z.z 25 = . 3) z 2 = và 2 z là một số thuần ảo. 4) z 1 = và ( ) 2 2 z z 1 + = . 5) z 2i z 1 i + = − + và z 1 i z 2i + − + là một số thuần ảo 6) z 7i z 5; z z + = + là một số thực 7) z 1 = và z z 1 z z + = . 8) z 1 2i z 2 i + + = − + và z i 5 − = 9) 2 z z 2 + = và z 2 = . Bài 2. Tìm s ố ph ứ c z th ỏ a mãn : 2 z z = . Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : ( ) ( ) z 1 z 2i − + là số thực và z nhỏ nhất. Bài 4. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn : z 2 2i 1 − + = . 1) Tìm số phức z sao cho z nhỏ nhất. 2) Tìm số phức z sao cho z lớn nhất. Bài 5. Trong tất cả các số phức z thỏa mãn : z 2 4i z 2i − − = − . Tìm số phức z sao cho z nhỏ nhất. Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH t r an g 6 DẠNG 5. TÌM TẬP HP ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG PHỨC. Cho số phức : ; , z a bi a b = + ∈ ℝ . 1. 0 a = . Tập hợp số phức cần tìm là trục ảo. 2. 0 b = . Tập hợp số phức cần tìm là trục thực. 3. Aa Bb C + = , với , , A B C ∈ ℝ . T ậ p h ợ p s ố ph ứ c z c ầ n tìm là đường thẳng có ph ươ ng trình : Aa Bb C + = . 4. ( ) ( ) 2 2 2 0 0 a x b y R − + − = . T ậ p h ợ p s ố ph ứ c z c ầ n tìm là đường tròn tâm I (bi ể u di ễ n s ố ph ứ c 0 0 x y i + ), bán kính R. 5. ( ) ( ) 2 2 2 0 0 a x b y R − + − ≤ . T ậ p h ợ p s ố ph ứ c z c ầ n tìm là hình tròn tâm I (bi ể u di ễ n s ố ph ứ c 0 0 x y i + ), bán kính R. 6. ( ) ( ) 2 2 2 0 0 a x b y R − + − < . T ậ p h ợ p s ố ph ứ c z c ầ n tìm là ph ầ n bên trong hình tròn tâm I (bi ể u di ễ n s ố ph ứ c 0 0 x y i + ), bán kính R 7. ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 r a x b y R < − + − < . T ậ p h ợ p s ố ph ứ c z c ầ n tìm là hình vành khăn đượ c gi ớ i h ạ n b ở i hai hình tròn. Bài 1. Tìm số thực k, để bình phương của số phức : k 9i z 1 i + = − là số thực. Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn điều kiện: 1) z 2i + là số thực 2) z 2 i − + là số thuần ảo 3) z k z i = − , k là 1 s ố th ự c d ươ ng. 4) ( ) z 3 4i 2 − − = 5) z.z 9 = 6) ( ) ( ) ω z 2 z i = − + là số thực 7) 1 z z = 8) 1 z 2 z + = 9) 1 z z i 2 − = + 10) ( ) z i 1 i z − = + 11) ( ) ( ) 2 3 27 3 2 1 log 2 z i log 0 2 z i + + + = + − 12) z i 1 z i 1 9 − + + + − = . Bài 3. Trong m ặ t ph ẳ ng t ọ a độ Oxy, tìm t ậ p h ợ p đ i ể m bi ể u di ễ n các s ố ph ứ c z thõa mãn đ i ề u ki ệ n: 1) z 2 z 2 3 − − + > 2) Rez c ≥ 3) Imz 0 < 4) z Rez 1 = + 5) 2 z 2 i u 2 z 2 i u 1 0, u − + − − + + > ∀ ∈ ℝ 6) z 1 2 z i − ≥ − . Bài 4. . . . Tìm t ậ p h ợ p các đ i ể m bi ể u di ễ n trong m ặ t ph ẳ ng ph ứ c c ủ a s ố ph ứ c : 1 3 2 ω = + + ( i )z bi ế t r ằ ng s ố ph ứ c z th ỏ a mãn : 1 2 − ≤ z . HẾT . = = + + + − + + + . 8. Số phức liên hợp : Cho số phức z a bi = + , số phức liên hợp của z là z a bi = − . 9. Mơđun của số phức : z a bi = + , suy ra mơđun của số phức z là 2 2 z a b =. ' ' z z z z = 11. Căn bậc hai của số phức : Cho số phức z a bi = + . Tìm căn bậc hai. - Gọi x yi ω = + là căn bậc hai của số phức z a bi = + . - Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2 2 z x yi a. BẢN. 1. ðịnh nghĩa số phức ( dạng đại số ) : z a bi = + . Trong đó : - , a b ∈ ℝ . - a là phần thực. Kí hiệu : ( ) Re z . - b là phần ảo. Kí hiệu : ( ) Im z . - i là đơ n v ị