Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (1,5 điểm) Cho phơng trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1. Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x 1 x 2 = 3. Bài 2 (1,5 điểm) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4. Hãy tính P(5). Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. 1. Đờng phân giác trong của góc ã BAC cắt cạnh BC tại D. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Biết rằng AD = l , AH = h và AD là trung tuyến của tam giác MAH. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC theo l và h. 2. Giả sử ã ã ACB 2.BAC= . Chứng minh rằng AB 2 = BC.(BC+AC). Bài 4 (1,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + = (x, y, z là ẩn số ) Bài 5 (1,0 điểm) Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + ab + bc + ca < 0. Chứng minh bất đẳng thức a 2 + b 2 < c 2 . Bài 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng số M = 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 là bình phơng của một số nguyên. Bài 7 (1,0 điểm) Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a 3 + 2008a 2007 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức 3 2 3 2 S 3a 2005a 2006 3a 2005a 2008 = + + + . Sở Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 ĐáP án môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Bài 1 (1,5 điểm) Đề chính thức Cho phơng trình bậc hai x 2 + bx + c = 0 ( x là ẩn số), có b + c = 1. Xác định b, c để phơng trình đã cho có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện x 1 x 2 = 3. Cách Nội dung Điểm Cách 1 Từ b + c = 1 nên phơng trình đã cho có hai nghiệm là x 1 x c = = 0,5 * Nếu x 1 = 1; x 2 = c 1 c = 3 c = 2 Khi đó b = 1 0,5 * Nếu x 1 = c; x 2 = 1 c 1 = 3 c = 4 Khi đó b = 5 0,5 Cách 2 Các số b, c phải thoả mãn hệ điều kiện sau b 2 4c > 0 (1) b c = 1 (2) x 1 + x 2 = b (3) (x 1 , x 2 là 2 nghiệm của pt) x 1 x 2 = 3 (4) x 1 .x 2 = c (5) Từ (3) (4) ta có x 1 = b 3 2 + x 2 = b 3 2 0,5 Thay vào (5), ta đợc: b 3 b 3 . c 2 2 + = 2 b 9 4 = 1 b (vì b + c = 1) b 2 + 4b 5 = 0 b 1 b 5 = = 0,5 Với b = 1 c = 2 b = 5 c = 4 (đều thoả mãn (1)) Kết luận: b = 1, c = 2 hoặc b = 5, c = 4 0,5 Bài 2 (1,5 điểm) Cho đa thức P(x) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d (a, b, c, d R), thoả mãn các điều kiện sau: P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3 và P(4) = 4. Hãy tính P(5). Cách Nội dung Điểm Cách 1 Đặt Q(x) = P(x) x (Q(x) là đa thức bậc 4 có hệ số của x 4 là 1) Q(1) = P(1) 1 = 0 Q(2) = P(2) 2 = 0 Q(3) = P(3) 3 = 0 Q(4) = P(4) 4 = 0 0,5 Vậy Q(x) có 4 nghiệm là x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 Q(x) = (x1) (x2) (x3) (x4) 0,5 Từ đó suy ra P(x) = Q(x) + x = (x1) (x2) (x3) (x4) + x Do đó P(5) = 4 . 3 . 2 . 1 + 5 = 29 0,5 Cách 2 Chú ý: Có thể làm theo cách sau: Từ giả thiết, ta có hệ pt sau: 1 1 a b c d 2 16 8a 4b 2c d 3 81 27a 9b 3c d 4 256 64a 16b 4c d a b c d 0 8a 4b 2c d 14 27a 9b 3c d 78 64a 16b 4c d 252 = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + + + + = + + + = + + + = + + + = 0,5 Giải hệ phơng trình này ta đợc: a 10 b 35 c 49 d 24 = = = = (Phải trình bày cách giải hệ phơng trình này) 0,5 Vậy P(x) = x 4 10x 3 + 35x 2 49x + 24 P(5) = 29. 0,5 Bài 3 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. 1. Đờng phân giác trong của góc ã BAC cắt cạnh BC tại D. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A xuống BC và M là trung điểm của BC. Biết rằng AD = l , AH = h và AD là trung tuyến của tam giác MAH. Hãy tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC theo l và h. 2. Giả sử ã ã ACB 2.BAC= . Chứng minh rằng AB 2 = BC.(BC+AC). ý Nội dung Điểm 1. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. AD cắt (O) tại N. O, M, N thẳng hàng. 0,5 Vì M là trung điểm BC OM BC Vậy MN // AH. Lại có vuông AHD = vuông NMD (DH = DM và ã ã ADH NDM= ) MN = AH Vậy NMAH là hình bình hành. 0,5 Mà D là giao điểm 2 đờng chéo hình hình hành NMAH D là trung điểm AN OD AN. 0,5 Xét tam giác vuông ODN: DN 2 = NM.NO ON = 2 2 DN MN = l h . Vậy bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC là R = 2 l h 0,5 2. Từ: ã ã ACB 2.BAC= Dựng tia phân giác CE à ả à 1 2 C C A= = BCE ~ BAC ( à B chung, à à 1 C A= ) BE BC BC BA = hay BE a a c = (1) (a = BC, b = CA, c = AB) 0,5 Theo tính chất phân giác BE a EA b = BE a c a b = + BE c a a b = + (2) Từ (1) (2) a c c a b = + c 2 = a(a+b) đpcm. 0,5 A C B Ec b a 1 2 A B C M DH O N h l Bài 4 (1,0 điểm) Giải phơng trình: 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + = (x, y, z là ẩn số ) ý Nội dung Điểm ĐK: 2 2 2 10 x 0 10 x 10 1 y 0 1 y 1 3 z 3 9 z 0 Với a, b R, ta có a.b 2 2 a b 2 + . Dấu = xảy ra a = b. áp dụng kết quả trên, ta có : 2 2 2 x 1 y x 1 y 2 + Dấu = xảy ra x = 2 1 y 2 2 2 y 9 z y 9 z 2 + Dấu = xảy ra y = 2 9 z 2 2 2 z 10 x z 10 x 2 + Dấu = xảy ra z = 2 10 x Cộng từng vế các bất đẳng thức trên với nhau, ta đợc : 2 2 2 x 1 y y 9 z z 10 x 10 + + 0,5 Vậy pt đã cho tơng đơng với: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x, y,z 0 x 1 y x y 1 y 9 z y z 9 z 10 x z x 10 x, y,z 0 x 1 x 1 y 0 y 0 z 3 z 9 x 1 KL y 0 z 3 = + = = + = = + = = = = = = = = = = 0,5 Bài 5 (1,0 điểm) Các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + ab + bc + ca < 0. Chứng minh bất đẳng thức a 2 + b 2 < c 2 . ý Nội dung Điểm Giả sử a 2 + b 2 c 2 Từ gt a 2 + b 2 + a 2 + b 2 + 2(ab + bc + ca) < 0 0,5 Lại có: a 2 + b 2 + a 2 + b 2 + 2(ab + bc + ca) a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c) 2 (a + b + c) 2 < 0 (vô lý) Vậy a 2 + b 2 < c 2 đpcm. 0,5 Bài 6 (1,0 điểm) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0, thoả mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng số M = 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 là bình phơng của một số nguyên. Cách Nội dung Điểm Cách 1 Từ a + b + c = 0 c = a b c 4 = (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 2c 4 = 2a 4 + 8a 3 b + 12a 2 b 2 + 8ab 3 + 2b 4 0,5 Lúc đó: M = 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 = 4a 4 + 4b 4 + 8a 3 b + 12a 2 b 2 + 8ab 3 = 4a 4 + 4b 4 + 4a 2 b 2 + 8a 3 b + 8a 2 b 2 + 8ab 3 = ( ) 2 2 2 2a 2b 2ab+ + Do a, b, c Z 2a 2 + 2b 2 + 2ab Z Từ đó suy ra đpcm. 0,5 Cách 2 Xét đa thức bậc ba mà 3 nghiệm là: x = a, x = b, x = c P(x) = (x a) (x b) (x c) P(x) = x 3 + (ab + bc + ca)x abc (vì a + b + c = 0) 0,25 Do P(a) = P(b) = P(c) = 0 nên ta có hệ: 3 3 3 a (ab bc ca)a abc 0 (1) b (ab bc ca)b abc 0 (2) c (ab bc ca)c abc 0 (3) + + + = + + + = + + + = 0,25 Nhân 2 vế của các đẳng thức (1), (2), (3) thứ tự với 2a, 2b, 2c rồi cộng lại, ta đợc: 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 + 2(ab + bc + ca) (a 2 + b 2 + c 2 ) = 0 0,25 Mà a 2 + b 2 + c 2 = (a + b + c) 2 2(ab + bc + ca) = 2(ab + bc + ca) 2a 4 + 2b 4 + 2c 4 = ( ) 2 2 ab bc ca + + đpcm. 0,25 Chú ý: Từ a + b + c = 0 (a + b) 2 = c 2 (a + b) 2 = c(a + b) a 2 + b 2 + 2ab = ac bc a 2 + b 2 + ab = ab ac bc Do đó ( ) ( ) 2 2 2 2 a b ab ab bc ca+ + = + + Bài 7 (1,0 điểm) Giả sử số thực a thoả mãn điều kiện a 3 + 2008a 2007 = 0. Hãy tính giá trị của biểu thức 3 2 3 2 S 3a 2005a 2006 3a 2005a 2008 = + + + . ý Nội dung Điểm Từ a 3 + 2008a -2007 = 0 (1) a 3 = 2008a + 2007 a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = 2008a + 2007 + 3a 2 + 3a + 1 (a + 1) 3 = 3a 2 2005a + 2008 0,5 Lại có (1) a 3 = 2008a - 2007 1 3a + 3a 2 a 3 = 1 3a + 3a 2 + 2008a 2007 (1 a) 3 = 3a 2 + 2005a 2006 Vậy S = ( ) ( ) 3 3 3 3 1 a a 1 + + = 1 a + a + 1 = 2 0,5 Chú ý: * Điều kiện bài toán số 7 bao giờ cũng tồn tại, vì pt: x 3 + 2008x 2007 = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0 ; 1). * Mọi cách giải khác mà hợp lý, vẫn cho điểm tối đa. * Khi chấm, yêu cầu bám sát biểu điểm. * Tổ chấm thảo luận để thống nhất biểu điểm chi tiết. * Nếu trong lời giải có nhiều bớc liên quan với nhau, học sinh làm sai ở bớc nào thì từ đó trở đi sẽ không đợc điểm. * Điểm toàn bài không làm tròn (lấy đến 0,25đ). Sở Giáo dục - Đào tạo thái bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức: đề chính thức x 7 x 3 2 x 1 A x 5 x 6 x 2 x 3 + + = + + với x 0; x 4; x 9 a) Rút gọn A. b) Tính giá trị của A khi 2 x 3 2 = . Bài 2. (2,0 điểm) Cho hai đờng thẳng: (d 1 ): y = (m 1)x m 2 2m (d 2 ): y = (m 2)x m 2 m + 1 cắt nhau tại G. a) Xác định toạ độ điểm G. b) Chứng tỏ rằng điểm G luôn thuộc một đờng thẳng cố định khi m thay đổi. Bài 3. (1,5 điểm) Giải các phơng trình sau: a) 2 1 1 1 0 1 1 1 x x x = + + + b) 2 2 x x 1 1 x = ữ + + Bài 4. (3,5 điểm) Cho điểm M thuộc nửa đờng tròn tâm O, đờng kính AB. Điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm M kẻ tiếp tuyến Ax, By với đ- ờng tròn. Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P, Q. Gọi E là giao điểm của AM với CP, F là giao điểm của BM với CQ. a) Chứng minh rằng: + Tứ giác APMC và tứ giác EMFC là tứ giác nội tiếp. + EF // AB. b) Giả sử có EC.EP = FC.FQ. Chứng minh rằng: EC = FQ và EP = FC. Bài 5. (0,5 điểm) Cho hai số thực x, y thoả mãn x 2 + y 2 + xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức B = x 2 xy + 2y 2 . Sở Giáo dục - Đào tạo thái bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,5 điểm) 1. Giải phơng trình: (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) 3 = 0 2. Tính giá trị của biểu thức A = (x 3 3x 3) 2011 với 1 + 3 3 2 - 3 2 - 3 x = Bài 2. (2,0 điểm) (với m là tham số) đề chính thức Cho hệ phơng trình: ax + by = c bx + cy = a cx + ay = b (a, b, c là tham số) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình trên có nghiệm là: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Bài 3. (2,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn: ( ) x = 2x x- y +2y-x+2 2. Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a 0). Biết rằng P(m) = P(n) (m n). Chứng minh: mn 2 2 4ac - b 4a Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Gọi I là điểm trên cung nhỏ AB (I không trùng với A và B). Gọi M, N, P theo thứ tự là hình chiếu của I trên các đờng thẳng BC, CA và AB. 1. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. 2. Xác định vị trí của I để đoạn MN có độ dài lớn nhất. 3. Gọi E, F, G theo thứ tự là tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp tam giác ABC với cạnh BC, CA và AB. Kẻ EQ vuông góc với GF. Chứng minh rằng QE là phân giác của góc BQC. Bài 5. (0,5 điểm) Giải bất phơng trình: + + + + + 3 3 2 3 2 4 3 2x 4x 4x 16x 12x 6x 3 4x 2x 2x 1 S GIO DC - O TO THI BèNH THI TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN THI BèNH Nm hc : 2009-2010 Mụn thi: TON (Dnh cho thớ sinh thi vo chuyờn Toỏn, Tin) Thi gian lm bi:150 phỳt (khụng k thi gian giao ) thi gm : 01 trang Bi 1. (2,0 im) : a. Cho k l s nguyờn dng bt kỡ. Chng minh bt ng thc sau: 1 1 1 2( ) ( 1) 1k k k k < + + b. Chng minh rng: 1 1 1 1 88 2 45 3 2 4 3 2010 2009 + + + + <L đề chính thức [...]... và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010 Môn thi: TOÁN ®Ò chÝnh thøc Bài 1 (2,5 điểm) Cho A = Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm : 01 trang 2 x +4 x +3 + x +7 x +2 x −3 − x +1 x −1 ( x ≥ 0; x ≠ 1) Rút . tạo Thái Bình Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài. Giáo dục - Đào tạo Thái Bình Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên Thái Bình Năm học 2007-2008 ĐáP án môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán, Tin) Bài 1 (1,5 điểm) Đề chính thức Cho phơng. dài các đoạn thẳng OB và OC đều là các số nguyên dương. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Năm học : 2009-2010 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: