Bộ giáo dục đào tạo TRờng đại học vinh - NGUYễN vĂN Huấn CáC ĐịNH Lý GiớI HạN DạNG LUậT Số LớN Đối với mảng biến ngẫu nhiên Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất Thống kê toán học MÃ số: 62 46 15 01 TóM TắT Luận án tiến sĩ toán học Vinh - 2011 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Luật số lớn nói riêng, định lý giới hạn lý thuyết xác suất nói chung nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Luật số lớn có nhiều ứng dụng thống kê, kinh tế, y học số ngành khoa học thực nghiệm khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà cịn có ý nghĩa thực tiễn to lớn A N Kolmogorov người xây dựng lý thuyết xác suất phương pháp tiên đề thiết lập luật số lớn tiếng mang tên ông Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên tiếp tục nhiều nhà toán học J Marcinkiewicz, A Zygmund, H D Brunk, Y V Prokhorov, K L Chung, W Feller, quan tâm nghiên cứu Cho đến nay, nghiên cứu luật số lớn vấn đề có tính thời lý thuyết xác suất Đối với mảng biến ngẫu nhiên, cấu trúc nhiều chiều tập số làm nảy sinh nhiều vấn đề Trên tập số, quan hệ thứ tự thơng thường khơng có tính chất tuyến tính; ta xây dựng quan hệ thứ tự khác nhau; dạng hội tụ xét max tọa độ tiến tới vơ Các đặc điểm góp phần tạo nên tính đa dạng kết nghiên cứu luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên Các luật số lớn cổ điển chủ yếu tập trung nghiên cứu cho dãy số biến ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị thực Một hướng phát triển luật số lớn cổ điển nghiên cứu luật số lớn dãy mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Các kết theo hướng nghiên cứu thường có mối liên hệ chặt chẽ với lý thuyết hình học Banach tạo giao thoa lý thuyết xác suất giải tích hàm Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Các định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận án thiết lập định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach cho trường hợp: có khơng có điều kiện cấu trúc mảng biến ngẫu nhiên có khơng có điều kiện hình học không gian Banach Đối tượng nghiên cứu Luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly, mảng phù hợp, mảng hiệu martingale mảng hiệu martingale theo khối nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn, mảng biến ngẫu nhiên độc lập, độc lập theo khối mảng biến ngẫu nhiên p-trực giao theo khối nhận giá trị không gian Banach Rademacher loại p Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết thực đề tài Về mặt kỹ thuật, sử dụng ba phương pháp chứng minh luật số lớn Đó phương pháp chặt cụt, phương pháp sử dụng bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Hájek-Rényi phương pháp dãy Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án Trong luận án, nghiên cứu định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach cho trường hợp: có khơng có điều kiện cấu trúc mảng biến ngẫu nhiên có khơng có điều kiện hình học khơng gian Banach 3 Trước hết, giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale chứng minh bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Doob mảng hiệu martingale Chúng chứng minh bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Hájek-Rényi mảng biến ngẫu nhiên Sử dụng kết với việc bổ sung tính chất hình học không gian Banach, nhận đặc trưng không gian Banach p-khả trơn không gian Banach Rademacher loại p dạng bất đẳng thức moment mảng biến ngẫu nhiên Đối với luật yếu số lớn, dựa vào bất đẳng thức moment mảng hiệu martingale, mảng hiệu martingale theo hàng phương pháp chặt cụt, mở rộng tiêu chuẩn hội tụ suy biến cho trường hợp |n| → ∞ mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Điểm lưu ý phần chứng minh cách xây dựng mảng hiệu martingale mảng hiệu martingale theo hàng tương ứng từ mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng Sử dụng kết này, thu luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn với giả thiết biến ngẫu nhiên bị trội ngẫu nhiên Đối với luật mạnh số lớn, tiến hành nghiên cứu cho hai trường hợp n → ∞ |n| → ∞ Về luật mạnh số lớn cho trường hợp n → ∞, đưa điều kiện để mảng biến ngẫu nhiên bất kỳ, nhận giá trị không gian Banach tùy ý tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát Từ kết này, nhận đặc trưng không gian Banach p-khả trơn không gian Banach Rademacher loại p dạng luật mạnh số lớn tổng quát Đối với luật mạnh số lớn cho trường hợp |n| → ∞, sử dụng phương pháp dãy con, mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Chúng đưa điều kiện để mảng biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn Sử dụng kết với việc bổ sung giả thiết ràng buộc mảng biến ngẫu nhiên tính chất hình học không gian Banach, mở rộng số luật mạnh số lớn mảng có cấu trúc ràng buộc theo khối Đó luật mạnh số lớn Brunk-Prokhorov mảng hiệu martingale theo khối nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn mảng biến ngẫu nhiên độc lập theo khối nhận giá trị không gian Banach Rademacher loại p, luật số lớn dạng luật số lớn Rademacher-Menshov mảng biến ngẫu nhiên p-trực giao theo khối nhận giá trị không gian Banach Rademacher loại p Về cấu trúc, phần Một số ký hiệu thường dùng luận án, Mở đầu, Kết luận chung kiến nghị, Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án Tài liệu tham khảo, phần nội dung luận án trình bày ba chương Chương dành để giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale chứng minh số bất đẳng thức moment Mục 1.1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị liên quan đến nội dung luận án Mục 1.2 trình bày khái niệm mảng hiệu martingale Mục 1.3 dành để chứng minh số bất đẳng thức moment mảng biến ngẫu nhiên Chương trình bày luật yếu số lớn Mục 2.1 dành để thiết lập tiêu chuẩn hội tụ suy biến luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller mảng phù hợp nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn cho trường hợp |n| → ∞ Mục 2.2 tiếp tục nghiên cứu vấn đề tương tự Mục 2.1 mảng phù hợp theo hàng Chương trình bày luật mạnh số lớn Mục 3.1 trình bày phần kiến thức chuẩn bị liên quan đến nội dung hai mục Mục 3.2 dành để nghiên cứu luật mạnh số lớn tổng quát mảng biến ngẫu nhiên cho trường hợp n → ∞ Mục 3.3 dành để mở rộng luật mạnh số lớn Kolmogorov cho mảng hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn thiết lập số dạng luật mạnh số lớn mảng biến ngẫu nhiên có cấu trúc ràng buộc theo khối cho trường hợp |n| → ∞ 5 CHƯƠNG MẢNG HIỆU MARTINGALE VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC MOMENT Trong chương này, giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale thiết lập số bất đẳng thức moment mảng biến ngẫu nhiên Các kết chương viết dựa báo [3], [5] [6] 1.1 Các kiến thức chuẩn bị Mục luận án nhắc lại số ký hiệu khái niệm với bốn bổ đề liên quan đến nội dung luận án Ta ký hiệu N tập số nguyên dương, N0 tập số tự nhiên R tập số thực Giả sử d ∈ N, phần tử thuộc Nd : (0, 0, , 0), (1, 1, , 1), (m1 , m2 , , md ), (n1 , n2 , , nd ), (n1 + 1, n2 + 1, , nd + 1), (n1 − 1, n2 − 1, , nd − 1), (2n1 , 2n2 , , 2nd ) ký hiệu 0, 1, m, n, n + 1, n − 1, 2n Giả sử α = (α1 , α2 , , αd ) ∈ Rd , ta ký hiệu αmin = min{αi : i = 1, 2, , d}, |n(α)| = nα1 nα2 nαd |n| = |n(1)| d Với m, n ∈ Nd , ta viết m n (tương ứng, m n) mi ni (tương ứng, mi < ni ) với i = 1, 2, , d Giới hạn n → ∞ hiểu ni → ∞ với i = 1, 2, , d Rõ ràng n → ∞ tương đương với nmin → ∞ Giả sử {bn , n ∈ Nd } mảng số thực Ta ký hiệu bn sai phân {bn , n ∈ Nd } n (quy ước bk = |k| = 0) Trong luận án, C số dương giá trị khác lần xuất Để khẳng định số C phụ thuộc vào p, ta dùng cách viết C = C(p) Ta giả thiết E không gian Banach thực khả ly; B(E) σ-đại số Borel E; (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ; biến ngẫu nhiên nhận giá trị E; kỳ vọng biến ngẫu nhiên X định nghĩa tích phân Bochner X (nếu tồn tại) ký hiệu EX 1.1.6 Định nghĩa Mảng biến ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Nd } gọi mảng bị trội ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X tồn số C > cho với t n ∈ Nd P( Xn > t) C P( X > t) 1.1.7 Định nghĩa Không gian Banach E gọi không gian p-trơn (1 2) môđun trơn ρ(τ ) thỏa mãn ρ(τ ) = O(τ p ) p τ → 0, mơđun trơn định nghĩa x+y + x−y − : x, y ∈ E, x = 1, y = τ ρ(τ ) := sup 1.1.8 Nhận xét Mọi không gian Banach không gian 1-trơn Các không gian Lp p p < ∞) không gian min{2; p}-trơn Mọi (1 không gian Hilbert không gian 2-trơn Đặc biệt, đường thẳng thực R không gian 2-trơn Hơn nữa, E không gian Banach p-trơn (1 < p 2) không gian r-trơn với r < p 1.1.9 Định nghĩa Không gian Banach E gọi không gian p-khả trơn (1 p 2) tồn chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu cho E với chuẩn trở thành không gian p-trơn 1.1.12 Định nghĩa Giả sử {rj , j 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = 1/2 Không gian Banach E gọi không gian Rademacher loại p (1 vj ∈ E (1 tồn số C > cho với i i rj vj E j=1 i p 1/p p C vj p 2) j i), p 2) 1/p j=1 1.1.15 Nhận xét Nếu E không gian Banach p-khả trơn (1 khơng gian Rademacher loại p Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng 7 1.2 Mảng hiệu martingale Trong mục này, giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale dạng nhiều chiều khái niệm hiệu martingale 1.2.1 Định nghĩa Mảng σ-đại số {Fn , n ∈ Nd } F gọi sở ngẫu nhiên khơng giảm theo quan hệ thứ tự Nd , nghĩa Fm ⊂ Fn với m n 1.2.2 Định nghĩa Giả sử {Fn , n ∈ Nd } sở ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach E thỏa mãn Xn Fn /B(E) đo với n ∈ Nd Khi {Xn , Fn , n ∈ Nd } gọi mảng phù hợp Giả sử {Fn , n ∈ Nd } sở ngẫu nhiên (quy ước Fn = {∅, Ω} |n| = 0) Với n ∈ Nd , đặt Fn ∞ ∞ Fn1 k2 k3 kd := σ = ∞ ··· k2 =1 k3 =1 ki (2 i d) j Fn = Fn1 k2 k3 kd , kd =1 Fk1 kj−1 nj kj+1 kd < j < d, ki (1 i j−1) d Fn = ki (j+1 i d) i Fn , Fk1 k2 kd−1 nd , Gn = ki (1 i d−1) i d trường hợp d = 1, đặt Fn = Fn 1.2.3 Định nghĩa Mảng phù hợp {Xn , Fn , n ∈ Nd } gọi mảng i hiệu martingale E(Xn |Fn−1 ) = h.c.c với n ∈ Nd với i = 1, 2, , d Ngoài ra, mục luận án cịn đưa hai ví dụ để tập tất mảng hiệu martingale thực rộng tập tất mảng biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 1.3 Một số bất đẳng thức moment Trong mục này, thiết lập số bất đẳng thức moment mảng biến ngẫu nhiên cho hai trường hợp: có khơng có điều kiện hình học không gian Banach 8 1.3.1 Định lý Nếu q số thực (q > 1), g hàm lồi, không giảm nhận giá trị không âm, {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach thực khả ly q qd q E g Xk E max g Xl q−1 k n q , n ∈ Nd k n l k Hệ sau dạng nhiều chiều bất đẳng thức Doob hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach 1.3.2 Hệ Nếu q số thực (q > 1), {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng hiệu martingale nhận giá trị không gian Banach thực khả ly q E max k n Xl l k q q−1 qd q X k , n ∈ Nd E k n Định lý sau cung cấp bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Hájek-Rényi mảng biến ngẫu nhiên 1.3.3 Định lý Giả sử p số thực dương, {bn , n ∈ Nd } mảng số thực dương có sai phân không âm (nghĩa bn > bn với n ∈ Nd ), {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly Khi với ε > m P n (m, n ∈ Nd ), max m k n bk Xl 2p (d+1) E εp ε l k max k n l k Xl bl + bm p Hai định lý đưa số đặc trưng không gian Banach dạng bất đẳng thức moment 1.3.4 Định lý Giả sử p số thực (1 p 2) d số nguyên dương Khi phát biểu sau tương đương: (i) E không gian Banach p-khả trơn (ii) Tồn số dương C = C(p) cho với mảng hiệu martingale {Xn , Fn , n ∈ Nd } nhận giá trị E p Xk E k n Cd E Xk p , n ∈ N d k n (iii) Với số thực q 1, tồn số dương C = C(p, q) cho với mảng hiệu martingale {Xn , Fn , n ∈ Nd } nhận giá trị E q Xl E max k n E X k q , n ∈ Nd C d |n|max{q/p; 1}−1 (1.3.8) k n l k (iv) Tồn số dương C = C(p, d) cho với mảng hiệu martingale {Xn , Fn , n ∈ Nd } nhận giá trị E, mảng {bn , n ∈ Nd } số thực dương có sai phân khơng âm, ε > m n (m, n ∈ Nd ) P max m k n bk Xl C εp ε l k k n 1.3.6 Định lý Giả sử p số thực (1 Xk E bk + bm p p (1.3.9) 2) d số nguyên dương Khi phát biểu sau tương đương: (i) E không gian Banach Rademacher loại p (ii) Với số thực q 1, tồn số dương C = C(p, q) cho với mảng {Xn , n ∈ Nd } biến ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng nhận giá trị E (1.3.8) (iii) Tồn số dương C = C(p, d) cho với mảng {Xn , n ∈ Nd } biến ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng nhận giá trị E, mảng {bn , n ∈ Nd } số thực dương có sai phân khơng âm, ε > m n (m, n ∈ Nd ) (1.3.9) 1.4 Kết luận Chương Chương luận án giải vấn đề sau: - Giới thiệu khái niệm mảng hiệu martingale - dạng nhiều chiều khái niệm hiệu martingale; - Thiết lập bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Doob mảng hiệu martingale bất đẳng thức cực đại dạng bất đẳng thức Hájek-Rényi mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly bất kỳ; - Đưa số đặc trưng không gian Banach p-khả trơn không gian Banach Rademacher loại p dạng bất đẳng thức moment 10 CHƯƠNG LUẬT YẾU SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG PHÙ HỢP VÀ MẢNG PHÙ HỢP THEO HÀNG Trong chương này, thiết lập tiêu chuẩn hội tụ suy biến luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn Các kết chương viết dựa hai báo [1] [3] 2.1 Luật yếu số lớn mảng phù hợp Trong mục này, sử dụng phương pháp chặt cụt để mở rộng tiêu chuẩn hội tụ suy biến mảng phù hợp Dựa vào kết này, nhận luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller cho mảng phù hợp với giả thiết biến ngẫu nhiên bị trội ngẫu nhiên 2.1.1 Định lý Giả sử {an , n ∈ Nd } {bn , n ∈ Nd } hai mảng số thực dương, {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng phù hợp nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn E (1 p 2) thỏa mãn E(Xn IA |Gn−1 ) Fn /B(E) đo với A ∈ σ(Xn ) n ∈ Nd Đặt Ynk = Xk I( bn Xk an ) Khi P Xk − E(Ynk |Gk−1 ) → |n| → ∞ k n hai điều kiện sau thỏa mãn: P( Xk > an ) → |n| → ∞, (2.1.2) k n bp n E Ynk − E(Ynk |Gk−1 ) k n p → |n| → ∞ (2.1.3) 11 Hệ sau đưa tiêu chuẩn hội tụ suy biến cho mảng phù hợp 2.1.2 Hệ Giả sử {an , n ∈ Nd } {bn , n ∈ Nd } hai mảng số thực dương, {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng phù hợp nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn E (1 2) thỏa mãn E(Xn IA |Gn−1 ) Fn /B(E) p đo với A ∈ σ(Xn ) n ∈ Nd Đặt Ynk = Xk I( bn Xk an ) P Xk → |n| → ∞ Khi (2.1.7) k n bn P E(Ynk |Gk−1 ) → |n| → ∞ (2.1.8) k n hai điều kiện (2.1.2), (2.1.3) thỏa mãn Ví dụ sau trường hợp mà với d > 1, điều kiện E(Xn IA |Gn−1 ) Fn /B(E) đo với A ∈ σ(Xn ) n ∈ Nd suy từ giả thiết {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng phù hợp 2.1.3 Ví dụ Giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất rời rạc với Ω={ P( n) n : n ∈ Nd } ⊂ R, F = 2Ω , = pn > (n ∈ Nd ) Với n ∈ Nd , đặt Xn = I( n) An = { k , Fn = σ{Xk : k n}, : k ∈ Nd cho tồn i : i d để ki < ni }, Yn = I(An ) pn /P(An ) Khi {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng phù hợp Hơn nữa, Yn = E(Xn |Gn−1 ) với n ∈ Nd Tuy nhiên, trường hợp d > Yn khơng Fn /B(R) đo được, khơng thể đảm bảo E(Xn IA |Gn−1 ) Fn /B(R) đo với A ∈ σ(Xn ) (chẳng hạn với A = Ω) 12 Hệ 2.1.2 điều kiện (2.1.2), (2.1.3) (2.1.8) kéo theo kết luận (2.1.7) Tuy nhiên, điều ngược lại không Ví dụ sau với số nguyên dương d, (2.1.7) không kéo theo (2.1.2) 2.1.5 Ví dụ Giả sử {Yj , j 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị thực thỏa mãn Y1 = với j > 1, biến ngẫu nhiên Yj có phân phối xác suất P(Yj = 0) = j −1 , P(Yj = 2) = − j −1 Giả sử d số nguyên dương Với n ∈ Nd , đặt an = n1 , bn = 2|n| , n +1 n1   Yi − Yi Xn = i=1  i=1  n2 = n3 = = nd = 1, ngược lại Khi {Xn , Fn = F, n ∈ Nd } mảng phù hợp, nhận giá trị không gian Banach 2-khả trơn R thỏa mãn E(Xn IA |Gn−1 ) Fn /B(R) đo với A ∈ σ(Xn ) n ∈ Nd Hơn nữa, kết luận (2.1.7) Tuy nhiên, điều kiện (2.1.2) không thỏa mãn Định lý sau thiết lập luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller mảng phù hợp, giả thiết phân phối thay giả thiết yếu hơn: giả thiết biến ngẫu nhiên bị trội ngẫu nhiên 2.1.9 Định lý Giả sử p số thực (1 p 2), α = (α1 , , αd ) ∈ Rd thỏa mãn αmin > 1/p, {Xn , Fn , n ∈ Nd } mảng phù hợp nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn E thỏa mãn {Xn , n ∈ Nd } bị trội ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X E(Xn IA |Gn−1 ) Fn /B(E) đo với A ∈ σ(Xn ) n ∈ Nd Đặt Ynk = Xk I( Xk |n(α)|) lim λ P( X > λαmin ) = λ→∞ Nếu (2.1.9) |n(α)| P Xk − E(Ynk |Gk−1 ) → |n| → ∞ k n (2.1.10) 13 Ví dụ sau điều kiện αmin > 1/p Định lý 2.1.9 thay điều kiện αmin 1/p 2.1.10 Ví dụ Ta đề cập đến khơng gian x = {xj , j 1} với x = ∞ j=1 |xj | gồm dãy số thực khả tổng Với j 1, phần tử thuộc có vị trí thứ j nhận giá trị vị trí cịn lại nhận giá trị ký hiệu x(j) Giả sử ϕ : Nd → N song ánh {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn P Xn = x(ϕ(n)) = P Xn = −x(ϕ(n)) = Khi Xn , Fn = σ{Xk , k n}, n ∈ Nd nhận giá trị không gian Banach 1-khả trơn 1 , n ∈ Nd mảng phù hợp, thỏa mãn E(Xn IA |Gn−1 ) Fn -đo với A ∈ σ(Xn ) n ∈ Nd Hơn nữa, mảng {Xn , n ∈ Nd } bị trội ngẫu nhiên X1 giả thiết (2.1.9) thỏa mãn với α = Tuy nhiên, với n ∈ Nd , |n(α)| Xk − E(Ynk |Gk−1 ) = 1 k n Vì vậy, kết luận (2.1.10) Định lý 2.1.9 không 2.2 Luật yếu số lớn mảng phù hợp theo hàng Trong mục này, tiếp tục nghiên cứu tiêu chuẩn hội tụ suy biến luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller mảng phù hợp theo hàng Trên N2 , ta xét quan hệ thứ tự từ điển: (i, j) (k, l) i < k i = k j < l Quan hệ thứ tự sử dụng định nghĩa sau đây: 2.2.1 Định nghĩa Giả sử {Fmn , m 1, n F thỏa mãn Fij ⊂ Fkl với (i, j) 1} mảng σ-đại số (k, l), {Xmn , m 1, n 1} mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach E Xmn Fmn /B(E) đo với m m 1, n 1, n Khi {Xmn , Fmn , 1} gọi mảng phù hợp theo hàng Chú ý Ta quy ước F1,0 = {∅, Ω}, Fi,0 = ∞ j=1 Fi−1,j i > 14 Định lý sau mở rộng tiêu chuẩn hội tụ suy biến mảng phù hợp theo hàng Chú ý rằng, kết này, điều kiện đo tương tự Định lý 2.1.1 không cần thiết 2.2.5 Định lý Giả sử {amn , m 1, n 1} {bmn , m hai mảng số thực dương, {Xmn , Fmn , m 1, n 1, n 1} 1} mảng phù hợp theo hàng nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn (1 p 2) Đặt Ymnij = Xij I( amn ) Khi n m Xij P Xij − E(Ymnij |Fi,j−1 ) → mn → ∞ bmn i=1 j=1 hai điều kiện sau thỏa mãn: n m P( Xij > amn ) → mn → ∞, i=1 j=1 m n bp mn E Ymnij −E(Ymnij |Fi,j−1 ) p →0 mn→∞ i=1 j=1 2.2.7 Định lý Giả sử p, r, s số thực dương thỏa mãn r s < p, {Xmn , Fmn , m 1, n p 1} mảng phù hợp theo hàng, nhận giá trị không gian Banach p-khả trơn thỏa mãn điều kiện {Xmn , m Ymnij = Xij I( m1/r n1/s 1, n Xij m 1} bị trội ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Đặt m1/r n1/s ) n Nếu limλ→∞ λ P X > λ1/s = P Xij − E(Ymnij |Fi,j−1 ) → mn → ∞ i=1 j=1 2.3 Kết luận Chương Chương luận án giải vấn đề sau: - Mở rộng tiêu chuẩn hội tụ suy biến mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng; - Thiết lập luật yếu số lớn Kolmogorov-Feller mảng phù hợp mảng phù hợp theo hàng; - Đưa ví dụ làm sáng tỏ cho kết vấn đề liên quan 15 CHƯƠNG LUẬT MẠNH SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN Trong chương này, thiết lập số luật mạnh số lớn mảng biến ngẫu nhiên cho hai trường hợp n → ∞ |n| → ∞ Các kết chương viết dựa báo [2], [4], [5] [6] 3.1 Các khái niệm kết bổ trợ Giả sử {ω1 (j), j 1}, {ω2 (j), j 1}, , {ωd (j), j 1} dãy tăng ngặt số nguyên dương thỏa mãn ωi (1) = với i = 1, 2, , d Với m ∈ Nd n ∈ Nd , sử dụng ký hiệu sau: ωn = ω1 (n1 ), ω2 (n2 ), , ωd (nd ) , ∆n = {k : ωn k ωn+1 }, ∆(m) = {k : 2m k 2m+1 }, (m) ∆n = ∆n ∩ ∆(m) , (m) Λm = {k : ∆k ϕ(n) = = ∅}, card(Λk ) I(∆(k) ) (n), k∈Nd ψ(n) = max ϕ(k), k n trường hợp n ∈ Λm , ta ký hiệu (m) rn (i) = r: r ∈ [ωi (ni ), ωi (ni + 1) ∩ [2mi , 2mi +1 ) (m) rn (m) (m) (1 i d), (m) = rn (1), rn (2), , rn (d) Dễ thấy ω(n) = 2n−1 với n ∈ Nd ∆n = ∆(n−1) , ϕ(n) = ψ(n) = với n ∈ Nd 16 3.1.3 Định nghĩa Giả sử {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên {Fn , n ∈ Nd } mảng σ-đại số F Khi mảng {Xn , Fn , n ∈ Nd } gọi mảng hiệu martingale theo khối khối {∆k , k ∈ Nd } {Xn , Fn , n ∈ ∆k } mảng hiệu martingale với k ∈ Nd 3.1.4 Định nghĩa Mảng biến ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Nd } gọi mảng độc lập theo khối khối {∆k , k ∈ Nd } {Xn , n ∈ ∆k } mảng biến ngẫu nhiên độc lập với k ∈ Nd 3.1.8 Định nghĩa Mảng biến ngẫu nhiên {Xn , n ∈ Nd } gọi mảng p-trực giao theo khối (1 p < ∞) khối {∆k , k ∈ Nd } {Xn , n ∈ ∆k } mảng p-trực giao với k ∈ Nd Ngoài ra, mục luận án đưa bốn bổ đề liên quan đến nội dung hai mục 3.2 Luật mạnh số lớn mảng biến ngẫu nhiên cho trường hợp n → ∞ Mục dành để thiết lập luật mạnh số lớn tổng quát mảng biến ngẫu nhiên theo giới hạn n → ∞ cho hai trường hợp: có khơng có điều kiện hình học khơng gian Banach O Klesov, I Fazekas, C Noszály T Tómács (1999) đưa điều kiện để mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực tuân theo luật mạnh số lớn bn Xk → h.c.c n → ∞, (3.2.1) k n {bn , n ∈ Nd } mảng có dạng tích d dãy số thực dương, khơng giảm không bị chặn 3.2.2 Nhận xét Nếu {bn , n ∈ Nd } mảng có dạng tích d dãy số thực dương, khơng giảm khơng bị chặn mảng số thực dương, có sai phân khơng âm bn → ∞ n → ∞ Tuy nhiên, điều ngược lại không d > 17 Định lý sau đưa điều kiện để mảng biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn (3.2.1), {bn , n ∈ Nd } mảng số thực dương, có sai phân khơng âm bn → ∞ n → ∞ 3.2.4 Định lý Giả sử p số thực dương, {an , n ∈ Nd } mảng số thực không âm, {bn , n ∈ Nd } mảng số thực dương, có sai phân khơng âm bn → ∞ n → ∞, {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả ly cho tồn số C > để với m E max k n l k Xl bl + bm n (m, n ∈ Nd ) p C k n ak (bk + bm )p Khi điều kiện n∈N an 1), {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị thực P(Xn = −|n|1/4 ) = P(Xn = |n|1/4 ) = , n ∈ Nd Khi {Xn , n ∈ Nd } mảng biến ngẫu nhiên độc lập, có kỳ vọng nhận giá trị không gian Banach 2-khả trơn R Vì {bn = |n| + min{n1 , n2 , , nd }, n ∈ Nd } mảng có dạng tích d dãy khơng giảm số thực dương nên ta sử dụng Định lý 3.2 O Klesov, I Fazekas, C Noszály T Tómács (1999) để thu luật mạnh số lớn (3.2.1) Tuy nhiên, từ Định lý 3.2.4 ta nhận luật mạnh số lớn (3.2.1) Định lý sau đưa đặc trưng không gian Banach p-khả trơn dạng luật mạnh số lớn tổng quát mảng hiệu martingale 18 3.2.6 Định lý Giả sử p số thực (1 p 2) d số nguyên dương Khi hai phát biểu sau tương đương: (i) E không gian Banach p-khả trơn (ii) Với mảng hiệu martingale {Xn , Fn , n ∈ Nd } nhận giá trị E, mảng {bn , n ∈ Nd } số thực dương, có sai phân khơng âm bn → ∞ n → ∞, điều kiện n∈N E Xn bp n d p