Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Yếu tố vuông góc được sử dụng khá nhiều trong các bài toán hình toạ độ phẳng, dưới đây a giới thiệu đến các em 5 bài toán đặc trưng về yếu tố vuông góc cách chứng minh và bài toán ứng dụng hi vọng sẽ giúp ích cho các bạn và các em trong việc giải quyết các bài toán hình học toạ độ phằng. Vì thời gian không cho phép nên chỉ có 5 phần thôi nhé, hi vọng a sẽ có thời gian viết tiếp hehe. Chúc mọi người học tốt !. Phần 1: Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có 2CD AB .Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và M là trung điểm của HC. Chứng minh rằng đường thẳng qua DM vuông góc với đường thẳng qua BM. Bài giải Cách 1: Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp. Hạ ,BE DC E DC . Theo bài ta có ME là đường trung bình trong //DEC ME DH ME AC    . Mặt khác :  0 90ABE  (theo cách dựng) Chứng minh được 5 điểm A,B,M,E,D nội tiếp trong một đường tròn là tâm của hình vuông ABED. Khi đó tứ giác ABMD nội tiếp có tổng 2 góc đối bằng 0 180 từ đó suy ra được DM BM . Cách 2: Dựa vào tính chất đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.Kẻ MI // AB (1)  MI  AD (vì AB  AD) (2) 01.MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨA YẾU TỐ VUÔNG GÓC VÀ ỨNG DỤNG. Mod: Lê Văn Tuấn (Moon.vn) Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Lại có DH AC (giả thiết ) DI AM (3) Từ (2) và (3) suy ra I là trực tâm của   *ADM AI DM   . Mặt khác : Trong  DHC có : / / / /MI DC AB MH MC     suy ra MI là đường trung bình   1 4 2 MI CD MI AB    .Từ (1) và (4)  ABMI là hình bình hành suy ra BM // AI (**) Từ (*) , (**) suy ra BM DM (điều phải chứng minh) Cách 3 : Vận dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông. Kẻ BE DC tại E. Dễ dàng chứng minh được ABDE là hình chữ nhật . Suy ra AB = DE = EC . ( trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy : nhớ nhé ). Trong DHC có : ED EC EM MH MC       là đường trung bình EM HC AME   là tam giác vuông tại M . Gọi O là trung điểm của AE O cũng là trung điểm của BD MO là đường trung tuyến trong tam giác BDM (1) Trong tam giác vuông AEM có MO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 1 2 MO AE Mà AE = BD (tính chất đường chéo hình chữ nhật) Nên 1 2 MO BD .Từ (1) và (2) suy ra BDM là tam giác vuông tại M hay BM DM tại M (điều phải chứng minh). Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Ứng dụng: Có vố số bài toạn ứng dụng từ bài toán này , các bạn tự làm nhá hichic. Đề thi đh khối A 2013. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm C tuộc đường thẳng :2 5 0d x y   và   4;8A  . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình chiếu vuông góc của B trên MD. Tìm toạ độ các điểm B,C biết rằng   5; 4N  . ( bài này nhiều cách giải, có cách chứng minh vuông góc dựa vào cách 1 của bài toán trên rất nhanh hoặc có thể làm theo cách số 3). Bài 2: [ Khoá LGBT Moon.vn ]Trong mặt phẳng tọa độ cho hình thang ABCD vuông tại A và D có 2AB CD và   2;3B , gọi E là trung điểm cạnh CD, H là hình chiếu vuông góc của E lên AC, biết phương trình đường thẳng : 2 3 0DH x y   và đường thẳng AC đi qua   1;3K . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. Bài 3: [ Trên Facebook] Trong mặt phẳng toạ độ cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có 2CD AB có đỉnh   1;2B . Hình chiếu vuông góc của D lên AC là điểm   1;0H  . Gọi N là trung điểm của HC. Tìm toạ độ các đỉnh A,C,D biết rằng : 2 2 0DN x y   Phần 2 : Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE. Bài làm Gọi K là trung điểm của EC. Ta có : HK là đường trung bình của  BEC nên HK // EB (1) Trong  EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK // HC.(2) Mà AH HC (giả thiết ) (3) Từ (2) và (3) ta có OK AH (*) Lại có HE AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (**) Từ (*) , (**) suy ra O là trực tâm của  AHK   4AO HK Từ (1) và (4) suy ra AO BE (điều phải chứng minh) Bài 2.1. Cho tam giác đều ABC,gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE. Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Bài 2.2. Cho tam giác vuông cân ABC tại A . Gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE. Chứng minh AO vuông góc với BE. Bài 2.3. Cho tam giác vuông AHC có vuông tại H . Đường cao HE. Gọi O , K lần lượt là trung điểm của EH và EC. Chứng minh AO vuông góc với HK. Ứng dụng: Câu 1: [ Khoá LGBT_ Moon.vn] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại   2; 4A  . Gọi H là trung điểm của BC , E là hình chiếu của H xuống cạnh AC. Biết M 11 ; 22    là trung điểm của HE, điểm B thuộc đường thẳng : 2 4 0xy    và đường thẳng BE đi qua điểm N   5;1 . Tìm tọa độ các điểm B,C của tam giác ABC. Câu 2: [ Khoá rèn kỹ năng Moon.vn] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại   2;0A  , gọi E là hình chiếu của A trên BC và F là điểm đối xứng của E qua A, biết trực tâm tam giác BCF là   2;3H  và trung điểm của BC thuộc đường thẳng :4 4 0d x y . Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC. Phần 3 : Cho hình chữ nhật ABCD .Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi N và M lần lượt là trung điểm của HD và BC. Chứng minh MN vuông góc với AN. Lời giải : Kẻ / / / /NI AD BC ta có I là trung điểm của AH khi đó NI là đường trung bình của tam giác AHD ta có: 1 // 2 NI BC BM nên BMNI là hình bình hành. Dễ thấy // NI AB BI MN AN AI BD       . Bài toán 3.1. Cho  ABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK, HI vuông góc với AC. M , N lần lượt là trung điểm của IC và AK . Chứng minh MN vuông góc với BI. Bài toán 3.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC . E , F , M lần lượt là trung điểm của AB , DH , BH .Chứng minh AM vuông góc với EF . Lời giải Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Gọi N là trung điểm của CH . Ta chứng minh được tứ giác BEFN là hình bình hành ( vì //BE FN ) suy ra EF //NB Mặt khác BN AM ( chứng minh bài trước ))). Vậy ta có AM EF (điều phải chứng minh ) Bài toán 3.2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B lên AC . E , F , M , N lầm lượt là trung điểm của AB , DH , HC , AD . Chứng minh EF MN ( tương tự chứng minh 2 bài trên ). Ứng dụng: Câu 1[ Đề thi HSG Thanh Hoá 2015] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có   1;2H là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm 9 ;3 2 M    là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ADH là 4 4 0xy   . Tìm toạ độ đỉnh B ,C và viết phương trình đường thẳng BC . [Câu 2: [Trên FaceBook] Trong Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc: 1 :2 2 0d x y và C thuoc 2 : 5 0d x y   . Goi H là hình chiếu của B xuống đường chéo AC. Biết 92 ; 55 M    và   9;2K là trung điểm của AH và CD. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Phần 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD,AB lấy lần lượt các điểm ,EF sao cho AE AF , H là hình chiếu của A trên BE chứng minh CH HF . Lời giải: Gọi K AH CD , chứng minh được ADK BAE   Chứng minh được AFKD là hình chữ nhật. Khi đó tứ giác HBCK nội tiếp đường tròn đường kính BK Lại có tứ giác KFBC nội tiếp đường tròn đường kính BK Do đó 4 điểm C,H,F,B thuộc cùng một đường tròn hay tứ giác CHFB nội tiếp. Khi đó :    00 180 90CHF EBC CHF    Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Câu 1: [ Khoá rèn kỹ năng Moon.vn].Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD,AB lấy lần lượt các điểm ,EF sao cho 3 AB AE AF , K là hình chiếu của F trên CD ,đường thẳng AK cắt đường thẳng BE tại 62 ; 55 H    , biết điểm   1;2F . Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD. Câu 2: [ Facebook] Trong mặt phẳng Oxy,cho hình vuông ABCD.Trên các cạnh AB,AD lấy lần lượt các điểm F và E sao cho AE=AF.Gọi H là hình chiều vuông góc của A lên BE. Tìm tọa độ đỉnh C thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y   và tọa độ     2;0 ; 1; 1FH . Câu 3: [ Sưu tầm] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD , gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên DM, phương trình đường thẳng AH là: 4 3 5 0xy   . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết   6;3N . Phần 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   C tâm I . Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C. Chứng minh EF IA Lời giải: Ta có:   BAM BCA cùng chắn cùng AB. Lại có tứ giác EFBC là tứ giác nội tiếp nên   AFE BCA ( vì cùng phụ với góc  BFE ) suy ra   //AFE FAM AM EF . Do đó chứng minh được IA BC Ứng dụng: Câu 1: [ Khoá LGBT Moon.vn].Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   C tâm   1;2I . Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C, phương trình đường thẳng EF là 3 7 0xy   ,biết tiếp tuyến tại A của đường tròn   C đi qua   3; 2M  và điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 2: [ Trích tạp trị toán học tuổi trẻ] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường tròn   22 : 25C x y ngoại tiếp tam giác nhọn ABC . Chân đường cao hạ từ B và C của tam giác Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa ABC lần lượt là   1;3M  và   2; 3N  . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết A có tung độ âm. Câu 3 [ 1 bạn hỏi trên FB] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm   0;3I , đỉnh   0; 2B  . Gọi E,F là chân các đường cao hạ tù các đỉnh B và C của tam giác ABC. Đường thẳng :4 3 4 0EF x y   . Tìm tọạ độ các đỉnh A và C. Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia 2015! . Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Yếu tố vuông góc được sử dụng khá nhiều trong các bài to n hình to độ phẳng, dưới đây a giới thiệu đến các em 5 bài to n đặc trưng về yếu tố vuông. đường thẳng song song.Kẻ MI // AB (1)  MI  AD (vì AB  AD) (2) 01.MỘT SỐ BÀI TO N CHỨA YẾU TỐ VUÔNG GÓC VÀ ỨNG DỤNG. Mod: Lê Văn Tuấn (Moon.vn) Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa . minh). Tuấn Gà :P Facebook: Tuanvlaa Ứng dụng: Có vố số bài to n ứng dụng từ bài to n này , các bạn tự làm nhá hichic. Đề thi đh khối A 2013. Trong mặt phẳng với hệ to độ Oxy cho hình chữ nhật