SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Thời gian làm bài 120 phút) Năm học 2010-2011 Câu 1: (6 điểm) Cho parabol y = x 2 . M là một điểm bất kỳ trên parabol và M ≠ O (O là gốc tọa độ). P là một điểm khác trên parabol sao cho OP ⊥ OM. 1). Viết phương trình đường thẳng MP; 2). Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định; 3). Gọi I là trung điểm của MP. Tìm quỹ tích điểm I. Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 1). 3 3 1221 −=+ xx ; 2).      =+ −=−+− 6 2 3 252613 2 y x yxxy . Câu 3: (3 điểm) Cho a, b, c, d ≥ 0 và a+b+c+d ≤ 4. Chứng minh bất đẳng thức sau: 2222 d1 d c1 c b1 b a1 a d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 + + + + + + + ≥ + + + + + + + . Câu 4: (3 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: (C): x 2 + y 2 -1 = 0; (C’): (x - 8) 2 + (y - 6) 2 = 16. Câu 5: (4 điểm) 1). Cho tam giác ABC cân tại C cạnh AB: 2x - 3y + 11= 0, cạnh AC: x + 5y – 14 = 0. Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3). Hãy viết phương trình cạnh BC. 2). Cho ba điểm A(-1;-2), B(4;-1), C(3;2) và đường thẳng d: 022 =−− yx . Tìm M thuộc d sao cho MCMBMA ++ đạt giá trị nhỏ nhất. Hết SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Đáp án vắn tắt và biểu điểm) Năm học 2010-2011 Chú ý: Học sinh làm đúng cách giải khác vẫn cho đủ điểm. Tha ng điểm Câu 1: (6 đ) Cho parabol y = x 2 . M là một điểm bất kỳ trên parabol và M ≠ O (O là gốc tọa độ). P là một điểm khác trên parabol sao cho OP ⊥ OM. 1) Viết phương trình đường thẳng MP; Giả sử điểm M(m ; m 2 ) lập luận chỉ ra được tọa độ điểm P(-1/m ;1/m 2 ), m ≠ 0. 1 đ Viết được phương trình đường thẳng MP : m(m 2 – 1)x – m 2 y + m 2 = 0. 1 đ 2) Chứng minh rằng khi M di động, thì đường thẳng MP đi qua một điểm cố định; Chỉ ra được điểm cố định ( 0 ; 1). 2 đ 3) Gọi I là trung điểm của MP. Tìm quỹ tích điểm I. Quỹ tích trung điểm I của MP là parabol y = 2x 2 + 1. 2 đ Câu 2: (4 đ) Giải phương trình và hệ phương trình sau: 3 3 1221 −=+ xx 1) Đặt 3 12 −= xt , ta có t 3 = 2x -1. Do đó ta có hệ phương trình:      =+ =+ xt tx 21 21 3 3 ⇔      =+++− =+ 0)2)(( 21 22 3 txtxtx tx 1 đ Giải hệ tìm được tập nghiệm       +−−− = 2 51 ; 2 51 ;1S . 1 đ 2)      =+ −=−+− 6 2 3 252613 2 y x yxxy ⇔        =         +− =+−+− 5 2 )13( 5 2 13 2 13 2 2 y x y x y x 1 đ    =+ =++ 5 5. 22 vu vvuu giải hệ tìm được (u, v) = {(2 ;1), (1 ;2)} 1 đ Suy ra được (x, y) = {(5/3 ; 2 ), (2/3 ; 2 /2). Câu 3: (3 đ) Cho a, b, c, d ≥ 0 và a+b+c+d ≤ 4. Chứng minh bất đẳng thức sau: 2222 d1 d c1 c b1 b a1 a d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 + + + + + + + ≥ + + + + + + + * Cã 4 )d1)(c1)(b1)(a1( 4 d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 ++++ ≥ + + + + + + + 2 4 4 )1)(1)(1)(1( 4 ≤ ++++ ≤++++ dbca dcba nên VT ≥ 2. (1) 1 đ * Ta cã (2) 2VP 2 1 a1 a a2a1 2 2 ≤⇒≤ + ⇔≥+ 1 đ Tõ (1), (2) cã §pcm, dÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi a=b=c=d=1. 1 đ Câu 4: (3 đ) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: (C): x 2 + y 2 -1 = 0; (C’): (x-8) 2 + (y-6) 2 = 16. Đường thẳng Ax + By + C = 0 là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, ta phải có : 1 22 = + BA C và 4 68 22 = + ++ BA CBA Từ đó suy ra CCBA 468 =++ hay CBA ++ 68 = ± 4C 1 đ TH1: CBA ++ 68 = 4C … có hai tiếp tuyến chung: 09181855)91348( =+−++− yx và 09181855)91348( =−−+−− yx . 1 đ TH2: CBA ++ 68 = - 4C … có hai tiếp tuyến chung: 03403039)32548( =−+++− yx và 03403039)32548( =+++−− yx . 1 đ Câu 5: (4 đ) 1) Cho tam giác ABC cân tại C cạnh AB: 2x - 3y + 11= 0, cạnh AC: x + 5y – 14 = 0. Cạnh BC đi qua điểm M(3;-3). Hãy viết phương trình cạnh BC. Ta có góc A của tam giác ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng (AB) và (AC) , do đó 0 2.1 ( 3)5 13 2 cos 45 2 4 9 1 25 13 2 A A + − = = = ⇒ = + + . Gọi ( ; )n a b r với ( 2 2 0a b+ ≠ ) là một VTPT của đường thẳng (BC) , vì (BC) đi qua M(3;-3) nên phương trình (BC) có dạng: a(x-3) + b(y+3) = 0 hay ax + by - 3a + 3b = 0 . ∆ABC cân tại C nên 2 cos cos 2 A B= = . Từ đó: 2 2 2 2 2 2 2 3 2 26( ) 2 2 3 5 24 5 0. 0 0 2 4 9 a b a b a b a ab b Khia b a b − = ⇔ + = − ⇔ + − = = ⇒ = + + (Loại) 1 đ 1 đ Xét 2 1 0 5 24 5 0 5 a a a b b b b   ≠ ⇒ + − = ⇒ =  ÷   hoặc 5 a b = − Với 1 5 a b = thì phương trình (BC): x+5y+12=0. Với 5 a b = − thì phương tinh (BC): 5x – y – 18 = 0. Nhận thấy đường thẳng x+5y+12=0 song song với (AC) nên bị loại. Do đó đường thẳng (BC): 5x – y – 18 = 0. 1 đ 2) Cho ba điểm A(-1;-2), B(4;-1), C(3;2) và đường thẳng d: 022 =−− yx . Tìm M thuộc d sau cho MCMBMA ++ đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì 1 (2; ) 3 G − . M thuộc ( ∆ ) ta có 3 3MA MB MC MG MA MB MC MG+ + = ⇒ + + = uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuuur .Từ đó MA MB MC+ + uuur uuur uuuur nhỏ nhất khi MG uuuur nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G trên ( ∆ ). Tìm được 28 1 ( ; ) 15 15 M − . 1 đ . và a+b+c+d ≤ 4. Chứng minh bất đẳng thức sau: 2222 d1 d c1 c b1 b a1 a d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 + + + + + + + ≥ + + + + + + + * Cã 4 )d1)(c1)(b1)(a1( 4 d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 ++ ++ ≥ + + + + + + + . thuộc d sao cho MCMBMA ++ đạt giá trị nhỏ nhất. Hết SỞ GD & ĐT HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC (Đáp án vắn tắt và biểu điểm) Năm học 2 010- 2011 Chú ý: Học sinh. 2222 d1 d c1 c b1 b a1 a d1 1 c1 1 b1 1 a1 1 + + + + + + + ≥ + + + + + + + . Câu 4: (3 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: (C): x 2 + y 2 -1 = 0; (C’): (x - 8) 2 + (y - 6) 2 = 16. Câu